Tilbake
2.2
Alle fag for Høyskole

2.2 Invers matrise: Gauss–Jordan, 2×2-formelen og inverterbarhetssetningen

Den inverse matrisen: 2×2-formelen, Gauss–Jordan-metoden [A | I] → [I | A⁻¹], regnereglene (AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹, og den store inverterbarhetssetningen som knytter sammen invers, determinant, rang, Nul og løsbarhet.

55 min
10 oppgaver
Invers matriseGauss–Jordan2×2-formeleninverterbarhetssetningen
Din fremgang i kapitlet
0 / 10 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper:

- kap. 2.1 — matriseprodukt, identitet, transponert
- kap. 1.1 — radreduksjon til redusert trappeform (motoren i Gauss–Jordan-metoden for invers)

Determinanten møter du i sin fulle bredde i kap. 2.3; her trenger vi bare 2×2-determinanten ad−bcad-bc, som vi definerer underveis.

Hverdagsanker: å gjøre om igjen

For tallet 55 finnes et «motstykke» 15\tfrac15 slik at 5⋅15=15\cdot\tfrac15=1 — det lar oss løse 5x=b5x=b ved å gange med 15\tfrac15. Den inverse matrisen A−1A^{-1} spiller nøyaktig samme rolle for matriser: den «gjør om igjen» det AA gjorde, slik at A−1A=IA^{-1}A=I. Da kan matriselikningen Ax=bA\mathbf x=\mathbf b løses ved å gange med A−1A^{-1}.

Men ikke alle matriser har invers — akkurat som 00 ikke har noe 10\tfrac10. Kapitlet handler om når inversen finnes, hvordan du regner den ut, og hvordan den ene egenskapen «inverterbar» henger sammen med determinant, rang og løsbarhet gjennom inverterbarhetssetningen. Vi bygger det i tre løkker: (1) 2×2-formelen, (2) Gauss–Jordan for større matriser og regnereglene, og (3) inverterbarhetssetningen og bevisbruk.

Løkke 1 — Invers og 2×2-formelen (~17 min)

Invers matrise
Den inverse til en kvadratisk matrise AA er en matrise A−1A^{-1} (av samme format) slik at
AA−1=A−1A=I.AA^{-1}=A^{-1}A=I.
Den «nøytraliserer» AA: ganger du AA med A−1A^{-1} (fra begge sider), får du identitetsmatrisen. Inversen er entydig når den finnes. Merk at bare kvadratiske matriser kan ha invers i denne forstand.
Inverterbar matrise

En kvadratisk matrise kalles inverterbar (eller regulær / ikke-singulær) hvis den har en invers A−1A^{-1}. Å avgjøre om en matrise er inverterbar er et av de vanligste eksamensspørsmålene — og svaret henger sammen med determinant, rang og løsbarhet via inverterbarhetssetningen (løkke 3).

Singulær matrise

En kvadratisk matrise som ikke har invers kalles singulær (ikke-inverterbar). En matrise er singulær nøyaktig når determinanten er 00 — likeverdig med at radreduksjon gir en nullrad, at rangen er mindre enn nn, eller at Ax=0A\mathbf x=\mathbf 0 har ikke-trivielle løsninger.

Determinant til en 2×2-matrise
For A=[abcd]A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} er determinanten tallet
det⁡A=ad−bc.\det A=ad-bc.
Det er «hoveddiagonalproduktet minus antidiagonalproduktet». Determinanten avgjør inverterbarhet: AA er inverterbar nettopp når det⁡A≠0\det A\ne0. (Den fulle teorien for større determinanter kommer i kap. 2.3.)
2×2-inversformelen
For A=[abcd]A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} med det⁡A=ad−bc≠0\det A=ad-bc\ne0 er
A−1=1ad−bc[d−b−ca].A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}.
Oppskriften: bytt de to diagonalelementene (aa og dd), skift fortegn på de to andre (bb og cc), og del på determinanten. Er ad−bc=0ad-bc=0, finnes ingen invers — da er AA singulær.
✏️Eksempel 1: Invers av en 2×2-matrise

Finn A−1A^{-1} for A=[2513]A=\begin{bmatrix}2&5\\1&3\end{bmatrix}, og kontroller.

