3.3
Alle fag for Høyskole

3.3 Kolonnerom, nullrom, rang og dimensjonsteoremet

De fundamentale underrommene fra radreduksjon: basis for Col A (opprinnelige pivotkolonner i A), basis for Nul A (spesielle løsninger), rang, og dimensjonsteoremet rang A + dim Nul A = n — den mest gjentatte lineær-algebra-deloppgaven (89 %).

60 min
9 oppgaver
Kolonneromnullromrangdimensjonsteoremet
Din fremgang i kapitlet
0 / 9 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper:

- Kap. 1.1 — radreduksjon til (redusert) trappeform.
- Kap. 1.2 — homogene system på parameterform (retningsvektorene blir nullromsbasis).
- Kap. 3.2 — lineær uavhengighet og basis.

Kan du radredusere, skrive nullromsløsningen med retningsvektorer og avgjøre uavhengighet, har du alt du trenger.

To rom knyttet til én matrise

Enhver matrise AA bærer med seg to fundamentale underrom: kolonnerommet Col⁡A\operatorname{Col}A (alt AA kan «treffe», altså alle mulige AxA\mathbf x) og nullrommet Nul⁡A\operatorname{Nul}A (alt AA «dreper», altså alle x\mathbf x med Ax=0A\mathbf x=\mathbf 0). Det fine er at én radreduksjon gir deg basis for begge, pluss rangen — og et regnskap som alltid går opp: dimensjonsteoremet.

Kapitlet har to løkker: (1) kolonnerommet og rangen, (2) nullrommet og dimensjonsteoremet. Nøkkelmatrisen vi bruker gjennomgående er A=[12−1324−1836−211]A=\begin{bmatrix}1&2&-1&3\\2&4&-1&8\\3&6&-2&11\end{bmatrix}.

Kolonnerom og rang (~25 min)

Kolonnerommet Col⁡A\operatorname{Col}A
Kolonnerommet til en m×nm\times n-matrise AA er spennet av kolonnene:
Col⁡A=Span⁡{a1,…,an}⊆Rm.\operatorname{Col}A=\operatorname{Span}\{\mathbf a_1,\dots,\mathbf a_n\}\subseteq\mathbb R^m.
Det er et underrom av Rm\mathbb R^m, og det består nøyaktig av alle vektorer på formen AxA\mathbf x (alle mulige lineærkombinasjoner av kolonnene). Derfor er systemet Ax=bA\mathbf x=\mathbf b løsbart hvis og bare hvis b∈Col⁡A\mathbf b\in\operatorname{Col}A.
Pivotkolonne

En pivotkolonne i AA er en kolonne som får en pivot (ledende ener) etter radreduksjon til trappeform. Pivotkolonnene svarer til de bundne variablene; de øvrige kolonnene (uten pivot) svarer til de frie variablene. Antallet pivotkolonner er rangen.

Basis for Col⁡A\operatorname{Col}A — de OPPRINNELIGE pivotkolonnene

En basis for Col⁡A\operatorname{Col}A er pivotkolonnene, hentet fra den opprinnelige matrisen AA — ikke fra RREF. Radreduksjon avslører hvilke kolonner som er pivotkolonner, men endrer kolonnerommet, så du må gå tilbake til AA og plukke de kolonnene. Dette er den mest testede detaljen i hele kapitlet: RREF-kolonnene er feil svar.

Rang rang⁡A\operatorname{rang}A
Rangen er antallet pivoter i trappeformen — ekvivalent antallet pivotkolonner, og dim⁡Col⁡A\dim\operatorname{Col}A. Rangen måler hvor mange lineært uavhengige kolonner (og rader) AA har. Alltid rang⁡A≤min⁡(m,n)\operatorname{rang}A\le\min(m,n).
✏️Eksempel 1: Basis for Col⁡A\operatorname{Col}A og rangen

Finn en basis for Col⁡A\operatorname{Col}A og oppgi rang⁡A\operatorname{rang}A for A=[12−1324−1836−211]A=\begin{bmatrix}1&2&-1&3\\2&4&-1&8\\3&6&-2&11\end{bmatrix}.

Radreduser. R2→R2−2R1R_2\to R_2-2R_1 gir (0,0,1,2)(0,0,1,2); R3→R3−3R1R_3\to R_3-3R_1 gir (0,0,1,2)(0,0,1,2); R3→R3−R2R_3\to R_3-R_2 gir en nullrad. Trappeform:
[12−1300120000] → R1→R1+R2  [120500120000] (RREF).\begin{bmatrix}1&2&-1&3\\0&0&1&2\\0&0&0&0\end{bmatrix}\ \xrightarrow{\ R_1\to R_1+R_2\ }\ \begin{bmatrix}1&2&0&5\\0&0&1&2\\0&0&0&0\end{bmatrix}\ (\text{RREF}).
Pivotkolonner: kolonne 11 og 33. Dermed rang⁡A=2\operatorname{rang}A=2.

