Tilbake
4.1
Alle fag for Høyskole

4.1 Lineære transformasjoner og standardmatrisen

Lineære transformasjoner T: ℝⁿ→ℝᵐ, linearitetssjekken, standardmatrisen A=[T(e₁) … T(eₙ)], og de geometriske avbildningene i planet (rotasjon, speiling, projeksjon, skalering).

50 min
10 oppgaver
Lineære transformasjonerstandardmatrisen
Din fremgang i kapitlet
0 / 10 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper:

- Kap. 2.1 — matriseproduktet, særlig AxA\mathbf x som lineærkombinasjon av kolonnene og produkt av to matriser.
- Kap. 3.4 — koordinater: broen til abstrakte rom, som vi tar videre i kap. 4.2.
- Enhetssirkelen og trigonometriske definisjoner — cos⁡,sin⁡\cos,\sin i enhetssirkelen, trigonometrien bak rotasjonsmatrisen.

Kan du regne ut AxA\mathbf x og et matriseprodukt ABAB, har du regnemotoren.

Hvorfor lineære transformasjoner?

En transformasjon er bare en regel som tar inn en vektor og gir ut en vektor — tenk på en maskin som roterer, strekker eller speiler pilene i planet. De lineære transformasjonene er de «snille» maskinene: de respekterer addisjon og skalering, og nettopp derfor kan hele regelen pakkes inn i én matrise. Å rotere en figur 90∘90^\circ, projisere en skygge ned på bakken eller speile et bilde er alt sammen multiplikasjon med en fast matrise.

Kapitlet har tre løkker: (1) linearitetstesten — når er en avbildning lineær, (2) standardmatrisen A=[T]A=[T] som fanger hele avbildningen, og (3) de geometriske avbildningene i planet og hvordan de settes sammen.

Løkke 1 — Når er en avbildning lineær? (~15 min)

Transformasjon, domene og kodomene

En transformasjon (eller avbildning) T:Rn→RmT:\mathbb R^n\to\mathbb R^m er en regel som til hver vektor x\mathbf x i domenet Rn\mathbb R^n tilordner nøyaktig én vektor T(x)T(\mathbf x) i kodomenet Rm\mathbb R^m. Vektoren T(x)T(\mathbf x) kalles bildet av x\mathbf x. Du kjenner ideen fra vanlige funksjoner f(x)f(x) — forskjellen er bare at inn- og utdata nå er vektorer.

Lineær transformasjon
En transformasjon T:Rn→RmT:\mathbb R^n\to\mathbb R^m er lineær dersom den respekterer de to regneoperasjonene i et vektorrom. Det betyr at to betingelser holder for alle vektorer u,v\mathbf u,\mathbf v og alle skalarer cc:
(1)T(u+v)=T(u)+T(v),(2)T(cu)=c T(u).\textbf{(1)}\quad T(\mathbf u+\mathbf v)=T(\mathbf u)+T(\mathbf v),\qquad\textbf{(2)}\quad T(c\mathbf u)=c\,T(\mathbf u).
I ord: det spiller ingen rolle om du først legger sammen (eller skalerer) og så avbilder, eller motsatt. De to kravene kan slås sammen til ett: T(cu+dv)=c T(u)+d T(v)T(c\mathbf u+d\mathbf v)=c\,T(\mathbf u)+d\,T(\mathbf v) — «TT tar lineærkombinasjoner til lineærkombinasjoner».
Konsekvenser av linearitet

Er TT lineær, følger to nyttige fakta direkte av betingelsene:

- T(0)=0T(\mathbf 0)=\mathbf 0 (sett c=0c=0 i betingelse (2)). Er T(0)≠0T(\mathbf 0)\ne\mathbf 0, kan TT umulig være lineær — en rask forkastningstest.
- TT bevarer lineærkombinasjoner: T(c1v1+⋯+ckvk)=c1T(v1)+⋯+ckT(vk)T(c_1\mathbf v_1+\dots+c_k\mathbf v_k)=c_1T(\mathbf v_1)+\dots+c_kT(\mathbf v_k).