Determinanten er det⁡A=2⋅3−5⋅1=6−5=1\det A=2\cdot3-5\cdot1=6-5=1. Siden det⁡A=1≠0\det A=1\ne0, er AA inverterbar. Formelen gir (bytt 22 og 33, skift fortegn på 55 og 11, del på 11):
A−1=11[3−5−12]=[3−5−12].A^{-1}=\frac{1}{1}\begin{bmatrix}3&-5\\-1&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3&-5\\-1&2\end{bmatrix}.
Kontroll: AA−1=[2513][3−5−12]=[6−5−10+103−3−5+6]=[1001]=I. ✓AA^{-1}=\begin{bmatrix}2&5\\1&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&-5\\-1&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6-5&-10+10\\3-3&-5+6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}=I.\ \checkmark
📝Oppgave 1

(Innøving — 2×2-formelen.) Finn inversen til A=[4311]A=\begin{bmatrix}4&3\\1&1\end{bmatrix}.

✏️Eksempel 2: En singulær matrise

Er A=[2412]A=\begin{bmatrix}2&4\\1&2\end{bmatrix} inverterbar?

Determinanten er det⁡A=2⋅2−4⋅1=4−4=0\det A=2\cdot2-4\cdot1=4-4=0. Siden det⁡A=0\det A=0, er AA singulær — den har ingen invers. (Legg merke til at rad 2 er halvparten av rad 1: radene er lineært avhengige, så radreduksjon gir en nullrad, i tråd med at rangen er 1<21<2.)

📝Oppgave 2

(Innøving — avgjør inverterbarhet.) Avgjør for hver matrise om den er inverterbar ved å regne determinanten:

a) [3624]\begin{bmatrix}3&6\\2&4\end{bmatrix}

b) [5231]\begin{bmatrix}5&2\\3&1\end{bmatrix}

Løkke 2 — Gauss–Jordan og regnereglene (~20 min)

Gauss–Jordan-metoden for invers
For en n×nn\times n-matrise AA finner du inversen ved å radredusere den utvidede matrisen [A∣I][A\mid I] til redusert trappeform. Klarer du å få AA-delen til å bli II, står inversen igjen på høyre side:
[A∣I] ⟶ [I∣A−1].[A\mid I]\ \longrightarrow\ [I\mid A^{-1}].
Får du i stedet en nullrad på venstresiden underveis, er AA singulær og har ingen invers. Metoden virker for enhver størrelse og er standardverktøyet under ingen-hjelpemidler-kravet.
✏️Eksempel 3: 3×3-invers med Gauss–Jordan

Finn A−1A^{-1} for A=[101021111]A=\begin{bmatrix}1&0&1\\0&2&1\\1&1&1\end{bmatrix}.

Vi radreduserer [A∣I][A\mid I]:
[101100021010111001].\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&0&1&1&0&0\\0&2&1&0&1&0\\1&1&1&0&0&1\end{array}\right].
R3→R3−R1R_3\to R_3-R_1:
[101100021010010−101].\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&0&1&1&0&0\\0&2&1&0&1&0\\0&1&0&-1&0&1\end{array}\right].
Bytt R2↔R3R_2\leftrightarrow R_3 for et rent pivot-11, deretter R3→R3−2R2R_3\to R_3-2R_2:
[101100010−10100121−2].\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&0&1&1&0&0\\0&1&0&-1&0&1\\0&0&1&2&1&-2\end{array}\right].
Til slutt R1→R1−R3R_1\to R_1-R_3 (kolonne 3 nulles over pivoten):
[100−1−12010−10100121−2].\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-1&-1&2\\0&1&0&-1&0&1\\0&0&1&2&1&-2\end{array}\right].
Venstresiden er II, så
A−1=[−1−12−10121−2].A^{-1}=\begin{bmatrix}-1&-1&2\\-1&0&1\\2&1&-2\end{bmatrix}.
Kontroll (rad 1 av AA−1AA^{-1}): [101]\begin{bmatrix}1&0&1\end{bmatrix} mot kolonnene gir (−1+2, −1+1, 2−2)=(1,0,0)(-1+2,\,-1+1,\,2-2)=(1,0,0). ✓\checkmark
📝Oppgave 3
Sjanger B

Bruk Gauss–Jordan til å finne inversen av A=[211132100]A=\begin{bmatrix}2&1&1\\1&3&2\\1&0&0\end{bmatrix}.

