Tilbake
2.3
Alle fag for Høyskole

2.3 Determinanter, kofaktorutvikling og Cramers regel

Determinanten regnet ved kofaktorutvikling og radreduksjon, egenskapene (produktregel, transponert, radoperasjoners virkning), koblingen det A ≠ 0 ⇔ inverterbar, og Cramers regel — pluss det A = ∏λᵢ som bro til egenverdier.

55 min
10 oppgaver
DeterminanterkofaktorutviklingCramers regel
Din fremgang i kapitlet
0 / 10 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper:

- kap. 2.2 — invers og inverterbarhetssetningen (determinantkriteriet det⁡A≠0\det A\ne0 er ett av leddene der)
- kap. 2.1 — matriseprodukt og transponert (trengs i produkt- og transponertregelen)
- kap. 1.1 — radreduksjon, grunnteknikken for store determinanter
- Areal og volum med vektorer — determinanten som areal/volum på VGS-nivå; her bygger vi den fulle teorien for n×nn\times n

Hverdagsanker: ett tall som sier ja eller nei

Tenk deg en bryter som svarer på ett spørsmål om en kvadratisk matrise: kan den inverteres, eller ikke? Determinanten det⁡A\det A er nettopp en slik bryter — ett tall regnet ut fra elementene, der det⁡A≠0\det A\ne0 betyr «ja, inverterbar» og det⁡A=0\det A=0 betyr «nei, singulær». Geometrisk måler det samme tallet hvor mye avbildningen x↦Ax\mathbf x\mapsto A\mathbf x strekker areal (2×2) eller volum (3×3): er strekkfaktoren 00, klemmes rommet flatt, og avbildningen kan ikke reverseres.

Vi bygger determinanten i tre løkker: (1) hvordan den regnes ut — 2×2, 3×3 og kofaktorutvikling langs den smarteste raden; (2) egenskapene som gjør store determinanter overkommelige — radoperasjonenes virkning, produktregelen og transponertregelen; og (3) de to store koblingene — det⁡A≠0⇔\det A\ne0\Leftrightarrow inverterbar (med Cramers regel som bonus) og det⁡A=∏λi\det A=\prod\lambda_i, broen til egenverdiene i Del 5.

Løkke 1 — Utregning: 2×2, 3×3 og kofaktorutvikling (~19 min)

Determinant til en 2×2-matrise
Determinanten er ett tall du regner ut fra en kvadratisk matrise. For A=[abcd]A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} er det
det⁡A=∣abcd∣=ad−bc,\det A=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc,
altså «hoveddiagonalproduktet minus antidiagonalproduktet». De rette strekene ∣ ∣\lvert\ \rvert (i stedet for klammer) betyr «determinanten av». Dette tallet avgjør inverterbarhet: AA er inverterbar nettopp når det⁡A≠0\det A\ne0.
Minor

For en n×nn\times n-matrise AA er minoren MijM_{ij} determinanten til den mindre matrisen du får ved å stryke rad ii og kolonne jj. For en 3×3-matrise er hver minor altså en 2×2-determinant. Minorene er byggeklossene i kofaktorutvikling.

Kofaktor
Kofaktoren CijC_{ij} er minoren med et fortegn foran:
Cij=(−1)i+jMij.C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
Fortegnet (−1)i+j(-1)^{i+j} følger et sjakkbrettmønster som starter med ++ øverst til venstre:
[+−+−+−+−+].\begin{bmatrix}+&-&+\\-&+&-\\+&-&+\end{bmatrix}.
Er i+ji+j et partall, er fortegnet ++; er det oddetall, er det −-. Å telle dette fortegnet feil er den vanligste kilden til feil determinant.
Kofaktorutvikling langs en rad eller kolonne
Determinanten regnes ut ved å utvikle langs en valgt rad eller kolonne: gang hvert element med sin kofaktor og summer. Langs rad ii:
det⁡A=ai1Ci1+ai2Ci2+⋯+ainCin.\det A=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+\dots+a_{in}C_{in}.
Du står fritt til å velge hvilken rad eller kolonne du utvikler langs — svaret blir det samme. Velg alltid raden eller kolonnen med flest nuller: et element som er 00 dreper hele leddet sitt, så du slipper å regne den kofaktoren.
Determinant til en 3×3-matrise
For en 3×3-matrise utvikler vi typisk langs første rad:
det⁡[a11a12a13a21a22a23a31a32a33]=a11 C11+a12 C12+a13 C13,\det\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}=a_{11}\,C_{11}+a_{12}\,C_{12}+a_{13}\,C_{13},
der C11=+∣a22a23a32a33∣C_{11}=+\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}, C12=−∣a21a23a31a33∣C_{12}=-\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}, C13=+∣a21a22a31a32∣C_{13}=+\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}. Merk fortegnsrekken +,−,++,-,+ langs raden. Hver kofaktor er en 2×2-determinant du kan regne med ad−bcad-bc.
✏️Eksempel 1: 3×3-determinant ved kofaktorutvikling

