6.1 Ideell gasslov, molekyltall og kinetisk gassteori

$pV=nRT$, antall molekyler $N=pV/k_BT$, midlere kinetisk energi $\tfrac32 k_BT$ og $v_\text{rms}=\sqrt{3k_BT/m}$ — termohalvdelens åpning.

55 min

10 oppgaver

Ideell gasslovmolekyltallkinetisk gassteori

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

6.2Ekvipartisjon, frihetsgrader og varmekapasitet ($C_V$, $C_P$, $\gamma$)9.1Varmeledning i sjikt — Fouriers lov og termisk motstand 10.1van der Waals, kritisk punkt og fasediagram

Nå begynner andre halvdel av eksamen. Settet er delt i to like store deler:
spørsmål 1–20 er mekanikk, spørsmål 21–40 er termisk fysikk. Denne halvdelen
er ikke et tillegg og ikke et appendiks — den er halve karakteren, og den har
vært det i hvert sett fra 2004 til 2020. Dette kapitlet er åpningen på den.

Sjanger T1 — gasslov- og molekyltalloppgaven (bokas navn på oppgaveformen der
du får oppgitt tre av de fire størrelsene trykk, volum, temperatur og
stoffmengde, og skal finne den fjerde eller antall molekyler) forekommer i
praktisk talt alle sett (~100 %), ofte som det aller første spørsmålet i
termohalvdelen. Prioritet: høyeste — dette må sitte.

Sjanger T2 — kinetisk gassteori (oppgaveformen der du skal regne
rotmiddelkvadratfarten $v_\text{rms}$ , eller sammenligne to gasser) forekommer i
om lag 8 av 10 sett (~80 %). Signaturen er nesten alltid den samme: hvilken
gass har raskest molekyler ved samme temperatur, og har de like mye kinetisk
energi?

Én feil koster mer enn alle andre i denne halvdelen: å sette inn celsius der
formelen krever kelvin (felle #11 — enhets- og kelvinslurv i gasslov,
adiabatrelasjoner og entropi). Den feilen gir alltid et tall som ser rimelig ut,
og den lander alltid på et av de gale alternativene. Vi kommer tilbake til den
flere ganger i kapitlet, med tall.

Forkunnskaper — sist du var her

Dette kapitlet krever ingen tidligere kapitler i boka. Termofysikken starter
her, fra grunnen. Men det er verdt å bruke to minutter på hva du tar med deg fra
mekanikken — og hva som er nytt — fordi overgangen er et kjent fall-punkt.

Det du tar med deg fra Del 1–5:

$K = \tfrac12mv^2$
Kinetisk energi. Den er nøyaktig den samme størrelsen her: et gassmolekyl som
flyr gjennom beholderen, har kinetisk energi etter samme formel som en
fotball. Hele kinetisk gassteori bygger på dette ene uttrykket.

$W = \int F\,ds$
Arbeid som kraft ganger vei, fra kap. 2.2. I termofysikken
skriver vi det om til $W = \int p\,dV$ — trykk ganger volumendring — men det er
samme regnskap: kraft ganger forflytning.

Energibevaring. I mekanikken skrev du $K + U = \text{konstant}$ når ingen
friksjon spiste av energien. I termofysikken utvides regnskapet med varme, og da
holder det alltid. Ingenting forsvinner.

Det som er nytt — og som er hele tenkemåten:

I mekanikken fulgte du én kropp langs én bane, og du kunne i prinsippet
si hvor den var til hvert tidspunkt. Her har du $10^{23}$ molekyler i tilfeldig
bevegelse, og ingen som helst interesse for hvor ett enkelt av dem er. Du
beskriver gassen med noen få tilstandsstørrelser i stedet: trykk, volum,
temperatur, stoffmengde. Temperatur er et statistisk mål — den er et mål på
midlere kinetisk energi per molekyl, og et enkelt molekyl har ingen temperatur.

Den andre nyheten møter du for fullt i kap. 7.1, men det
er verdt å vite at den kommer: noen størrelser avhenger bare av hvor du er
(trykk, volum, temperatur, indre energi), mens varme og arbeid avhenger av
hvilken vei du gikk dit. To gasser i samme tilstand har samme indre energi,
men kan ha fått den ved helt ulike blandinger av varme og arbeid. I mekanikken
hadde du en beslektet erfaring: den potensielle energien avhang bare av høyden,
mens friksjonsarbeidet avhang av veien.

