Tilbake
5.1
Alle fag for Høyskole

5.1 Egenverdier, egenvektorer, karakteristisk likning og egenrom

Egenverdier og egenvektorer: verifiser en oppgitt egenvektor ved Av=λv, finn egenverdier fra karakteristisk likning det(A−λI)=0, og egenrommet fra Nul(A−λI) ved radreduksjon — pluss algebraisk vs. geometrisk multiplisitet.

60 min
10 oppgaver
Egenverdieregenvektorerkarakteristisk likningegenrom
Din fremgang i kapitlet
0 / 10 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper: Dette kapitlet bygger på kap. 2.3 (determinant — den karakteristiske likningen det⁡(A−λI)=0\det(A-\lambda I)=0 er en determinant) og kap. 3.3 (nullrom Nul⁡A\operatorname{Nul}A — egenrommet er Nul⁡(A−λI)\operatorname{Nul}(A-\lambda I)). Å faktorisere det karakteristiske polynomet hviler på polynomregning fra Polynomer og polynomdivisjon.
Sist du var her — de to formlene du trenger med en gang:

- Karakteristisk likning (kap. 2.3, determinant): det⁡(A−λI)=0\det(A-\lambda I)=0. Her er II identitetsmatrisen; A−λIA-\lambda I betyr «trekk λ\lambda fra hvert diagonalelement i AA». Løsningene λ\lambda er egenverdiene.
- Nullrom (kap. 3.3): Nul⁡(A−λI)\operatorname{Nul}(A-\lambda I) er alle vektorer x\mathbf x med (A−λI)x=0(A-\lambda I)\mathbf x=\mathbf 0 — du finner dem ved å radredusere A−λIA-\lambda I og lese av de frie variablene. Dette nullrommet er egenrommet til λ\lambda.

Har du disse to i fingrene, er halve kapitlet gjort.

Hverdagsanker: retningen som overlever

En matrise AA flytter vektorer rundt: den kan rotere, strekke og vrenge Rn\mathbb R^n. Men noen få spesielle retninger overlever avbildningen uendret — vektoren blir bare lengre eller kortere (eller snudd), aldri dreid ut av sin egen linje. En slik retning er en egenvektor, og strekkfaktoren langs den er en egenverdi. Tenk på et roterende hjul: alt beveger seg, men aksen står stille — aksen er «egenretningen».

Dette er ikke bare pent: egenverdier styrer hvordan AnA^n oppfører seg over tid (kap. 5.3), når en matrise kan forenkles til en diagonalmatrise (kap. 5.2), og hvordan svingende systemer løses (Del 10). Vi bygger begrepet i fire løkker: (1) hva egenverdi/egenvektor er, og hvordan du verifiserer en oppgitt egenvektor; (2) hvordan du finner egenverdiene fra den karakteristiske likningen; (3) hvordan du finner egenrommet og skiller algebraisk fra geometrisk multiplisitet; og (4) kontrollrelasjonene og det første beviset (A2=A⇒λ∈{0,1}A^2=A\Rightarrow\lambda\in\{0,1\}).

Løkke 1 — Egenverdi, egenvektor og verifisering ved innsetting (~14 min)

Egenverdi og egenvektor
La AA være en kvadratisk n×nn\times n-matrise. En vektor v\mathbf v kalles en egenvektor for AA dersom den er forskjellig fra nullvektoren og AA bare strekker den langs sin egen retning — altså finnes et tall λ\lambda slik at
Av=λv,v≠0.A\mathbf v=\lambda\mathbf v,\qquad \mathbf v\ne\mathbf 0.
Tallet λ\lambda kalles da en egenverdi for AA, og vi sier at v\mathbf v er en egenvektor tilhørende λ\lambda. Kravet v≠0\mathbf v\ne\mathbf 0 er vesentlig: A0=λ0A\mathbf 0=\lambda\mathbf 0 gjelder for alle λ\lambda og ville gjort begrepet meningsløst. Egenverdien λ\lambda selv kan derimot godt være 00.
Verifisering ved innsetting
Er en vektor v\mathbf v oppgitt og du skal sjekke om den er egenvektor, er det raskeste å regne AvA\mathbf v og se om svaret er et tall ganger v\mathbf v:
Av=λv ⇒ v er egenvektor med egenverdi λ.A\mathbf v=\lambda\mathbf v\ \Rightarrow\ \mathbf v\text{ er egenvektor med egenverdi }\lambda.
Blir AvA\mathbf v ikke et multiplum av v\mathbf v, er v\mathbf v ingen egenvektor. Dette er mye raskere enn å regne den karakteristiske likningen, og er sensors forventede grep når egenvektoren er gitt.
✏️Eksempel 1: Verifiser en oppgitt egenvektor

