Tilbake
6.1
Alle fag for Høyskole

6.1 Indreprodukt, norm og ortogonalitet

Prikkproduktet i ℝⁿ og indreprodukt som abstrakt begrep, norm, avstand, ortogonalitet og de nyttige ulikhetene — grunnlaget for Gram–Schmidt og projeksjon, med en advarsel om ikke-standard indreprodukt.

55 min
9 oppgaver
Indreproduktnormortogonalitet
Din fremgang i kapitlet
0 / 9 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper: Dette kapitlet bygger på lineær uavhengighet, span og basis fra kap. 3.2 (vi ortogonaliserer basiser senere) og på prikkproduktet fra VGS, Skalarproduktet. Møter du et integral-indreprodukt på polynomer, trenger du bestemt integral fra Ubestemt integral og litt integrasjon. Kan du regne u⋅v=∑uivi\mathbf u\cdot\mathbf v=\sum u_iv_i og integrere et polynom, er du klar.

Hvorfor et indreprodukt?

I R2\mathbb R^2 og R3\mathbb R^3 har vi et prikkprodukt som måler lengde, avstand og vinkel — geometrien i rommet. Et indreprodukt er den samme idéen løftet til et hvilket som helst vektorrom: en regel som tar to vektorer og gir et tall, slik at vi kan snakke om lengde og vinkel også for polynomer og funksjoner.

Hele ortogonalitetsdelen (Gram–Schmidt, projeksjon, minste kvadrater) hviler på dette ene begrepet. Vi bygger i fem løkker: (1) prikkproduktet i Rn\mathbb R^n, (2) indreprodukt som abstrakt begrep, (3) norm og avstand, (4) ortogonalitet og Pytagoras, (5) vinkel og de nyttige ulikhetene.

Løkke 1 — Prikkproduktet i Rn\mathbb R^n (~10 min)

Prikkprodukt i Rn\mathbb R^n
Prikkproduktet (skalarproduktet) av to vektorer u=(u1,…,un)\mathbf u=(u_1,\dots,u_n) og v=(v1,…,vn)\mathbf v=(v_1,\dots,v_n) er tallet du får ved å gange komponentvis og summere:
u⋅v=u1v1+u2v2+⋯+unvn=∑i=1nuivi.\mathbf u\cdot\mathbf v=u_1v_1+u_2v_2+\dots+u_nv_n=\sum_{i=1}^n u_iv_i.
Resultatet er en skalar (et reelt tall), ikke en vektor. Skrevet som matriseprodukt er u⋅v=uTv\mathbf u\cdot\mathbf v=\mathbf u^{T}\mathbf v.
✏️Eksempel 1: Prikkprodukt og lengde

La u=(1,2,2)\mathbf u=(1,2,2) og v=(2,0,1)\mathbf v=(2,0,1). Regn ut u⋅v\mathbf u\cdot\mathbf v og u⋅u\mathbf u\cdot\mathbf u.

Komponentvis: u⋅v=1⋅2+2⋅0+2⋅1=2+0+2=4.\mathbf u\cdot\mathbf v=1\cdot2+2\cdot0+2\cdot1=2+0+2=4.

Og u⋅u=12+22+22=1+4+4=9.\mathbf u\cdot\mathbf u=1^2+2^2+2^2=1+4+4=9. Legg merke til at u⋅u\mathbf u\cdot\mathbf u er summen av kvadratene — det blir lengden i annen (neste løkke).

📝Oppgave 1

(Innøving.) La u=(3,−4)\mathbf u=(3,-4). Regn ut u⋅u\mathbf u\cdot\mathbf u.

Løkke 2 — Indreprodukt som abstrakt begrep (~12 min)

Indreprodukt (aksiomene)

Et indreprodukt på et reelt vektorrom VV er en regel ⟨u,v⟩\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle som til to vektorer gir et reelt tall, og som oppfyller tre krav for alle u,v,w∈V\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w\in V og skalarer cc:

1. Symmetri: ⟨u,v⟩=⟨v,u⟩\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle=\langle\mathbf v,\mathbf u\rangle.
2. Linearitet: ⟨cu+w,v⟩=c⟨u,v⟩+⟨w,v⟩\langle c\mathbf u+\mathbf w,\mathbf v\rangle=c\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle+\langle\mathbf w,\mathbf v\rangle.
3. Positiv definitthet: ⟨v,v⟩≥0\langle\mathbf v,\mathbf v\rangle\ge0, med likhet bare når v=0\mathbf v=\mathbf 0.