Basis for Col⁡A\operatorname{Col}A = de opprinnelige kolonnene 11 og 33 i AA:
{[123], [−1−1−2]}.\left\{\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix},\ \begin{bmatrix}-1\\-1\\-2\end{bmatrix}\right\}.
Merk: vi bruker AA-kolonnene, ikke (1,0,0)(1,0,0) og (0,1,0)(0,1,0) fra RREF. Col⁡A\operatorname{Col}A er et 22-dimensjonalt underrom av R3\mathbb R^3 (et plan gjennom origo).

📝Oppgave 1

(Ren gjengivelse.) En 3×43\times4-matrise radreduseres til en trappeform med pivoter i kolonne 11 og 22. Hva er rang⁡A\operatorname{rang}A, og hvor mange vektorer har en basis for Col⁡A\operatorname{Col}A?

📝Oppgave 2
Sjanger E

Finn en basis for Col⁡B\operatorname{Col}B og rang⁡B\operatorname{rang}B for B=[102101101132]B=\begin{bmatrix}1&0&2&1\\0&1&1&0\\1&1&3&2\end{bmatrix}.

Nullrom og dimensjonsteoremet (~25 min)

Nullrommet Nul⁡A\operatorname{Nul}A
Nullrommet til AA er løsningsmengden til det homogene systemet:
Nul⁡A={x∈Rn:Ax=0}⊆Rn.\operatorname{Nul}A=\{\mathbf x\in\mathbb R^n:A\mathbf x=\mathbf 0\}\subseteq\mathbb R^n.
Det er et underrom av Rn\mathbb R^n (inneholder 0\mathbf 0, lukket under ++ og skalar). Mens Col⁡A\operatorname{Col}A lever i Rm\mathbb R^m, lever Nul⁡A\operatorname{Nul}A i Rn\mathbb R^n — ikke bland de to.
Fri variabel og spesiell løsning

En fri variabel svarer til en kolonne uten pivot. For hver fri variabel får du én spesiell løsning: sett den frie variabelen til 11 og de andre frie til 00, og les de bundne variablene av RREF. De spesielle løsningene er byggeklossene i nullrommet.

Basis for Nul⁡A\operatorname{Nul}A — de spesielle løsningene

En basis for Nul⁡A\operatorname{Nul}A er mengden av spesielle løsninger — én per fri variabel. Disse er automatisk lineært uavhengige (hver har en 11-ener i sin egen frie posisjon der de andre har 00). Antallet er derfor lik antall frie variabler.

Nullitet dim⁡Nul⁡A\dim\operatorname{Nul}A
Nulliteten er dimensjonen til nullrommet — altså antallet frie variabler = antall kolonner uten pivot. Skrives dim⁡Nul⁡A\dim\operatorname{Nul}A. Sammen med rangen fyller den opp alle kolonnene, jf. dimensjonsteoremet.
Dimensjonsteoremet (rang–nullitet)
For en m×nm\times n-matrise AA:
rang⁡A+dim⁡Nul⁡A=n  (antall kolonner).\operatorname{rang}A+\dim\operatorname{Nul}A=n\ \ (\text{antall kolonner}).
Hver kolonne er enten en pivotkolonne (teller mot rangen) eller uten pivot (teller mot nulliteten). Bruk teoremet som kontroll: har du regnet ut rang og nullitet hver for seg, må summen bli nn — ellers har du gjort en feil. Navngi det i besvarelsen.
✏️Eksempel 2: Basis for Nul⁡A\operatorname{Nul}A og dimensjonsteoremet

For samme A=[12−1324−1836−211]A=\begin{bmatrix}1&2&-1&3\\2&4&-1&8\\3&6&-2&11\end{bmatrix} (RREF [120500120000]\begin{bmatrix}1&2&0&5\\0&0&1&2\\0&0&0&0\end{bmatrix}): finn en basis for Nul⁡A\operatorname{Nul}A, oppgi nulliteten og kontroller dimensjonsteoremet.

Fra RREF er kolonne 11 og 33 pivotkolonner, så x2x_2 og x4x_4 er frie. Radene gir:
x1=−2x2−5x4,x3=−2x4.x_1=-2x_2-5x_4,\qquad x_3=-2x_4.
Spesiell løsning 1 (x2=1,x4=0x_2=1,x_4=0): (x1,x2,x3,x4)=(−2,1,0,0)(x_1,x_2,x_3,x_4)=(-2,1,0,0).
Spesiell løsning 2 (x2=0,x4=1x_2=0,x_4=1): (x1,x2,x3,x4)=(−5,0,−2,1)(x_1,x_2,x_3,x_4)=(-5,0,-2,1).