La A=[3102]A=\begin{bmatrix}3&1\\0&2\end{bmatrix}. Avgjør om v1=[10]\mathbf v_1=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} og v2=[1−1]\mathbf v_2=\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} er egenvektorer, og finn i så fall egenverdien.

Vi regner AvA\mathbf v for hver og ser om svaret er et multiplum av v\mathbf v.

v1\mathbf v_1: A[10]=[3⋅1+1⋅00⋅1+2⋅0]=[30]=3[10].A\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\cdot1+1\cdot0\\0\cdot1+2\cdot0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\0\end{bmatrix}=3\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}. Svaret er 3v13\mathbf v_1, så v1\mathbf v_1 er egenvektor med egenverdi λ=3\lambda=3.

v2\mathbf v_2: A[1−1]=[3⋅1+1⋅(−1)0⋅1+2⋅(−1)]=[2−2]=2[1−1].A\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\cdot1+1\cdot(-1)\\0\cdot1+2\cdot(-1)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\-2\end{bmatrix}=2\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}. Svaret er 2v22\mathbf v_2, så v2\mathbf v_2 er egenvektor med egenverdi λ=2\lambda=2.

Konklusjon: Begge er egenvektorer, med egenverdier henholdsvis 33 og 22. (Legg merke til at AA er øvre triangulær, og egenverdiene 3,23,2 står nettopp på diagonalen — det kommer vi tilbake til i løkke 4.)

📝Oppgave 1

(Ren gjengivelse — innsetting.) La A=[4213]A=\begin{bmatrix}4&2\\1&3\end{bmatrix}.

a) Vis at v=[21]\mathbf v=\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix} er en egenvektor, og finn egenverdien.

b) Er w=[1−1]\mathbf w=\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} en egenvektor? Finn i så fall egenverdien.

Løkke 2 — Karakteristisk likning: finn egenverdiene (~16 min)

Når egenvektoren ikke er oppgitt, må vi finne egenverdiene selv. Trikset er å skrive om Av=λvA\mathbf v=\lambda\mathbf v til (A−λI)v=0(A-\lambda I)\mathbf v=\mathbf 0. Dette homogene systemet har en løsning v≠0\mathbf v\ne\mathbf 0 nettopp når A−λIA-\lambda I er singulær, altså når determinanten er null.

Karakteristisk likning det⁡(A−λI)=0\det(A-\lambda I)=0
λ\lambda er en egenverdi for AA nettopp når det homogene systemet (A−λI)v=0(A-\lambda I)\mathbf v=\mathbf 0 har en ikke-triviell løsning — det vil si når A−λIA-\lambda I er singulær. Ved determinantkriteriet (kap. 2.3) skjer det nøyaktig når
det⁡(A−λI)=0.\det(A-\lambda I)=0.
Denne likningen kalles den karakteristiske likningen. Her betyr A−λIA-\lambda I at du trekker λ\lambda fra hvert diagonalelement i AA. Å løse den gir alle egenverdiene.
Karakteristisk polynom

Venstresiden det⁡(A−λI)\det(A-\lambda I) er et polynom i λ\lambda av grad nn (for en n×nn\times n-matrise), kalt det karakteristiske polynomet. Egenverdiene er røttene. For en 2×2-matrise får du et andregradspolynom; for 3×3 et tredjegradspolynom. Nøkkelferdigheten er å faktorisere polynomet — hver rot er en egenverdi, og hvor mange ganger en rot opptrer (rotmultiplisiteten) blir viktig senere.