Fra videregående: du kan ha møtt $pV = nRT$ , molbegrepet og kelvinskalaen i
Fysikk 1 eller Kjemi 1. Alt du trenger, står likevel i dette kapitlet.

⚠ Symbolvarsel — fem symboler skifter betydning nå. Dette er den viktigste
enkeltbeskjeden i overgangen til termodelen:

Symbol	Betydde i Del 1–5	Betyr fra Del 6
$p$	bevegelsesmengde, vektoren $\mathbf{p}=m\mathbf{v}$	trykk, en skalar, i pascal
$T$	periode (svingetid) i sekunder	absolutt temperatur i kelvin
$R$	radius i meter	gasskonstanten $8{,}314\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}$
$\gamma$	dempingskoeffisient $b/2m$ i $\text{s}^{-1}$	adiabateksponent $C_P/C_V$ , dimensjonsløs (fra kap. 6.2)
$S$	taustrekk i newton	entropi i J/K (fra kap. 7.2)
$Q$	kvalitetsfaktor, dimensjonsløs	varme i joule (fra kap. 7.1)
$k$	fjærstivhet i N/m	Boltzmanns konstant skrives alltid $k_B$

Skilleregelen som redder deg hver gang: har størrelsen enhet, er $\gamma$ en
dempingskoeffisient. Adiabateksponenten er et rent tallforhold mellom 1 og

\tfrac53

. Og et trykk har enheten pascal, mens en bevegelsesmengde har

\text{kg}\cdot\text{m/s}

— de kan ikke forveksles hvis du skriver enheten.

Løkke 1 — tilstand, trykk, temperatur og gassloven (~14 min)

Skru korken av en varm brusflaske, og den freser. Kjør en time på motorveien og
kjenn på dekket etterpå: det er varmt, og trykket har steget. Sett en trykkoker
på plata, og den bygger opp trykk til ventilen løfter seg. Tre hverdagslige ting,
og alle tre er den samme fysikken: når du endrer temperaturen til en innesluttet
gass, endrer trykket seg med.

Det er dette forholdet vi skal gjøre presist. Og første skritt er å bestemme hva
vi i det hele tatt beskriver.

Termodynamisk system og omgivelser

Systemet er den delen av verden du velger å regne på — gassen inne i sylinderen, vannet i termosen, luften i dekket. Alt utenfor er omgivelsene . Grensen mellom dem trekker du selv, og den kan være en fysisk vegg eller bare en tenkt flate. Valget er ikke likegyldig: det avgjør hva som regnes som «inn» og «ut». Et lukket system kan utveksle energi med omgivelsene, men ikke stoff — det er tilfellet i nesten alle oppgavene i denne boka. Et isolert system utveksler ingenting, verken energi eller stoff. Første setning i løsningen din bør derfor alltid være hvilket system du har valgt.

Tilstandsstørrelse

p

Trykk

p = \frac{F_\perp}{A},

Absolutt temperatur og kelvinskalaen

T\,[\text{K}] = t\,[^\circ\text{C}] + 273{,}15.

Termisk likevekt

A

📜Den ideelle gassloven

For en ideell gass henger de fire tilstandsstørrelsene sammen slik:

pV = nRT,

der

p

er trykket i pascal,

V

volumet i kubikkmeter,

n

stoffmengden i mol,

T

den absolutte temperaturen i kelvin og

R = 8{,}314\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}

den universelle gasskonstanten.
Loven står på det utdelte formelarket sammen med verdien av

R

— du skal
ikke pugge den, men gjenkjenne den og løse den for den ukjente.

Løst for hver av de fire:
$p = \frac{nRT}{V}, \qquad V = \frac{nRT}{p}, \qquad n = \frac{pV}{RT}, \qquad T = \frac{pV}{nR}.$

Benevningskontroll, som du bør gjøre minst én gang for å stole på den:
høyre side har enheten
$\text{mol}\cdot\text{J/(mol}\cdot\text{K)}\cdot\text{K} = \text{J}$ , og venstre
side
$\text{Pa}\cdot\text{m}^3 = (\text{N/m}^2)\cdot\text{m}^3 = \text{N}\cdot\text{m} = \text{J}.$
Begge sider er en energi — det stemmer.

Ideell gass

En modellgass der molekylene (i) har forsvinnende lite eget volum sammenlignet med beholderen, og (ii) ikke merker hverandre annet enn i selve støtene. Da er det ingen tiltrekningskrefter å regne potensiell energi for, og hele den indre energien er kinetisk. Modellen er svært god for luft, nitrogen, oksygen, helium og argon ved romtemperatur og moderate trykk — det er derfor den brukes i praktisk talt alle eksamensoppgavene. Den svikter der molekylene kommer tett på hverandre: høyt trykk, lav temperatur, nær kondensasjon. Da trenger du van der Waals-modellen, som er tema i Del 10. Merk hvor rimelig kravet er: ved atmosfæretrykk fyller molekylene i luft under en tusendel av volumet de flyr rundt i.