Det andre punktet er selve grunnen til at én matrise holder: kjenner du TT på basisvektorene, kjenner du TT overalt.

✏️Eksempel 1: En lineær avbildning

Er T:R2→R2T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2 gitt ved T(x,y)=(2x−y, x+3y)T(x,y)=(2x-y,\ x+3y) lineær? Vis det med de to betingelsene.

Vi sjekker betingelsene direkte. La u=(x1,y1)\mathbf u=(x_1,y_1) og v=(x2,y2)\mathbf v=(x_2,y_2).

(1) Addisjon: u+v=(x1+x2, y1+y2)\mathbf u+\mathbf v=(x_1+x_2,\ y_1+y_2), så
T(u+v)=(2(x1+x2)−(y1+y2), (x1+x2)+3(y1+y2)).T(\mathbf u+\mathbf v)=\big(2(x_1+x_2)-(y_1+y_2),\ (x_1+x_2)+3(y_1+y_2)\big).
Dette er nøyaktig T(u)+T(v)=(2x1−y1, x1+3y1)+(2x2−y2, x2+3y2)T(\mathbf u)+T(\mathbf v)=(2x_1-y_1,\ x_1+3y_1)+(2x_2-y_2,\ x_2+3y_2) ✓.

(2) Skalering: T(cu)=(2cx1−cy1, cx1+3cy1)=c(2x1−y1, x1+3y1)=c T(u)T(c\mathbf u)=(2cx_1-cy_1,\ cx_1+3cy_1)=c(2x_1-y_1,\ x_1+3y_1)=c\,T(\mathbf u) ✓.

Begge betingelsene holder, så TT er lineær. (Legg merke til at hver komponent er en førstegrads kombinasjon av xx og yy uten konstantledd — det er signaturen til en lineær avbildning.)

📝Oppgave 1

(Ren gjengivelse — bruk linearitet.) T:R2→R2T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2 er lineær, og T(u)=(1,2)T(\mathbf u)=(1,2), T(v)=(3,−1)T(\mathbf v)=(3,-1). Finn T(2u−v)T(2\mathbf u-\mathbf v).

✏️Eksempel 2: En avbildning som IKKE er lineær

Er T:R2→R2T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2 gitt ved T(x,y)=(x+1, 2y)T(x,y)=(x+1,\ 2y) lineær?

Bruk forkastningstesten først: T(0)=T(0,0)=(0+1, 0)=(1,0)≠(0,0)T(\mathbf 0)=T(0,0)=(0+1,\ 0)=(1,0)\ne(0,0). En lineær avbildning må sende 0\mathbf 0 til 0\mathbf 0, så TT er ikke lineær.

Problemet er konstantleddet +1+1: det gjør TT til en forskyvning (affin avbildning), ikke en lineær. En rask kontroll på betingelse (2) bekrefter: T(2⋅(1,0))=T(2,0)=(3,0)T(2\cdot(1,0))=T(2,0)=(3,0), men 2 T(1,0)=2(2,0)=(4,0)2\,T(1,0)=2(2,0)=(4,0) — ulike, så (2) svikter.

📝Oppgave 2

(Innøving — forkastningstest.) Avgjør om T:R2→RT:\mathbb R^2\to\mathbb R gitt ved T(x,y)=x2+yT(x,y)=x^2+y er lineær.

Løkke 2 — Standardmatrisen A=[T]A=[T] (~17 min)