Det vanlige prikkproduktet er ett indreprodukt på Rn\mathbb R^n — men langt fra det eneste.

Vektet indreprodukt
Et vektet indreprodukt på Rn\mathbb R^n vekter komponentene med positive tall w1,…,wn>0w_1,\dots,w_n>0:
⟨x,y⟩=w1x1y1+w2x2y2+⋯+wnxnyn.\langle\mathbf x,\mathbf y\rangle=w_1x_1y_1+w_2x_2y_2+\dots+w_nx_ny_n.
Vektene må være positive for at aksiom 3 skal holde. Setter du alle wi=1w_i=1, får du tilbake det vanlige prikkproduktet. Merk: to vektorer kan være ortogonale i det vektede indreproduktet uten å være det i det vanlige.
Integral-indreprodukt på polynomrom
På polynomrommet P⁡n\operatorname{P}_n (eller kontinuerlige funksjoner på [a,b][a,b]) er
⟨p,q⟩=∫abp(t) q(t) dt\langle p,q\rangle=\int_a^b p(t)\,q(t)\,dt
et indreprodukt: symmetrisk, lineært i første argument, og ⟨p,p⟩=∫abp(t)2 dt≥0\langle p,p\rangle=\int_a^b p(t)^2\,dt\ge0 med likhet bare for nullpolynomet. Her betyr «lengde» og «ortogonalitet» noe helt annet enn komponentregning — alt måles med integralet. Intervallet [a,b][a,b] er en del av indreproduktet: samme polynomer kan være ortogonale på [−1,1][-1,1] men ikke på [0,1][0,1].
✏️Eksempel 2: Regning i integral-indreproduktet

Bruk ⟨p,q⟩=∫−11p(t)q(t) dt\langle p,q\rangle=\int_{-1}^{1}p(t)q(t)\,dt på P⁡2\operatorname{P}_2. Regn ut ⟨1,1⟩\langle 1,1\rangle, ⟨1,t⟩\langle 1,t\rangle og ⟨t,t⟩\langle t,t\rangle.

Vi setter inn polynomene og integrerer:
⟨1,1⟩=∫−111 dt=[t]−11=1−(−1)=2.\langle 1,1\rangle=\int_{-1}^{1}1\,dt=\big[t\big]_{-1}^{1}=1-(-1)=2.
⟨1,t⟩=∫−11t dt=[t22]−11=12−12=0.\langle 1,t\rangle=\int_{-1}^{1}t\,dt=\Big[\tfrac{t^2}{2}\Big]_{-1}^{1}=\tfrac12-\tfrac12=0.
⟨t,t⟩=∫−11t2 dt=[t33]−11=13−(−13)=23.\langle t,t\rangle=\int_{-1}^{1}t^2\,dt=\Big[\tfrac{t^3}{3}\Big]_{-1}^{1}=\tfrac13-\big(-\tfrac13\big)=\tfrac23.
At ⟨1,t⟩=0\langle 1,t\rangle=0 betyr at polynomene 11 og tt er ortogonale på [−1,1][-1,1] — et faktum vi bruker i Gram–Schmidt i kap. 6.2.
📝Oppgave 2
Sjanger H

Bruk ⟨p,q⟩=∫01p(t)q(t) dt\langle p,q\rangle=\int_{0}^{1}p(t)q(t)\,dt. Regn ut ⟨1,t⟩\langle 1,t\rangle, og avgjør om 11 og tt er ortogonale på [0,1][0,1].

Løkke 3 — Norm og avstand (~10 min)

