11.1 Føringsstandarden og utenat-apparatet (kode E)

$$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.$$

Med denne blir polarformen $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}$. Spesialtilfellet $\theta=\pi$ gir $e^{i\pi}=-1$.

$$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta},\qquad r=|z|=\sqrt{x^2+y^2},\quad \theta=\arg z.$$

Her er $r$ avstanden fra origo og $\theta$ vinkelen fra den positive reelle aksen. Multiplikasjon blir da: gang modulusene, legg sammen argumentene.

$$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta,\qquad z^n=r^n e^{in\theta}.$$

Den gjør $z^{6}$ til én linje i stedet for gjentatt multiplikasjon, og er startpunktet for $n$-te røtter.

$$z_k=R^{1/n}\,e^{i(\varphi+2\pi k)/n},\qquad k=0,1,\dots,n-1.$$

Alle $n$ røttene ligger på sirkelen med radius $R^{1/n}$, med vinkelavstand $2\pi/n$. Oppgi alltid alle $n$.

$$z=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

Er $b^2-4ac<0$, kommer røttene som et konjugert par $p\pm qi$. For $z^2=w$ med komplekst $w=u+vi$ løser du $a^2-b^2=u$, $2ab=v$.

$$\det(A-\lambda I)=0\ \Rightarrow\ \lambda_i;\qquad (A-\lambda_i I)\mathbf v=\mathbf 0\ \Rightarrow\ \text{egenrom}.$$

Egenverdiene er røttene i det karakteristiske polynomet; egenvektorene er ikke-null-løsningene av $(A-\lambda_i I)\mathbf v=\mathbf 0$.

$$A\ (n\times n)\ \text{diagonaliserbar}\ \iff\ A\ \text{har}\ n\ \text{lineært uavhengige egenvektorer}\ \iff\ \text{geometrisk multiplisitet}=\text{algebraisk multiplisitet for hver}\ \lambda.$$

Tilstrekkelig (men ikke nødvendig): $n$ distinkte egenverdier, eller $A$ symmetrisk. Begrunn alltid — ubegrunnet «$A$ er diagonaliserbar» taper uttelling.

$$A=PDP^{-1},\qquad P=[\mathbf v_1\ \cdots\ \mathbf v_n],\quad D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n).$$

Kolonne $i$ i $P$ er egenvektoren som hører til $\lambda_i$ i posisjon $(i,i)$ i $D$. Feilmatchet $P/D$ er en klassisk føringsfelle.

$$A=A^{T}\ \Rightarrow\ A=PDP^{T},\qquad P^{T}P=I.$$

Da er $P^{-1}=P^{T}$. Egenverdiene er reelle, og egenvektorer fra ulike egenverdier er automatisk ortogonale (Gram–Schmidt trengs bare innen et egenrom av dimensjon $>1$).

$$A=PDP^{-1}\ \Rightarrow\ A^{n}=PD^{n}P^{-1},\qquad D^{n}=\operatorname{diag}(\lambda_1^{n},\dots,\lambda_k^{n}).$$

Dette er standardgrepet i sjanger G når oppgaven ber om $A^{n}$ eller langtidsoppførsel.

$$P\mathbf q=\mathbf q,\qquad \sum q_i=1.$$

Finn $\operatorname{Nul}(P-I)$ og skaler så komponentene summerer til $1$. En regulær stokastisk matrise har alltid nettopp én slik $\mathbf q$.

$$\text{reelle ulike }r_1\ne r_2:\ y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x};$$
$$\text{dobbel rot }r:\ y=(C_1+C_2x)e^{rx};$$
$$\text{komplekse }a\pm bi:\ y=e^{ax}(C_1\cos bx+C_2\sin bx).$$

Dobbeltrot-tilfellet krever $x$-faktoren; komplekse røtter gir en dempet/udempet svingning.

$$g=\text{polynom grad }n\ \Rightarrow\ y_p=A_nx^n+\dots+A_0;$$
$$g=e^{\alpha x}\ \Rightarrow\ y_p=Ae^{\alpha x};\qquad g=\cos\beta x\text{ el. }\sin\beta x\ \Rightarrow\ y_p=A\cos\beta x+B\sin\beta x.$$

