Tilbake
6.2
Alle fag for Høyskole

6.2 Ortogonale mengder og Gram–Schmidt

Gram–Schmidt-prosessen som gjør en hvilken som helst basis om til en ortogonal (eller ortonormal) basis, med heltalls-oppskalering underveis slik fasiten gjør — den 80 %-sikre sjangeren.

55 min
9 oppgaver
Ortogonale mengderGram–Schmidt
Din fremgang i kapitlet
0 / 9 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper: Dette kapitlet bygger på indreprodukt, norm og ortogonalitet fra kap. 6.1 — særlig projeksjonsvektoren ⟨a,v⟩⟨v,v⟩v\displaystyle \frac{\langle\mathbf a,\mathbf v\rangle}{\langle\mathbf v,\mathbf v\rangle}\mathbf v og normalisering. Vi ortogonaliserer ofte kolonnene i en matrise, så en basis for Col⁡A\operatorname{Col}A fra kap. 3.3 er nyttig bakgrunn. Kan du regne indreprodukt og trekke fra en projeksjon, er du klar.

Hvorfor gjøre en basis ortogonal?

En hvilken som helst basis beskriver rommet, men er den ortogonal, blir alt enklere: koordinater regnes med én formel (ingen ligningssystem), projeksjon blir et lite regnestykke (kap. 6.3), og lengder oppfører seg pytagoreisk. Gram–Schmidt-prosessen tar en vilkårlig basis og bygger en ortogonal basis for samme rom, trinn for trinn.

Vi bygger i fem løkker: (1) ortogonale og ortonormale mengder, (2) koordinater relativt en ortogonal basis, (3) selve Gram–Schmidt-prosessen, (4) normalisering til ortonormal basis, (5) Gram–Schmidt i et ikke-standard (integral-)indreprodukt.

Løkke 1 — Ortogonale og ortonormale mengder (~10 min)

Ortogonal mengde
En mengde vektorer {v1,…,vk}\{\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_k\} (alle ≠0\ne\mathbf 0) er ortogonal dersom de er parvis ortogonale:
⟨vi,vj⟩=0for alle i≠j.\langle\mathbf v_i,\mathbf v_j\rangle=0\quad\text{for alle }i\ne j.
Hver vektor står vinkelrett på alle de andre. Dette er en sterkere og mer nyttig egenskap enn bare lineær uavhengighet.
Ortonormal mengde
En mengde er ortonormal hvis den er ortogonal og hver vektor har norm 11:
⟨ui,uj⟩=δij={1,i=j0,i≠j.\langle\mathbf u_i,\mathbf u_j\rangle=\delta_{ij}=\begin{cases}1,&i=j\\0,&i\ne j.\end{cases}
Symbolet δij\delta_{ij} er Kronecker-delta. En ortonormal mengde er en ortogonal mengde der hver vektor i tillegg er normalisert til lengde 11.
Ortogonal / ortonormal basis

En ortogonal basis for et underrom WW er en basis for WW som samtidig er en ortogonal mengde; er vektorene i tillegg enhetsvektorer, er det en ortonormal basis. Slike basiser er «drømmebasiser»: koordinater og projeksjoner regnes med ferdige formler i stedet for ligningssystem.

📜Ortogonal ⇒ lineært uavhengig

En ortogonal mengde av vektorer ≠0\ne\mathbf 0 er alltid lineært uavhengig.

Hvorfor: anta c1v1+⋯+ckvk=0c_1\mathbf v_1+\dots+c_k\mathbf v_k=\mathbf 0. Ta indreprodukt med vi\mathbf v_i på begge sider. Alle ledd ⟨vj,vi⟩\langle\mathbf v_j,\mathbf v_i\rangle med j≠ij\ne i er null, så bare ci⟨vi,vi⟩=0c_i\langle\mathbf v_i,\mathbf v_i\rangle=0 står igjen. Siden vi≠0\mathbf v_i\ne\mathbf 0 er ⟨vi,vi⟩>0\langle\mathbf v_i,\mathbf v_i\rangle>0, altså ci=0c_i=0. Dette gjelder for hver ii, så alle koeffisienter er null. Derfor trenger du aldri sjekke uavhengighet separat for en ortogonal mengde.