Regn ut det⁡A\det A for A=[2−1310241−2]A=\begin{bmatrix}2&-1&3\\1&0&2\\4&1&-2\end{bmatrix} ved kofaktorutvikling langs første rad.

Fortegnsrekken langs rad 1 er +,−,++,-,+:
det⁡A=2⋅(+1)∣021−2∣+(−1)⋅(−1)∣124−2∣+3⋅(+1)∣1041∣.\det A=2\cdot(+1)\begin{vmatrix}0&2\\1&-2\end{vmatrix}+(-1)\cdot(-1)\begin{vmatrix}1&2\\4&-2\end{vmatrix}+3\cdot(+1)\begin{vmatrix}1&0\\4&1\end{vmatrix}.
De tre 2×2-determinantene:
∣021−2∣=0⋅(−2)−2⋅1=−2,∣124−2∣=−2−8=−10,∣1041∣=1−0=1.\begin{vmatrix}0&2\\1&-2\end{vmatrix}=0\cdot(-2)-2\cdot1=-2,\quad\begin{vmatrix}1&2\\4&-2\end{vmatrix}=-2-8=-10,\quad\begin{vmatrix}1&0\\4&1\end{vmatrix}=1-0=1.
Sett inn (pass på det doble fortegnet i andre ledd, (−1)⋅(−1)=+1(-1)\cdot(-1)=+1):
det⁡A=2(−2)+1⋅(−10)+3⋅1=−4−10+3=−11.\det A=2(-2)+1\cdot(-10)+3\cdot1=-4-10+3=-11.
Svar: det⁡A=−11\det A=-11. Siden det⁡A≠0\det A\ne0, er AA inverterbar.
📝Oppgave 1

(Ren gjengivelse — 2×2-determinanten.) Regn ut determinanten:

a) ∣3524∣\begin{vmatrix}3&5\\2&4\end{vmatrix}

b) ∣6342∣\begin{vmatrix}6&3\\4&2\end{vmatrix}

📝Oppgave 2

(Innøving — kofaktorutvikling.) Regn ut det⁡[12−1034012]\det\begin{bmatrix}1&2&-1\\0&3&4\\0&1&2\end{bmatrix}. Utvikle langs den kolonnen som har flest nuller.

📝Oppgave 3
Sjanger C

Regn ut det⁡[400725301]\det\begin{bmatrix}4&0&0\\7&2&5\\3&0&1\end{bmatrix} ved å velge den raden eller kolonnen som gir minst arbeid.

Løkke 2 — Egenskaper: radreduksjon, produkt og transponert (~19 min)

Store determinanter regnes ikke ut ved blind kofaktorutvikling — en 4×4 ville da kreve fire 3×3-er, altså tolv 2×2-er. I stedet radreduserer vi til triangulær form og leser av determinanten som produktet av diagonalen. Nøkkelen er å vite hvordan hver radoperasjon påvirker determinanten.

Radoperasjoners virkning på determinanten

De tre elementære radoperasjonene gjør følgende med determinanten:

1. Bytt to rader ⇒\Rightarrow determinanten skifter fortegn (ganges med −1-1).
2. Skaler en rad med kk ⇒\Rightarrow determinanten ganges med kk.
3. Adder et multiplum av en rad til en annen ⇒\Rightarrow determinanten er uendret.

Operasjon 3 er den viktige: den lar deg lage nuller gratis, uten å endre svaret. Radbytter må du telle (hvert bytte gir en faktor −1-1), og skalering må du kompensere for. Alle tre reglene gjelder tilsvarende for kolonneoperasjoner.