Snarveien for 2×2: spor og determinant
For en 2×2-matrise kan du skrive den karakteristiske likningen direkte fra sporet og determinanten:
λ2−(spor⁡A) λ+det⁡A=0,\lambda^2-(\operatorname{spor}A)\,\lambda+\det A=0,
der spor⁡A\operatorname{spor}A er summen av diagonalelementene. Dette sparer tid: regn ut sporet og determinanten, sett inn, og faktoriser andregradslikningen. (Formelen følger av å regne det⁡(A−λI)\det(A-\lambda I) ut for en generell 2×2-matrise.)
✏️Eksempel 2: Egenverdier fra karakteristisk likning (2×2)

Finn egenverdiene til A=[2112]A=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}.

Metode 1 — direkte determinant. Trekk λ\lambda fra diagonalen og regn determinanten:
det⁡(A−λI)=det⁡[2−λ112−λ]=(2−λ)2−1⋅1=(2−λ)2−1.\det(A-\lambda I)=\det\begin{bmatrix}2-\lambda&1\\1&2-\lambda\end{bmatrix}=(2-\lambda)^2-1\cdot1=(2-\lambda)^2-1.
Sett lik null og løs: (2−λ)2=1⇒2−λ=±1⇒λ=1(2-\lambda)^2=1\Rightarrow 2-\lambda=\pm1\Rightarrow\lambda=1 eller λ=3\lambda=3.

Metode 2 — spor/determinant-snarveien (kontroll). spor⁡A=2+2=4\operatorname{spor}A=2+2=4 og det⁡A=2⋅2−1⋅1=3\det A=2\cdot2-1\cdot1=3, så
λ2−4λ+3=0 ⇒ (λ−1)(λ−3)=0 ⇒ λ=1, 3.\lambda^2-4\lambda+3=0\ \Rightarrow\ (\lambda-1)(\lambda-3)=0\ \Rightarrow\ \lambda=1,\ 3.

Svar: Egenverdiene er λ1=1\lambda_1=1 og λ2=3\lambda_2=3. Kontroll: summen 1+3=4=spor⁡A1+3=4=\operatorname{spor}A og produktet 1⋅3=3=det⁡A1\cdot3=3=\det A. ✓\checkmark

📝Oppgave 2

(Innøving — karakteristisk likning.) Finn egenverdiene til A=[1221]A=\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix} ved den karakteristiske likningen.

✏️Eksempel 3: Egenverdier til en triangulær 3×3-matrise

Finn egenverdiene til A=[210020003]A=\begin{bmatrix}2&1&0\\0&2&0\\0&0&3\end{bmatrix}.

Matrisen er øvre triangulær. Da er A−λIA-\lambda I også triangulær, og determinanten er produktet av diagonalen (kap. 2.3):
det⁡(A−λI)=(2−λ)(2−λ)(3−λ)=(2−λ)2(3−λ).\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)(2-\lambda)(3-\lambda)=(2-\lambda)^2(3-\lambda).
Røttene leses rett av: λ=2\lambda=2 (fra faktoren (2−λ)2(2-\lambda)^2) og λ=3\lambda=3.

Svar: Egenverdiene er λ=2\lambda=2 og λ=3\lambda=3. Egenverdien 22 er en dobbeltrot — den opptrer to ganger i faktoriseringen. Det kaller vi at λ=2\lambda=2 har algebraisk multiplisitet 22 (løkke 3). Kontroll: sum 2+2+3=7=spor⁡A2+2+3=7=\operatorname{spor}A, produkt 2⋅2⋅3=12=det⁡A2\cdot2\cdot3=12=\det A. ✓\checkmark

📝Oppgave 3
Sjanger G

Finn egenverdiene til A=[300130245]A=\begin{bmatrix}3&0&0\\1&3&0\\2&4&5\end{bmatrix}, og oppgi multiplisiteten til hver.

Løkke 3 — Egenrom, algebraisk og geometrisk multiplisitet (~17 min)

Egenrom Eλ=Nul⁡(A−λI)E_\lambda=\operatorname{Nul}(A-\lambda I)
Når du har en egenverdi λ\lambda, er egenrommet EλE_\lambda mengden av alle egenvektorer tilhørende λ\lambda, pluss nullvektoren:
Eλ={x: Ax=λx}=Nul⁡(A−λI).E_\lambda=\{\mathbf x:\ A\mathbf x=\lambda\mathbf x\}=\operatorname{Nul}(A-\lambda I).
Det er altså nullrommet til A−λIA-\lambda I, og dermed et underrom av Rn\mathbb R^n. Du finner en basis ved å radredusere A−λIA-\lambda I og lese av de spesielle løsningene (kap. 3.3) — nøyaktig som for ethvert nullrom.
✏️Eksempel 4: Egenrom fra radreduksjon

For A=[2112]A=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix} (egenverdier 11 og 33 fra Eksempel 2), finn egenrommene E3E_3 og E1E_1.