✏️Eksempel 1: Er mengden ortogonal?

Er {(1,1,0),(1,−1,0),(0,0,1)}\{(1,1,0),(1,-1,0),(0,0,1)\} en ortogonal mengde i R3\mathbb R^3? Er den en basis?

Sjekk de tre parene:
⟨(1,1,0),(1,−1,0)⟩=1−1+0=0,⟨(1,1,0),(0,0,1)⟩=0,⟨(1,−1,0),(0,0,1)⟩=0.\langle(1,1,0),(1,-1,0)\rangle=1-1+0=0,\quad\langle(1,1,0),(0,0,1)\rangle=0,\quad\langle(1,-1,0),(0,0,1)\rangle=0.
Alle par er ortogonale, så mengden er ortogonal. Etter setningen over er den da lineært uavhengig; tre uavhengige vektorer i R3\mathbb R^3 er en basis (dimensjonsargumentet fra kap. 3.2). Altså en ortogonal basis for R3\mathbb R^3.
📝Oppgave 1

(Innøving.) Vis at (2,1)(2,1) og (−1,2)(-1,2) er ortogonale, og avgjør uten videre regning om de er lineært uavhengige.

Løkke 2 — Koordinater relativt en ortogonal basis (~10 min)

Koordinater relativt ortogonal basis (koordinatkoeffisienter)
Er {v1,…,vk}\{\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_k\} en ortogonal basis for WW, kan enhver y∈W\mathbf y\in W skrives
y=c1v1+⋯+ckvk,ci=⟨y,vi⟩⟨vi,vi⟩.\mathbf y=c_1\mathbf v_1+\dots+c_k\mathbf v_k,\qquad c_i=\frac{\langle\mathbf y,\mathbf v_i\rangle}{\langle\mathbf v_i,\mathbf v_i\rangle}.
Koeffisientene cic_i kalles koordinatkoeffisienter. Poenget: hver koordinat regnes for seg med ett indreprodukt — du slipper å løse et ligningssystem. (For en ortonormal basis forenkles det til ci=⟨y,ui⟩c_i=\langle\mathbf y,\mathbf u_i\rangle.)
✏️Eksempel 2: Koordinater med ferdig formel

Skriv y=(1,2,3)\mathbf y=(1,2,3) i den ortogonale basisen {(1,1,0),(1,−1,0),(0,0,1)}\{(1,1,0),(1,-1,0),(0,0,1)\}.

Bruk ci=⟨y,vi⟩⟨vi,vi⟩\displaystyle c_i=\frac{\langle\mathbf y,\mathbf v_i\rangle}{\langle\mathbf v_i,\mathbf v_i\rangle} for hver:
c1=(1)(1)+(2)(1)+01+1+0=32,c2=1−2+02=−12,c3=31=3.c_1=\frac{(1)(1)+(2)(1)+0}{1+1+0}=\frac{3}{2},\quad c_2=\frac{1-2+0}{2}=-\frac12,\quad c_3=\frac{3}{1}=3.
Altså y=32(1,1,0)−12(1,−1,0)+3(0,0,1)\mathbf y=\tfrac32(1,1,0)-\tfrac12(1,-1,0)+3(0,0,1). Kontroll: (32−12, 32+12, 3)=(1,2,3)\left(\tfrac32-\tfrac12,\ \tfrac32+\tfrac12,\ 3\right)=(1,2,3) ✓. Ingen ligningssystem — bare tre små brøker.
📝Oppgave 2
Sjanger H

Skriv y=(4,0,2)\mathbf y=(4,0,2) i den ortogonale basisen {(1,1,0),(1,−1,0),(0,0,1)}\{(1,1,0),(1,-1,0),(0,0,1)\}.

