11.3 Øvingseksamen 1: ~10 deloppgaver — bred kjerne | TMA4110 Lineær algebra, komplekse tall og differensiallikninger

Komplett 4-timers sett — den typiske eksamenen. Rundt 10 likt vektede deloppgaver (~24 min hver), hjelpemiddelkode E (ingen hjelpemidler, eksakte svar), og ingen flervalg — alt er langsvar der du begrunner. Instruksen på ekte sett er: «alle svar skal begrunnes; vis nok mellomregning».

Dette settet dekker den brede kjernen, kalibrert på de sikreste temaene: komplekse tall (O1, sjanger J), Gauss med parameteranalyse (O2, sjanger A), $\operatorname{Col}/\operatorname{Nul}$ -basis og rang (O3, sjanger E), egenverdier og diagonalisering (O4, sjanger G), Gram–Schmidt og projeksjon (O5, sjanger H), 2. ordens differensiallikning (O6, sjanger L) og et avsluttende bevis (O7, sjanger N).

Slik bruker du settet: løs alt først under tidspress (sett klokka på 4 timer, eller del i to økter à 2 timer), og åpne løsningsforslagene etterpå. Hver løsning er en A-besvarelse ført etter standarden i kap. 11.1, med et notat om hvor begrunnelsespoengene sitter. Alt er nyskrevet med pene tall.

Forkunnskaper: hele Del 1–9. Er du usikker på en sjanger, repeter det tilhørende kapitlet før du prøver: komplekse røtter kap. 7.3, Gauss kap. 1.2,

\operatorname{Col}/\operatorname{Nul}

kap. 3.3, diagonalisering kap. 5.2, Gram–Schmidt/projeksjon kap. 6.2–6.3, 2. ordens ODE kap. 9.2, og bevis kap. 11.2. Føringsstandarden ligger i kap. 11.1.

Øvingseksamen 1 — oppgavesettet (4 timer, kode E)

Alle svar skal begrunnes. Vis nok mellomregning til at framgangsmåten er tydelig. Eksakte svar — ingen desimaltilnærming. De sju oppgavene er likt vektet.

Oppgave 1 (komplekse tall).

a) Skriv $z=-1+i$ på polarform $re^{i\theta}$ , og regn ut $z^{6}$ med de Moivres formel.

b) Finn alle løsninger av likningen $z^{3}=8i$ . Oppgi dem på formen $x+iy$ .

Oppgave 2 (lineært system med parameter). Gitt systemet

$\begin{aligned} x+y+z&=1\\ x+2y+3z&=3\\ x+4y+az&=b.\end{aligned}$

a) Bestem for hvilke verdier av $a$ og $b$ systemet har ingen, nøyaktig én, og uendelig mange løsninger.

b) Løs systemet på parameterform i tilfellet $a=7,\ b=7$ .

Oppgave 3 (kolonnerom, nullrom, rang). La $A=\begin{pmatrix}1&2&0&1\\2&4&1&4\\3&6&1&5\end{pmatrix}$ .

a) Finn en basis for kolonnerommet $\operatorname{Col}A$ .

b) Finn en basis for nullrommet $\operatorname{Nul}A$ .

c) Oppgi $\operatorname{rang}A$ og verifiser dimensjonsteoremet.

Oppgave 4 (egenverdier og diagonalisering). La $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ .

a) Finn egenverdiene og tilhørende egenvektorer.

b) Skriv $A=PDP^{-1}$ , begrunn at $A$ er diagonaliserbar, og finn et uttrykk for $A^{n}$ .

Oppgave 5 (Gram–Schmidt og projeksjon). La $W=\operatorname{Span}\{(1,1,0),(1,0,1)\}\subset\mathbb R^{3}$ og $\mathbf y=(2,1,3)$ .

a) Bruk Gram–Schmidt til å finne en ortogonal basis for $W$ .

b) Finn den ortogonale projeksjonen $\operatorname{proj}_W\mathbf y$ og avstanden fra $\mathbf y$ til $W$ .

Oppgave 6 (2. ordens differensiallikning). Løs initialverdiproblemet

$y''-3y'+2y=2e^{3x},\qquad y(0)=0,\ y'(0)=0.$

Oppgave 7 (bevis). La $A$ være en $n\times n$ -matrise med $A^{2}=A$ . Vis at enhver egenverdi $\lambda$ for $A$ er $0$ eller $1$ .

Løsningsforslag

Under følger en A-besvarelse for hver oppgave, ført etter standarden i kap. 11.1. Åpne dem én om gangen — helst etter at du har forsøkt selv.

Løsning oppgave 1 — komplekse tall (J)

Løsning oppgave 2 — parameteranalyse (A)

Løsning oppgave 3 — Col, Nul og rang (E)

Løsning oppgave 4 — egenverdier og diagonalisering (G)

Løsning oppgave 5 — Gram–Schmidt og projeksjon (H)

Løsning oppgave 6 — 2. ordens ODE (L)

Løsning oppgave 7 — bevis (N)

Til sammenligning: en B-besvarelse på oppgave 4

Selvdiagnose

Kryss av det du fikk til uten å nøle — de åpne boksene peker på hva du bør repetere:

- ☐ O1: polarform + de Moivre, og alle tre røttene av $z^3=8i$ på $x+iy$ -form.
- ☐ O2: alle tre løsningstilfellene med riktig betingelse på både $a$ og $b$ ; parameterform i b).
- ☐ O3: $\operatorname{Col}A$ -basis fra originalkolonnene; dimensjonsteoremet verifisert.
- ☐ O4: diagonaliserbarhet begrunnet, $P/D$ matchet, $A^n$ regnet ferdig.
- ☐ O5: ortogonaliserte før projeksjon; riktig avstand $\tfrac{2\sqrt3}{3}$ .
- ☐ O6: resonanssjekk utført; $C_1,C_2$ bestemt til slutt fra hele $y$ .
- ☐ O7: generelt bevis (ikke tallesempel), brukte $\mathbf v\ne\mathbf 0$ eksplisitt.

Manglet du flere? Ta én temadel om gangen fra kap. 11.1-sjekklisten før du prøver øvingseksamen 2 (kap. 11.4).