10.2 Clausius–Clapeyron, damptrykk og termisk utvidelse

Damptrykkets temperaturavhengighet (Clausius–Clapeyron), kokepunkt som referanse, og termisk lengde-/volumutvidelse.

50 min

9 oppgaver

Clausius–Clapeyrondamptrykktermisk utvidelse

Din fremgang i kapitlet

0 / 9 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

10.1van der Waals, kritisk punkt og fasediagram

Brukes videre i

10.3Drill: van der Waals, fasediagram og Clausius–Clapeyron (sjanger T11–T13)

Sjanger T12 — damptrykksoppgaven (Clausius–Clapeyron), altså hvordan kokepunktet og damptrykket henger sammen — dukker opp i om lag fire av ti sett (~40 %). Sjanger T13 — termisk utvidelse, altså hvor mye et fast legeme vokser når det varmes — kommer i rundt tre av ti sett (~30 %). Varmestrøm i et strømmende medium, som fjernvarme, ligger på samme nivå (~30 %). Alle tre hører til termofysikkhalvdelen, spørsmål 21–40. Prioritet: bør sitte — dette er ikke kjernen i faget, men det er raske poeng når de kommer.

Tre varianter går igjen.

1. Damptrykk fra kokepunktet. Du får kokepunktet ved én atmosfære og fordampningsvarmen, og skal finne damptrykket ved en annen temperatur — eller motsatt, kokepunktet ved et annet trykk.
2. Lengdeutvidelse. En skinne, en bru, et rør eller et målebånd varmes, og du skal finne endringen i lengde.
3. Strømmende medium. Vann strømmer gjennom et fjernvarmerør og avkjøles noen grader; hvor stor effekt leverer det?

Ordforklaringer først. Damptrykk er trykket dampen har over en væske når de to er i likevekt — altså trykket langs væske–gass-linjen i fasediagrammet. Fordampningsvarme er energien som må til for å fordampe stoffet ved konstant temperatur. Clausius–Clapeyron-ligningen er den differensialligningen som forteller hvor bratt damptrykkslinjen stiger. Termisk utvidelse er at faste stoffer blir større når de varmes; lengdeutvidelseskoeffisienten $\alpha$ måler hvor mye per grad, og volumutvidelseskoeffisienten $\beta$ det samme for volum.

Den ene tingen som gjør sjangeren farlig: temperaturregelen snur midt i kapitlet. I Clausius–Clapeyron står $T$ i en nevner og i en eksponent — der er kelvin absolutt påkrevd. I termisk utvidelse inngår bare en temperaturDIFFERANSE $\Delta T$ — der er celsius helt trygt, fordi en forskjell på $35$ grader celsius er nøyaktig $35$ kelvin. Å blande de to reglene er kapitlets dyreste enkeltfeil.

⚠ Symbolvarsel

$T$ er absolutt temperatur i kelvin i alt som har med damptrykk å gjøre; i $\Delta T$ er celsius trygt, og det sies eksplisitt hver gang. $p$ er trykk (skalar), ikke bevegelsesmengde. $R$ er gasskonstanten, ikke en radius og ikke en termisk motstand. $\beta$ er volumutvidelseskoeffisienten i $\text{K}^{-1}$ , ikke banevinkelen fra kap. 1.2. $\alpha$ er lengdeutvidelseskoeffisienten i $\text{K}^{-1}$ , ikke vinkelakselerasjonen fra kap. 4.2 og ikke absorpsjonsevnen fra kap. 9.2. Skilleregelen er enheten: har størrelsen enhet $\text{K}^{-1}$ , er det en utvidelseskoeffisient.

Og én enhet til: vi skriver den latente varmen med liten $l$ når den er per mol ( $\text{J/mol}$ ), og stor $L$ når den er per kilogram ( $\text{J/kg}$ ), slik kap. 8.2 gjorde. Clausius–Clapeyron med gasskonstanten $R$ krever den molare formen. Omregningen er $l = LM$ , der $M$ er den molare massen.

Forkunnskaper — sist du var her

Dette kapitlet bygger på kap. 10.1, kap. 7.2 og kap. 8.1. Du trenger fire ting derfra, og de står her:

$\text{damptrykkslinjen: væske og damp i likevekt ved } (T, p)$
Koeksistenslinjen fra fasediagrammet. Langs den er de to fasene i likevekt, og temperaturen holder seg konstant mens overgangen pågår. Dette kapitlet regner ut hvordan linjen krummer.

$\Delta S = \frac{L}{T_\text{overgang}}$
Entropiendringen ved en faseovergang (fra kap. 7.2). Fordampning skjer ved konstant temperatur, så $T$ kan settes utenfor integralet i $dS = dQ_\text{rev}/T$ .

$\eta_\text{Carnot} = 1 - \frac{T_k}{T_v} = \frac{T_v - T_k}{T_v}$
Carnot-virkningsgraden (fra kap. 8.1). Vi bruker den på en uendelig liten syklus for å utlede Clausius–Clapeyron — det er den korteste veien som ikke krever nytt maskineri.

$pV = nRT, \qquad R = 8{,}314\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}$
Den ideelle gassloven (fra kap. 6.1). Dampen behandles som ideell gass, og det er den tilnærmingen som forvandler Clausius–Clapeyron til en eksponentialfunksjon.