Basis for Nul⁡A\operatorname{Nul}A:
{(−2,1,0,0), (−5,0,−2,1)},dim⁡Nul⁡A=2.\left\{(-2,1,0,0),\ (-5,0,-2,1)\right\},\qquad \dim\operatorname{Nul}A=2.

Kontroll (dimensjonsteoremet): rang⁡A+dim⁡Nul⁡A=2+2=4=n\operatorname{rang}A+\dim\operatorname{Nul}A=2+2=4=n ✓. Regnskapet går opp.

📝Oppgave 3

(Innøving — spesielle løsninger.) En matrise har RREF [130001000]\begin{bmatrix}1&3&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}. Finn en basis for nullrommet.

📝Oppgave 4
Sjanger E

For F=[102101101132]F=\begin{bmatrix}1&0&2&1\\0&1&1&0\\1&1&3&2\end{bmatrix} (RREF [102001100001]\begin{bmatrix}1&0&2&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}): finn basis for Nul⁡F\operatorname{Nul}F, oppgi rang og nullitet, og kontroller dimensjonsteoremet.

Radrommet Row⁡A\operatorname{Row}A
Radrommet er spennet av radene i AA, et underrom av Rn\mathbb R^n. En basis for Row⁡A\operatorname{Row}A er de ikke-null-radene i RREF (her er RREF-radene lov — radoperasjoner bevarer radrommet). dim⁡Row⁡A=rang⁡A\dim\operatorname{Row}A=\operatorname{rang}A: radrang og kolonnerang er alltid like.
b∈Col⁡A\mathbf b\in\operatorname{Col}A og løsbarhet

Systemet Ax=bA\mathbf x=\mathbf b er konsistent hvis og bare hvis b\mathbf b ligger i Col⁡A\operatorname{Col}A — altså kan skrives som en lineærkombinasjon av kolonnene. Dette er koblingen til kap. 1.2: en høyreside utenfor kolonnerommet gir en motsigelsesrad.

📝Oppgave 5
Sjanger E

For A=[12−1324−1836−211]A=\begin{bmatrix}1&2&-1&3\\2&4&-1&8\\3&6&-2&11\end{bmatrix}: er b=(0,1,1)\mathbf b=(0,1,1) i Col⁡A\operatorname{Col}A? (Bruk at Col⁡A=Span⁡{(1,2,3),(−1,−1,−2)}\operatorname{Col}A=\operatorname{Span}\{(1,2,3),(-1,-1,-2)\}.)

📝Oppgave 6
Sjanger E på…

La C=[1−2112−43−11−22−2]C=\begin{bmatrix}1&-2&1&1\\2&-4&3&-1\\1&-2&2&-2\end{bmatrix}. Finn basis for Col⁡C\operatorname{Col}C og Nul⁡C\operatorname{Nul}C, oppgi rang⁡C\operatorname{rang}C, og kontroller dimensjonsteoremet.

Begrepsbank til eksamen

Kjernebegrepene om de fundamentale underrommene, samlet for pugging (kode E).

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — det gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Basis for Row⁡A\operatorname{Row}A (RREF-radene)

Til forskjell fra kolonnerommet: en basis for radrommet er de ikke-null-radene i RREF. Radoperasjoner bevarer radrommet, så RREF-radene er lov her. dim⁡Row⁡A=rang⁡A\dim\operatorname{Row}A=\operatorname{rang}A.

Radrang = kolonnerang

Antallet uavhengige rader er alltid lik antallet uavhengige kolonner — begge er rang⁡A\operatorname{rang}A. Derfor er dim⁡Row⁡A=dim⁡Col⁡A=rang⁡A\dim\operatorname{Row}A=\dim\operatorname{Col}A=\operatorname{rang}A, selv om de to rommene lever i ulike rom (Rn\mathbb R^n og Rm\mathbb R^m).

rang⁡A≤min⁡(m,n)\operatorname{rang}A\le\min(m,n)

Rangen kan ikke overstige verken antall rader eller antall kolonner: rang⁡A≤min⁡(m,n)\operatorname{rang}A\le\min(m,n). En 3×53\times5-matrise har rang høyst 33; en 4×24\times2-matrise rang høyst 22.

Full rang

En matrise har full kolonnerang hvis rang⁡A=n\operatorname{rang}A=n (uavhengige kolonner, Nul⁡A={0}\operatorname{Nul}A=\{\mathbf 0\}), og full radrang hvis rang⁡A=m\operatorname{rang}A=m (Col⁡A=Rm\operatorname{Col}A=\mathbb R^m, løsbar for alle b\mathbf b). En kvadratisk matrise med full rang er inverterbar.

