3.1 Vektorrom og underrom: ℝⁿ, Pₙ, matriser og funksjonsrom

Et vektorrom er en mengde $V$ av objekter (kalt vektorer) med en addisjon og en skalarmultiplikasjon, slik at summen $\mathbf u+\mathbf v$ og produktet $c\mathbf u$ igjen ligger i $V$, og de åtte regnereglene (aksiomene) under holder for alle $\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w\in V$ og alle skalarer $c,d\in\mathbb R$. Kort: et rom der du kan regne med $+$ og skalar akkurat som i $\mathbb R^n$.

Reglene et vektorrom må oppfylle — de du allerede bruker i $\mathbb R^n$:

1. $\mathbf u+\mathbf v=\mathbf v+\mathbf u$ (kommutativ)
2. $(\mathbf u+\mathbf v)+\mathbf w=\mathbf u+(\mathbf v+\mathbf w)$ (assosiativ)
3. det finnes en nullvektor $\mathbf 0$ med $\mathbf v+\mathbf 0=\mathbf v$
4. hver $\mathbf v$ har en motvektor $-\mathbf v$ med $\mathbf v+(-\mathbf v)=\mathbf 0$
5. $c(\mathbf u+\mathbf v)=c\mathbf u+c\mathbf v$
6. $(c+d)\mathbf u=c\mathbf u+d\mathbf u$
7. $c(d\mathbf u)=(cd)\mathbf u$
8. $1\mathbf u=\mathbf u$

Du trenger sjelden å sjekke alle åtte på eksamen — de arves gratis når $V$ er et underrom av et rom du allerede kjenner (se løkke 2).

Ethvert polynom i $\operatorname{P}_n$ er en lineærkombinasjon av potensene $1,t,t^2,\dots,t^n$. Disse $n+1$ polynomene er byggeklossene (standardbasisen, formelt definert i kap. 3.2), og koeffisientene $(a_0,a_1,\dots,a_n)$ er «koordinatene» til polynomet. Det er nettopp dette som lar deg gjøre polynomoppgaver om til vanlig tallregning.

Mengden av alle $m\times n$-matriser, med vanlig matriseaddisjon og skalering. Det er et vektorrom med nullvektor lik nullmatrisen. Dimensjonen er $mn$ (én byggekloss per posisjon), så f.eks. $\dim M_{2\times 2}=4$.

Mengden av alle reelle funksjoner $f:\mathbb R\to\mathbb R$, der $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ og $(cf)(x)=cf(x)$. Nullvektoren er funksjonen som er $0$ overalt. Dette rommet er uendelig-dimensjonalt, men de eksamensviktige eksemplene er underrom av det (polynomer, kontinuerlige funksjoner, løsninger av en differensiallikning).

Et underrom $W$ av et vektorrom $V$ er en delmengde $W\subseteq V$ som selv er et vektorrom med samme addisjon og skalering. Da slipper du å sjekke alle åtte aksiomene — de arves fra $V$. Det holder å sjekke at $W$ «holder seg innenfor seg selv», og det er nettopp de tre betingelsene under.

En delmengde $W\subseteq V$ er et underrom hvis og bare hvis alle tre holder:

(1) Nullvektoren ligger i $W$: $\mathbf 0\in W$.
(2) $W$ er lukket under addisjon: hvis $\mathbf u,\mathbf v\in W$, så $\mathbf u+\mathbf v\in W$.
(3) $W$ er lukket under skalarmultiplikasjon: hvis $\mathbf u\in W$ og $c\in\mathbb R$, så $c\mathbf u\in W$.

Dette er bevismalen for sjanger D. Du må vise alle tre — og betingelse (1) er den som oftest glemmes.

Nullvektoren i $V$ må ligge i $W$. Dette er både et krav og en rask motprøve: er $\mathbf 0\notin W$, er $W$ ikke et underrom, og du er ferdig. Eksempel: $\{p\in\operatorname{P}_2:p(0)=1\}$ inneholder ikke nullpolynomet (det har $p(0)=0\ne1$), så det er ikke et underrom.

Tar du to elementer i $W$ og legger dem sammen, må summen fortsatt ligge i $W$. Bevisføring: skriv to generelle elementer i $W$, legg dem sammen, og vis at summen oppfyller den definerende egenskapen til $W$ (f.eks. «$p(1)=0$» eller «$A^{T}=A$»).

Ganger du et element i $W$ med et vilkårlig tall $c$, må resultatet fortsatt ligge i $W$. Bevisføring: ta et generelt element i $W$, gang med $c$, og vis at produktet oppfyller den definerende egenskapen. Tips: betingelse (2) og (3) kan slås sammen til «lukket under lineærkombinasjon: $c\mathbf u+d\mathbf v\in W$».

