11.5 Øvingseksamen 3: ~10 deloppgaver — de skarpeste karakterskillerne | TMA4110 Lineær algebra, komplekse tall og differensiallikninger

Tredje sett — samme form (4 timer, ~10 likt vektede deloppgaver, kode E), men kalibrert på de vanskeligste dokumenterte variantene. Dette er karakterskiller-settet: her testes nettopp det som skiller topp fra midt.

Miksen: $z^n=c$ med skisse + kompleks kvadratrot (O1, J), parametersystem med tilfelledeling (O2, A), egenverdier der én matrise er diagonaliserbar og én ikke er det (O3, G), Gram–Schmidt i integral-indreprodukt (O4, H — ikke-standard), 2. ordens ODE med resonans (O5, L), ODE-system med komplekse egenverdier (O6, M) og et krevende bevis (O7, N).

To feller å være ekstra våken på: i O4 er indreproduktet et integral — alle skalarprodukt og normer regnes med integralet, ikke prikkproduktet. I O5 er det resonans — ansatsen må ganges med $x$ . Løs settet under tidspress først, og bruk løsningene til å sjekke føringen etterpå.

Forkunnskaper: hele Del 1–9 pluss ODE-system, på det vanskeligste nivået. Repeter ved behov:

z^n=c

med skisse kap. 7.3, parametersystem kap. 1.2, diagonaliserbarhet med multiplisitet kap. 5.2, integral-indreprodukt og Gram–Schmidt kap. 6.1–6.2, resonans kap. 9.2, og bevis kap. 11.2. Føringsstandarden: kap. 11.1.

Øvingseksamen 3 — oppgavesettet (4 timer, kode E)

Alle svar begrunnes. Eksakte svar. De sju oppgavene er likt vektet.

Oppgave 1 (komplekse tall).

a) Finn alle løsninger av $z^{4}=-16$ , oppgi dem eksakt, og skisser dem i det komplekse planet.

b) Finn begge de komplekse kvadratrøttene av $5-12i$ (dvs. løs $z^{2}=5-12i$ ).

Oppgave 2 (parametersystem). Gitt

$\begin{aligned}x+y+z&=1\\ x+2y+3z&=2\\ x+4y+az&=b.\end{aligned}$

a) Bestem for hvilke $a,b$ systemet har ingen, én, og uendelig mange løsninger.

b) Løs systemet på parameterform når det har uendelig mange løsninger.

Oppgave 3 (diagonaliserbarhet).

a) Avgjør om $A=\begin{pmatrix}3&1\\0&3\end{pmatrix}$ er diagonaliserbar. Begrunn.

b) Avgjør om $B=\begin{pmatrix}4&1\\0&2\end{pmatrix}$ er diagonaliserbar, og diagonaliser den i så fall ( $B=PDP^{-1}$ ).

Oppgave 4 (Gram–Schmidt i integral-indreprodukt). På $\operatorname{P}_2$ brukes indreproduktet $\displaystyle\langle f,g\rangle=\int_{-1}^{1}f(x)g(x)\,dx$ .

a) Bruk Gram–Schmidt på $\{1,x,x^{2}\}$ til å finne en ortogonal basis.

b) Finn den ortogonale projeksjonen av $f(x)=x^{2}$ ned på $\operatorname{P}_1=\operatorname{Span}\{1,x\}$ .

Oppgave 5 (2. ordens ODE med resonans). Løs initialverdiproblemet

$y''+4y=\sin 2x,\qquad y(0)=0,\ y'(0)=0.$

Oppgave 6 (system av differensiallikninger). Gitt $\mathbf x'=A\mathbf x$ med $A=\begin{pmatrix}2&-1\\1&2\end{pmatrix}$ .

a) Finn den generelle reelle løsningen og klassifiser likevekten.

b) Løs initialverdiproblemet $\mathbf x(0)=(1,0)$ .

Oppgave 7 (bevis). La $A$ være en $n\times n$ -matrise. Vis at $A$ er inverterbar hvis og bare hvis $A^{T}A$ er inverterbar.

Løsningsforslag

En A-besvarelse for hver oppgave, ført etter standarden i kap. 11.1. O1 og O4 er de mest fellerike — les føringsnotatene.

Løsning oppgave 1 — komplekse tall med skisse (J)

Løsning oppgave 2 — parametersystem (A)

Løsning oppgave 3 — diagonaliserbarhet med multiplisitet (G)

Løsning oppgave 4 — Gram–Schmidt i integral-indreprodukt (H)

Løsning oppgave 5 — 2. ordens ODE med resonans (L)

Løsning oppgave 6 — system med komplekse egenverdier (M)

Løsning oppgave 7 — bevis, inverterbarhet og AᵀA (N)

Selvdiagnose

- ☐ O1: alle fire røttene av $z^4=-16$ og skissen; kvadratrøttene $\pm(3-2i)$ av $5-12i$ .
- ☐ O2: alle tre tilfellene med betingelse på $a$ og $b$ ; parameterform i b).
- ☐ O3: ikke-diagonaliserbarhet i a) vist ved geometrisk $<$ algebraisk multiplisitet; b) diagonalisert.
- ☐ O4: brukte integral-indreproduktet overalt; ortogonal basis $\{1,x,x^2-\tfrac13\}$ ; projeksjon $\tfrac13$ .
- ☐ O5: oppdaget resonans, ganget med $x$ ; $y=\tfrac18\sin2x-\tfrac14x\cos2x$ .
- ☐ O6: real-/imaginærdel; ustabil spiral; IVP $\mathbf x=e^{2t}(\cos t,\sin t)$ .
- ☐ O7: begge veier i ekvivalensen; inverterbarhetssetningen navngitt.

Fikk du de fleste av disse tre settene, er du godt rustet. Repeter kap. 11.1-sjekklisten kvelden før. Husk: C er en god og vanlig karakter — du trenger ikke feilfrie A-svar for et sterkt resultat.