2.1 Matrisealgebra: multiplikasjon, transponert og spesielle matriser

En matrise er en rektangulær tabell av tall, ordnet i rader og kolonner. En matrise med $m$ rader og $n$ kolonner kalles en $m\times n$-matrise, og $m\times n$ er dens format (dimensjon). Tallet i rad $i$ og kolonne $j$ skrives $a_{ij}$ og kalles et element. For eksempel er $A=\begin{bmatrix}2&-1&0\\3&5&4\end{bmatrix}$ en $2\times3$-matrise med $a_{13}=0$ og $a_{21}=3$.

To matriser av samme format legges sammen element for element: $(A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$. Har $A$ og $B$ ulikt format, er $A+B$ ikke definert. Addisjonen er kommutativ og assosiativ, akkurat som for tall, fordi den skjer i hver celle for seg.

Å gange en matrise med et tall $c$ (en skalar) betyr å gange hvert element med $c$: $(cA)_{ij}=c\,a_{ij}$. Dette skalerer hele tabellen samtidig og endrer aldri formatet. Kombinasjonen $3A-2B$ betyr derfor «skaler $A$ med 3, skaler $B$ med 2, og trekk fra element for element».

Produktet $AB$ er definert bare når antall kolonner i $A$ er lik antall rader i $B$: er $A$ av format $m\times n$ og $B$ av format $n\times p$, så er $AB$ av format $m\times p$. De «indre» tallene ($n$) må matche og «forsvinner»; de «ytre» ($m$ og $p$) blir formatet til produktet. Multiplikasjonen er altså ikke elementvis — den følger rad-gang-kolonne-regelen under.

Matrisemultiplikasjon er ikke kommutativ: i sin alminnelighet er $AB\ne BA$. Noen ganger er ett av produktene ikke engang definert (format passer ikke), og selv når begge er kvadratiske og like store, gir de vanligvis ulike svar. Rekkefølgen betyr alt — dette er kilden til mange feil i bevis, der du ikke har lov til å bytte om faktorene.

Når formatene passer, gjelder: assosiativ lov $A(BC)=(AB)C$; distributive lover $A(B+C)=AB+AC$ og $(A+B)C=AC+BC$; skalar flyttes fritt $c(AB)=(cA)B=A(cB)$; og identiteten $IA=A=AI$. Det som ikke gjelder, er kommutativitet ($AB\ne BA$) og forkorting ($AB=AC$ gir ikke $B=C$ uten videre).

For en kvadratisk matrise $A$ er potensen $A^k$ produktet av $A$ med seg selv $k$ ganger: $A^2=AA$, $A^3=AAA$, og $A^0=I$. Fordi det er matriseprodukt, er $A^2$ ikke det samme som å kvadrere hvert element. Bare kvadratiske matriser kan opphøyes i potens, siden formatet må passe for å gange $A$ med seg selv.

Den transponerte $A^{T}$ fås ved å speile matrisen om hoveddiagonalen: rad $i$ blir kolonne $i$. Element $a_{ij}$ havner i posisjon $(j,i)$, så $(A^{T})_{ij}=a_{ji}$. Er $A$ av format $m\times n$, er $A^{T}$ av format $n\times m$. For eksempel er $\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}^{T}=\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}$.

Transponering følger reglene $(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}$, $(cA)^{T}=cA^{T}$, $(A^{T})^{T}=A$, og — den viktigste — $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$: transponering av et produkt snur rekkefølgen på faktorene. Rekkefølgesnuingen er lett å glemme og er en dokumentert felle; den er samtidig nøkkelen i mange bevis.

En diagonalmatrise er en kvadratisk matrise der alle elementer utenfor hoveddiagonalen er $0$; bare $a_{11},a_{22},\dots,a_{nn}$ kan være ulik null. Diagonalmatriser er enkle å regne med: produktet av to diagonalmatriser fås ved å gange diagonalene elementvis, og $D^k$ fås ved å opphøye hver diagonaloppføring i $k$. Identitetsmatrisen er et spesialtilfelle.

En kvadratisk matrise er øvre triangulær hvis alle elementer under hoveddiagonalen er $0$, og nedre triangulær hvis alle elementer over diagonalen er $0$. Triangulære matriser er sentrale fordi determinanten deres er produktet av diagonalelementene (kap. 2.3), og fordi radreduksjon nettopp sikter mot triangulær form.

En kvadratisk matrise er symmetrisk hvis den er lik sin egen transponerte: $A^{T}=A$, altså $a_{ij}=a_{ji}$ for alle $i,j$. Da er matrisen speilsymmetrisk om hoveddiagonalen. Symmetriske matriser har spesielt fine egenskaper senere i faget (de er alltid diagonaliserbare — spektralteoremet i Del 6).

En matrise med like mange rader som kolonner, altså format $n\times n$. Bare kvadratiske matriser kan opphøyes i potens ($A^k$), ha invers (kap. 2.2) og determinant (kap. 2.3), og bare de kan være diagonale, triangulære eller symmetriske.

Matrisen $O$ (eller $\mathbf 0$) der alle elementer er $0$. Den virker som «tallet 0»: $A+O=A$ og $AO=O$, $OA=O$ (når formatene passer). Merk at $AB=O$ ikke betyr at $A=O$ eller $B=O$ — to matriser ulik null kan gi nullproduktet.

En kolonnevektor er en $n\times1$-matrise (én kolonne), og en radvektor er en $1\times n$-matrise (én rad). Vektorene i $\mathbb R^n$ oppfattes som kolonnevektorer i lineær algebra, og transponering bytter mellom rad- og kolonneform: $\mathbf v^{T}$ er en radvektor om $\mathbf v$ er en kolonnevektor.

En kvadratisk matrise med $A^{T}=-A$, altså $a_{ij}=-a_{ji}$. Da må diagonalelementene være $0$ (siden $a_{ii}=-a_{ii}$). Enhver kvadratisk matrise kan skrives som en sum av en symmetrisk del $\tfrac12(A+A^{T})$ og en skjevsymmetrisk del $\tfrac12(A-A^{T})$.

To matriser er like hvis de har samme format og alle tilsvarende elementer er like: $A=B$ betyr $a_{ij}=b_{ij}$ for alle $i,j$. En matriselikning som $AX=B$ krever derfor at formatene henger sammen, og løses element for element eller med invers (kap. 2.2).

For enhver matrise $A$ er både $A^{T}A$ og $AA^{T}$ symmetriske, fordi $(A^{T}A)^{T}=A^{T}(A^{T})^{T}=A^{T}A$ (og tilsvarende for $AA^{T}$). Er $A$ av format $m\times n$, er $A^{T}A$ av format $n\times n$ og $AA^{T}$ av format $m\times m$. Dette resultatet er selve broen til normallikningene i minste kvadrater (Del 6).

En matrise delt inn i blokker (delmatriser) ved tenkte vannrette og loddrette streker. Passer blokkstørrelsene sammen, kan man gange blokkmatriser «som om blokkene var tall», med rad-gang-kolonne på blokknivå. Nyttig for å forenkle store produkter; på dette nivået holder det å kjenne til begrepet.