Stoffmengde og mol

n

Hvor gassloven kommer fra — og hvordan du bruker den uten å tenke

Historisk er $pV = nRT$ tre eksperimentelle lover slått sammen. Boyle fant at
$pV$ er konstant ved fast temperatur, Charles og Gay-Lussac at $V \propto T$ ved
fast trykk, og Avogadro at $V \propto n$ ved fast $p$ og $T$ . Setter du sammen de
tre proporsjonalitetene, får du $pV \propto nT$ , og målingen av
proporsjonalitetskonstanten gir $R$ .

Intuisjon: trykket kommer av at molekylene banker på veggen. Presser du volumet
sammen, banker like mange molekyler på et mindre areal, og trykket stiger. Varmer
du gassen, banker de hardere og oftere, og trykket stiger. Fyller du på mer
gass, er det flere som banker. Alle tre proporsjonalitetene har den samme enkle
forklaringen.

Enhetsdisiplinen, som avgjør flere oppgaver enn selve formelen. Før du setter
inn ett eneste tall, skriv om til SI:

Oppgaven sier	Du setter inn
liter (L)	$\times 10^{-3}$ for $\text{m}^3$
$\text{cm}^3$ eller mL	$\times 10^{-6}$ for $\text{m}^3$
bar	$\times 10^{5}$ for Pa
atm	$\times 1{,}013\cdot10^{5}$ for Pa
gram	$\times 10^{-3}$ for kg
celsius	$+\,273{,}15$ for K

Dette tar tolv sekunder og fjerner de fire vanligste feilene i sjangeren.
— naturlig pausepunkt —

✏️Eksempel 1: nitrogenflasken på laben

En stålflaske med volum $8{,}50\,\text{L}$ inneholder nitrogengass ( $\text{N}_2$ ,
molar masse $28{,}01\,\text{g/mol}$ ) ved trykk $145\,\text{bar}$ og
temperatur $21{,}0\,^\circ\text{C}$ .

a) Finn stoffmengden i mol.

b) Hvor mange kilo nitrogen er det i flasken?

c) Flasken settes i et rom som varmes til $55{,}0\,^\circ\text{C}$ . Volumet
er fast. Hva blir trykket?

a) Symbolsk. Gassloven løst for stoffmengden:

n = pV/(RT)

Rask vei til tall. Først SI-omregningen, hver for seg:
$V = 8{,}50\,\text{L} = 0{,}00850\,\text{m}^3, \qquad p = 145\,\text{bar} = 1{,}45\cdot10^{7}\,\text{Pa}, \qquad T = 21{,}0 + 273{,}15 = 294{,}15\,\text{K}.$
Regn så teller og nevner hver for seg — det er den vanen som holder
sifferdisiplinen:
$pV = 1{,}45\cdot10^{7} \cdot 0{,}00850\,\text{J} = 123250\,\text{J}, \qquad RT = 8{,}314 \cdot 294{,}15\,\text{J/mol} = 2445{,}56\,\text{J/mol},$
$n = \frac{123250}{2445{,}56}\,\text{mol} = 50{,}3974\,\text{mol} \approx 50{,}4\,\text{mol}.$

b)
$m = nM = 50{,}3974 \cdot 0{,}02801\,\text{kg} = 1{,}41163\,\text{kg} \approx 1{,}41\,\text{kg}.$
Rimelighetssjekk: femti mol nitrogen er halvannen kilo — det stemmer med at ett
mol veier 28 gram.

c) Symbolsk. Volumet og stoffmengden er faste, så $p/T$ er konstant:
$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2} \quad\Longrightarrow\quad p_2 = p_1\frac{T_2}{T_1}.$

Rask vei til tall. Med $T_2 = 55{,}0 + 273{,}15 = 328{,}15\,\text{K}$ :
$p_2 = 1{,}45\cdot10^{7} \cdot \frac{328{,}15}{294{,}15}\,\text{Pa} = 1{,}45\cdot10^{7} \cdot 1{,}11559\,\text{Pa} = 1{,}61760\cdot10^{7}\,\text{Pa} \approx 161{,}8\,\text{bar}.$
Trykket steg altså med 11{,}6 prosent av en oppvarming på 34 grader.

