1.2 Løsningsmengder og parameteravhengige system

Et lineært system har nøyaktig ett av tre slag løsningsmengde: entydig (én løsning), ingen (inkonsistent), eller uendelig mange. Det finnes ingen fjerde mulighet — for eksempel kan et lineært system aldri ha nøyaktig to løsninger. Hele klassifiseringen leses av den reduserte trappeformen.

Systemet er konsistent og har pivot i hver variabelkolonne (ingen frie variabler). Da er hver ukjent bundet til en bestemt verdi, og løsningen er ett enkelt punkt. Kort: antall pivoter = antall ukjente, og ingen pivot i høyresidekolonnen.

Den reduserte trappeformen har en rad $[\,0\ \cdots\ 0\mid c\,]$ med $c\ne0$, altså en pivot i høyresidekolonnen. Det betyr «$0=c$», en motsigelse, og systemet er inkonsistent.

Systemet er konsistent (ingen motsigelsesrad) og har minst én variabelkolonne uten pivot, altså minst én fri variabel. Hver fri variabel gir én frihetsgrad; løsningsmengden er en linje, et plan eller et høyeredimensjonalt flatt objekt.

Antallet frie variabler i et konsistent system = antall ukjente $-$ antall pivoter. Dette tallet er antall parametre du trenger for å beskrive løsningsmengden: $0$ ⇒ punkt (entydig), $1$ ⇒ linje, $2$ ⇒ plan, og så videre.

Én bestemt løsning $\mathbf x_p$ av systemet $A\mathbf x=\mathbf b$ — for eksempel den du får ved å sette alle frie variabler lik $0$. Den utgjør «startpunktet» i parameterformen.

Løsningene av det tilhørende homogene systemet $A\mathbf x=\mathbf 0$. De skrives som lineærkombinasjoner $t_1\mathbf v_1+\dots+t_k\mathbf v_k$ av retningsvektorer $\mathbf v_j$ — én per fri variabel. Disse vektorene spenner ut $\operatorname{Nul}A$ (nullrommet, som studeres i Del 3).

Løsningsmengden til $A\mathbf x=\mathbf b$ (når konsistent) er $\mathbf x=\mathbf x_p+(\text{løsning av }A\mathbf x=\mathbf 0)$: en partikulær løsning pluss hele nullrommet. Geometrisk er det nullrommet «flyttet» ut til å gå gjennom $\mathbf x_p$. Derfor har alle høyresider $\mathbf b$ som gir konsistens, samme «form» på løsningsmengden.

Skrivemåten $\mathbf x=\mathbf x_p+t_1\mathbf v_1+\dots+t_k\mathbf v_k$, $t_j\in\mathbb R$. Antall parametre = antall frie variabler. Dette er den påkrevde formen når det er uendelig mange løsninger — et enkelt punkt er ikke et fullstendig svar da.

Et lineært system der en eller flere koeffisienter (eller høyresider) er en bokstavparameter, typisk $a$. Antall løsninger avhenger av parameterverdien, og oppgaven er å beskrive utfallet for alle verdier.

Radreduksjon der en parameter $a$ regnes med som et vanlig tall. Regelen er streng: du kan gange og legge til, men ikke dele på et uttrykk som inneholder $a$ uten å skille ut verdiene der uttrykket er $0$. Ellers mister du nettopp de kritiske tilfellene.

En verdi av $a$ der en pivot forsvinner — typisk der et diagonalt uttrykk i trappeformen, som $(a-1)$ eller $(a+2)$, blir $0$. Ved disse verdiene endrer utfallet seg. Utenfor dem oppfører systemet seg «generisk» (som regel entydig).

Å dele analysen i separate tilfeller etter parameterverdien: ett tilfelle for hver kritisk verdi, pluss det generiske tilfellet ellers. Hvert tilfelle klassifiseres for seg (entydig / ingen / uendelig). Å hoppe over et tilfelle er den dyreste fellen i denne oppgavetypen.