Løkke 3 — Gram–Schmidt-prosessen (~14 min)

Gram–Schmidt-prosessen
Gitt en basis {a1,…,ak}\{\mathbf a_1,\dots,\mathbf a_k\} lager Gram–Schmidt en ortogonal basis {v1,…,vk}\{\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_k\} for samme rom, trinn for trinn:
v1=a1,\mathbf v_1=\mathbf a_1,
vk=ak−∑i=1k−1⟨ak,vi⟩⟨vi,vi⟩ vi.\mathbf v_k=\mathbf a_k-\sum_{i=1}^{k-1}\frac{\langle\mathbf a_k,\mathbf v_i\rangle}{\langle\mathbf v_i,\mathbf v_i\rangle}\,\mathbf v_i.
Intuisjon: for hver ny vektor trekker du fra dens projeksjon på alt du allerede har ortogonalisert; det som blir igjen står vinkelrett på de foregående. Formelen må kunnes utenat (kode E).
Heltalls-oppskalering (regneteknikk)

Enhver vektor vi\mathbf v_i kan skaleres med et positivt tall uten å ødelegge ortogonaliteten — retningen er det eneste som teller. Underveis i Gram–Schmidt lønner det seg å gange bort brøker: får du v2=(12,−12,1)\mathbf v_2=(\tfrac12,-\tfrac12,1), bruk i stedet (1,−1,2)(1,-1,2). Det holder regnestykkene rene (viktig under kode E) og gir samme ortogonale basis. Sensor godtar enhver ortogonal basis for rommet.

✏️Eksempel 3 (eksamensnivå): Gram–Schmidt i $\mathbb R^3$

Finn en ortogonal basis for Span⁡{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}\operatorname{Span}\{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)\} ved Gram–Schmidt.

Kall vektorene a1,a2,a3\mathbf a_1,\mathbf a_2,\mathbf a_3.

Steg 1: v1=a1=(1,1,0)\mathbf v_1=\mathbf a_1=(1,1,0), med ⟨v1,v1⟩=2\langle\mathbf v_1,\mathbf v_1\rangle=2.

Steg 2: ⟨a2,v1⟩=(1)(1)+(0)(1)+0=1\langle\mathbf a_2,\mathbf v_1\rangle=(1)(1)+(0)(1)+0=1, så
v2=(1,0,1)−12(1,1,0)=(12,−12,1).\mathbf v_2=(1,0,1)-\tfrac12(1,1,0)=\left(\tfrac12,-\tfrac12,1\right).
Heltalls-oppskaler: bruk v2=(1,−1,2)\mathbf v_2=(1,-1,2), med ⟨v2,v2⟩=6\langle\mathbf v_2,\mathbf v_2\rangle=6.

Steg 3: ⟨a3,v1⟩=0+1+0=1\langle\mathbf a_3,\mathbf v_1\rangle=0+1+0=1 og ⟨a3,v2⟩=0−1+2=1\langle\mathbf a_3,\mathbf v_2\rangle=0-1+2=1, så
v3=(0,1,1)−12(1,1,0)−16(1,−1,2)=(−23,23,23).\mathbf v_3=(0,1,1)-\tfrac12(1,1,0)-\tfrac16(1,-1,2)=\left(-\tfrac23,\tfrac23,\tfrac23\right).
Oppskaler: v3=(−1,1,1)\mathbf v_3=(-1,1,1).

Kontroll: ⟨v1,v2⟩=0\langle\mathbf v_1,\mathbf v_2\rangle=0, ⟨v1,v3⟩=0\langle\mathbf v_1,\mathbf v_3\rangle=0, ⟨v2,v3⟩=−1−1+2=0\langle\mathbf v_2,\mathbf v_3\rangle=-1-1+2=0 ✓. Ortogonal basis: {(1,1,0),(1,−1,2),(−1,1,1)}\{(1,1,0),(1,-1,2),(-1,1,1)\}.