Fra matematikken trenger du separasjon av variabler og integrasjon av $1/T^2$ og $1/p$ : Repetisjon av derivasjon og Variabelskifte (substitusjon). Selve integralene står i Rottmann.

Konstanter og materialverdier du trenger (de oppgis i oppgaveteksten, siden de er stoffavhengige):

$l_\text{ford}(\text{vann}) = 40{,}66\,\text{kJ/mol}, \qquad \alpha(\text{stål}) = 12\cdot10^{-6}\,\text{K}^{-1}, \qquad \alpha(\text{aluminium}) = 23\cdot10^{-6}\,\text{K}^{-1}$

Behold fire gjeldende siffer gjennom hele regnekjeden. I Clausius–Clapeyron står tallene i en eksponent, og der forsterkes avrundinger kraftig: en promilles feil i eksponenten kan bli flere prosent i svaret.

Løkke 1 — Clausius–Clapeyron: hvor bratt stiger damptrykkslinjen? (~16 min)

Sett en kjele med vann på fjellet, i tusen meters høyde. Vannet koker — men teen blir tam, og pastaen bruker lenger tid. Vannet koker ved rundt $96\,^\circ\text{C}$ , ikke $100$ . Går du enda høyere, koker det enda lavere: på toppen av Everest koker vann ved omtrent $71\,^\circ\text{C}$ , og du kan ikke koke et egg hardt der.

Hverdagsanker: motsatt vei er trykkokeren. Låser du lokket, stiger trykket, og da stiger kokepunktet. Ved to atmosfærer koker vann først ved $121\,^\circ\text{C}$ — og maten blir ferdig på under halve tiden, fordi kjemiske reaksjoner går raskere ved høyere temperatur.

Begge deler er samme fenomen: kokepunktet er ikke en egenskap ved stoffet alene, men ved stoffet og trykket. Å koke betyr at damptrykket har nådd opp til det ytre trykket. Så spørsmålet «ved hvilken temperatur koker det?» er det samme som «ved hvilken temperatur er damptrykket lik omgivelsestrykket?».

Sammenhengen mellom de to er damptrykkslinjen i fasediagrammet fra kap. 10.1. Clausius–Clapeyron-ligningen forteller hvor bratt den linjen stiger.

Damptrykk

T_c

Fordampningsvarme (molar latent varme)

l_\text{ford}

📜Clausius–Clapeyrons ligning

\boxed{\frac{dp}{dT} = \frac{l}{T\,\Delta V}}

Her er $l$ den molare latente varmen for overgangen, $T$ den absolutte temperaturen, og $\Delta V$ forskjellen i molarvolum mellom de to fasene, tatt i samme rekkefølge som varmen: $\Delta V = V_\text{etter} - V_\text{før}$ .

Ligningen gjelder enhver koeksistenslinje — damptrykkslinjen, smeltelinjen og sublimasjonslinjen. Fortegnet på helningen er fortegnet på $\Delta V$ , siden $l$ og $T$ begge er positive:

- Damptrykkslinjen: $\Delta V = V_\text{gass} - V_\text{væske} > 0$ , altså $dp/dT > 0$ . Damptrykket stiger alltid med temperaturen — ingen unntak for noe stoff.
- Smeltelinjen: $\Delta V = V_\text{væske} - V_\text{fast}$ , som er positiv for nesten alle stoffer, men negativ for vann fordi is flyter. Derfor heller vannets smeltelinje bakover.

Den formen du regner med. For damptrykkslinjen er gassvolumet titalls til tusenvis av ganger større enn væskevolumet, så $\Delta V \approx V_\text{gass}$ . Behandles dampen som ideell gass, er $V_\text{gass} = RT/p$ per mol, og da blir
$\frac{dp}{dT} = \frac{l\,p}{RT^2}.$

Integrert, med $l$ regnet som konstant:
$\boxed{p(T) = p_0\exp\left[-\frac{l}{R}\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_0}\right)\right]}$
der $(T_0, p_0)$ er et kjent punkt på linjen — nesten alltid kokepunktet ved én atmosfære, altså $(373{,}15\,\text{K},\ 101{,}325\,\text{kPa})$ for vann.

⚠ Fortegnet i eksponenten er det som oftest snus. Sjekk det slik: er $T > T_0$ , er $1/T < 1/T_0$ , så parentesen er negativ, minustegnet gjør den positiv, og eksponenten blir positiv — trykket øker. Damptrykket stiger med temperaturen. Får du motsatt, har du snudd et fortegn. [står på det utdelte arket]

Utledningen: en uendelig liten Carnot-syklus (~6 min av løkka)

Dette er utledningen som kreves aktivt. Den er kort, og den bruker bare det du alt har.

Oppsettet. Ta ett mol av stoffet i en sylinder med stempel, på damptrykkslinjen ved $(T, p)$ — altså med væske og damp i likevekt. Kjør en Carnot-syklus som er uendelig liten i temperatur, mellom $T$ og $T - dT$ :

1. Fordamp alt ved $T$ og $p$ . Systemet tar opp varmen $Q_v = l$ , og volumet vokser fra $V_\text{væske}$ til $V_\text{gass}$ . Arbeidet mot omgivelsene er $p\,\Delta V$ .
2. Adiabatisk ekspansjon ned til $T - dT$ . Trykket faller til $p - dp$ .
3. Kondenser alt ved $T - dT$ og $p - dp$ . Systemet avgir varme.
4. Adiabatisk kompresjon tilbake til start.