E3=Nul⁡(A−3I)E_3=\operatorname{Nul}(A-3I): A−3I=[−111−1]A-3I=\begin{bmatrix}-1&1\\1&-1\end{bmatrix}. Radreduksjon: R2→R2+R1R_2\to R_2+R_1 gir [−1100]\begin{bmatrix}-1&1\\0&0\end{bmatrix}, altså likningen −x+y=0-x+y=0, så y=xy=x. Løsningene er [xx]=x[11]\begin{bmatrix}x\\x\end{bmatrix}=x\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}. Dermed E3=Span⁡{[11]}E_3=\operatorname{Span}\left\{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\right\}.

E1=Nul⁡(A−I)E_1=\operatorname{Nul}(A-I): A−I=[1111]→[1100]A-I=\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}, likningen x+y=0x+y=0, så y=−xy=-x: E1=Span⁡{[1−1]}E_1=\operatorname{Span}\left\{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}\right\}.

Kontroll ved innsetting: A[11]=[33]=3[11]A\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\3\end{bmatrix}=3\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} ✓\checkmark og A[1−1]=[1−1]=1⋅[1−1]A\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}=1\cdot\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} ✓\checkmark. Begge egenrom har dimensjon 11.

📝Oppgave 4
Sjanger G

La A=[4123]A=\begin{bmatrix}4&1\\2&3\end{bmatrix}.

a) Finn egenverdiene.

b) Finn en basis for hvert egenrom.

Algebraisk multiplisitet

Den algebraiske multiplisiteten til en egenverdi λ\lambda er antallet ganger λ\lambda opptrer som rot i det karakteristiske polynomet — altså rotmultiplisiteten. For AA i Eksempel 3 hadde λ=2\lambda=2 algebraisk multiplisitet 22 (dobbeltrot) og λ=3\lambda=3 algebraisk multiplisitet 11. Summen av de algebraiske multiplisitetene er alltid nn (regnet med komplekse røtter).

Geometrisk multiplisitet

Den geometriske multiplisiteten til λ\lambda er dimensjonen til egenrommet, dim⁡Eλ\dim E_\lambda — altså hvor mange lineært uavhengige egenvektorer λ\lambda har. Du finner den som antall frie variabler når du radreduserer A−λIA-\lambda I. Den geometriske multiplisiteten er minst 11 (en egenverdi har alltid minst én egenvektor).

📜Geometrisk ≤\le algebraisk multiplisitet
For enhver egenverdi λ\lambda gjelder
1≤dim⁡Eλ ≤ (algebraisk multiplisitet av λ).1\le\dim E_\lambda\ \le\ (\text{algebraisk multiplisitet av }\lambda).
Den geometriske multiplisiteten kan altså aldri overstige den algebraiske. Er de like for hver egenverdi, er matrisen diagonaliserbar (kap. 5.2); er den geometriske strengt mindre for minst én egenverdi, er den ikke diagonaliserbar. Dette skillet er selve karakterskilleren i Del 5, så merk deg det godt.
✏️Eksempel 5: Når geometrisk < algebraisk

For A=[210020003]A=\begin{bmatrix}2&1&0\\0&2&0\\0&0&3\end{bmatrix} (egenverdier 2,2,32,2,3 fra Eksempel 3), finn egenrommet E2E_2 og sammenlign geometrisk og algebraisk multiplisitet for λ=2\lambda=2.