Full kolonnerang ⇔ uavhengige kolonner
rang⁡A=n\operatorname{rang}A=n betyr pivot i hver kolonne, altså at kolonnene er lineært uavhengige og Nul⁡A={0}\operatorname{Nul}A=\{\mathbf 0\} (bare den trivielle løsningen). Da er Ax=bA\mathbf x=\mathbf b enten uløsbart eller entydig løsbart.
Full radrang ⇔ løsbar for alle b\mathbf b
rang⁡A=m\operatorname{rang}A=m betyr pivot i hver rad, altså Col⁡A=Rm\operatorname{Col}A=\mathbb R^m: systemet Ax=bA\mathbf x=\mathbf b er konsistent for enhver høyreside b\mathbf b. Ingen rad kan da bli en motsigelsesrad.
Nul⁡A\operatorname{Nul}A er et underrom av Rn\mathbb R^n

Nullrommet ligger i Rn\mathbb R^n (så mange komponenter som AA har kolonner): det inneholder 0\mathbf 0, og hvis Au=0A\mathbf u=\mathbf 0 og Av=0A\mathbf v=\mathbf 0, så A(cu+dv)=0A(c\mathbf u+d\mathbf v)=\mathbf 0. Dimensjonen er nulliteten.

Col⁡A\operatorname{Col}A er et underrom av Rm\mathbb R^m

Kolonnerommet ligger i Rm\mathbb R^m (så mange komponenter som AA har rader), fordi hver kolonne er en vektor i Rm\mathbb R^m. Det består av alle AxA\mathbf x og har dimensjon lik rangen.

Rang og inverterbarhet (bro)

For en kvadratisk n×nn\times n-matrise er rang⁡A=n\operatorname{rang}A=n ekvivalent med at AA er inverterbar, det⁡A≠0\det A\ne0 og Nul⁡A={0}\operatorname{Nul}A=\{\mathbf 0\} — alle ledd i inverterbarhetssetningen (kap. 2.2). Rangen er dermed et mål på «hvor langt fra inverterbar» en matrise er.

Spesiell løsning (oppskrift)

For hver fri variabel: sett den frie variabelen til 11, alle andre frie til 00, og les de bundne variablene av RREF. Vektoren du får er en spesiell løsning. Samlingen av dem er en basis for Nul⁡A\operatorname{Nul}A — og du kjenner den fra parameterformen i kap. 1.2 (retningsvektorene).

Dimensjonsteoremet som kontroll

Etter å ha regnet ut rang⁡A\operatorname{rang}A og dim⁡Nul⁡A\dim\operatorname{Nul}A hver for seg, sjekk at summen er nn. Stemmer det ikke, har du enten talt pivoter feil eller mistet en spesiell løsning. Denne kontrollen fanger opp de fleste regnefeil under tidspress.

Skillet Col⁡A\operatorname{Col}A vs. Nul⁡A\operatorname{Nul}A
Col⁡A\operatorname{Col}A: pivotkolonner fra originalen, lever i Rm\mathbb R^m, dimensjon = rang. Nul⁡A\operatorname{Nul}A: spesielle løsninger fra frie variabler, lever i Rn\mathbb R^n, dimensjon = nullitet. Ett handler om «hva AA treffer», det andre om «hva AA dreper».
Nul⁡A={0}\operatorname{Nul}A=\{\mathbf 0\} ⇔ uavhengige kolonner

Nullrommet er trivielt (Nul⁡A={0}\operatorname{Nul}A=\{\mathbf 0\}) nettopp når det ikke finnes frie variabler — altså pivot i hver kolonne, kolonnene uavhengige, rang⁡A=n\operatorname{rang}A=n. Da har Ax=bA\mathbf x=\mathbf b høyst én løsning.

Geometrisk bilde av Col⁡A\operatorname{Col}A
Col⁡A\operatorname{Col}A er et flatt objekt gjennom origo i Rm\mathbb R^m: dimensjon 00 (bare origo), 11 (linje), 22 (plan), osv., etter rangen. Ax=bA\mathbf x=\mathbf b er løsbart nøyaktig når b\mathbf b ligger på dette objektet.
Rangteoremet oppsummert

For enhver m×nm\times n-matrise gjelder samtidig: rang⁡A=dim⁡Col⁡A=dim⁡Row⁡A\operatorname{rang}A=\dim\operatorname{Col}A=\dim\operatorname{Row}A, og rang⁡A+dim⁡Nul⁡A=n\operatorname{rang}A+\dim\operatorname{Nul}A=n. De to likhetene sammen lar deg krysskontrollere alle fire størrelsene fra én radreduksjon.

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 3 oppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.