1.3 Drill: Gauss-eliminasjon og parameteranalyse

Hele oppgave-1-repertoaret drillet til automatikk: radreduksjon uten regnefeil, løsning på parameterform, og tilfelledeling i parameteravhengige system — grunnteknikken som må sitte før alt annet.

85 min

13 oppgaver

DrillGauss-eliminasjonparameteranalyse

Din fremgang i kapitlet

0 / 13 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.2Løsningsmengder og parameteravhengige system

Brukes videre i

1.PPrøver til del 1: Lineære likningssystem og Gauss-eliminasjon

Dette drillkapitlet gjør oppgave-1-teknikken automatisk.

Sjanger A (Gauss og parameteranalyse) er i rundt 78 % av settene. Variantene som går igjen: (1) løs et konkret system (entydig / uendelig / ingen), (2) skriv løsningen på parameterform, (3) parameteranalyse med tilfelledeling, og (4) homogent system med nullromsretning. Under ingen-hjelpemidler-kravet må radreduksjonen gå raskt og feilfritt — det er ferdighet, ikke forståelse, som testes her.

Målet: bli så trygg at du bruker minst mulig av de fire timene på oppgave 1, og sparer tid til de tyngre søylene. Kapitlet er langt (~85 min) — del det gjerne over to økter (se pausepunktet under).

Forkunnskaper: Alt her bygger på kap. 1.1 (radreduksjon, pivoter, frie variabler, homogene system) og kap. 1.2 (tre utfall, parameterform, parameteranalyse). Dette kapitlet innfører ingen ny teori — det driller teknikken til automatikk. Er du usikker på et steg, slå opp i de to teorikapitlene før du fortsetter.

Løsningsoppskriften (fem steg)

Bruk samme faste prosedyre på hver oppgave 1 — da unngår du å tenke fra bunnen hver gang:

1. Skriv totalmatrisen $[A\mid\mathbf b]$ . Sett inn $0$ der en ukjent mangler.
2. Radreduser til redusert trappeform, kontrollert steg for steg. Bruk pivoten i hver kolonne til å lage nuller både under og over.
3. Klassifiser utfallet fra pivotmønsteret: pivot i høyresidekolonnen ⇒ ingen løsning; pivot i hver variabelkolonne ⇒ entydig; ellers ⇒ uendelig mange.
4. Skriv løsningen. Entydig: les av høyresiden. Uendelig mange: sett frie variabler = parametre og skriv $\mathbf x_p+t\mathbf v$ .
5. Ved parameter: radreduser symbolsk, finn de kritiske verdiene (der en pivot forsvinner), og del i alle tilfeller — det generiske pluss hver kritisk verdi.

Kontroll: sett alltid svaret (eller en retningsvektor) inn i minst én av de opprinnelige likningene. Et raskt sjekk fanger de fleste regnefeil.

Oppskriften for oppgave 1

(1) Skriv totalmatrisen. (2) Radreduser til redusert trappeform. (3) Klassifiser fra pivotmønsteret. (4) Skriv løsningen (parameterform ved frie variabler). (5) Ved parameter: symbolsk radreduksjon \to kritiske verdier \to full tilfelledeling. Alltid en innsettingskontroll til slutt.

Pivotmønster → utfall

Pivot i høyresidekolonnen \Rightarrow ingen løsning. Pivot i hver variabelkolonne (og ingen i høyresiden) \Rightarrow entydig . Konsistent, men minst én variabelkolonne uten pivot \Rightarrow uendelig mange, med én fri variabel per pivotløs variabelkolonne.

Parameterform — oppskrift

t,s,\dots

Parameteranalyse — oppskrift

(\text{uttrykk i }a)\,z=(\text{uttrykk})

Homogent system — snarvei

A\mathbf x=\mathbf 0

Innsettingskontroll

Sett den funne løsningen (eller hver retningsvektor, i det homogene systemet) inn i minst én opprinnelig likning og sjekk at den stemmer. Dette koster sekunder og avslører de fleste fortegns- og regnefeil før de teller på karakteren.

Kritisk verdi: sjekk begge utfall

[\,0\ \cdots\ 0\mid c\,]

Tidsstyring på oppgave 1

Med rundt ti likt vektede deloppgaver på fire timer har du i snitt ~24 min per del. Oppgave 1 (Gauss) bør gå raskere enn snittet, siden den er ren mekanikk. Får du et «ustelt» mellomsvar (rare brøker der oppgaven ser pen ut), stopp og let etter en regnefeil — det er nesten alltid årsaken.

✏️Gjennomregnet eksamenscase (med sensor-margnotater)

Gitt systemet med parameterne

a,b

\begin{cases}x+y+z=6\\ x+2y+3z=10\\ x+2y+az=b\end{cases}

a) Løs systemet for

a=2,\ b=10

.
b) For hvilke

a,b

er systemet konsistent?
c) Skriv den generelle løsningen når

a=3,\ b=10

Felles eliminasjon.

R_2\to R_2-R_1

R_3\to R_3-R_1

, deretter

R_3\to R_3-R_2

\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&1&2&4\\0&0&a-3&b-10\end{array}\right].

(Sensor-margnotat: her gir du deg selv oversikt — nederste rad er $(a-3)z=b-10$ , og alt henger på den.)

a) $a=2,b=10$ : nederste rad er $(2-3)z=0$ , altså $z=0$ . Bakover: $y+2\cdot0=4\Rightarrow y=4$ ; $x+4+0=6\Rightarrow x=2$ . Entydig løsning $(x,y,z)=(2,4,0)$ . Kontroll i likning 3: $2+8+0=10$ ✓.
(Margnotat: full uttelling krever at radoperasjonene er synlige og at du markerer sluttsvaret.)

b) Konsistens: Nederste rad er $(a-3)z=b-10$ .
- Hvis $a\ne3$ : pivot i $z$ -kolonnen ⇒ konsistent (entydig) for enhver $b$ .
- Hvis $a=3$ : raden blir $0=b-10$ . Konsistent bare hvis $b=10$ (da uendelig mange); for $b\ne10$ ingen løsning.