E2=Nul⁡(A−2I)E_2=\operatorname{Nul}(A-2I) der A−2I=[010000001]A-2I=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}. Radene gir likningene y=0y=0 og z=0z=0, mens xx er fri. Løsningene er [x00]=x[100]\begin{bmatrix}x\\0\\0\end{bmatrix}=x\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}, så
E2=Span⁡{[100]},dim⁡E2=1.E_2=\operatorname{Span}\left\{\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}\right\},\qquad \dim E_2=1.
Sammenligning: algebraisk multiplisitet av λ=2\lambda=2 er 22 (dobbeltrot), men geometrisk multiplisitet er bare 11. Altså dim⁡E2=1<2\dim E_2=1<2 — den geometriske er strengt mindre enn den algebraiske. Konsekvensen (kap. 5.2): AA er ikke diagonaliserbar, fordi λ=2\lambda=2 ikke har nok uavhengige egenvektorer.
📝Oppgave 5
Sjanger G

For A=[300130245]A=\begin{bmatrix}3&0&0\\1&3&0\\2&4&5\end{bmatrix} (egenverdier 3,3,53,3,5 fra oppgave 3): finn egenrommet E3E_3 og avgjør om geometrisk multiplisitet er lik den algebraiske for λ=3\lambda=3.

Løkke 4 — Kontrollrelasjoner, λ=0\lambda=0 og det første beviset (~13 min)

Kontrollrelasjonene: spor og determinant
Egenverdiene henger sammen med to lett-utregnelige tall (kap. 2.3):
spor⁡A=∑iλi (sum av diagonalen),det⁡A=∏iλi (produkt).\operatorname{spor}A=\sum_i\lambda_i\ (\text{sum av diagonalen}),\qquad \det A=\prod_i\lambda_i\ (\text{produkt}).
Regnet med multiplisitet. Dette er din gratis kontroll: har du funnet egenverdiene, skal summen bli sporet og produktet bli determinanten. Stemmer det ikke, er det en regnefeil i det karakteristiske polynomet. Bruk den hver gang under kode E.
λ=0\lambda=0 er egenverdi ⇔\Leftrightarrow AA er singulær
Egenverdien 00 har en spesiell tolkning: Av=0⋅v=0A\mathbf v=0\cdot\mathbf v=\mathbf 0 for en v≠0\mathbf v\ne\mathbf 0 betyr at v∈Nul⁡A\mathbf v\in\operatorname{Nul}A. Derfor:
0 er egenverdi for A ⟺ Nul⁡A≠{0} ⟺ A er singulær (det⁡A=0).0\text{ er egenverdi for }A\ \Longleftrightarrow\ \operatorname{Nul}A\ne\{\mathbf 0\}\ \Longleftrightarrow\ A\text{ er singulær }(\det A=0).
Egenrommet E0E_0 er nettopp Nul⁡A\operatorname{Nul}A. Dette er ett av leddene i inverterbarhetssetningen (kap. 2.2): AA inverterbar ⇔\Leftrightarrow 00 er ikke egenverdi.
Triangulær matrise: egenverdier på diagonalen

For en triangulær matrise (øvre eller nedre) — og spesielt en diagonalmatrise — står egenverdiene rett på diagonalen. Grunnen: A−λIA-\lambda I er da også triangulær, så det⁡(A−λI)\det(A-\lambda I) er produktet (a11−λ)(a22−λ)⋯(ann−λ)(a_{11}-\lambda)(a_{22}-\lambda)\cdots(a_{nn}-\lambda), med røtter a11,…,anna_{11},\dots,a_{nn}. Du slipper altså å regne noe som helst — les diagonalen.

📜Bevis-bro: A2=A⇒A^2=A\Rightarrow egenverdier i {0,1}\{0,1\}
Påstand. Hvis A2=AA^2=A, er hver egenverdi λ\lambda enten 00 eller 11.

Bevis. La λ\lambda være en egenverdi med egenvektor v≠0\mathbf v\ne\mathbf 0, så Av=λvA\mathbf v=\lambda\mathbf v. Gang med AA på begge sider: A2v=A(λv)=λ(Av)=λ2vA^2\mathbf v=A(\lambda\mathbf v)=\lambda(A\mathbf v)=\lambda^2\mathbf v. Men A2=AA^2=A, så A2v=Av=λvA^2\mathbf v=A\mathbf v=\lambda\mathbf v. Dermed
λ2v=λv ⇒ (λ2−λ)v=0.\lambda^2\mathbf v=\lambda\mathbf v\ \Rightarrow\ (\lambda^2-\lambda)\mathbf v=\mathbf 0.
Siden v≠0\mathbf v\ne\mathbf 0, må λ2−λ=0\lambda^2-\lambda=0, altså λ(λ−1)=0\lambda(\lambda-1)=0, så λ=0\lambda=0 eller λ=1\lambda=1. ■\blacksquare

Grepet (som gjentar seg i sjanger N): sett inn egenvektoren, bruk matriselikningen til å få en likning i λ\lambda alene, og utnytt v≠0\mathbf v\ne\mathbf 0. Samme teknikk løser A2=IA^2=I (λ=±1\lambda=\pm1), Ak=OA^k=O (λ=0\lambda=0, se kap. 5.3) og lignende.