📜Standardmatrisen til en lineær transformasjon
La T:Rn→RmT:\mathbb R^n\to\mathbb R^m være lineær. Da finnes nøyaktig én matrise AA (av størrelse m×nm\times n) slik at
T(x)=Axfor alle x∈Rn.T(\mathbf x)=A\mathbf x\qquad\text{for alle }\mathbf x\in\mathbb R^n.
Matrisen er standardmatrisen til TT, skrevet A=[T]A=[T], og kolonnene er bildene av standardbasisvektorene:
[T]=[ T(e1)  T(e2)  ⋯  T(en) ].[T]=\big[\,T(\mathbf e_1)\ \ T(\mathbf e_2)\ \ \cdots\ \ T(\mathbf e_n)\,\big].
Hvorfor: skriv x=x1e1+⋯+xnen\mathbf x=x_1\mathbf e_1+\dots+x_n\mathbf e_n. Linearitet gir T(x)=x1T(e1)+⋯+xnT(en)T(\mathbf x)=x_1T(\mathbf e_1)+\dots+x_nT(\mathbf e_n), som er nettopp matrise-vektor-produktet av [ T(e1)⋯T(en) ][\,T(\mathbf e_1)\cdots T(\mathbf e_n)\,] med x\mathbf x.
Kolonneregelen: bygg [T][T] kolonne for kolonne

Oppskriften er kort: avbild hver standardbasisvektor, og sett resultatet inn som en kolonne.

1. Regn ut T(e1), T(e2),…,T(en)T(\mathbf e_1),\ T(\mathbf e_2),\dots,T(\mathbf e_n) (i R2\mathbb R^2 er e1=(1,0)\mathbf e_1=(1,0), e2=(0,1)\mathbf e_2=(0,1)).
2. Skriv dem som kolonner i rekkefølge: kolonne jj er T(ej)T(\mathbf e_j).

Rekkefølgen er avgjørende — bytter du om to kolonner, får du en annen avbildning. Dette er den vanligste fellen i sjanger F.

Hver matrise gir en lineær transformasjon

Sammenhengen går begge veier. Til enhver m×nm\times n-matrise AA hører transformasjonen T(x)=AxT(\mathbf x)=A\mathbf x, og den er alltid lineær: matrisealgebraen gir A(u+v)=Au+AvA(\mathbf u+\mathbf v)=A\mathbf u+A\mathbf v og A(cu)=cAuA(c\mathbf u)=cA\mathbf u. Altså: lineære transformasjoner Rn→Rm\mathbb R^n\to\mathbb R^m og m×nm\times n-matriser er to sider av samme sak. Å studere TT er å studere [T][T].

✏️Eksempel 3: Finn standardmatrisen fra formelen

Finn standardmatrisen til T:R2→R3T:\mathbb R^2\to\mathbb R^3 gitt ved T(x,y)=(x+2y, 3x, x−y)T(x,y)=(x+2y,\ 3x,\ x-y), og bruk den på x=(1,1)\mathbf x=(1,1).

Avbild standardbasisvektorene:
T(e1)=T(1,0)=(1, 3, 1),T(e2)=T(0,1)=(2, 0, −1).T(\mathbf e_1)=T(1,0)=(1,\ 3,\ 1),\qquad T(\mathbf e_2)=T(0,1)=(2,\ 0,\ -1).
Sett dem som kolonner:
[T]=[12301−1].[T]=\begin{bmatrix}1&2\\3&0\\1&-1\end{bmatrix}.
Kontroll ved x=(1,1)\mathbf x=(1,1):
[T][11]=[1+23+01−1]=[330],[T]\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1+2\\3+0\\1-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\3\\0\end{bmatrix},
og direkte T(1,1)=(1+2, 3, 1−1)=(3,3,0)T(1,1)=(1+2,\ 3,\ 1-1)=(3,3,0) ✓. Matrisen gjengir avbildningen.
📝Oppgave 3
Sjanger F

Finn standardmatrisen til T:R3→R2T:\mathbb R^3\to\mathbb R^2 gitt ved T(x,y,z)=(2x−z, y+z)T(x,y,z)=(2x-z,\ y+z), og bruk den på (1,2,−1)(1,2,-1).

📝Oppgave 4
Sjanger F

En lineær T:R2→R2T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2 oppfyller T(1,0)=(3,−1)T(1,0)=(3,-1) og T(0,1)=(2,4)T(0,1)=(2,4). Finn [T][T] og en formel for T(x,y)T(x,y).