Steg 1 — nettoarbeidet er sløyfens areal. I $pV$ -diagrammet er sløyfa en lang, tynn firkant: bredden er $\Delta V$ (volumendringen ved fordampningen) og høyden er $dp$ (trykkforskjellen mellom de to isotermene). Altså
$W = \Delta V\,dp.$

Intuisjon: de to adiabatene er så korte at de bare lukker figuren; hele arealet ligger mellom de to vannrette fordampningslinjene.

Steg 2 — sløyfa er en Carnot-syklus. Begge varmeutvekslingene skjer ved konstant temperatur, og de to andre trinnene er adiabatiske. Det er nettopp definisjonen av Carnot fra kap. 8.1, så virkningsgraden er
$\eta = \frac{W}{Q_v} = \frac{T - (T-dT)}{T} = \frac{dT}{T}.$

Intuisjon: dette er hele trikset. Vi trenger ikke vite noe om væsken eller dampen i detalj — bare at en reversibel syklus mellom to temperaturer har Carnot-virkningsgrad.

Steg 3 — sett de to uttrykkene for $W$ lik hverandre.
$\Delta V\,dp = l\cdot\frac{dT}{T} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\frac{dp}{dT} = \frac{l}{T\,\Delta V}}.$

Det er Clausius–Clapeyron, ferdig utledet på tre linjer.

Steg 4 — den brukbare formen. Sett $\Delta V \approx V_\text{gass} = RT/p$ :
$\frac{dp}{dT} = \frac{l}{T}\cdot\frac{p}{RT} = \frac{l\,p}{RT^2}.$

Intuisjon: tilnærmingen er god fordi damp er rundt tusen ganger mindre tett enn væske. For vann ved $100\,^\circ\text{C}$ er molarvolumet til dampen $30{,}6\,\text{L/mol}$ og til væsken $0{,}018\,\text{L/mol}$ — væsken bidrar med under én promille.

Steg 5 — separer og integrer.
$\frac{dp}{p} = \frac{l}{R}\cdot\frac{dT}{T^2} \quad\Longrightarrow\quad \int_{p_0}^{p}\frac{dp'}{p'} = \frac{l}{R}\int_{T_0}^{T}\frac{dT'}{T'^2},$
$\ln\frac{p}{p_0} = \frac{l}{R}\left[-\frac{1}{T'}\right]_{T_0}^{T} = -\frac{l}{R}\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_0}\right),$
$p(T) = p_0\exp\left[-\frac{l}{R}\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_0}\right)\right].$

Hva som ble antatt underveis, og hvor godt det holder: (i) dampen er ideell gass — god tilnærming langt under det kritiske punktet; (ii) væskevolumet er neglisjerbart — god til noen promille; (iii) $l$ er konstant over temperaturintervallet — den svakeste av de tre. For vann faller $l_\text{ford}$ fra rundt $44\,\text{kJ/mol}$ ved romtemperatur til $40{,}66$ ved kokepunktet, altså vel åtte prosent, og det er derfor formelen bommer noen prosent langt fra referansepunktet. Velg alltid det nærmeste referansepunktet du har.

✏️Eksempel 1: damptrykket til vann ved $80\,^\circ$C (eksamensnivå)

Vann koker ved $100\,^\circ\text{C}$ når trykket er $101{,}325\,\text{kPa}$ , og fordampningsvarmen er $l_\text{ford} = 40{,}66\,\text{kJ/mol}$ .

a) Finn damptrykket ved $80\,^\circ\text{C}$ .

b) Hvor bratt stiger damptrykkskurven ved kokepunktet, i $\text{kPa}$ per kelvin?

c) Hva ville du fått hvis du hadde satt inn celsiusgrader i eksponenten?

d) Sammenlign med den målte verdien $47{,}4\,\text{kPa}$ og kommenter.

a) Symbolsk.

p(T) = p_0\exp\left[-\dfrac{l}{R}\left(\dfrac{1}{T}-\dfrac{1}{T_0}\right)\right]

med

(T_0, p_0)

= kokepunktet.

Rask vei til tall. Begge temperaturer til kelvin først:
$T = 353{,}15\,\text{K}, \qquad T_0 = 373{,}15\,\text{K}.$
Regn de tre bitene som egne mellomresultater:
$\frac{1}{T} - \frac{1}{T_0} = 2{,}83166\cdot10^{-3} - 2{,}67989\cdot10^{-3} = 1{,}51770\cdot10^{-4}\,\text{K}^{-1},$
$\frac{l}{R} = \frac{40660}{8{,}314} = 4890{,}5\,\text{K},$
$\text{eksponent} = -4890{,}5 \cdot 1{,}51770\cdot10^{-4} = -0{,}742241.$
$p = 101{,}325 \cdot e^{-0{,}742241}\,\text{kPa} = 101{,}325 \cdot 0{,}476046 = 48{,}24\,\text{kPa}.$

Kontroll på fortegnet: $80 < 100$ , altså skal trykket være lavere enn $101{,}3\,\text{kPa}$ ✔.

b) Deriverte formen, satt inn ved kokepunktet:
$\frac{dp}{dT} = \frac{l\,p}{RT^2} = \frac{40660 \cdot 101325}{8{,}314 \cdot 373{,}15^2} = \frac{4{,}1199\cdot10^{9}}{1{,}1577\cdot10^{6}} = 3559\,\text{Pa/K} = 3{,}56\,\text{kPa/K}.$