Her bor kapitlets dyreste felle. Hadde du satt inn celsiustallene i
forholdet, ville du fått
$p_2^\text{galt} = 1{,}45\cdot10^{7} \cdot \frac{55{,}0}{21{,}0}\,\text{Pa} = 3{,}798\cdot10^{7}\,\text{Pa} \approx 379{,}8\,\text{bar},$
altså en økning på over 160 prosent i stedet for 11{,}6 prosent. Legg merke
til at det gale svaret ikke ser absurd ut — det ser bare ut som en flaske med
høyere trykk. Det er derfor fella er så effektiv, og derfor du skriver
kelvinverdien ned som en egen linje hver gang.

📝Oppgave 1

(Innstegsoppgave — enheter og kelvin. Ingen gasslov ennå.)

a) Gjør om til kelvin: $-18{,}0\,^\circ\text{C}$ , $0\,^\circ\text{C}$ ,
$25{,}0\,^\circ\text{C}$ og $1200\,^\circ\text{C}$ .

b) Gjør om $2{,}50\,\text{L}$ til kubikkmeter, og $1{,}80\,\text{bar}$ til
pascal.

c) Forklar med egne ord hvorfor $p \propto T$ krever kelvin, mens
$\Delta L = \alpha L\,\Delta T$ (termisk utvidelse, Del 10) tåler celsius.

📝Oppgave 2

Sjanger T1

Et bildekk har absolutt trykk
$3{,}40\cdot10^{5}\,\text{Pa}$ når bilen står kald ved $5{,}0\,^\circ\text{C}$ . Etter en
time på motorveien har gassen i dekket kommet opp i $38{,}0\,^\circ\text{C}$ .
Regn med at volumet er uendret.

a) Finn det nye trykket, og hvor stor økningen er i pascal.

b) Hvor varm måtte gassen blitt for at trykket skulle nå
$4{,}00\cdot10^{5}\,\text{Pa}$ ?

c) En trykkmåler på bensinstasjonen viser overtrykk — altså trykket over
atmosfæretrykket. Hvorfor kan du ikke sette den avlesningen rett inn i
gassloven?

Gassloven i forholdsform

pV/T

Løkke 2 — fra mol til molekyler (~12 min)

Gassloven regner i mol. Men flere eksamensspørsmål ber om antall molekyler,
og noen ber om energien til ett molekyl. Da trenger du broen mellom
molverdenen og molekylverdenen, og den består av to konstanter.

Avogadros tall

N_A = 6{,}022\cdot10^{23}\ \text{mol}^{-1}.

Gasskonstanten

R

R = 8{,}314\ \text{J/(mol}\cdot\text{K)},

Boltzmanns konstant

k_B

k_B = \frac{R}{N_A} = 1{,}381\cdot10^{-23}\ \text{J/K}.

📜Antall molekyler i en gassmengde

Sett

n = N/N_A

inn i gassloven og bruk

R = N_A k_B

pV = \frac{N}{N_A}RT = N k_B T \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\,N = \frac{pV}{k_B T}\,}

Formen

pV = Nk_BT

står på formelarket ved siden av

pV = nRT

; de er samme
lov, skrevet per molekyl i stedet for per mol.

Regelen som gjør at du aldri velger feil: spør oppgaven om mol, bruk $R$ ; spør
den om antall molekyler, bruk $k_B$ . Trenger du begge, regn den ene og gang
eller del med $N_A$ .

En nyttig avledet størrelse er partikkeltettheten $N/V = p/(k_BT)$ , altså
antall molekyler per kubikkmeter. Den er uavhengig av hvilken gass det er — bare
av trykk og temperatur.

✏️Eksempel 2: hvor mange molekyler er det i en lyspære?

En gammeldags glødelampe har et indre volum på $6{,}00\cdot10^{-5}\,\text{m}^3$ (altså
$0{,}0600\,\text{mL}$ ) fylt med argon. Når lampen lyser, er trykket
$8{,}00\cdot10^{4}\,\text{Pa}$ og temperaturen $2500\,\text{K}$ .

a) Hvor mange gassmolekyler er det i lampen?

b) Hvor mange mol er det?

a) Symbolsk. Oppgaven ber om antall molekyler, altså

N = pV/(k_BT)