📝Oppgave 6
Sjanger N

Anta at AA er en kvadratisk matrise med A3=AA^3=A. Vis at hver egenverdi λ\lambda er 00, 11 eller −1-1.

📝Oppgave 7
Sjanger G/N

La A=[5−2−25]A=\begin{bmatrix}5&-2\\-2&5\end{bmatrix}.

a) Finn egenverdiene, og kontroller med spor og determinant.

b) Er 00 en egenverdi? Hva sier det om inverterbarheten til AA?

Begrepsbank til eksamen

De resterende kjernebegrepene samlet i kortform for repetisjon og pugging (kode E — intet formelark).

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — det gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Egenvektoren må være ulik null

Per definisjon er 0\mathbf 0 aldri en egenvektor, selv om A0=λ0A\mathbf 0=\lambda\mathbf 0 formelt holder for alle λ\lambda. Kravet v≠0\mathbf v\ne\mathbf 0 i Av=λvA\mathbf v=\lambda\mathbf v er det som gjør egenverdibegrepet meningsfullt. Egenverdien λ\lambda kan derimot godt være 00.

Egenverdien null er tillatt
λ=0\lambda=0 er en fullgod egenverdi: det betyr at AA har en ikke-triviell nullvektorretning, Av=0A\mathbf v=\mathbf 0 med v≠0\mathbf v\ne\mathbf 0. Egenrommet E0E_0 er da Nul⁡A\operatorname{Nul}A. Ikke bland sammen «egenverdi 00» (tillatt) med «egenvektor 0\mathbf 0» (forbudt).
Egenverdier til AkA^k

Hvis Av=λvA\mathbf v=\lambda\mathbf v, så Akv=λkvA^k\mathbf v=\lambda^k\mathbf v for hvert heltall k≥1k\ge1 — samme egenvektor, egenverdien opphøyd i kk. Bevis ved gjentatt ganging med AA. Dette er grunnlaget for An=PDnP−1A^n=PD^nP^{-1} i kap. 5.3.

Egenverdier til A−1A^{-1}

Er AA inverterbar med Av=λvA\mathbf v=\lambda\mathbf v, så er λ≠0\lambda\ne0 og A−1v=1λvA^{-1}\mathbf v=\tfrac{1}{\lambda}\mathbf v — samme egenvektor, egenverdien invertert. Følger av å gange Av=λvA\mathbf v=\lambda\mathbf v med A−1A^{-1} og dele på λ\lambda.

Egenverdier til A+cIA+cI

Å legge til cIcI forskyver egenverdiene: Av=λvA\mathbf v=\lambda\mathbf v gir (A+cI)v=(λ+c)v(A+cI)\mathbf v=(\lambda+c)\mathbf v — samme egenvektor, egenverdi λ+c\lambda+c. Nyttig triks: egenverdiene til A−λ0IA-\lambda_0 I er λi−λ0\lambda_i-\lambda_0, og λ0\lambda_0 er egenverdi for AA nettopp når 00 er egenverdi for A−λ0IA-\lambda_0 I.

Egenverdier til cAcA

Skalering av hele matrisen skalerer egenverdiene: Av=λvA\mathbf v=\lambda\mathbf v gir (cA)v=(cλ)v(cA)\mathbf v=(c\lambda)\mathbf v. Egenvektorene er de samme, egenverdiene ganges med cc.

ATA^T har samme egenverdier som AA

Egenverdiene er uendret under transponering, fordi det⁡(AT−λI)=det⁡((A−λI)T)=det⁡(A−λI)\det(A^T-\lambda I)=\det((A-\lambda I)^T)=\det(A-\lambda I) (transponertregelen). Egenvektorene er derimot generelt forskjellige (de kalles venstre-egenvektorer for AA).