Hvert vektorrom $V$ har alltid to «gratis» underrom: nullrommet $\{\mathbf 0\}$ (bare nullvektoren) og hele $V$ selv. Alle andre underrom kalles ekte (ikke-trivielle). $\{\mathbf 0\}$ har dimensjon $0$.

Løsningsmengden til et homogent system $A\mathbf x=\mathbf 0$ er et underrom av $\mathbb R^n$ — det kalles nullrommet $\operatorname{Nul}A$. Det inneholder $\mathbf 0$, og hvis $A\mathbf u=\mathbf 0$ og $A\mathbf v=\mathbf 0$, så er $A(c\mathbf u+d\mathbf v)=\mathbf 0$. Løsningsmengden til et inhomogent system ($\mathbf b\ne\mathbf 0$) er derimot ikke et underrom — den inneholder ikke $\mathbf 0$. (Utdypes i kap. 3.3.)

Enhver mengde vektorer i $V$ er en delmengde av $V$, men bare de som består de tre betingelsene er underrom. «Delmengde» krever ingenting; «underrom» krever $\mathbf 0$ og lukkethet. Ikke forveksle de to — en tilfeldig samling piler er sjelden et underrom.

En definerende betingelse som setter en verdi lik et tall forskjellig fra 0 (som $p(0)=1$, $x+y=3$, $\operatorname{spor}A=2$) utelukker nesten alltid nullvektoren og gir en mengde som ikke er lukket. Slike «forskjøvne» mengder (affine mengder) er ikke underrom. Er kravet derimot $=0$ ($p(1)=0$, $x+y=0$), er mengden typisk et underrom.

Et uttrykk $c_1\mathbf v_1+c_2\mathbf v_2+\dots+c_k\mathbf v_k$ med skalarer $c_i\in\mathbb R$. Lineærkombinasjoner er «alt du kan bygge» fra vektorene med $+$ og skalar — grunnsteinen bak span, uavhengighet og basis (kap. 3.2).

Mengden av $n\times n$-matriser med bare nuller utenfor hoveddiagonalen er et underrom av $M_{n\times n}$: nullmatrisen er diagonal, og sum/skalarmultiplum av diagonalmatriser er diagonalt. $\dim=n$.

Mengden av $n\times n$-matriser med bare nuller under hoveddiagonalen er et underrom av $M_{n\times n}$ — lukket under $+$ og skalar, og inneholder nullmatrisen. For $2\times2$ er $\dim=3$.

Matriser med $A^{T}=-A$ danner et underrom av $M_{n\times n}$: $(A+B)^{T}=-(A+B)$ og $(cA)^{T}=-cA$, og $O^{T}=-O$. For $2\times2$ er $\dim=1$ (bare $\begin{bmatrix}0&b\\-b&0\end{bmatrix}$).

Mengden av alle kontinuerlige funksjoner $\mathbb R\to\mathbb R$ er et underrom av $F(\mathbb R)$: summen og skalarmultiplumet av kontinuerlige funksjoner er kontinuerlig, og nullfunksjonen er kontinuerlig. Polynomrommene $\operatorname{P}_n$ er underrom av $C(\mathbb R)$.

Løsningene av en homogen lineær differensiallikning, f.eks. $y''+py'+qy=0$, danner et underrom av funksjonsrommet: er $y_1,y_2$ løsninger, er $c_1y_1+c_2y_2$ også en løsning (superposisjon). Dette møter du igjen i Del 9.

Mengden $\{p:\deg p=n\}$ (polynomer av nøyaktig grad $n$) er ikke et underrom: den inneholder ikke nullpolynomet, og er ikke lukket under $+$ (f.eks. $t^2$ og $-t^2+t$ har begge grad $2$, men summen $t$ har grad $1$). Bruk $\operatorname{P}_n$ (grad $\le n$) når du vil ha et vektorrom.

Snittet $U\cap W$ av to underrom av $V$ er alltid selv et underrom: begge inneholder $\mathbf 0$, og en vektor som ligger i begge og lukketheten arves fra hver av dem. (Unionen $U\cup W$ er derimot sjelden et underrom.)

Antallet byggeklosser (basisvektorer) som trengs for å bygge hele rommet — ekvivalent med antall frie parametre i en generell beskrivelse. $\dim\{\mathbf 0\}=0$, $\dim\operatorname{P}_n=n+1$, $\dim M_{m\times n}=mn$. Presis definisjon (basis) kommer i kap. 3.2.