📝Oppgave 3
Sjanger H

Gram–Schmidt på {(1,1,1),(1,2,0)}\{(1,1,1),(1,2,0)\}.

📝Oppgave 4

(Eksamensklone, sjanger H.) Finn en ortogonal basis for Span⁡{(1,−1,0),(2,0,1),(0,0,3)}\operatorname{Span}\{(1,-1,0),(2,0,1),(0,0,3)\} ved Gram–Schmidt.

Løkke 4 — Normalisering til ortonormal basis (~9 min)

Normalisering til ortonormal basis
Har du en ortogonal basis {v1,…,vk}\{\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_k\}, får du en ortonormal basis ved å dele hver vektor på sin egen norm:
ui=1∥vi∥ vi.\mathbf u_i=\frac{1}{\|\mathbf v_i\|}\,\mathbf v_i.
Dette endrer ikke ortogonaliteten (retningene er de samme), men gir hver vektor lengde 11. Gjør dette til slutt — ikke underveis i Gram–Schmidt, der brøkene bare gjør regningen tyngre.
✏️Eksempel 4: Fra ortogonal til ortonormal

Normaliser den ortogonale basisen {(1,1,0),(1,−1,2),(−1,1,1)}\{(1,1,0),(1,-1,2),(-1,1,1)\} fra eksempel 3.

Normene: ∥(1,1,0)∥=2\|(1,1,0)\|=\sqrt2, ∥(1,−1,2)∥=1+1+4=6\|(1,-1,2)\|=\sqrt{1+1+4}=\sqrt6, ∥(−1,1,1)∥=3\|(-1,1,1)\|=\sqrt3. Del hver vektor på sin norm:
u1=12(1,1,0),u2=16(1,−1,2),u3=13(−1,1,1).\mathbf u_1=\tfrac{1}{\sqrt2}(1,1,0),\quad \mathbf u_2=\tfrac{1}{\sqrt6}(1,-1,2),\quad \mathbf u_3=\tfrac{1}{\sqrt3}(-1,1,1).
Dette er en ortonormal basis: parvis ortogonal (uendret) og hver med norm 11.
📝Oppgave 5

(Innøving.) Normaliser (2,−1,2)(2,-1,2).

Løkke 5 — Gram–Schmidt i et ikke-standard indreprodukt (~12 min)

Gram–Schmidt bruker bare indreprodukt og subtraksjon, så prosessen fungerer i ethvert indreproduktrom. På polynomrom med integral-indreproduktet gir den de berømte Legendre-polynomene. Nøkkelen er å regne alle indreprodukt som integraler — aldri som komponentregning.

✏️Eksempel 5 (eksamensnivå): Gram–Schmidt på $\{1,t,t^2\}$

Ortogonaliser {1,t,t2}\{1,t,t^2\} i P⁡2\operatorname{P}_2 med indreproduktet ⟨p,q⟩=∫−11p(t)q(t) dt\langle p,q\rangle=\int_{-1}^{1}p(t)q(t)\,dt.

Fra kap. 6.1 har vi ⟨1,1⟩=2\langle 1,1\rangle=2, ⟨1,t⟩=0\langle 1,t\rangle=0, ⟨t,t⟩=23\langle t,t\rangle=\tfrac23, ⟨1,t2⟩=23\langle 1,t^2\rangle=\tfrac23, og ⟨t,t2⟩=∫−11t3 dt=0\langle t,t^2\rangle=\int_{-1}^{1}t^3\,dt=0 (odde funksjon).

Steg 1: v1=1v_1=1.

Steg 2: v2=t−⟨t,1⟩⟨1,1⟩⋅1=t−02=tv_2=t-\dfrac{\langle t,1\rangle}{\langle 1,1\rangle}\cdot1=t-\dfrac{0}{2}=t (allerede ortogonal på 11).