Løkke 3 — Geometriske avbildninger i planet (~18 min)

Rotasjonsmatrisen
Rotasjon om origo med vinkelen θ\theta mot klokka har standardmatrisen
Rθ=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ].R_\theta=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}.
Du finner den med kolonneregelen: e1=(1,0)\mathbf e_1=(1,0) roteres til (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta,\sin\theta) (første kolonne), og e2=(0,1)\mathbf e_2=(0,1) roteres til (−sin⁡θ,cos⁡θ)(-\sin\theta,\cos\theta) (andre kolonne). Rotasjon med klokka får du ved å bytte fortegn på θ\theta: sin⁡\sin skifter fortegn, cos⁡\cos står.
✏️Eksempel 4: Rotasjon $90^\circ$ mot klokka

Finn standardmatrisen til rotasjon 90∘90^\circ mot klokka, og bruk den på (2,1)(2,1).

Med θ=90∘\theta=90^\circ er cos⁡90∘=0\cos90^\circ=0 og sin⁡90∘=1\sin90^\circ=1, så
R90∘=[0−110].R_{90^\circ}=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}.
Bruk på (2,1)(2,1):
R90∘[21]=[0⋅2−1⋅11⋅2+0⋅1]=[−12].R_{90^\circ}\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\cdot2-1\cdot1\\1\cdot2+0\cdot1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}.
Svaret (−1,2)(-1,2) stemmer geometrisk: en 90∘90^\circ-dreining mot klokka sender pilen fra fjerde/første kvadrant opp mot andre kvadrant.
📝Oppgave 5
Sjanger F

Finn standardmatrisen til rotasjon 60∘60^\circ mot klokka, og bruk den på (2,0)(2,0). Gi eksakte svar.

Speilingsmatriser i planet
Speiling (refleksjon) om en linje gjennom origo er lineær. De tre du må kunne utenat:
om x-aksen: [100−1],om y-aksen: [−1001],om linjen y=x: [0110].\text{om }x\text{-aksen: }\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix},\quad\text{om }y\text{-aksen: }\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix},\quad\text{om linjen }y=x:\ \begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}.
Hver kolonne er bildet av en standardbasisvektor: speiler du e1=(1,0)\mathbf e_1=(1,0) om xx-aksen, står den i ro (1,0)(1,0); speiler du e2=(0,1)\mathbf e_2=(0,1), snus den til (0,−1)(0,-1) — derav første matrise.
Ortogonal projeksjon på en akse eller linje
Ortogonal projeksjon kaster «skyggen» av en vektor rett ned på en linje. På aksene:
pa˚ x-aksen: [1000],pa˚ y-aksen: [0001].\text{på }x\text{-aksen: }\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix},\qquad\text{på }y\text{-aksen: }\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}.
Projeksjon på linjen y=xy=x har matrisen 12[1111]\tfrac12\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}. Projeksjoner mister informasjon (flere vektorer får samme skygge), i motsetning til rotasjon og speiling som er reversible.
Skaleringsmatrisen
Skalering med faktor kk strekker (eller krymper) alle vektorer likt og har matrisen kI=[k00k]kI=\begin{bmatrix}k&0\\0&k\end{bmatrix}. Ulik skalering langs aksene får du med [a00b]\begin{bmatrix}a&0\\0&b\end{bmatrix} (faktor aa i xx-retning, bb i yy-retning). Med k>1k>1 forstørres figuren, med 0<k<10<k<1 krympes den, og med k=−1k=-1 får du punktspeiling gjennom origo.
📜Komposisjon = matriseprodukt
Utfører du først SS og så TT, er den sammensatte avbildningen T∘ST\circ S (les «TT etter SS»), og standardmatrisen er produktet:
[T∘S]=[T] [S].[T\circ S]=[T]\,[S].
Merk rekkefølgen: matrisen for den avbildningen som utføres sist, står først (til venstre) — akkurat som i T(S(x))=[T]([S]x)T(S(\mathbf x))=[T]\big([S]\mathbf x\big). Fordi matriseproduktet ikke er kommutativt ([T][S]≠[S][T][T][S]\ne[S][T] i sin alminnelighet), gir «rotér så speil» og «speil så rotér» ulike resultater.
✏️Eksempel 5: Rotér $90^\circ$ mot klokka, deretter speil om $x$-aksen

En figur roteres først 90∘90^\circ mot klokka og speiles så om xx-aksen. Finn standardmatrisen til den sammensatte avbildningen, og bruk den på (2,1)(2,1).