Systemet er altså konsistent for alle $a\ne3$ , og for $a=3$ kun når $b=10$ .
(Margnotat: å nevne begge undertilfellene ved $a=3$ er selve poenget — her ryker delpoeng hvis ett glemmes.)

c) $a=3,b=10$ : raden blir $0=0$ ⇒ $z=t$ fri. Fra rad 2: $y=4-2t$ . Fra rad 1: $x=6-y-z=6-(4-2t)-t=2+t$ . Altså
$(x,y,z)=(2,4,0)+t\,(1,-2,1),\qquad t\in\mathbb R.$
Kontroll av retningen $(1,-2,1)$ i det homogene systemet: $1-2+1=0$ ✓. (Margnotat: svar på parameterform — ett punkt alene ville gitt trekk her.)

Drilloppgaver, bolk 1 — radreduksjon og løsningsutfall (~40 min)

Jobb deg gjennom disse med oppskriften. Skriv radoperasjonene, klassifiser, og kontroller svaret.

📝Oppgave 1

Sjanger A

Løs $\begin{cases}x+y+z=6\\ 2x-y+z=3\\ x+2y-z=2\end{cases}$

📝Oppgave 2

Sjanger A

Løs $\begin{cases}-x-3y+z=-5\\ 2x-3y+z=-5\\ -3x+y-2z=0\end{cases}$

📝Oppgave 3

Sjanger A

Løs $\begin{cases}x-3z=-3\\ -2x-3y+z=7\\ 3x-2y-z=3\end{cases}$

📝Oppgave 4

Sjanger A

Løs $\begin{cases}x+y+z=6\\ 2x+3y+5z=15\\ 3x+4y+6z=21\end{cases}$ og skriv løsningen på parameterform.

📝Oppgave 5

Sjanger A

Avgjør om systemet er konsistent og løs det: $\begin{cases}x+2y-z=3\\ 2x+4y-2z=6\\ x+y+z=4\end{cases}$

📝Oppgave 6

Sjanger A

Avgjør om $\begin{cases}x+2y-z=1\\ 2x-y+z=3\\ 3x+y+0z=6\end{cases}$ har løsning.

📝Oppgave 7

Sjanger A

Finn alle løsninger av $\begin{cases}2x+4y-2z=0\\ x+y+z=0\\ 3x+5y-z=0\end{cases}$

Her har du drillet radreduksjon og de tre utfallene. Ta gjerne en pause og fortsett med parameteranalysen i neste økt. Bolk 2 er den tyngste sjangeren (tilfelledeling) — den fortjener et uthvilt hode.

Drilloppgaver, bolk 2 — parameteranalyse og kjedede oppgaver (~30 min)

Nå kommer den krevende varianten: bokstavparameter og full tilfelledeling. Del alltid i alle tilfeller.

📝Oppgave 8

Sjanger A

For hvilke

a

har systemet ingen, én eller uendelig mange løsninger?

\begin{cases}x+y+z=2\\ x+2y+az=3\\ x+ay+z=a\end{cases}

📝Oppgave 9

Sjanger A

For hvilke

a,b

har systemet ingen, én eller uendelig mange løsninger?

\begin{cases}x+y+z=6\\ x+2y+3z=10\\ x+2y+az=b\end{cases}

📝Oppgave 10

Sjanger A

Gitt $\begin{cases}x+2y+z=1\\ 2x+5y+3z=4\\ x+3y+az=b\end{cases}$ .

a) For hvilke $a,b$ er systemet konsistent?

b) Skriv den generelle løsningen når $a=2,\ b=3$ .

📝Oppgave 11

Sjanger A

Finn alle løsninger av $\begin{cases}x_1-x_2+2x_3-3x_4=0\\ 2x_1-2x_2+3x_3-x_4=0\\ x_1-x_2+x_3+2x_4=0\end{cases}$ og oppgi en basis for løsningsmengden.

📝Oppgave 12

Sjanger A

For hvilke

a

har systemet ingen, én eller uendelig mange løsninger? Begrunn hvert tilfelle.

\begin{cases}x+y+az=1\\ x+ay+z=1\\ ax+y+z=1\end{cases}

📝Oppgave 13

Sjanger A

Bestem antall løsninger av $\begin{cases}x+y+z=3\\ x+2y+3z=4\\ 2x+3y+az=b\end{cases}$ for alle $a,b$ , og skriv løsningen på parameterform der den er uendelig.

Typiske feil (drill)

Under tidspress i Gauss-drill går poengene tapt på de samme stedene:

- Fortegnsfeil i radoperasjoner — særlig når du legger et negativt multiplum av en rad til en annen. Skriv operasjonen ( $R_2\to R_2-3R_1$ ) i margen for hvert steg.
- Glemt tilfelle i parameteranalyse — du finner den kritiske parameterverdien, men glemmer å dele opp i «pivot / ingen pivot»-tilfellene. Hver kritisk $a$ -verdi krever egen konklusjon.
- Forveksle fri variabel og pivotvariabel — antall frie variabler = antall kolonner uten pivot; det er de frie som blir parametere i løsningen.
- RREF ikke fullført — du stopper på trappeform (echelon) og leser av feil; avlesning av entydig/uendelig/ingen løsning forutsetter redusert trappeform.

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.