Norm (lengde)
Normen (lengden) til en vektor er kvadratrota av indreproduktet med seg selv:
∥v∥=⟨v,v⟩.\|\mathbf v\|=\sqrt{\langle\mathbf v,\mathbf v\rangle}.
I Rn\mathbb R^n med prikkprodukt gir det Pythagoras: ∥v∥=v12+⋯+vn2\|\mathbf v\|=\sqrt{v_1^2+\dots+v_n^2}. Fordi aksiom 3 sikrer ⟨v,v⟩≥0\langle\mathbf v,\mathbf v\rangle\ge0, er kvadratrota alltid definert, og ∥v∥=0\|\mathbf v\|=0 bare når v=0\mathbf v=\mathbf 0. Merk sammenhengen ∥v∥2=⟨v,v⟩\|\mathbf v\|^2=\langle\mathbf v,\mathbf v\rangle — den fjerner kvadratrota i regning.
Enhetsvektor og normalisering
En enhetsvektor er en vektor med norm 11. Enhver vektor v≠0\mathbf v\ne\mathbf 0 kan normaliseres til en enhetsvektor i samme retning ved å dele på lengden:
u=1∥v∥ v,∥u∥=1.\mathbf u=\frac{1}{\|\mathbf v\|}\,\mathbf v,\qquad \|\mathbf u\|=1.
Dette bruker vi når vi lager en ortonormal basis i kap. 6.2.
Avstand mellom vektorer
Avstanden mellom u\mathbf u og v\mathbf v er normen til differansen:
dist⁡(u,v)=∥u−v∥.\operatorname{dist}(\mathbf u,\mathbf v)=\|\mathbf u-\mathbf v\|.
Det er den vanlige avstanden i Rn\mathbb R^n, og gir mening i ethvert indreproduktrom. Avstanden er symmetrisk (∥u−v∥=∥v−u∥\|\mathbf u-\mathbf v\|=\|\mathbf v-\mathbf u\|) og null bare når u=v\mathbf u=\mathbf v. Avstand fra et punkt til et helt underrom kommer i kap. 6.3.
✏️Eksempel 3: Norm og avstand

Regn ut ∥(2,−1,2)∥\|(2,-1,2)\| og avstanden mellom u=(1,2,2)\mathbf u=(1,2,2) og v=(3,1,0)\mathbf v=(3,1,0) (vanlig prikkprodukt).

Norm: ∥(2,−1,2)∥=22+(−1)2+22=4+1+4=9=3.\|(2,-1,2)\|=\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt9=3.

Avstand: u−v=(1−3, 2−1, 2−0)=(−2,1,2)\mathbf u-\mathbf v=(1-3,\,2-1,\,2-0)=(-2,1,2), så
dist⁡(u,v)=∥(−2,1,2)∥=4+1+4=9=3.\operatorname{dist}(\mathbf u,\mathbf v)=\|(-2,1,2)\|=\sqrt{4+1+4}=\sqrt9=3.
Svaret er eksakt (33) — under kode E skal alt komme ut rent. Et urent mellomsvar er ofte et signal om regnefeil.

📝Oppgave 3

(Innøving.) Regn ut ∥(1,2,2)∥\|(1,2,2)\| og normaliser vektoren til en enhetsvektor.

Løkke 4 — Ortogonalitet og Pytagoras (~12 min)

Ortogonalitet
To vektorer u\mathbf u og v\mathbf v er ortogonale (står vinkelrett på hverandre) dersom indreproduktet deres er null:
u⊥v⟺⟨u,v⟩=0.\mathbf u\perp\mathbf v\quad\Longleftrightarrow\quad\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle=0.
I R2\mathbb R^2 og R3\mathbb R^3 svarer dette til den geometriske rett vinkelen. Nullvektoren er ortogonal på alt (⟨0,v⟩=0\langle\mathbf 0,\mathbf v\rangle=0). Ortogonalitet avhenger av indreproduktet: bruk alltid det oppgitte.
Pytagoras' setning
Er u\mathbf u og v\mathbf v ortogonale, gjelder Pytagoras:
∥u+v∥2=∥u∥2+∥v∥2.\|\mathbf u+\mathbf v\|^2=\|\mathbf u\|^2+\|\mathbf v\|^2.
Det følger direkte av regning: ∥u+v∥2=⟨u+v,u+v⟩=∥u∥2+2⟨u,v⟩+∥v∥2\|\mathbf u+\mathbf v\|^2=\langle\mathbf u+\mathbf v,\mathbf u+\mathbf v\rangle=\|\mathbf u\|^2+2\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle+\|\mathbf v\|^2, og kryssleddet 2⟨u,v⟩2\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle faller bort nettopp når u⊥v\mathbf u\perp\mathbf v. Dette er kjernen bak ortogonal dekomposisjon (kap. 6.3).
✏️Eksempel 4: Ortogonal vektor og Pytagoras

La u=(1,2,2)\mathbf u=(1,2,2).