Ta alltid med hele familien (alle polynomledd; både $\cos$ og $\sin$). Sett inn og sammenlign koeffisienter.

$$s=\text{multiplisiteten til den kolliderende roten}\quad(s=1\ \text{enkel},\ s=2\ \text{dobbel}).$$

Er $g=e^{\alpha x}$ og $\alpha$ er rot, gir $Ae^{\alpha x}$ bare $0=g$ — umulig. Å glemme $x^s$ er den dyreste enkeltfeilen i sjanger L.

$$\frac{dy}{g(y)}=f(x)\,dx\ \Rightarrow\ \int\frac{dy}{g(y)}=\int f(x)\,dx+C.$$

Husk å sjekke konstantløsninger $g(y)=0$ separat, og bestem $C$ fra initialbetingelsen til slutt.

$$\mu=e^{\int p\,dx},\qquad (\mu y)'=\mu q\ \Rightarrow\ y=\frac1\mu\Big(\int \mu q\,dx+C\Big).$$

Skriv likningen på standardform ($y'$ alene, koeffisient $1$) før du leser av $p(x)$.

$$\lambda_i\ \text{reell}:\ \mathbf x=\textstyle\sum c_i e^{\lambda_i t}\mathbf v_i;\qquad \lambda=a\pm bi:\ \text{ta real- og imaginærdel av }e^{\lambda t}\mathbf v.$$

Klassifiser likevekten fra egenverdiene (node/sadel/senter/spiral), og bestem $c_i$ fra initialverdien til slutt.

$$\mathbf v_k=\mathbf x_k-\sum_{j<k}\frac{\langle \mathbf x_k,\mathbf v_j\rangle}{\langle \mathbf v_j,\mathbf v_j\rangle}\,\mathbf v_j.$$

Normaliser til slutt ($\mathbf u_k=\mathbf v_k/\lVert\mathbf v_k\rVert$) om du trenger en ortonormal basis. Bruk oppgavens indreprodukt — standard eller integral.

$$\operatorname{proj}_W\mathbf y=\sum_{j=1}^{p}\frac{\langle \mathbf y,\mathbf v_j\rangle}{\langle \mathbf v_j,\mathbf v_j\rangle}\,\mathbf v_j.$$

Avstanden fra $\mathbf y$ til $W$ er $\lVert \mathbf y-\operatorname{proj}_W\mathbf y\rVert$. Basisen må være ortogonal før du bruker formelen.

$$A^{T}A\hat{\mathbf x}=A^{T}\mathbf b.$$

Har $A$ lineært uavhengige kolonner, er $A^{T}A$ inverterbar og $\hat{\mathbf x}=(A^{T}A)^{-1}A^{T}\mathbf b$. Dette er verktøyet for kurvetilpasning (sjanger I): sett datapunktene inn i $A$ og $\mathbf b$.

$$\operatorname{rang}A+\dim\operatorname{Nul}A=n\quad(n=\text{antall kolonner}).$$

Her er $\operatorname{rang}A=\dim\operatorname{Col}A=$ antall pivoter. Bruk teoremet som kontroll: teller du basisene dine og summen ikke blir $n$, har du en feil.

$$A\ \text{inverterbar}\iff \det A\ne0\iff \operatorname{rang}A=n\iff \operatorname{Nul}A=\{\mathbf 0\}\iff \text{kolonnene er en basis for }\mathbb R^n.$$

Ideelt føringsverktøy i sjanger B/C og i bevis: du kan bytte mellom betingelsene fritt og navngi setningen.

$$\text{finn pivotposisjonene i RREF}\ \Rightarrow\ \text{ta de tilsvarende kolonnene fra det opprinnelige }A.$$

RREF-kolonnene har feil tallverdier — de forteller bare hvor pivotene er. Dette er den mest sanksjonerte føringsfellen i sjanger E.