Steg 3: v3=t2−⟨t2,1⟩⟨1,1⟩⋅1−⟨t2,t⟩⟨t,t⟩⋅t=t2−2/32⋅1−0=t2−13.v_3=t^2-\dfrac{\langle t^2,1\rangle}{\langle 1,1\rangle}\cdot1-\dfrac{\langle t^2,t\rangle}{\langle t,t\rangle}\cdot t=t^2-\dfrac{2/3}{2}\cdot1-0=t^2-\tfrac13.

Kontroll: ⟨t2−13,1⟩=23−13⋅2=0\langle t^2-\tfrac13,1\rangle=\tfrac23-\tfrac13\cdot2=0 og ⟨t2−13,t⟩=0\langle t^2-\tfrac13,t\rangle=0 (odde) ✓. Ortogonal basis: {1, t, t2−13}\{1,\ t,\ t^2-\tfrac13\} — de tre første Legendre-polynomene.

📝Oppgave 6

(Eksamensklone, sjanger H — integral-indreprodukt.) I P⁡1\operatorname{P}_1 med ⟨p,q⟩=∫01p(t)q(t) dt\langle p,q\rangle=\int_{0}^{1}p(t)q(t)\,dt: ortogonaliser {1,t}\{1,t\} ved Gram–Schmidt.

Begrepsbank til eksamen

Kjernebegrepene fra kapitlet samlet i kortform for pugging (kode E — intet formelark).

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — det gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Kronecker-delta og ortonormalitet
δij=1\delta_{ij}=1 hvis i=ji=j og 00 ellers. En mengde er ortonormal nøyaktig når ⟨ui,uj⟩=δij\langle\mathbf u_i,\mathbf u_j\rangle=\delta_{ij} — én kompakt måte å si «parvis ortogonale og alle med norm 11».
Første Gram–Schmidt-steg

Gram–Schmidt starter alltid med v1=a1\mathbf v_1=\mathbf a_1 — den første vektoren beholdes uendret. Alt annet ortogonaliseres mot den (og de påfølgende).

Det generelle Gram–Schmidt-steget
vk=ak−∑i<k⟨ak,vi⟩⟨vi,vi⟩vi\displaystyle \mathbf v_k=\mathbf a_k-\sum_{i<k}\frac{\langle\mathbf a_k,\mathbf v_i\rangle}{\langle\mathbf v_i,\mathbf v_i\rangle}\mathbf v_i: trekk fra ak\mathbf a_k dens projeksjon på hver av de allerede ortogonaliserte vektorene. Resten står vinkelrett på alle de foregående.
Projeksjonsleddet

Leddet ⟨ak,vi⟩⟨vi,vi⟩vi\displaystyle \frac{\langle\mathbf a_k,\mathbf v_i\rangle}{\langle\mathbf v_i,\mathbf v_i\rangle}\mathbf v_i er projeksjonen av ak\mathbf a_k på retningen vi\mathbf v_i (samme byggekloss som i kap. 6.3). Nevneren ⟨vi,vi⟩\langle\mathbf v_i,\mathbf v_i\rangle må aldri glemmes.

Gram–Schmidt bevarer spennet

For hver mm gjelder Span⁡{v1,…,vm}=Span⁡{a1,…,am}\operatorname{Span}\{\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_m\}=\operatorname{Span}\{\mathbf a_1,\dots,\mathbf a_m\}. Den ortogonale basisen utspenner nøyaktig samme rom som du startet med — bare med vinkelrette retninger.

Rekkefølgen betyr noe

Bytter du om på rekkefølgen av startvektorene, gir Gram–Schmidt en annen ortogonal basis for samme rom. Alle er like gyldige, men hold rekkefølgen fast gjennom ett regnestykke så du ikke blander steg.

Antallet vektorer bevares

Gram–Schmidt gir like mange ortogonale vektorer som du startet med (forutsatt at startmengden var uavhengig). Er startvektorene avhengige, gir ett steg vk=0\mathbf v_k=\mathbf 0 — da kaster du den og går videre.