a) Vis at v=(2,3,−4)\mathbf v=(2,3,-4) er ortogonal på u\mathbf u.
b) Bekreft Pytagoras for u\mathbf u og v\mathbf v.

a) ⟨u,v⟩=1⋅2+2⋅3+2⋅(−4)=2+6−8=0\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle=1\cdot2+2\cdot3+2\cdot(-4)=2+6-8=0, så u⊥v\mathbf u\perp\mathbf v.

b) ∥u∥2=1+4+4=9\|\mathbf u\|^2=1+4+4=9 og ∥v∥2=4+9+16=29\|\mathbf v\|^2=4+9+16=29, så høyresiden er 9+29=389+29=38. Venstresiden: u+v=(3,5,−2)\mathbf u+\mathbf v=(3,5,-2), og ∥u+v∥2=9+25+4=38\|\mathbf u+\mathbf v\|^2=9+25+4=38. De stemmer: 38=3838=38 ✓ — akkurat som Pytagoras krever.

📝Oppgave 4
Sjanger H

To vektorer er ortogonale med ∥u∥=3\|\mathbf u\|=3 og ∥v∥=4\|\mathbf v\|=4. Hva er ∥u+v∥\|\mathbf u+\mathbf v\|? Og er (1,2,−1)(1,2,-1) og (3,−1,1)(3,-1,1) ortogonale?

Løkke 5 — Vinkel og de nyttige ulikhetene (~11 min)

Vinkel mellom vektorer
Vinkelen θ\theta mellom to vektorer ≠0\ne\mathbf 0 er definert ved
cos⁡θ=⟨u,v⟩∥u∥ ∥v∥,0≤θ≤π.\cos\theta=\frac{\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle}{\|\mathbf u\|\,\|\mathbf v\|},\qquad 0\le\theta\le\pi.
Spesialtilfeller: cos⁡θ=0\cos\theta=0 (θ=90∘\theta=90^\circ) er ortogonalitet; cos⁡θ=1\cos\theta=1 betyr samme retning. Formelen gir alltid en gyldig cosinusverdi i [−1,1][-1,1] — det garanteres av Cauchy–Schwarz.
Cauchy–Schwarz-ulikheten
For alle vektorer i et indreproduktrom gjelder Cauchy–Schwarz:
∣⟨u,v⟩∣≤∥u∥ ∥v∥,|\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle|\le\|\mathbf u\|\,\|\mathbf v\|,
med likhet nøyaktig når u\mathbf u og v\mathbf v er parallelle. Det er nettopp denne ulikheten som sikrer at brøken i vinkelformelen ligger mellom −1-1 og 11, slik at θ\theta finnes. (Kjennskapsnivå — du skal kjenne påstanden, ikke nødvendigvis bevise den.)
Trekantulikheten
Trekantulikheten sier at en «omvei» aldri er kortere enn den direkte veien:
∥u+v∥≤∥u∥+∥v∥.\|\mathbf u+\mathbf v\|\le\|\mathbf u\|+\|\mathbf v\|.
Den følger av Cauchy–Schwarz. Geometrisk: lengden av én side i en trekant er høyst summen av de to andre. (Kjennskapsnivå.)
✏️Eksempel 5 (eksamensnivå): Vinkel og ortogonal vektor

I R3\mathbb R^3: finn vinkelen mellom u=(1,0,1)\mathbf u=(1,0,1) og v=(1,1,0)\mathbf v=(1,1,0), og finn en vektor ortogonal på både a=(1,2,2)\mathbf a=(1,2,2) og b=(2,0,1)\mathbf b=(2,0,1).

Vinkel: ⟨u,v⟩=1⋅1+0⋅1+1⋅0=1\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle=1\cdot1+0\cdot1+1\cdot0=1, ∥u∥=2\|\mathbf u\|=\sqrt2, ∥v∥=2\|\mathbf v\|=\sqrt2, så
cos⁡θ=12⋅2=12 ⇒ θ=π3 (60∘).\cos\theta=\frac{1}{\sqrt2\cdot\sqrt2}=\frac12\ \Rightarrow\ \theta=\frac{\pi}{3}\ (60^\circ).
Ortogonal vektor: en vektor w=(x,y,z)\mathbf w=(x,y,z) ortogonal på begge må løse ⟨a,w⟩=0\langle\mathbf a,\mathbf w\rangle=0 og ⟨b,w⟩=0\langle\mathbf b,\mathbf w\rangle=0:
x+2y+2z=0,2x+z=0.x+2y+2z=0,\qquad 2x+z=0.
Fra den andre: z=−2xz=-2x. Sett inn i den første: x+2y−4x=0⇒2y=3x⇒y=32xx+2y-4x=0\Rightarrow 2y=3x\Rightarrow y=\tfrac32 x. Velg x=2x=2: y=3y=3, z=−4z=-4, altså w=(2,3,−4)\mathbf w=(2,3,-4). Kontroll: ⟨a,w⟩=2+6−8=0\langle\mathbf a,\mathbf w\rangle=2+6-8=0 og ⟨b,w⟩=4+0−4=0\langle\mathbf b,\mathbf w\rangle=4+0-4=0 ✓. (Dette er kryssproduktet a×b\mathbf a\times\mathbf b.)
📝Oppgave 5
Sjanger H