Regneregelen (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}
Er AA og BB begge inverterbare (og like store), er produktet ABAB inverterbart, og
(AB)−1=B−1A−1.(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.
Rekkefølgen snus — akkurat som for transponert. Intuisjon: for å angre «først BB, så AA» må du angre i motsatt rekkefølge, «først A−1A^{-1}, så B−1B^{-1}». Kontroll: (AB)(B−1A−1)=A(BB−1)A−1=AIA−1=I(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AIA^{-1}=I.
Regneregelen (AT)−1=(A−1)T(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}
Er AA inverterbar, er også ATA^{T} inverterbar, og de to operasjonene «transponer» og «inverter» kan byttes om:
(AT)−1=(A−1)T.(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}.
Dette følger av (AB)T=BTAT(AB)^{T}=B^{T}A^{T}: transponer AA−1=IAA^{-1}=I og få (A−1)TAT=I(A^{-1})^{T}A^{T}=I, som nettopp sier at (A−1)T(A^{-1})^{T} er inversen til ATA^{T}.
✏️Eksempel 4: $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

La A=[1201]A=\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix} og B=[3011]B=\begin{bmatrix}3&0\\1&1\end{bmatrix}. Bekreft (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.

Først AB=[1201][3011]=[5211]AB=\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&0\\1&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5&2\\1&1\end{bmatrix}, med det⁡(AB)=5−2=3\det(AB)=5-2=3, så
(AB)−1=13[1−2−15]=[13−23−1353].(AB)^{-1}=\tfrac13\begin{bmatrix}1&-2\\-1&5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\tfrac13&-\tfrac23\\-\tfrac13&\tfrac53\end{bmatrix}.
Nå den andre veien: A−1=[1−201]A^{-1}=\begin{bmatrix}1&-2\\0&1\end{bmatrix} og B−1=13[10−13]=[130−131]B^{-1}=\tfrac13\begin{bmatrix}1&0\\-1&3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\tfrac13&0\\-\tfrac13&1\end{bmatrix}. Da er
B−1A−1=[130−131][1−201]=[13−23−1353]=(AB)−1. ✓B^{-1}A^{-1}=\begin{bmatrix}\tfrac13&0\\-\tfrac13&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-2\\0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\tfrac13&-\tfrac23\\-\tfrac13&\tfrac53\end{bmatrix}=(AB)^{-1}.\ \checkmark
Merk at A−1B−1A^{-1}B^{-1} (feil rekkefølge) ville gitt noe annet.
📝Oppgave 4
Sjanger B

Bruk A−1A^{-1} til å løse Ax=bA\mathbf x=\mathbf b når A=[2513]A=\begin{bmatrix}2&5\\1&3\end{bmatrix} og b=[41]\mathbf b=\begin{bmatrix}4\\1\end{bmatrix}.

Løkke 3 — Inverterbarhetssetningen og bevisbruk (~18 min)

Inverterbarhetssetningen

For en kvadratisk n×nn\times n-matrise AA er følgende utsagn ekvivalente — enten er alle sanne, eller så er alle usanne:

1. AA er inverterbar.
2. det⁡A≠0\det A\ne0.
3. rang⁡A=n\operatorname{rang}A=n (pivot i hver kolonne; radreduksjon gir II).
4. Nul⁡A={0}\operatorname{Nul}A=\{\mathbf 0\} (Ax=0A\mathbf x=\mathbf 0 har bare den trivielle løsningen).
5. Kolonnene i AA er lineært uavhengige og danner en basis for Rn\mathbb R^n.
6. Ax=bA\mathbf x=\mathbf b har en entydig løsning for hver b\mathbf b.
7. 00 er ikke en egenverdi for AA (bro til Del 5).

Dette er den lange ekvivalenskjeden. Poenget er å kunne «oversette» fritt mellom utsagnene i et bevis — og navngi setningen når du gjør det.

✏️Eksempel 5: Bruk av inverterbarhetssetningen

En 3×33\times3-matrise AA har Nul⁡A={0}\operatorname{Nul}A=\{\mathbf 0\}. Hva kan du si om:

a) løsbarheten av Ax=bA\mathbf x=\mathbf b
b) determinanten

Utsagnet Nul⁡A={0}\operatorname{Nul}A=\{\mathbf 0\} er punkt 4 i inverterbarhetssetningen. Er ett av de ekvivalente utsagnene sant, er alle sanne.

a) Fra punkt 6 følger at Ax=bA\mathbf x=\mathbf b har en entydig løsning for hver b\mathbf b.

b) Fra punkt 2 følger at det⁡A≠0\det A\ne0.