$$\text{løs }A\mathbf x=\mathbf 0\ \text{på parameterform}\ \Rightarrow\ \mathbf x=x_{f_1}\mathbf u_1+\dots;\quad \{\mathbf u_1,\dots\}\ \text{er basis}.$$

Antall basisvektorer $=$ antall frie variabler $=\dim\operatorname{Nul}A$. Her skal du bruke RREF (i motsetning til $\operatorname{Col}A$).

$$\operatorname{rang}A=\#\text{pivoter}=\dim\operatorname{Col}A=\dim\operatorname{Row}A.$$

Rad- og kolonnerang er alltid like. Rangen styrer både løsbarhet (sjanger A) og dimensjonstellingen (sjanger E).

$$\mathbf x=P_{\mathcal B}[\mathbf x]_{\mathcal B},\qquad [\mathbf x]_{\mathcal C}=P_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}\,[\mathbf x]_{\mathcal B}.$$

Løs $\mathbf x=c_1\mathbf b_1+\dots+c_n\mathbf b_n$ for koordinatene $c_i$. I abstrakte rom (polynomer) gjør koordinatvektoren regningen om til vanlig $\mathbb R^n$-algebra.

$$\langle \mathbf u,\mathbf v\rangle=\mathbf u\cdot\mathbf v\quad\text{eller}\quad \langle f,g\rangle=\int_a^b f(x)g(x)\,dx;$$
$$\lVert \mathbf u\rVert=\sqrt{\langle\mathbf u,\mathbf u\rangle},\qquad \mathbf u\perp\mathbf v\iff\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle=0.$$

Sjekk alltid hvilket indreprodukt oppgaven bruker — normer og ortogonalitet regnes med det.

$$(1)\ \mathbf 0\in W;\qquad (2)\ \mathbf u,\mathbf v\in W\Rightarrow \mathbf u+\mathbf v\in W;\qquad (3)\ \mathbf u\in W,\ c\ \text{skalar}\Rightarrow c\mathbf u\in W.$$

I sjanger D må du verifisere alle tre eksplisitt — «det ser lukket ut» gir ikke uttelling.

$$c_1\mathbf v_1+\dots+c_k\mathbf v_k=\mathbf 0\ \Rightarrow\ c_1=\dots=c_k=0;\qquad \text{basis}=\text{uavhengig}+\text{utspennende}.$$

Snarvei: $\dim V$ uavhengige vektorer i $V$ er automatisk en basis (dimensjonsargument).

$$[T]=[\,T(\mathbf e_1)\ \cdots\ T(\mathbf e_n)\,],\qquad [T]_{\mathcal B}=[\,[T(\mathbf b_1)]_{\mathcal B}\ \cdots\ ].$$

Kjernen er $\operatorname{Nul}[T]$ og bildet er $\operatorname{Col}[T]$; dimensjonsteoremet knytter dem sammen (sjanger F).

$$\det A=\sum_j (-1)^{i+j}a_{ij}\det A_{ij};\qquad \det\ \text{er uendret ved }R_i\to R_i+cR_j,\ \text{skifter fortegn ved radbytte}.$$

For $2\times2$: $\det\left(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}\right)=ad-bc$. Trekantmatriser: produkt av diagonalen.

$$x_i=\frac{\det A_i(\mathbf b)}{\det A},$$

der $A_i(\mathbf b)$ er $A$ med kolonne $i$ byttet ut med $\mathbf b$. Praktisk når du bare trenger én komponent; ellers er Gauss raskere.

$$\tfrac12,\ \sqrt2,\ e^{i\pi/3},\ \tfrac{9}{10}+\tfrac25x,\ C_1e^{2x}+C_2e^{-x},\ \sqrt2\pm\sqrt2\,i.$$

Brøker forkortes, røtter og $e$/$\pi$ står som symboler. Et desimalsvar signaliserer kalkulatorbruk (som ikke er tillatt) og trekker ned.

$$\text{Etter dimensjonsteoremet er }\dim\operatorname{Nul}A=n-\operatorname{rang}A=\dots$$

Sitter samme matrise igjen i b) som i a), skriv «fra a) har vi …» i stedet for å regne på nytt.