—
molekyltall betyr

k_B

Rask vei til tall. Teller og nevner hver for seg:
$pV = 8{,}00\cdot10^{4} \cdot 6{,}00\cdot10^{-5}\,\text{J} = 4{,}80\,\text{J},$
$k_BT = 1{,}381\cdot10^{-23} \cdot 2500\,\text{J} = 3{,}4525\cdot10^{-20}\,\text{J},$
$N = \frac{4{,}80}{3{,}4525\cdot10^{-20}} = 1{,}3903\cdot10^{20}.$

b) Del på Avogadros tall:
$n = \frac{N}{N_A} = \frac{1{,}3903\cdot10^{20}}{6{,}022\cdot10^{23}}\,\text{mol} = 2{,}3087\cdot10^{-4}\,\text{mol}.$

Uavhengig kontroll — og en lærdom om siffer. Regner vi stoffmengden direkte
fra $n = pV/(RT)$ i stedet, får vi
$n = \frac{4{,}80}{8{,}314 \cdot 2500}\,\text{mol} = 2{,}3094\cdot10^{-4}\,\text{mol}.$
De to svarene skiller seg med 0{,}29 promille. Det er ikke en regnefeil:
det er avrundingen i $k_B = 1{,}381\cdot10^{-23}$ mot
$R = 8{,}314$ , som ikke er helt konsistente på fjerde siffer. Med
$k_B = 1{,}3806\cdot10^{-23}$ faller de sammen. Poenget for eksamen: et avvik i
fjerde siffer mellom to regneveier er avrunding, mens et avvik i første
siffer er en feil. Lær deg å skille dem.

Legg for øvrig merke til svaret: en tredjedels milliondel mol — men over
hundre milliarder milliarder molekyler. Det er størrelsesordenen som gjør
statistikk til riktig verktøy.

📝Oppgave 3

Sjanger T1

Et vakuumkammer med volum $0{,}0200\,\text{m}^3$ pumpes ned til
trykket $1{,}00\cdot10^{-6}\,\text{Pa}$ ved $295\,\text{K}$ .

a) Hvor mange gassmolekyler er det igjen i kammeret?

b) Hvor mange molekyler er det per kubikkcentimeter?

c) Kommenter svaret: er kammeret «tomt»?

📝Oppgave 4

Sjanger T1

En stålflaske med volum $40{,}0\,\text{L}$ inneholder
$0{,}250\,\text{kg}$ helium (molar masse $4{,}003\,\text{g/mol}$ ) ved
$295\,\text{K}$ .

a) Finn stoffmengden.

b) Finn trykket i flasken, i pascal og i bar.

c) Hvor mange heliumatomer er det i flasken?

Molart volum — tallet som gir rimelighetssjekk

p

Løkke 3 — kinetisk gassteori: hva temperatur egentlig er (~18 min)

Så langt har $T$ vært et tall vi setter inn. Nå skal vi se hva som skjer inne i
gassen — og svaret er den peneste broen i hele faget mellom mekanikken du kommer
fra og termofysikken du er på vei inn i.

Tenk på et enkelt molekyl som treffer en vegg rett på og spretter tilbake med
samme fart. Bevegelsesmengden endres fra $mv_x$ til $-mv_x$ , altså med
$2mv_x$ — nøyaktig samme regnestykke som det elastiske støtet i
kap. 3.1. Kraften på veggen er endringen i
bevegelsesmengde per tid. Summer du over alle molekylene, får du trykket.

📜Trykket fra kinetisk gassteori

For en ideell gass med

N

molekyler av masse

m

i volumet

V

p = \frac{1}{3}\frac{N}{V}m\langle v^2\rangle,

der

\langle v^2\rangle

er middelverdien av fartskvadratet.
Uttrykket står på formelarket.

Hvor faktoren $\tfrac13$ kommer fra. Bevegelsen er tilfeldig fordelt i tre
retninger, så i gjennomsnitt går en tredjedel av «fartskvadratet» på hver akse:
$\langle v^2\rangle = \langle v_x^2\rangle + \langle v_y^2\rangle + \langle v_z^2\rangle = 3\langle v_x^2\rangle.$
Bare bevegelsen langs $x$ bidrar til trykket på en vegg som står normalt på
$x$ -aksen — derfor tredjedelen. Dette er den ene tellingen du skal kunne
gjenskape på eksamen, for den samme tredelingen dukker opp igjen i
ekvipartisjonsprinsippet i kap. 6.2.

Intuisjon: $N/V$ er hvor mange som banker, $m\langle v^2\rangle$ er hvor hardt
hver av dem banker. Trykket er produktet.