Determinant av en triangulær matrise
For en triangulær matrise (øvre eller nedre) er determinanten simpelthen produktet av diagonalelementene:
det⁡A=a11a22⋯ann.\det A=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}.
Dette er grunnen til at radreduksjon virker: reduser AA til triangulær form (med kontroll på fortegn og skaleringer underveis), gang diagonalen, og juster. Spesielt: har en triangulær matrise en 00 på diagonalen, er det⁡A=0\det A=0.
✏️Eksempel 2: 4×4-determinant ved radreduksjon

Regn ut det⁡A\det A for A=[1312021126350013]A=\begin{bmatrix}1&3&1&2\\0&2&1&1\\2&6&3&5\\0&0&1&3\end{bmatrix}, og avgjør om AA er inverterbar.

Vi radreduserer til triangulær form med operasjoner som ikke endrer determinanten (adder multiplum av en rad til en annen).

R3→R3−2R1R_3\to R_3-2R_1 (dette gjør R3=(2,6,3,5)−2(1,3,1,2)=(0,0,1,1)R_3=(2,6,3,5)-2(1,3,1,2)=(0,0,1,1)):
∣1312021100110013∣.\begin{vmatrix}1&3&1&2\\0&2&1&1\\0&0&1&1\\0&0&1&3\end{vmatrix}.
R4→R4−R3R_4\to R_4-R_3 (gjør R4=(0,0,1,3)−(0,0,1,1)=(0,0,0,2)R_4=(0,0,1,3)-(0,0,1,1)=(0,0,0,2)):
∣1312021100110002∣.\begin{vmatrix}1&3&1&2\\0&2&1&1\\0&0&1&1\\0&0&0&2\end{vmatrix}.
Matrisen er nå øvre triangulær, og ingen av operasjonene endret determinanten. Determinanten er produktet av diagonalen:
det⁡A=1⋅2⋅1⋅2=4.\det A=1\cdot2\cdot1\cdot2=4.
Svar: det⁡A=4\det A=4. Siden det⁡A≠0\det A\ne0, er AA inverterbar (determinantkriteriet). Merk hvor mye raskere dette går enn å kofaktorutvikle en full 4×4.

Neste løkkebit er de fire egenskapene som lar deg regne med determinanter uten å regne dem ut: produktregelen, transponertregelen, invers og skalering.

Produktregelen det⁡(AB)=det⁡Adet⁡B\det(AB)=\det A\det B
For to kvadratiske matriser av samme størrelse er determinanten til produktet lik produktet av determinantene:
det⁡(AB)=det⁡A⋅det⁡B.\det(AB)=\det A\cdot\det B.
Dette er en av de mest brukte determinantreglene i bevis. Merk kontrasten til addisjon: det finnes ingen slik regel for det⁡(A+B)\det(A+B) — generelt er det⁡(A+B)≠det⁡A+det⁡B\det(A+B)\ne\det A+\det B.
Transponertregelen det⁡AT=det⁡A\det A^{T}=\det A
Transponering endrer ikke determinanten:
det⁡AT=det⁡A.\det A^{T}=\det A.
Derfor spiller det ingen rolle om du utvikler langs en rad eller en kolonne — kolonnene i AA er radene i ATA^{T}. Praktisk konsekvens: alt du kan gjøre med rader (radoperasjoner, lete etter nuller), kan du like gjerne gjøre med kolonner.
Determinanten av inversen
Er AA inverterbar, er
det⁡(A−1)=1det⁡A.\det(A^{-1})=\frac{1}{\det A}.
Dette følger av produktregelen: det⁡A⋅det⁡(A−1)=det⁡(AA−1)=det⁡I=1\det A\cdot\det(A^{-1})=\det(AA^{-1})=\det I=1, så det⁡(A−1)\det(A^{-1}) må være 1/det⁡A1/\det A. Legg samtidig merke til at det⁡I=1\det I=1 for identitetsmatrisen (triangulær med bare 1-ere på diagonalen).
Determinanten av cAcA
Å skalere hele matrisen med et tall cc skalerer determinanten med cc opphøyd i formatet:
det⁡(cA)=c ndet⁡A(A er n×n).\det(cA)=c^{\,n}\det A\qquad(A\text{ er }n\times n).
Grunnen: å gange cAcA betyr å skalere hver av de nn radene med cc, og hver radskalering ganger determinanten med cc (radoperasjon 2) — til sammen cnc^n. En vanlig felle er å tro det⁡(cA)=cdet⁡A\det(cA)=c\det A; potensen nn er lett å glemme.
✏️Eksempel 3: Regn med determinantreglene