Heltalls-oppskalering er lov

Å gange en vi\mathbf v_i med et positivt tall endrer ikke ortogonaliteten eller spennet. Bruk det til å fjerne brøker underveis — men husk å bruke den oppskalerte vektoren (og dens nye ⟨vi,vi⟩\langle\mathbf v_i,\mathbf v_i\rangle) i resten av regningen.

Normaliseringsformelen
ui=1∥vi∥vi\displaystyle \mathbf u_i=\frac{1}{\|\mathbf v_i\|}\mathbf v_i gjør en ortogonal basis ortonormal. Gjør det til slutt. Normen regnes i indreproduktet som er i bruk (komponentvis for standard, integral for integral-indreprodukt).
Ortonormal basis: koordinater = indreprodukt

For en ortonormal basis {u1,…,uk}\{\mathbf u_1,\dots,\mathbf u_k\} forenkles koordinatformelen til ci=⟨y,ui⟩c_i=\langle\mathbf y,\mathbf u_i\rangle (nevneren er 11). Koordinatene er da bare indreproduktene — den enkleste tenkelige koordinatregningen.

koordinatkoeffisient

Koeffisienten ci=⟨y,vi⟩⟨vi,vi⟩\displaystyle c_i=\frac{\langle\mathbf y,\mathbf v_i\rangle}{\langle\mathbf v_i,\mathbf v_i\rangle} i en ortogonal basis. Den gir også projeksjonen av y\mathbf y på retningen vi\mathbf v_i, og er dermed hjørnesteinen i ortogonal projeksjon (kap. 6.3).

Ortogonal matrise

En kvadratisk matrise QQ er ortogonal hvis kolonnene er en ortonormal mengde, ekvivalent QTQ=IQ^{T}Q=I, altså Q−1=QTQ^{-1}=Q^{T}. Slike matriser dukker opp i ortogonal diagonalisering A=PDPTA=PDP^{T} av symmetriske matriser.

Ortogonale matriser bevarer lengde

En ortogonal matrise QQ bevarer normer og indreprodukt: ∥Qx∥=∥x∥\|Q\mathbf x\|=\|\mathbf x\| og ⟨Qx,Qy⟩=⟨x,y⟩\langle Q\mathbf x,Q\mathbf y\rangle=\langle\mathbf x,\mathbf y\rangle. Geometrisk er QQ en rotasjon eller speiling — den flytter uten å strekke.

Legendre-polynomene

Gram–Schmidt på {1,t,t2,… }\{1,t,t^2,\dots\} med ⟨p,q⟩=∫−11pq dt\langle p,q\rangle=\int_{-1}^{1}pq\,dt gir Legendre-polynomene: 1, t, t2−13,…1,\ t,\ t^2-\tfrac13,\dots En ortogonal basis av polynomer — et standard eksempel på ikke-standard indreprodukt (kjennskap).

Gram–Schmidt i ikke-standard indreprodukt

Prosessen er identisk i et vektet eller integral-indreprodukt; bare regnemåten for ⟨⋅,⋅⟩\langle\cdot,\cdot\rangle endres. Feilen å unngå er å falle tilbake på komponentregning når indreproduktet er et integral.

Hvorfor ortogonal basis?

Med en ortogonal basis regnes koordinater (ci=⟨y,vi⟩⟨vi,vi⟩\displaystyle c_i=\frac{\langle\mathbf y,\mathbf v_i\rangle}{\langle\mathbf v_i,\mathbf v_i\rangle}) og projeksjoner (∑civi\sum c_i\mathbf v_i) uten ligningssystem, og Pytagoras gjelder ledd for ledd. Det er hele grunnen til å ortogonalisere.

Ortogonal basis for et underrom (Col A)

Ofte skal du ortogonalisere en basis for et underrom, f.eks. kolonnerommet Col⁡A\operatorname{Col}A (kap. 3.3). Gram–Schmidt på en basis for WW gir en ortogonal basis for nettopp WW — grunnlaget for projeksjon på WW i kap. 6.3.

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 3 oppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.