Diagonalmatrisens egenverdier

En diagonalmatrise D=diag⁡(d1,…,dn)D=\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n) har egenverdiene d1,…,dnd_1,\dots,d_n rett på diagonalen, med standardbasisvektorene ei\mathbf e_i som egenvektorer (Dei=dieiD\mathbf e_i=d_i\mathbf e_i). Spesialtilfelle av triangulær-regelen.

Egenvektorer for ulike egenverdier er uavhengige

Egenvektorer som tilhører forskjellige egenverdier er alltid lineært uavhengige. Konsekvens: har en n×nn\times n-matrise nn forskjellige egenverdier, får du automatisk nn uavhengige egenvektorer — en basis for Rn\mathbb R^n av egenvektorer (bru til diagonalisering, kap. 5.2).

Similære matriser har samme egenverdier

Er B=P−1APB=P^{-1}AP for en inverterbar PP (da kalles AA og BB similære), har AA og BB nøyaktig samme karakteristiske polynom og dermed samme egenverdier med samme multiplisiteter. Dette er hele ideen bak diagonalisering: en diagonaliserbar AA er similær med en diagonalmatrise DD som bærer egenverdiene.

Sporet til en matrise
Sporet spor⁡A\operatorname{spor}A (engelsk trace) er summen av diagonalelementene, spor⁡A=a11+a22+⋯+ann\operatorname{spor}A=a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn}. Det er lik summen av egenverdiene og brukes som rask kontroll i egenverdi-oppgaver. Nyttig regel: spor⁡(AB)=spor⁡(BA)\operatorname{spor}(AB)=\operatorname{spor}(BA).
Komplekse egenverdier (forvarsel)

Ikke alle reelle matriser har reelle egenverdier: det karakteristiske polynomet kan ha komplekse røtter. For en reell matrise opptrer de i konjugerte par λ=a±bi\lambda=a\pm bi. Rotasjonsmatrisen [0−110]\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix} har for eksempel ingen reell egenvektor. Dette utforskes i kap. 5.4.

Egenbasis

En egenbasis for Rn\mathbb R^n er en basis som helt består av egenvektorer for AA. En slik finnes nettopp når AA er diagonaliserbar (kap. 5.2). I en egenbasis blir AA maksimalt enkel — den virker som ren skalering langs hver basisretning.

Egenrommet er et underrom
Eλ=Nul⁡(A−λI)E_\lambda=\operatorname{Nul}(A-\lambda I) er alltid et underrom av Rn\mathbb R^n: det inneholder 0\mathbf 0 og er lukket under addisjon og skalering (som ethvert nullrom, kap. 3.3). Derfor er en sum eller et skalarmultiplum av egenvektorer for samme λ\lambda igjen en egenvektor for λ\lambda (så lenge den ikke blir 0\mathbf 0).
Defekt (ikke-diagonaliserbar) matrise

En matrise der geometrisk multiplisitet er strengt mindre enn algebraisk for minst én egenverdi, kalles defekt — den mangler egenvektorer og er ikke diagonaliserbar (kap. 5.2). Det minste eksemplet er [2102]\begin{bmatrix}2&1\\0&2\end{bmatrix}: egenverdi 22 med algebraisk multiplisitet 22, men bare ett-dimensjonalt egenrom.

Koeffisientene i det karakteristiske polynomet

For en n×nn\times n-matrise er det karakteristiske polynomet det⁡(A−λI)=(−1)nλn+…\det(A-\lambda I)=(-1)^n\lambda^n+\dots. To av koeffisientene har direkte tolkning: leddet av grad n−1n-1 gir spor⁡A\operatorname{spor}A (sum av egenverdiene), og konstantleddet gir det⁡A\det A (produktet). Derav kontrollrelasjonene.

Egenverdi 1 betyr en fast retning

Er λ=1\lambda=1 en egenverdi, finnes en vektor med Av=vA\mathbf v=\mathbf v — en fast vektor som AA ikke endrer. Slike faste retninger er kjernen i Markov-matriser og stasjonære fordelinger (kap. 5.3), der egenverdien 11 alltid er til stede.

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 3 oppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.