La AA og BB være 3×33\times3-matriser med det⁡A=5\det A=5 og det⁡B=−2\det B=-2. Regn ut:

a) det⁡(AB)\det(AB)
b) det⁡(AT)\det(A^{T})
c) det⁡(A−1)\det(A^{-1})
d) det⁡(2A)\det(2A)

Vi bruker reglene direkte, uten å kjenne matrisene.

a) Produktregelen: det⁡(AB)=det⁡A⋅det⁡B=5⋅(−2)=−10\det(AB)=\det A\cdot\det B=5\cdot(-2)=-10.

b) Transponertregelen: det⁡(AT)=det⁡A=5\det(A^{T})=\det A=5.

c) Invers: det⁡(A−1)=1det⁡A=15\det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det A}=\dfrac{1}{5}.

d) Skalering med n=3n=3: det⁡(2A)=23det⁡A=8⋅5=40\det(2A)=2^{3}\det A=8\cdot5=40. (Ikke 2⋅5=102\cdot5=10 — hele matrisen skaleres, så faktoren er 232^3.)

📝Oppgave 4
Sjanger C

La AA være en 4×44\times4-matrise med det⁡A=3\det A=3.

a) Hva er det⁡(A2)\det(A^{2})?

b) Hva er det⁡(3A)\det(3A)?

c) Hva er det⁡(A−1)\det(A^{-1})?

📝Oppgave 5
Sjanger C

Regn ut det⁡[2103011142170021]\det\begin{bmatrix}2&1&0&3\\0&1&1&1\\4&2&1&7\\0&0&2&1\end{bmatrix} ved radreduksjon, og avgjør om matrisen er inverterbar.

Løkke 3 — Inverterbarhet, Cramers regel og broen til egenverdier (~17 min)

Determinantkriteriet for inverterbarhet
Determinanten avgjør inverterbarhet, og er ett av leddene i inverterbarhetssetningen (kap. 2.2):
A inverterbar ⟺ det⁡A≠0.A\text{ inverterbar}\ \Longleftrightarrow\ \det A\ne0.
Er det⁡A=0\det A=0, er AA singulær: da har Ax=0A\mathbf x=\mathbf 0 ikke-trivielle løsninger, rang⁡A<n\operatorname{rang}A<n, og kolonnene er lineært avhengige. Å regne ut determinanten er derfor ofte den raskeste måten å avgjøre inverterbarhet på — spesielt for 2×2 og 3×3.
✏️Eksempel 4: Inverterbarhet via determinanten

For hvilke verdier av tt er A=[t23t]A=\begin{bmatrix}t&2\\3&t\end{bmatrix} inverterbar?

Vi regner determinanten og krever at den er ulik null:
det⁡A=t⋅t−2⋅3=t2−6.\det A=t\cdot t-2\cdot3=t^{2}-6.
Matrisen er inverterbar nettopp når det⁡A≠0\det A\ne0, altså når t2−6≠0t^{2}-6\ne0, det vil si t≠±6t\ne\pm\sqrt{6}.

Svar: AA er inverterbar for alle tt unntatt t=6t=\sqrt{6} og t=−6t=-\sqrt{6}, hvor AA er singulær. (Eksakt svar — ingen desimaltilnærming av 6\sqrt6.)

Cramers regel
For et system Ax=bA\mathbf x=\mathbf b med inverterbar n×nn\times n-matrise AA gir Cramers regel hver ukjente som en brøk av to determinanter:
xi=det⁡Ai(b)det⁡A,x_i=\frac{\det A_i(\mathbf b)}{\det A},
der Ai(b)A_i(\mathbf b) er AA med kolonne ii erstattet av høyresiden b\mathbf b. Regelen er mest praktisk for 2×2- og 3×3-system; for større system er radreduksjon raskere. Den krever det⁡A≠0\det A\ne0 (ellers er systemet ikke entydig løsbart).
✏️Eksempel 5: Cramers regel på et 2×2-system

Løs {x+2y=43x−y=5\begin{cases}x+2y=4\\3x-y=5\end{cases} med Cramers regel.