Betingelsen som avgjør om en posisjon i trappeformen er en ekte pivot. For eksempel: en rad $[\,0\ 0\ (a-1)^2\mid c\,]$ har pivot i $z$-kolonnen så lenge $(a-1)^2\ne0$, altså $a\ne1$. Ved $a=1$ blir raden $[\,0\ 0\ 0\mid c\,]$, og da avgjør $c$ om det er ingen eller uendelig mange løsninger.

Hver likning $ax+by=c$ er en rett linje i planet. To linjer skjærer i ett punkt (entydig), er parallelle uten skjæring (ingen løsning), eller er sammenfallende (uendelig mange — samme linje).

Hver likning $ax+by+cz=d$ er et plan i rommet. Tre plan kan skjære i ett punkt (entydig), langs en felles linje eller i et felles plan (uendelig mange), eller mangle et felles punkt (ingen løsning). Utfallet er nøyaktig det radreduksjonen forteller.

Løsningsmengden til det homogene systemet $A\mathbf x=\mathbf 0$ kalles nullrommet $\operatorname{Nul}A$. Retningsvektorene i parameterformen er nettopp en beskrivelse av $\operatorname{Nul}A$. Vi studerer det grundig i Del 3; her holder det å vite at det er «den homogene delen» av løsningen.

Systemet $A\mathbf x=\mathbf b$ er konsistent hvis og bare hvis $\mathbf b$ kan skrives som en lineærkombinasjon av kolonnene i $A$ — altså $\mathbf b$ ligger i kolonnerommet $\operatorname{Col}A$. Denne koblingen utdypes i Del 3; her er den en måte å forstå hvorfor noen høyresider gir motsigelse.

Et system med flere likninger enn ukjente kalles overbestemt (ofte, men ikke alltid, inkonsistent). Ett med færre likninger enn ukjente kalles underbestemt (kan aldri ha entydig løsning — enten ingen eller uendelig mange). Antall likninger alene avgjør likevel ikke utfallet; radreduksjonen gjør.

Når du radreduserer symbolsk og skriver «del rad på $a-1$», antar du taust at $a\ne1$. Verdien $a=1$ må da behandles separat. Dette er kilden til den vanligste feilen i parameteroppgaver: et helt tilfelle forsvinner fordi man delte det bort.

Systemet $A\mathbf x=\mathbf b$ er konsistent hvis og bare hvis høyresidekolonnen ikke er en pivotkolonne — altså ingen rad $[\,0\ \cdots\ 0\mid c\,]$ med $c\ne0$. Kompakt: $\operatorname{rang}[A\mid\mathbf b]=\operatorname{rang}A$. Blir rangen større når du tar med høyresiden, er systemet inkonsistent.

For et system med $n$ ukjente: hvis $\operatorname{rang}[A\mid\mathbf b]>\operatorname{rang}A$ ⇒ ingen løsning; hvis $\operatorname{rang}[A\mid\mathbf b]=\operatorname{rang}A=n$ ⇒ entydig; hvis $\operatorname{rang}[A\mid\mathbf b]=\operatorname{rang}A<n$ ⇒ uendelig mange (med $n-\operatorname{rang}A$ frie variabler). Dette er de tre utfallene uttrykt med rang.

I en parameteranalyse er «det generiske tilfellet» verdiene av $a$ utenom de kritiske — der ingen pivot forsvinner. Der oppfører systemet seg som det «vanligvis» gjør (som regel entydig løsning). De kritiske verdiene er unntakene du må behandle hver for seg.

«Ingen løsning» gjelder et inhomogent system ($\mathbf b\ne\mathbf 0$) som er inkonsistent — løsningsmengden er tom. «Bare trivialløsningen» gjelder et homogent system der $\mathbf x=\mathbf 0$ er eneste løsning. Et homogent system er aldri tomt; det har alltid minst $\mathbf 0$. Ikke bland de to.