Tolkning: én grads temperaturfall senker damptrykket med $3{,}56\,\text{kPa}$ , altså $3{,}5$ prosent. Det er derfor kokepunktet er så følsomt for høyden over havet — atmosfæretrykket faller om lag $12\,\text{Pa}$ per meter i lavlandet.

c) Med celsius i eksponenten blir $1/80 - 1/100 = 2{,}5\cdot10^{-3}$ , altså
$\text{eksponent} = -4890{,}5 \cdot 2{,}5\cdot10^{-3} = -12{,}226, \qquad p = 101{,}325 \cdot e^{-12{,}226} = 0{,}000496\,\text{kPa}.$
Det er et halvt pascal i stedet for $48\,\text{kPa}$ — en faktor $10^5$ feil (felle #11 — kelvin-slurv). Feilen er så grov at den er lett å oppdage, men bare hvis du sjekker størrelsesordenen.

d) Modellen gir $48{,}2\,\text{kPa}$ , målingen $47{,}4\,\text{kPa}$ — $1{,}8$ prosent for høyt. Avviket kommer av at fordampningsvarmen ikke er helt konstant: den er litt større ved $80\,^\circ\text{C}$ enn ved $100$ , og en større $l$ gir en brattere kurve og dermed et lavere trykk på veien ned. Over et intervall på $20$ grader er tilnærmingen god; over $80$ grader ville den bommet med titalls prosent.

Sluttsjekk, fire ledd. (i) Begge temperaturer i kelvin. (ii) Fortegnet: lavere temperatur gir lavere trykk. (iii) $l$ i $\text{J/mol}$ , ikke $\text{J/kg}$ — ellers en faktor $55$ for vann. (iv) Størrelsesorden: damptrykket ved $80\,^\circ\text{C}$ må ligge mellom $2{,}8\,\text{kPa}$ (ved $20$ ) og $101{,}3\,\text{kPa}$ (ved $100$ ), og nærmere den øvre enden fordi kurven er konveks.

📝Oppgave 1

(Innstegsoppgave — enheter og de to temperaturreglene.)

a) Vis at $\alpha$ må ha enheten $\text{K}^{-1}$ , ut fra $\Delta L = \alpha L\,\Delta T$ .

b) Hvorfor er det trygt å regne $\Delta T$ i celsiusgrader i termisk utvidelse, men ikke å sette celsius inn i Clausius–Clapeyron?

c) Vann har spesifikk fordampningsvarme $L_v = 2{,}26\cdot10^{6}\,\text{J/kg}$ og molar masse $18{,}015\,\text{g/mol}$ . Finn den molare fordampningsvarmen.

📝Oppgave 2

Eksamensnivå, sjanger…

Vann koker ved $100\,^\circ\text{C}$ ved $101{,}325\,\text{kPa}$ , med $l_\text{ford} = 40{,}66\,\text{kJ/mol}$ .

a) Finn damptrykket ved $70\,^\circ\text{C}$ .

b) Ved hvilken temperatur koker vann i en trykkoker der trykket er $2{,}00$ atmosfærer?

c) Kommenter hvorfor de to svarene ligger på hver sin side av $100\,^\circ\text{C}$ , og hvorfor forskyvningene ikke er like store.

📝Oppgave 3

Eksamensnivå, sjanger…

På toppen av Mount Everest er lufttrykket omtrent $34{,}0\,\text{kPa}$ .

a) Ved hvilken temperatur koker vann der? Bruk $l_\text{ford} = 40{,}66\,\text{kJ/mol}$ og kokepunktet ved havnivå som referanse.

b) Hvor mye må trykket senkes fra én atmosfære for at vann skal koke ved romtemperatur, $20\,^\circ\text{C}$ ?

c) Hva sier b) om hvorfor vann i et vakuumkammer kan «koke» uten å være varmt?

Løkke 2 — termisk utvidelse (~14 min)

— naturlig pausepunkt —

Gå langs et jernbanespor en varm sommerdag og se på skjøtene. Mellom skinnene er det en spalte på noen få millimeter. Om vinteren er den bredere, om sommeren smalere. Blir den for smal, kan skinnegangen bøye seg ut sidelengs — solslyng — og det er grunnen til at spalten er der i det hele tatt.

Hverdagsanker: samme grunn til at bruer har fugeskjøter, at vannrør har ekspansjonsbøyer, og at et glass tåler kokende vann bedre hvis du varmer det opp langsomt. Materialet vil utvide seg, og hindrer du det, får du spenninger i stedet.

Årsaken er at atomenes middelavstand vokser med temperaturen. Bindingen mellom to atomer er ikke en symmetrisk fjær — den er brattere på innsiden enn på utsiden — så når svingningen blir kraftigere, forskyves middelposisjonen utover.

For små temperaturendringer er effekten lineær, og det er hele modellen.

Lengdeutvidelseskoeffisienten

\alpha

\Delta L = \alpha L\,\Delta T, \qquad \text{altså} \qquad \alpha = \frac{1}{L}\frac{\Delta L}{\Delta T}.

Materiale	$\alpha$ ( $10^{-6}\,\text{K}^{-1}$ )
Kvartsglass	$0{,}5$
Vanlig glass	$9$
Stål	$12$
Betong	$12$
Kobber	$17$
Messing	$19$
Aluminium	$23$

Volumutvidelseskoeffisienten

\beta

\Delta V = \beta V\,\Delta T.