Utledningen som kreves aktivt: temperatur er midlere kinetisk energi

Nå har vi to uttrykk for det samme trykket. Fra kinetisk teori:
$pV = \tfrac13 N m\langle v^2\rangle.$
Fra gassloven, skrevet per molekyl:
$pV = Nk_BT.$

Sett dem lik hverandre, og $N$ faller ut:
$\tfrac13 m\langle v^2\rangle = k_BT \quad\Longrightarrow\quad \tfrac12 m\langle v^2\rangle = \tfrac32 k_BT.$

Venstre side er nettopp den midlere kinetiske energien per molekyl. Vi har
altså vist at
$\langle E_k\rangle = \tfrac32 k_B T.$

Intuisjon: dette er svaret på hva temperatur er. Den er ikke «hvor mye varme
noe inneholder» — den er et direkte mål på hvor mye kinetisk energi hvert
molekyl har i gjennomsnitt. To gasser med samme temperatur har samme midlere
kinetiske energi per molekyl, uansett hvor tunge molekylene er. Det er den
setningen sjanger T2 er bygget rundt, og den er kontraintuitiv nok til å være et
yndet flervalgspoeng.

Utledningen over er kort nok at du bør kunne gjøre den fra bunnen: to uttrykk for
$pV$ , sett dem lik, gang med $\tfrac32$ . Den må kunne utledes aktivt — det er
selve koblingen mellom mekanikk og termofysikk.

Midlere kinetisk energi per molekyl

T

Indre energi i en ideell gass

U = N\langle E_k\rangle = \tfrac32 Nk_BT = \tfrac32 nRT.

Molar masse

M = m_\text{molekyl} N_A, \qquad m_\text{molekyl} = \frac{M}{N_A}.

Rotmiddelkvadratfarten

v_\text{rms}

v_\text{rms} = \sqrt{\langle v^2\rangle} = \sqrt{\frac{3k_BT}{m}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}.

Maxwell–Boltzmann-fordelingen

Fordelingen av farter i en gass i termisk likevekt. Molekylene har ikke samme fart — de har en bred fordeling, med få svært langsomme, mange midt på treet og en lang hale av svært raske. Tre egenskaper du skal kunne lese ut av figuren, og som er de eneste du behøver: 1. Høyere temperatur flytter fordelingen mot høyere fart og gjør den bredere og lavere . Lavere, fordi arealet under kurven alltid er det samme: det er 100 prosent av molekylene. 2. Tyngre molekyl gir en smalere fordeling ved samme temperatur — trykket mot lavere farter. 3. Halen mot høye farter er lang. Det er derfor noen molekyler alltid har nok energi til å reagere kjemisk eller unnslippe fra en væskeoverflate, selv langt under kokepunktet. Selve formelen for fordelingen er ikke pensum i denne boka — det er tolkningen som er det.

Tre karakteristiske farter — og hvorfor de er ulike

v_\text{p} = \sqrt{\frac{2RT}{M}} \ (\text{mest sannsynlig}), \qquad \langle v\rangle = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}} \ (\text{middelfart}), \qquad v_\text{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}.

✏️Eksempel 3: helium mot nitrogen (eksamensnivå)

En beholder inneholder en blanding av helium ( $M = 4{,}003\,\text{g/mol}$ ) og
nitrogengass ( $M = 28{,}01\,\text{g/mol}$ ) i termisk likevekt ved
$300\,\text{K}$ .

a) Finn $v_\text{rms}$ for hver av de to gassene.

b) Hvor mange ganger raskere er heliumatomene?

c) Hvilken av de to har størst midlere kinetisk energi per molekyl?

d) Hva blir $v_\text{rms}$ for helium hvis temperaturen firedobles til
$1200\,\text{K}$ ?

a) Symbolsk.

v_\text{rms} = \sqrt{3RT/M}

, med

M

i kg/mol.

Rask vei til tall. Regn telleren $3RT$ én gang og gjenbruk den — det er
hele tidsgevinsten i denne sjangeren:
$3RT = 3 \cdot 8{,}314 \cdot 300\,\text{J/mol} = 7482{,}60\,\text{J/mol}.$
$v_\text{rms}(\text{He}) = \sqrt{\frac{7482{,}60}{0{,}004003}}\,\text{m/s} = \sqrt{1{,}86925\cdot10^{6}}\,\text{m/s} = 1367{,}20\,\text{m/s},$
$v_\text{rms}(\text{N}_2) = \sqrt{\frac{7482{,}60}{0{,}02801}}\,\text{m/s} = \sqrt{267140}\,\text{m/s} = 516{,}856\,\text{m/s}.$
Rundet til tre siffer: $1367\,\text{m/s}$ og $517\,\text{m/s}$ . Merk
størrelsesordenen: gassmolekyler ved romtemperatur beveger seg i
hundrevis av meter per sekund — omtrent som lydfarten, som ikke er tilfeldig.