La SS = rotasjon 90∘90^\circ og TT = speiling om xx-aksen. Vi utfører SS først, så TT, altså T∘ST\circ S med matrise [T][S][T][S]:
[S]=[0−110],[T]=[100−1].[S]=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix},\qquad [T]=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}.
[T∘S]=[T][S]=[100−1][0−110]=[0−1−10].[T\circ S]=[T][S]=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&-1\\-1&0\end{bmatrix}.
Bruk på (2,1)(2,1): [T∘S](2,1)=(0⋅2−1⋅1, −1⋅2+0⋅1)=(−1,−2)[T\circ S](2,1)=(0\cdot2-1\cdot1,\ -1\cdot2+0\cdot1)=(-1,-2).

Kontroll steg for steg: S(2,1)=(−1,2)S(2,1)=(-1,2) (rotasjonen), og T(−1,2)=(−1,−2)T(-1,2)=(-1,-2) (speilingen snur yy-koordinaten) ✓. Merk at rekkefølgen teller: hadde vi speilet først og rotert etterpå, ble matrisen [S][T]=[0110][S][T]=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix} — en annen avbildning.

📝Oppgave 6
Sjanger F

La SS være rotasjon 90∘90^\circ mot klokka og TT ortogonal projeksjon på xx-aksen. Finn standardmatrisen til «først SS, så TT», og bruk den på (3,4)(3,4).

📝Oppgave 7
Sjanger F på…

La T:R2→R2T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2 være rotasjon 90∘90^\circ mot klokka fulgt av speiling om linjen y=xy=x.

a) Finn standardmatrisen [T][T].

b) Beskriv TT geometrisk som én enkelt avbildning.

c) Bruk [T][T] på (1,0)(1,0) og (0,1)(0,1), og forklar hva du ser.

Begrepsbank til eksamen

Kjernebegrepene om lineære transformasjoner og standardmatriser, samlet for pugging (kode E).

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — det gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Linearitetstesten (to betingelser)
TT er lineær hviss T(u+v)=T(u)+T(v)T(\mathbf u+\mathbf v)=T(\mathbf u)+T(\mathbf v) og T(cu)=c T(u)T(c\mathbf u)=c\,T(\mathbf u) for alle u,v,c\mathbf u,\mathbf v,c. Ekvivalent: T(cu+dv)=c T(u)+d T(v)T(c\mathbf u+d\mathbf v)=c\,T(\mathbf u)+d\,T(\mathbf v). Praktisk sjekk: er hver utkomponent en førstegradskombinasjon av inn-variablene uten konstantledd, er TT lineær.
Forkastningstesten T(0)=0T(\mathbf 0)=\mathbf 0

Enhver lineær avbildning oppfyller T(0)=0T(\mathbf 0)=\mathbf 0. Er T(0)≠0T(\mathbf 0)\ne\mathbf 0, er TT ikke lineær — den raskeste forkastningen. NB: T(0)=0T(\mathbf 0)=\mathbf 0 er nødvendig, men ikke tilstrekkelig (f.eks. T(x,y)=x2T(x,y)=x^2 har T(0)=0T(\mathbf 0)=0, men er ikke lineær).

Kolonnene i [T][T]

Kolonne jj i standardmatrisen er bildet av den jj-te standardbasisvektoren: [T]=[ T(e1) ⋯ T(en) ][T]=[\,T(\mathbf e_1)\ \cdots\ T(\mathbf e_n)\,]. En T:Rn→RmT:\mathbb R^n\to\mathbb R^m gir en m×nm\times n-matrise (mm rader = kodomenets dimensjon, nn kolonner = domenets).