📜Termisk utvidelse — de tre formene

\boxed{\Delta L = \alpha L\,\Delta T, \qquad \Delta A = 2\alpha A\,\Delta T, \qquad \Delta V = \beta V\,\Delta T \ \text{med}\ \beta \approx 3\alpha}

Faktorene $1$ , $2$ og $3$ er antall dimensjoner. Alle tre følger av samme lineære lengdeendring.

Regelen som overrasker: hull vokser også. Et hull i en plate blir større når platen varmes, ikke mindre. Tenk deg at du tegner sirkelen på platen uten å skjære den ut — sirkelen vokser med materialet rundt. At materialet faktisk er borte, endrer ingenting. Det er derfor et fastsittende metallokk løsner hvis du holder det under varmt vann.

Regelen som avgjør praktiske oppgaver: det er den RELATIVE forskjellen som teller. Fylles en beholder med en væske og begge varmes, er overløpet
$\Delta V_\text{overløp} = (\beta_\text{væske} - \beta_\text{beholder})V\,\Delta T.$
Beholderen vokser også, og bare differansen renner over.

Når utvidelsen hindres, oppstår i stedet en spenning. Materialet «ville» utvidet seg $\alpha\Delta T$ relativt, og å presse det tilbake krever tøyningen $\varepsilon = -\alpha\Delta T$ . Det er derfor jernbaneskinner trenger spalter og bruer trenger fugeskjøter. (Selve spenningsberegningen krever elastisitetsmodulen og ligger utenfor dette emnet — men konsekvensen, at det MÅ være plass, hører med.) [står på det utdelte arket]

✏️Eksempel 2: skinnegang, bru og et hull (eksamensnivå)

Stål har $\alpha = 12\cdot10^{-6}\,\text{K}^{-1}$ og aluminium $\alpha = 23\cdot10^{-6}\,\text{K}^{-1}$ .

a) En jernbaneskinne er $25{,}0\,\text{m}$ lang ved $-5{,}0\,^\circ\text{C}$ . Hvor mye lengre er den ved $30{,}0\,^\circ\text{C}$ ?

b) En stålbru er $140\,\text{m}$ lang. Hvor stor må fugeskjøten være for å ta $50\,\text{K}$ temperaturvariasjon?

c) Et hull med diameter $25{,}00\,\text{mm}$ er boret i en stålplate. Hva blir diameteren når platen varmes $200\,\text{K}$ ?

d) En aluminiumsbeholder på $50{,}0\,\text{L}$ fylles helt med bensin ( $\beta = 9{,}50\cdot10^{-4}\,\text{K}^{-1}$ ) og varmes $15{,}0\,\text{K}$ . Hvor mye renner over?

a) Rask vei til tall.

\Delta T = 30{,}0 - (-5{,}0) = 35{,}0\,\text{K}

— en differanse, så celsius er trygt.

\Delta L = \alpha L\,\Delta T = 12\cdot10^{-6} \cdot 25{,}0 \cdot 35{,}0\,\text{m} = 1{,}050\cdot10^{-2}\,\text{m} = 10{,}5\,\text{mm}.

Relativt er det $4{,}2\cdot10^{-4}$ , altså under en halv promille — og likevel nok til å kreve en spalte.

b)
$\Delta L = 12\cdot10^{-6} \cdot 140 \cdot 50 \,\text{m} = 8{,}40\cdot10^{-2}\,\text{m} = 84{,}0\,\text{mm}.$
Fugeskjøten må altså ta over åtte centimeter. Det er derfor store bruer har synlige, fingerformede skjøter i kjørebanen.

c) Hullet vokser som om det var fylt med stål:
$\Delta d = \alpha d\,\Delta T = 12\cdot10^{-6} \cdot 25{,}00 \cdot 200\,\text{mm} = 0{,}0600\,\text{mm},$
$d' = 25{,}00 + 0{,}060 = 25{,}06\,\text{mm}.$
Hullet blir større, ikke mindre. Å tro at materialet «vokser innover» og trykker hullet sammen er sjangerens klassiske felle.

d) Symbolsk. Bare den relative forskjellen renner over:
$\Delta V_\text{overløp} = \left(\beta_\text{bensin} - \beta_\text{aluminium}\right)V\,\Delta T, \qquad \beta_\text{aluminium} = 3\alpha = 6{,}90\cdot10^{-5}\,\text{K}^{-1}.$

Rask vei til tall.
$\Delta V_\text{overløp} = \left(9{,}50\cdot10^{-4} - 6{,}90\cdot10^{-5}\right) \cdot 50{,}0 \cdot 15{,}0\,\text{L} = 8{,}810\cdot10^{-4} \cdot 750\,\text{L} = 0{,}661\,\text{L}.$

Altså $661\,\text{mL}$ , over en halv liter. Regner du uten å trekke fra beholderens utvidelse, får du $713\,\text{mL}$ — åtte prosent for mye. Beholderen bidrar med lite fordi metall utvider seg om lag fjorten ganger mindre enn bensin.

Sluttsjekk, fire ledd. (i) $\Delta T$ som differanse, celsius trygt. (ii) $L$ og $\Delta L$ i samme enhet, eller omregnet bevisst. (iii) Hullet vokser. (iv) Størrelsesorden: termisk utvidelse er alltid promiller, aldri prosent — får du centimeter på en meterlang stang, har du en tierpotens for mye.