Sensor-merknad: slik oversetter du ett utsagn til de andre — og du sier eksplisitt at du bruker inverterbarhetssetningen. Det er den navngivningen som gir uttelling.

📝Oppgave 5
Sjanger C

En n×nn\times n-matrise AA har det⁡A=0\det A=0.

a) Er AA inverterbar?

b) Har Ax=0A\mathbf x=\mathbf 0 bare den trivielle løsningen, eller finnes ikke-trivielle løsninger?

c) Hva er rangen sammenliknet med nn?

Nilpotent matrise

En kvadratisk matrise AA er nilpotent hvis en potens av den er nullmatrisen: Ak=OA^{k}=O for et heltall k≥1k\ge1. For eksempel er A=[0500]A=\begin{bmatrix}0&5\\0&0\end{bmatrix} nilpotent siden A2=OA^{2}=O. Nilpotente matriser er alltid singulære, men I−AI-A er da alltid inverterbar (Neumann-trikset under).

Neumann-trikset
Hvis AA er nilpotent med Ak=OA^{k}=O, er I−AI-A inverterbar, og inversen er den endelige summen
(I−A)−1=I+A+A2+⋯+Ak−1.(I-A)^{-1}=I+A+A^{2}+\dots+A^{k-1}.
Dette er «den geometriske rekken for matriser», avkortet fordi de høyere potensene er null. Beviset er å gange ut (I−A)(I+A+⋯+Ak−1)(I-A)(I+A+\dots+A^{k-1}) og se at alt unntatt II kanselleres (teleskopsum). Et fast bevistema (sjanger N) er tilfellet A3=OA^{3}=O.
✏️Eksempel 6: $A^{3}=O\Rightarrow(I-A)^{-1}=I+A+A^{2}$ (sjanger N)

Anta at A3=OA^{3}=O. Vis at I−AI-A er inverterbar med (I−A)−1=I+A+A2(I-A)^{-1}=I+A+A^{2}. Illustrer med A=[012003000]A=\begin{bmatrix}0&1&2\\0&0&3\\0&0&0\end{bmatrix}.

Bevis. Vi viser direkte at I+A+A2I+A+A^{2} er inversen ved å gange sammen. Bruk distributiv lov og A3=OA^{3}=O:
(I−A)(I+A+A2)=I+A+A2−A−A2−A3=I−A3=I−O=I.(I-A)(I+A+A^{2})=I+A+A^{2}-A-A^{2}-A^{3}=I-A^{3}=I-O=I.
Ledd for ledd kansellerer +A+A mot −A-A og +A2+A^{2} mot −A2-A^{2}; igjen står I−A3=II-A^{3}=I. Samme utregning den andre veien gir (I+A+A2)(I−A)=I(I+A+A^{2})(I-A)=I. Altså er I−AI-A inverterbar med
(I−A)−1=I+A+A2.■(I-A)^{-1}=I+A+A^{2}.\qquad\blacksquare

Kontroll med tallene: her er A2=[003000000]A^{2}=\begin{bmatrix}0&0&3\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix} og A3=OA^{3}=O. Da er I+A+A2=[115013001]I+A+A^{2}=\begin{bmatrix}1&1&5\\0&1&3\\0&0&1\end{bmatrix}. Og I−A=[1−1−201−3001]I-A=\begin{bmatrix}1&-1&-2\\0&1&-3\\0&0&1\end{bmatrix}; ved Gauss–Jordan (eller ved å gange sammen) finner vi at inversen nettopp er [115013001]\begin{bmatrix}1&1&5\\0&1&3\\0&0&1\end{bmatrix}. ✓\checkmark

Sensor-merknad: kjernen i uttellingen er å gange ut og bruke A3=OA^{3}=O — ikke tallkontrollen. Navngi gjerne at dette er den avkortede geometriske rekken (Neumann-trikset).

📝Oppgave 6
Sjanger N

Anta at A2=OA^{2}=O. Vis at I−AI-A er inverterbar, og finn et uttrykk for (I−A)−1(I-A)^{-1}.