b) Forholdet:
$\frac{v_\text{He}}{v_{\text{N}_2}} = 2{,}64523.$
Uavhengig kontroll: forholdet skal være $\sqrt{M_{\text{N}_2}/M_\text{He}}$
fordi temperaturen er den samme:
$\sqrt{\frac{28{,}01}{4{,}003}} = \sqrt{6{,}99725} = 2{,}64523 \ \checkmark$
Samme svar fra to helt ulike veier.

c) Ingen av dem — de er like.
$\langle E_k\rangle = \tfrac32 k_BT = 1{,}5 \cdot 1{,}381\cdot10^{-23} \cdot 300\,\text{J} = 6{,}2145\cdot10^{-21}\,\text{J}$
for begge. Kontroller det direkte for helium: massen til ett heliumatom er
$m = M/N_A = 6{,}6473\cdot10^{-27}\,\text{kg}$ , og
$\tfrac12 m v_\text{rms}^2 = 0{,}5 \cdot 6{,}6473\cdot10^{-27} \cdot 1{,}86925\cdot10^{6}\,\text{J} = 6{,}2127\cdot10^{-21}\,\text{J} \ \checkmark$
(avviket i fjerde siffer er avrundingen i $k_B$ , som i eksempel 2).

Dette er sjangerens kjernepoeng: samme temperatur betyr samme midlere
kinetiske energi per molekyl. Det tunge molekylet betaler med lavere fart.

d) Farten går som $\sqrt{T}$ , så en firedobling av den absolutte
temperaturen dobler farten:
$v_\text{rms} = 1367{,}20 \cdot \sqrt{4}\,\text{m/s} = 2734{,}41\,\text{m/s}.$
Regner du på nytt fra formelen, får du samme tall. Den som svarer «fire ganger så
fort», har lest $v \propto T$ i stedet for $v \propto \sqrt{T}$ — og det gale
svaret ligger klart på alternativlista.

📝Oppgave 5

Sjanger T2

Oksygengass har molar masse
$32{,}00\,\text{g/mol}$ .

a) Finn $v_\text{rms}$ ved $300\,\text{K}$ og ved $1200\,\text{K}$ .

b) Finn den midlere kinetiske energien per molekyl ved de samme to
temperaturene, og forklar hvorfor forholdet mellom energiene ikke er det samme
som forholdet mellom fartene.

📝Oppgave 6

(Kvalitativ oppgave — konseptrangering. Denne typen har sin egen andel av
eksamenssettet.) En beholder inneholder helium, nitrogengass og karbondioksid i
termisk likevekt ved $320\,\text{K}$ .

a) Ranger de tre etter $v_\text{rms}$ , størst først, og begrunn i én setning.

b) Ranger de tre etter midlere kinetisk energi per molekyl.

c) En medstudent sier: «karbondioksid er tyngst, så den har mest energi».
Skriv et svar på to setninger som retter dette.

📝Oppgave 7

Eksamensnivå, sjanger T2

I en beholder er partikkeltettheten
$N/V = 2{,}50\cdot10^{25}\,\text{m}^{-3}$ , molekylene er nitrogen ( $\text{N}_2$ , molar
masse $28{,}01\,\text{g/mol}$ ), og $v_\text{rms} = 517\,\text{m/s}$ .

a) Finn massen til ett nitrogenmolekyl.

b) Regn ut trykket i beholderen direkte fra kinetisk gassteori.

c) Finn temperaturen, og kommenter om tallene er realistiske.

Rask vei til tall (MC-oppskrift)