📝Oppgave 4

Sjanger T13

Et kobberrør er $12{,}0\,\text{m}$ langt og varmes $60{,}0\,\text{K}$ . Kobber har $\alpha = 17\cdot10^{-6}\,\text{K}^{-1}$ . Hvor mye lengre blir røret?

A $0{,}2040\,\text{mm}$ · B $1{,}020\,\text{mm}$ · C $12{,}24\,\text{mm}$ · D $36{,}72\,\text{mm}$ · E $122{,}4\,\text{mm}$ · F $8{,}640\,\text{mm}$

📝Oppgave 5

Eksamensnivå, sjanger…

En glassflaske på $1{,}000\,\text{L}$ ( $\beta_\text{glass} = 2{,}70\cdot10^{-5}\,\text{K}^{-1}$ ) fylles helt med vann ( $\beta_\text{vann} = 2{,}10\cdot10^{-4}\,\text{K}^{-1}$ ) ved $10{,}0\,^\circ\text{C}$ og settes i sola, der den når $40{,}0\,^\circ\text{C}$ .

a) Hvor mye vann renner over?

b) Hva ville svaret blitt hvis du hadde glemt at flasken også utvider seg?

c) Flasken er laget av vanlig glass med $\alpha = 9{,}0\cdot10^{-6}\,\text{K}^{-1}$ . Stemmer den oppgitte $\beta$ -verdien med $\beta \approx 3\alpha$ ?

Løkke 3 — varmestrøm i et strømmende medium (~9 min)

— naturlig pausepunkt —

Et fjernvarmeanlegg leverer varme ved å sende varmt vann ut i et rørnett og ta det kaldere tilbake. Hele energileveransen ligger i temperaturfallet mellom tur og retur, ganget med hvor mye vann som passerer per sekund.

Merk: dette er kjenne til-stoff. Det kommer sjelden alene, men det kobles gjerne på en varmeledningsoppgave fra kap. 9.1 — «hvor mye vann må sirkulere for å dekke husets varmetap?».

Formelen følger direkte av $Q = mc\,\Delta T$ fra kap. 8.2, delt på tiden.

Varmestrøm i et strømmende medium

\Delta T

✏️Eksempel 3: fjernvarme til et boligfelt

Et fjernvarmerør har innvendig diameter $80{,}0\,\text{mm}$ , og vannet strømmer med $2{,}00\,\text{m/s}$ . Turvannet holder $85{,}0\,^\circ\text{C}$ og returvannet $60{,}0\,^\circ\text{C}$ . For vann er $c = 4186\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$ og $\rho = 1000\,\text{kg/m}^3$ .

a) Finn volumstrømmen.

b) Finn den leverte effekten.

c) Et hus i feltet taper $8{,}50\,\text{kW}$ gjennom klimaskallet. Hvor mange slike hus kan røret forsyne?

A = \pi r^2 = \pi\left(0{,}0400\right)^2 = 5{,}0265\cdot10^{-3}\,\text{m}^2,

\dot{V} = vA = 2{,}00 \cdot 5{,}0265\cdot10^{-3} = 1{,}0053\cdot10^{-2}\,\text{m}^3/\text{s} = 10{,}05\,\text{L/s}.

b) Rask vei til tall. $\Delta T = 25{,}0\,\text{K}$ (differanse — celsius trygt).
$P = c\rho\dot{V}\,\Delta T = 4186 \cdot 1000 \cdot 1{,}0053\cdot10^{-2} \cdot 25{,}0\,\text{W} = 1{,}0521\cdot10^{6}\,\text{W} = 1052\,\text{kW}.$

Benevningskontroll: venstre side har enhet W. Høyre side har
$\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}\cdot\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}\cdot\frac{\text{m}^3}{\text{s}}\cdot\text{K} = \frac{\text{J}}{\text{s}} = \text{W}.$
Det stemmer.

c)
$\frac{1052}{8{,}50} = 123{,}8,$
altså $123$ hus — du runder ned, siden det $124$ . huset ikke ville fått nok. I praksis dimensjoneres slike nett med margin, og temperaturene tilpasses årstiden.

Sluttsjekk: (i) radius, ikke diameter, i $\pi r^2$ — halveringen er sjangerens vanligste slurvefeil; (ii) diameteren omregnet fra millimeter til meter; (iii) $\Delta T$ som differanse; (iv) størrelsesorden: et rør på åtte centimeter med ti liter i sekundet leverer megawatt-nivå, og det er rimelig for et helt boligfelt.

📝Oppgave 6

Eksamensnivå, sjanger…

Et hus taper $6{,}20\,\text{kW}$ gjennom klimaskallet. Det varmes med vannbåren varme, der turvannet holder $55{,}0\,^\circ\text{C}$ og returvannet $40{,}0\,^\circ\text{C}$ . For vann er $c = 4186\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$ og $\rho = 1000\,\text{kg/m}^3$ .

a) Hvor stor volumstrøm kreves, i liter per minutt?

b) Røret har innvendig diameter $20{,}0\,\text{mm}$ . Hvor fort strømmer vannet?

c) Anlegget bygges om slik at returtemperaturen senkes til $30{,}0\,^\circ\text{C}$ . Hvor mye reduseres volumstrømmen?