Koeffisientmatrisen og høyresiden er A=[123−1]A=\begin{bmatrix}1&2\\3&-1\end{bmatrix}, b=[45]\mathbf b=\begin{bmatrix}4\\5\end{bmatrix}. Nevneren er
det⁡A=1⋅(−1)−2⋅3=−7 (≠0),\det A=1\cdot(-1)-2\cdot3=-7\ (\ne0),
så systemet har entydig løsning. Erstatt kolonne 1 med b\mathbf b for xx, og kolonne 2 med b\mathbf b for yy:
x=∣425−1∣−7=−4−10−7=−14−7=2,y=∣1435∣−7=5−12−7=−7−7=1.x=\frac{\begin{vmatrix}4&2\\5&-1\end{vmatrix}}{-7}=\frac{-4-10}{-7}=\frac{-14}{-7}=2,\qquad y=\frac{\begin{vmatrix}1&4\\3&5\end{vmatrix}}{-7}=\frac{5-12}{-7}=\frac{-7}{-7}=1.
Svar: (x,y)=(2,1)(x,y)=(2,1). Kontroll: 1⋅2+2⋅1=41\cdot2+2\cdot1=4 og 3⋅2−1⋅1=53\cdot2-1\cdot1=5. ✓\checkmark
📝Oppgave 6
Sjanger C

Løs {2x+3y=7x−y=1\begin{cases}2x+3y=7\\x-y=1\end{cases} med Cramers regel.

Determinant og spor som egenverdiprodukt og -sum
Determinanten og sporet henger sammen med egenverdiene λ1,…,λn\lambda_1,\dots,\lambda_n (Del 5):
det⁡A=∏iλi=λ1λ2⋯λn,spor⁡A=∑iλi.\det A=\prod_{i}\lambda_i=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n,\qquad \operatorname{spor}A=\sum_i\lambda_i.
Determinanten er altså produktet av egenverdiene, og sporet (summen av diagonalelementene) er summen. To umiddelbare konsekvenser: det⁡A=0\det A=0 nettopp når 00 er en egenverdi (jf. inverterbarhetssetningen), og for en triangulær matrise står egenverdiene rett på diagonalen. Dette er broen til den karakteristiske likningen det⁡(A−λI)=0\det(A-\lambda I)=0.
✏️Eksempel 6: Determinant og spor som egenverdi-produkt/-sum

Matrisen A=[3122]A=\begin{bmatrix}3&1\\2&2\end{bmatrix} har egenverdier λ1=1\lambda_1=1 og λ2=4\lambda_2=4 (dette regner du selv ut i Del 5). Bekreft at det⁡A=λ1λ2\det A=\lambda_1\lambda_2 og spor⁡A=λ1+λ2\operatorname{spor}A=\lambda_1+\lambda_2.

Determinanten direkte: det⁡A=3⋅2−1⋅2=6−2=4\det A=3\cdot2-1\cdot2=6-2=4. Produktet av egenverdiene: λ1λ2=1⋅4=4\lambda_1\lambda_2=1\cdot4=4. De stemmer: det⁡A=4=λ1λ2\det A=4=\lambda_1\lambda_2. ✓\checkmark

Sporet (sum av diagonalen): spor⁡A=3+2=5\operatorname{spor}A=3+2=5. Summen av egenverdiene: λ1+λ2=1+4=5\lambda_1+\lambda_2=1+4=5. De stemmer: spor⁡A=5=λ1+λ2\operatorname{spor}A=5=\lambda_1+\lambda_2. ✓\checkmark

Dette gir en gratis kontroll i egenverdi-oppgaver: har du regnet ut egenverdiene, skal produktet bli det⁡A\det A og summen bli sporet — ellers er det en regnefeil et sted.

📝Oppgave 7
Sjanger N

Anta at AA er en skjevsymmetrisk n×nn\times n-matrise, altså AT=−AA^{T}=-A, og at nn er et oddetall. Vis at det⁡A=0\det A=0 (så AA er singulær).

Begrepsbank til eksamen

Her er de resterende kjernebegrepene samlet i kortform for repetisjon og pugging (kode E — intet formelark).

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — det gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Determinant som areal og volum

Geometrisk måler determinanten hvor mye avbildningen x↦Ax\mathbf x\mapsto A\mathbf x strekker areal eller volum. For en 2×2-matrise er ∣det⁡A∣|\det A| arealet av parallellogrammet utspent av de to kolonnevektorene; for 3×3 er ∣det⁡A∣|\det A| volumet av parallellepipedet utspent av de tre kolonnene (jf. Areal og volum med vektorer). Er determinanten 00, klemmes figuren flat (kolonnene er lineært avhengige), og avbildningen kan ikke reverseres.