T(x)=AxT(\mathbf x)=A\mathbf x — matrise ⇔ lineær

Hver matrise AA definerer en lineær T(x)=AxT(\mathbf x)=A\mathbf x, og hver lineær TT har en entydig matrise A=[T]A=[T]. Lineære transformasjoner og matriser er samme objekt i to språkdrakter — å komponere avbildninger svarer til å multiplisere matriser.

Rotasjon mot vs. med klokka

Mot klokka med vinkel θ\theta: Rθ=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]R_\theta=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}. Med klokka: bruk −θ-\theta, altså [cos⁡θsin⁡θ−sin⁡θcos⁡θ]\begin{bmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix} (bare sin⁡\sin-leddene skifter fortegn). Alltid det⁡Rθ=cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\det R_\theta=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1.

Speiling om xx-aksen, yy-aksen og y=xy=x
xx-aksen: [100−1]\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix} (snur yy). yy-aksen: [−1001]\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix} (snur xx). Linjen y=xy=x: [0110]\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix} (bytter xx og yy). Alle har det⁡=−1\det=-1: speiling snur orientering.
Projeksjon er idempotent

Ortogonal projeksjon PP oppfyller P2=PP^2=P: projiserer du en skygge og projiserer igjen, skjer ingenting nytt. Projeksjon på xx-aksen: [1000]\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}; på y=xy=x: 12[1111]\tfrac12\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}. Projeksjoner er ikke reversible (det⁡=0\det=0).

Skalering og punktspeiling

Skalering med faktor kk: kI=[k00k]kI=\begin{bmatrix}k&0\\0&k\end{bmatrix} (k>1k>1 forstørrer, 0<k<10<k<1 krymper). Ulik skalering langs aksene: [a00b]\begin{bmatrix}a&0\\0&b\end{bmatrix}. Med k=−1k=-1: punktspeiling om origo, [−100−1]\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}.

Skjærtransformasjon (shear)

En skjæring forskyver punkter parallelt med en akse proporsjonalt med den andre koordinaten, f.eks. [1k01]\begin{bmatrix}1&k\\0&1\end{bmatrix} (horisontal skjæring: (x,y)↦(x+ky, y)(x,y)\mapsto(x+ky,\ y)). Den er lineær, har det⁡=1\det=1 (bevarer areal), men er verken rotasjon eller speiling.

Sammensetning er ikke-kommutativ

«Først SS, så TT» er T∘ST\circ S med matrise [T][S][T][S] — den sist utførte avbildningen står først. Siden matriseprodukt ikke er kommutativt, gir [T][S][T][S] og [S][T][S][T] vanligvis ulike avbildninger («rotér så speil» ≠\ne «speil så rotér»).

Identitets- og nullavbildningen
Identiteten I(x)=xI(\mathbf x)=\mathbf x har standardmatrise II (enhetsmatrisen) og lar alt stå i ro. Nullavbildningen T(x)=0T(\mathbf x)=\mathbf 0 har nullmatrisen som standardmatrise og sender alt til 0\mathbf 0. Begge er lineære — de er ytterpunktene.
Invers transformasjon

Er [T][T] inverterbar (kvadratisk med det⁡≠0\det\ne0), finnes en invers avbildning T−1T^{-1} med [T−1]=[T]−1[T^{-1}]=[T]^{-1} som «angrer» TT. Rotasjon og speiling er reversible (det⁡=±1\det=\pm1); projeksjon er det ikke (det⁡=0\det=0 — informasjon går tapt).

Bildet av en rett linje

En lineær TT sender rette linjer gjennom origo til rette linjer (eller til {0}\{\mathbf 0\}) og bevarer paralellitet. En linje {p+td}\{\mathbf p+t\mathbf d\} avbildes til {T(p)+t T(d)}\{T(\mathbf p)+t\,T(\mathbf d)\} — rett, med retningsvektor T(d)T(\mathbf d). Derfor tar lineære avbildninger rutenett til (skjeve) rutenett.

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 3 oppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.