Bruk det vektede indreproduktet ⟨x,y⟩=x1y1+2x2y2+3x3y3\langle\mathbf x,\mathbf y\rangle=x_1y_1+2x_2y_2+3x_3y_3.

a) Regn ∥(1,1,1)∥\|(1,1,1)\|.
b) Finn kk slik at (1,1,k)(1,1,k) og (1,−1,1)(1,-1,1) er ortogonale.

📝Oppgave 6

(Eksamensklone, sjanger H.) I R3\mathbb R^3 med vanlig prikkprodukt: finn den eksakte vinkelen mellom u=(1,2,2)\mathbf u=(1,2,2) og v=(2,0,1)\mathbf v=(2,0,1), og en enhetsvektor ortogonal på begge.

Begrepsbank til eksamen

Kjernebegrepene fra kapitlet samlet i kortform for pugging (kode E — intet formelark).

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — det gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Symmetriaksiomet

Et indreprodukt er symmetrisk: ⟨u,v⟩=⟨v,u⟩\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle=\langle\mathbf v,\mathbf u\rangle. Rekkefølgen på argumentene spiller ingen rolle. Kombinert med linearitet i første argument gir dette at indreproduktet også er lineært i det andre argumentet (bilineært).

Linearitet (bilinearitet)

Indreproduktet er lineært i hvert argument: ⟨cu+w,v⟩=c⟨u,v⟩+⟨w,v⟩\langle c\mathbf u+\mathbf w,\mathbf v\rangle=c\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle+\langle\mathbf w,\mathbf v\rangle, og tilsvarende i det andre (via symmetri). Dette er grunnen til at du kan «gange ut» uttrykk som ⟨u+v,u+v⟩=∥u∥2+2⟨u,v⟩+∥v∥2\langle\mathbf u+\mathbf v,\mathbf u+\mathbf v\rangle=\|\mathbf u\|^2+2\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle+\|\mathbf v\|^2.

Positiv definitthet
⟨v,v⟩≥0\langle\mathbf v,\mathbf v\rangle\ge0 for alle v\mathbf v, med likhet bare når v=0\mathbf v=\mathbf 0. Dette aksiomet er det som gir normen mening: ∥v∥=⟨v,v⟩\|\mathbf v\|=\sqrt{\langle\mathbf v,\mathbf v\rangle} er alltid et reelt, ikke-negativt tall, og null bare for nullvektoren.
Norm i annen

Sammenhengen ∥v∥2=⟨v,v⟩\|\mathbf v\|^2=\langle\mathbf v,\mathbf v\rangle brukes hele tiden for å bli kvitt kvadratrøtter i regning. F.eks. ∥u−v∥2=∥u∥2−2⟨u,v⟩+∥v∥2\|\mathbf u-\mathbf v\|^2=\|\mathbf u\|^2-2\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle+\|\mathbf v\|^2.

Norm av skalarmultiplum

For en skalar cc gjelder ∥cv∥=∣c∣ ∥v∥\|c\mathbf v\|=|c|\,\|\mathbf v\|. Tallverdien ∣c∣|c| (ikke cc selv) fordi lengde alltid er ikke-negativ. Dette er nøkkelen i normalisering: ∥1∥v∥v∥=1∥v∥∥v∥=1\left\|\tfrac{1}{\|\mathbf v\|}\mathbf v\right\|=\tfrac{1}{\|\mathbf v\|}\|\mathbf v\|=1.