📝Oppgave 7
Sjanger N

Anta at AA er inverterbar. Vis at ATA^{T} også er inverterbar, og at (AT)−1=(A−1)T(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}.

Begrepsbank til eksamen

Her er de resterende kjernebegrepene samlet i kortform for repetisjon og pugging (kode E — intet formelark).

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — det gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Entydighet av inversen

Hvis en matrise har en invers, har den bare én. Antar man to inverser BB og CC (begge med AB=BA=IAB=BA=I og AC=CA=IAC=CA=I), gir B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=CB=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C. Derfor snakker vi om den inverse A−1A^{-1}, og en matrise som ganger AA til II fra begge sider MÅ være A−1A^{-1}.

Reglene (A−1)−1=A(A^{-1})^{-1}=A og (cA)−1(cA)^{-1}

Å invertere to ganger fører tilbake: (A−1)−1=A(A^{-1})^{-1}=A. For en skalar c≠0c\ne0 er (cA)−1=1cA−1(cA)^{-1}=\tfrac1c A^{-1}. Disse følger direkte av definisjonen AA−1=IAA^{-1}=I: for eksempel gir (cA)(1cA−1)=c⋅1c AA−1=I(cA)\big(\tfrac1c A^{-1}\big)=c\cdot\tfrac1c\,AA^{-1}=I.

Invers av en diagonalmatrise

En diagonalmatrise D=diag⁡(d1,…,dn)D=\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n) er inverterbar nøyaktig når alle diagonalelementene er ulik null, og da er D−1=diag⁡ ⁣(1d1,…,1dn)D^{-1}=\operatorname{diag}\!\big(\tfrac1{d_1},\dots,\tfrac1{d_n}\big) — bare inverter hvert diagonaltall. Er ett diagonaltall 00, er DD singulær.

Invers av et produkt av flere faktorer

Regelen (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} utvides til flere faktorer ved å snu hele rekkefølgen: (ABC)−1=C−1B−1A−1(ABC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}. Alle faktorene må være inverterbare. Det er samme mønster som for transponert av et produkt.

Invers av en potens

Er AA inverterbar, er AkA^{k} inverterbar for alle k≥1k\ge1, med (Ak)−1=(A−1)k(A^{k})^{-1}=(A^{-1})^{k}. Man kan da definere negative potenser: A−k:=(A−1)kA^{-k}:=(A^{-1})^{k}. Regnereglene for potenser (AsAt=As+tA^{s}A^{t}=A^{s+t}) gjelder da for alle heltall s,ts,t.

Elementærmatrise

En elementærmatrise er en matrise du får ved å utføre én elementær radoperasjon på II. Å multiplisere AA fra venstre med en elementærmatrise utfører nettopp den radoperasjonen på AA. Elementærmatriser er alltid inverterbare (radoperasjoner kan reverseres), og de forklarer hvorfor Gauss–Jordan-metoden gir inversen. På dette nivået holder det å kjenne til begrepet.

Venstre- og høyreinvers

For en kvadratisk matrise er det nok å finne én ensidig invers: hvis BA=IBA=I, så er automatisk også AB=IAB=I, og B=A−1B=A^{-1} (dette følger av inverterbarhetssetningen). For ikke-kvadratiske matriser finnes derimot ensidige inverser som ikke er tosidige — men slike matriser har ingen invers i vanlig forstand.

Inverterbar og lineær uavhengighet
AA (kvadratisk, n×nn\times n) er inverterbar nøyaktig når kolonnene er lineært uavhengige og dermed danner en basis for Rn\mathbb R^n (punkt 5 i inverterbarhetssetningen). Ekvivalent: radene danner en basis. Dette knytter invers-begrepet til basis/dimensjon-teorien i Del 3, og til at 00 ikke er egenverdi (Del 5).
Invers og entydig løsbarhet

Er AA inverterbar, har Ax=bA\mathbf x=\mathbf b én entydig løsning x=A−1b\mathbf x=A^{-1}\mathbf b for hver høyreside b\mathbf b (punkt 6 i inverterbarhetssetningen). Er AA singulær, har systemet enten ingen eller uendelig mange løsninger — aldri nøyaktig én. Invers-eksistens er altså det samme som «alltid entydig løsbart».

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 3 oppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.