Rask vei til tall (MC-oppskrift)

1. Hvilken lov? Nevnes damptrykk, kokepunkt, fordampningsvarme eller høyde over havet → Clausius–Clapeyron. Nevnes lengde, skinne, bru, rør, hull, spalte eller «hvor mye lengre» → $\Delta L = \alpha L\Delta T$ . Nevnes volumstrøm, liter per sekund, tur- og returtemperatur → $P = c\rho\dot{V}\Delta T$ .
2. Den ene regnelinjen.
- damptrykk: $p = p_0\exp\left[-\dfrac{l}{R}\left(\dfrac{1}{T}-\dfrac{1}{T_0}\right)\right]$
- kokepunkt ved gitt trykk: $\dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{T_0} - \dfrac{R}{l}\ln\dfrac{p}{p_0}$
- helning: $\dfrac{dp}{dT} = \dfrac{l\,p}{RT^2}$
- utvidelse: $\Delta L = \alpha L\Delta T$ , $\Delta V = \beta V\Delta T$ med $\beta \approx 3\alpha$ , overløp $= (\beta_1-\beta_2)V\Delta T$
- strømning: $P = c\rho\dot{V}\Delta T$
3. Fra arket: $R = 8{,}314\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}$ , Clausius–Clapeyron-formen, utvidelsesformlene. Materialverdiene ( $l$ , $\alpha$ , $\beta$ , $c$ , $\rho$ ) står i oppgaveteksten.
4. Siffer: fire gjennom kjeden. Ekstra kritisk i eksponenten — regn $1/T - 1/T_0$ som eget mellomresultat med minst fem siffer, siden det er en differanse mellom to nesten like tall.
5. Sjekk før du krysser av:
- Kelvin i alt som har med damptrykk å gjøre. Celsius bare i $\Delta T$ .
- Er $l$ i $\text{J/mol}$ ? (Er den oppgitt i $\text{J/kg}$ , gang med molar masse.)
- Fortegn: høyere temperatur skal gi høyere damptrykk, alltid.
- $\alpha$ eller $\beta$ — én dimensjon eller tre?
- Er utvidelsen i promille-området? Prosent er nesten alltid en tierpotens for mye.
- Radius eller diameter i $\pi r^2$ ?

Tidsbudsjett: en utvidelsesoppgave skal ta under ett minutt. En damptrykksoppgave to til tre, fordi eksponenten krever omhu — og det er der de fleste sekundene i denne sjangeren går.

📝Oppgave 7

Sjanger T12, A–F-format

Et stoff koker ved $353{,}0\,\text{K}$ ved $101{,}3\,\text{kPa}$ og har molar fordampningsvarme $31{,}0\,\text{kJ/mol}$ . Hva er damptrykket ved $330{,}0\,\text{K}$ ?

A $48{,}06\,\text{kPa}$ · B $211{,}5\,\text{kPa}$ · C $31{,}58\,\text{kPa}$ · D $485{,}2\,\text{kPa}$ · E $101{,}2\,\text{kPa}$ · F $48{,}52\,\text{kPa}$

📝Oppgave 8

(Kvalitativ oppgave — konsept og rangering.)

a) Forklar hvorfor $dp/dT$ er positiv for damptrykkslinjen for alle stoffer, mens den er negativ for vannets smeltelinje.

b) Ranger disse tre etter hvor mye de utvider seg relativt ved samme oppvarming: en stålstang, en aluminiumsstang og samme volum bensin. Begrunn med tallene.

c) En student skriver: «Termisk utvidelse krever kelvin, akkurat som alt annet i termofysikken.» Hva er galt i det, og hvor går grensen?

📝Oppgave 9

Eksamensnivå, sjanger…

En kjemistudent måler damptrykket til et ukjent stoff og finner $18{,}0\,\text{kPa}$ ved $310{,}0\,\text{K}$ og $101{,}3\,\text{kPa}$ ved $355{,}0\,\text{K}$ .

a) Finn stoffets molare fordampningsvarme fra de to målingene.

b) Bruk resultatet til å anslå damptrykket ved $290{,}0\,\text{K}$ .

c) Studenten vil bruke samme formel til å anslå damptrykket ved $520\,\text{K}$ . Hvorfor er det en dårlig idé, og hva ville du sjekket først?

Typiske feil — og regelen som snur midt i kapitlet

Celsius i Clausius–Clapeyron (felle #11 — kelvin- og enhetsslurv). Dette er kapitlets dyreste enkeltfeil. Temperaturen står alene i

1/T

, altså i en eksponent, og feilen blir ikke prosenter, men tierpotenser: i eksempel 1 gir celsius

0{,}0005\,\text{kPa}

der svaret er

48{,}2\,\text{kPa}

Men celsius er trygt i termisk utvidelse. Der inngår bare $\Delta T$ , og en forskjell på $35$ grader er $35$ kelvin. Regelen som skiller de to: står $T$ alene, kreves kelvin; står den bare i en differanse, er celsius trygt. Dette er det ene stedet i hele boka der regelen snur innenfor ett kapittel, og det er derfor det står så mange steder her.

Feil fortegn i eksponenten. Damptrykket stiger med temperaturen, alltid, for alle stoffer. Får du høyere trykk ved lavere temperatur, har du snudd parentesen $1/T - 1/T_0$ . Sjekk det slik: er $T > T_0$ , skal $p > p_0$ .

$l$ i $\text{J/kg}$ i stedet for $\text{J/mol}$ . Clausius–Clapeyron med gasskonstanten $R$ krever den molare formen. For vann er faktoren mellom dem molmassen $18{,}015\,\text{g/mol}$ , altså en feil på $55$ ganger.