Prikkprodukt som matriseprodukt

I Rn\mathbb R^n er u⋅v=uTv\mathbf u\cdot\mathbf v=\mathbf u^{T}\mathbf v (rad ganger kolonne). Denne skrivemåten er nyttig i bevis: f.eks. blir ⟨Ax,y⟩=(Ax)Ty=xTATy=⟨x,ATy⟩\langle A\mathbf x,\mathbf y\rangle=(A\mathbf x)^{T}\mathbf y=\mathbf x^{T}A^{T}\mathbf y=\langle\mathbf x,A^{T}\mathbf y\rangle — grunnlaget for ATAA^{T}A-triks senere.

Standard prikkprodukt = ett indreprodukt

Det vanlige prikkproduktet ∑uivi\sum u_iv_i er ett eksempel på et indreprodukt — det du får med alle vekter lik 11. Vektede og integral-indreprodukt er like gyldige. Konklusjon: bruk alltid indreproduktet oppgaven oppgir, aldri en «standardrefleks».

Nullvektoren er ortogonal på alt
⟨0,v⟩=0\langle\mathbf 0,\mathbf v\rangle=0 for enhver v\mathbf v, så nullvektoren står vinkelrett på alle vektorer. Den er også den eneste vektoren som er ortogonal på seg selv (⟨v,v⟩=0⇒v=0\langle\mathbf v,\mathbf v\rangle=0\Rightarrow\mathbf v=\mathbf 0).
Avstand: egenskaper

Avstanden dist⁡(u,v)=∥u−v∥\operatorname{dist}(\mathbf u,\mathbf v)=\|\mathbf u-\mathbf v\| er (i) ikke-negativ og null bare når u=v\mathbf u=\mathbf v, (ii) symmetrisk, og (iii) oppfyller trekantulikheten dist⁡(u,w)≤dist⁡(u,v)+dist⁡(v,w)\operatorname{dist}(\mathbf u,\mathbf w)\le\operatorname{dist}(\mathbf u,\mathbf v)+\operatorname{dist}(\mathbf v,\mathbf w). Den oppfører seg som «vanlig avstand».

Parallellogramloven

For alle u,v\mathbf u,\mathbf v i et indreproduktrom: ∥u+v∥2+∥u−v∥2=2∥u∥2+2∥v∥2\|\mathbf u+\mathbf v\|^2+\|\mathbf u-\mathbf v\|^2=2\|\mathbf u\|^2+2\|\mathbf v\|^2. Den følger ved å gange ut begge normkvadratene og se at kryssleddene ±2⟨u,v⟩\pm2\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle kansellerer.

Cosinus måler retningslikhet
cos⁡θ=⟨u,v⟩∥u∥∥v∥\cos\theta=\dfrac{\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle}{\|\mathbf u\|\|\mathbf v\|} er +1+1 ved samme retning, 00 ved ortogonalitet og −1-1 ved motsatt retning. Fortegnet til indreproduktet forteller altså om vektorene peker «samme vei» (>0>0) eller «motsatt vei» (<0<0).
Skalarprojeksjon (bro til 6.3)

Komponenten av u\mathbf u langs en retning v≠0\mathbf v\ne\mathbf 0 er ⟨u,v⟩∥v∥\dfrac{\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle}{\|\mathbf v\|} (skalar), og selve projeksjonsvektoren er ⟨u,v⟩⟨v,v⟩v\dfrac{\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle}{\langle\mathbf v,\mathbf v\rangle}\mathbf v. Dette er byggeklossen i Gram–Schmidt (kap. 6.2) og ortogonal projeksjon (kap. 6.3).

Ortonormal (forsmak på 6.2)

En mengde vektorer er ortonormal hvis de er parvis ortogonale og hver har norm 11: ⟨ui,uj⟩=δij\langle\mathbf u_i,\mathbf u_j\rangle=\delta_{ij} (Kronecker-delta: 11 hvis i=ji=j, ellers 00). Ortonormale basiser gjør koordinatregning svært enkel — mer i kap. 6.2.

Kryssprodukt gir ortogonal vektor (ℝ³)

I R3\mathbb R^3 er kryssproduktet a×b\mathbf a\times\mathbf b automatisk ortogonalt på både a\mathbf a og b\mathbf b. Det er en rask måte å finne en vektor vinkelrett på to gitte vektorer på — nyttig når en oppgave ber om «en vektor ortogonal på begge». (Kjennskap fra R2.)

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 3 oppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.