Determinanten av identitetsmatrisen
det⁡I=1\det I=1 for identitetsmatrisen av enhver størrelse, siden II er triangulær med bare 1-ere på diagonalen (1⋅1⋯1=11\cdot1\cdots1=1). Dette er grunnsteinen bak det⁡(A−1)=1/det⁡A\det(A^{-1})=1/\det A: fra AA−1=IAA^{-1}=I gir produktregelen det⁡A⋅det⁡(A−1)=det⁡I=1\det A\cdot\det(A^{-1})=\det I=1.
Determinanten av en diagonalmatrise

En diagonalmatrise D=diag⁡(d1,…,dn)D=\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n) har det⁡D=d1d2⋯dn\det D=d_1d_2\cdots d_n — produktet av diagonalelementene, som for enhver triangulær matrise. DD er inverterbar nettopp når alle di≠0d_i\ne0, i tråd med determinantkriteriet.

Nullrad eller nullkolonne gir determinant null

Har en matrise en hel rad (eller kolonne) med bare nuller, er det⁡A=0\det A=0. Grunnen er lett å se med kofaktorutvikling langs nettopp den raden: hvert ledd har en faktor 00, så summen blir 00. En matrise med nullrad er derfor alltid singulær.

To like rader gir determinant null

Har en matrise to like rader (eller to like kolonner), er det⁡A=0\det A=0. Bytter du de to like radene, skal determinanten skifte fortegn (radbytte-regelen), men matrisen er uendret — så det⁡A=−det⁡A\det A=-\det A, som tvinger det⁡A=0\det A=0. Mer generelt: er radene (eller kolonnene) lineært avhengige, er determinanten 00.

Determinanten av en potens

For en kvadratisk matrise gir produktregelen gjentatt at det⁡(Ak)=(det⁡A)k\det(A^{k})=(\det A)^{k} for alle heltall k≥1k\ge1. Er AA inverterbar, gjelder det også for negative potenser: det⁡(A−k)=(det⁡A)−k\det(A^{-k})=(\det A)^{-k}. Spesialtilfellet det⁡(A2)=(det⁡A)2\det(A^2)=(\det A)^2 brukes ofte i bevis.

Sarrus' regel for 3×3
Sarrus' regel er en huskeregel for 3×3-determinanter: summen av de tre «nedadgående» diagonalproduktene minus de tre «oppadgående»:
det⁡A=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33.\det A=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}.
Den gir samme svar som kofaktorutvikling, men virker bare for 3×3 (ikke 4×4 og oppover) — der må du bruke kofaktor eller radreduksjon.
Kolonneoperasjoner og determinanten

Fordi det⁡AT=det⁡A\det A^{T}=\det A, virker kolonneoperasjoner på determinanten akkurat som radoperasjoner: kolonnebytte skifter fortegn, kolonneskalering ganger med faktoren, og å addere et multiplum av en kolonne til en annen lar determinanten være uendret. Du kan altså lete etter nuller i både rader og kolonner.

Kofaktormatrise og adjungert (kjennskap)
Kofaktormatrisen er matrisen av alle kofaktorene CijC_{ij}. Dens transponerte kalles den adjungerte adj⁡A\operatorname{adj}A, og gir en lukket formel for inversen: A−1=1det⁡Aadj⁡AA^{-1}=\tfrac{1}{\det A}\operatorname{adj}A. For 2×2 er dette nettopp «bytt diagonalen, skift fortegn»-formelen fra kap. 2.2. På dette nivået holder det å kjenne til sammenhengen; for hånd er Gauss–Jordan raskere for 3×33\times3 og større.
Determinant og lineær avhengighet

Kolonnene (eller radene) i en kvadratisk matrise er lineært uavhengige nettopp når det⁡A≠0\det A\ne0, og lineært avhengige nettopp når det⁡A=0\det A=0. Dette knytter determinanten til basis-begrepet (Del 3): det⁡A≠0\det A\ne0 betyr at kolonnene danner en basis for Rn\mathbb R^n, som er nok ett ledd i inverterbarhetssetningen.

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 3 oppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.