Å blande $\alpha$ og $\beta$ . $\alpha$ er lengde, én dimensjon; $\beta$ er volum, tre dimensjoner, og $\beta \approx 3\alpha$ . Bruker du $\beta$ i en lengdeformel, blir svaret tre ganger for stort — og tre ganger er nøyaktig den typen faktor som ligger som et nabo-alternativ.

Å glemme at beholderen også utvider seg. Bare den relative forskjellen $(\beta_\text{væske} - \beta_\text{beholder})$ renner over.

Å tro at hull krymper. Et hull vokser med materialet rundt.

⚠ Avrundingsfellen som lander deg på nabo-alternativet: parentesen $1/T - 1/T_0$ er en differanse mellom to nesten like tall. For vann mellom $80$ og $100\,^\circ\text{C}$ er de to reverstallene $2{,}83164\cdot10^{-3}$ og $2{,}67989\cdot10^{-3}$ — like på to siffer. Runder du hvert av dem til tre siffer, mister du all presisjon i differansen, og eksponentialen forstørrer feilen videre. Behold minst fem siffer i reverstallene, og regn differansen som eget mellomresultat. Dette er den ene plassen i termodelen der fire siffer ikke er nok.

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard- og repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Clausius–Clapeyron på ett kort

\dfrac{dp}{dT} = \dfrac{l}{T\,\Delta V}

Form	Uttrykk	Når
Generell	$\dfrac{dp}{dT} = \dfrac{l}{T\,\Delta V}$	enhver koeksistenslinje, også smeltelinjen
Damp som ideell gass	$\dfrac{dp}{dT} = \dfrac{l\,p}{RT^2}$	damptrykkslinjen, langt under $T_c$
Integrert	$p = p_0\exp\left[-\dfrac{l}{R}\left(\dfrac{1}{T}-\dfrac{1}{T_0}\right)\right]$	med $l$ regnet som konstant
Løst for temperatur	$\dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{T_0} - \dfrac{R}{l}\ln\dfrac{p}{p_0}$	«ved hvilken temperatur koker det?»

Regelen som snur: når kreves kelvin?

pV = nRT

Uttrykk	Krever kelvin?	Hvorfor
$pV = nRT$	ja	$T$ står alene
$p = p_0e^{-(l/R)(1/T-1/T_0)}$	ja	$T$ står i en nevner i eksponenten
$\Delta S = nC_V\ln(T_2/T_1)$	ja	forholdet mellom to absolutte temperaturer
$\eta = 1 - T_k/T_v$	ja	forholdet mellom to absolutte temperaturer
$P = e\sigma AT^4$	ja	fjerde potens av en absolutt størrelse
$\Delta L = \alpha L\,\Delta T$	nei	bare en differanse
$P = \Delta T/R_\text{term}$	nei	bare en differanse
$P = c\rho\dot{V}\,\Delta T$	nei	bare en differanse

Termisk utvidelse på ett kort

\Delta L = \alpha L\,\Delta T, \qquad \Delta A = 2\alpha A\,\Delta T, \qquad \Delta V = \beta V\,\Delta T, \qquad \beta \approx 3\alpha

Materiale	$\alpha$ ( $10^{-6}\,\text{K}^{-1}$ )	$\beta \approx 3\alpha$
Kvartsglass	$0{,}5$	$1{,}5\cdot10^{-6}$
Vanlig glass	$9$	$2{,}7\cdot10^{-5}$
Stål og betong	$12$	$3{,}6\cdot10^{-5}$
Kobber	$17$	$5{,}1\cdot10^{-5}$
Aluminium	$23$	$6{,}9\cdot10^{-5}$

Hull vokser — regelen som føles gal

(1 + \alpha\Delta T)

Hvorfor damptrykket vokser eksponentielt

dp/dT = l p/(RT^2)

De tre antakelsene bak damptrykksformelen

l

Antakelse	Hvor god	Ryker når
Væskevolumet er neglisjerbart mot gassvolumet	svært god, promiller	nær det kritiske punktet
Dampen er en ideell gass	god ved lave trykk	ved høyt damptrykk
$l$ er konstant over intervallet	svakest av de tre	over store temperaturintervaller

Fordampningsvarme fra to målepunkter

(T_1,p_1)

Koking mot fordampning — to ulike ting

5\,^\circ\text{C}

Sjangrene T12 og T13 — hvordan de kjennes igjen

l/R

MC-tempo i damptrykks- og utvidelsesoppgaver

\Delta T

Eliminasjon ved fortegn og størrelsesorden

T < T_0

Smeltelinjen — den andre bruken av samme ligning

\frac{dp}{dT} = \frac{l_\text{smelt}}{T\left(V_\text{væske}-V_\text{fast}\right)}.

Strømmende medium på ett kort

P = c\rho\dot{V}\,\Delta T = c\rho vA\,\Delta T = c\dot{m}\,\Delta T

Fra	Til	Gang med
$\text{L/s}$	$\text{m}^3/\text{s}$	$10^{-3}$
$\text{L/min}$	$\text{m}^3/\text{s}$	$1{,}667\cdot10^{-5}$
$\text{m}^3/\text{s}$	$\text{L/min}$	$6{,}00\cdot10^{4}$

Hva arket gir deg i disse sjangrene

l

Symbol- og formelliste

Repetisjonsoppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.