1. Hvilken lov? Tre spørsmålstyper dekker praktisk talt alt i dette
kapitlet. Spør oppgaven om trykk, volum, temperatur eller mol → gassloven
$pV = nRT$ . Spør den om antall molekyler → $N = pV/(k_BT)$ . Spør den om
fart → $v_\text{rms} = \sqrt{3RT/M}$ . Endres en tilstand til en annen med
samme gassmengde → forholdsformen $p_1V_1/T_1 = p_2V_2/T_2$ , og stryk det som
er konstant.
2. Hvilken ene regnelinje? Skriv kelvinverdien først, på egen linje.
Regn så teller og nevner hver for seg. I fartsoppgaver: regn $3RT$ én gang og
gjenbruk det for alle gassene i oppgaven.
3. Hva hentes hvor? $pV=nRT$ , $pV=Nk_BT$ , $p=\tfrac13(N/V)m\langle v^2\rangle$ ,
$\langle E_k\rangle=\tfrac32k_BT$ , $v_\text{rms}=\sqrt{3k_BT/m}=\sqrt{3RT/M}$
og verdiene av $R$ , $k_B$ og $N_A$ står på det utdelte arket. Kvadratrøtter
og logaritmer regner du på kalkulatoren; Rottmann trenger du ikke i dette
kapitlet. Det som må kunne utledes aktivt, er koblingen
$\langle E_k\rangle = \tfrac32k_BT$ fra de to uttrykkene for $pV$ — og
enhetsomregningene.
4. Hvor mange siffer? Fire gjennom hele kjeden, to eller tre i sluttsvaret.
Særlig i $v_\text{rms}$ : kvadratrota halverer den relative feilen, så en
avrunding som ser uskyldig ut i telleren, flytter sluttsvaret mindre enn du
tror — men gjør du to avrundinger etter hverandre, treffer du nabo-alternativet.
5. Hva sjekker du før du krysser av? (i) Er alle temperaturer i kelvin?
(ii) Er volumet i $\text{m}^3$ og massen i kg? (iii) Ba oppgaven om mol
eller om molekyler — brukte du $R$ eller $k_B$ ? (iv) Har svaret riktig
enhet og rimelig tierpotens? En gassfart skal ligge i hundrevis av m/s, et
romtrykk rundt $10^5\,\text{Pa}$ , et molart volum rundt 24 L/mol ved én
atmosfære. (v) Ba oppgaven om fart eller om energi — går svaret som
$\sqrt{T}$ eller som $T$ ?

📝Oppgave 8

Sjanger T1, flervalg i…

Hvor mange
gassmolekyler er det i et rom på $42{,}0\,\text{m}^3$ ved trykket
$1{,}013\cdot10^{5}\,\text{Pa}$ og temperaturen $21{,}0\,^\circ\text{C}$ ?

A $1{,}467\cdot10^{28}$ · B $1{,}047\cdot10^{30}$ · C $1740$ · D $1{,}047\cdot10^{27}$ ·
E $4{,}255\cdot10^{6}$ · F $1{,}047\cdot10^{24}$

Oppgi bare bokstavsvaret.

📝Oppgave 9

Eksamensnivå, sjanger…

En argonflaske ( $M = 39{,}95\,\text{g/mol}$ )
har volum $50{,}0\,\text{L}$ . Full holder den trykket $1{,}80\cdot10^{7}\,\text{Pa}$ ved
$20\,^\circ\text{C}$ . Etter bruk er trykket falt til $4{,}50\cdot10^{6}\,\text{Pa}$ ved
samme temperatur.

a) Finn stoffmengden før og etter.

b) Hvor mange kilo argon er brukt?

c) Finn $v_\text{rms}$ for argonatomene, og den midlere kinetiske energien
per atom.

d) Hvor mange atomer er det igjen i flasken?

e) Hva ville skjedd med svaret i c) hvis flasken hadde stått i sola og blitt
$60\,^\circ\text{C}$ ?

📝Oppgave 10

(Kvalitativ oppgave — konseptspørsmål av typen som forekommer i hvert sett.)
Avgjør om hver påstand er sann eller falsk, og begrunn hver med én setning.

a) «To gassmengder med samme trykk og samme volum har samme temperatur.»

b) «Doblet du den absolutte temperaturen til en gass i en stiv beholder,
dobles trykket.»

c) «Ved samme temperatur har alle gasser samme $v_\text{rms}$ .»

d) «Den indre energien til en ideell gass avhenger av volumet.»

e) «Ett mol av en tung gass fyller større volum enn ett mol av en lett gass
ved samme trykk og temperatur.»

Typiske feil — og avrundingen som lander på nabo-alternativet

Celsius i stedet for kelvin (felle #11 — kelvin- og enhetsslurv). Dette er
den dyreste enkeltfeilen i hele termohalvdelen, og den treffer alt: gassloven,
forholdsformen,

v_\text{rms}

\langle E_k\rangle

og senere adiabatrelasjonene
og entropien. Motgiften er mekanisk: skriv kelvinverdien som en egen
regnelinje før du setter inn noe som helst. Merk at fella er ekstra farlig ved
små temperaturforskjeller, fordi det gale svaret da ligger nær det riktige og
ikke avsløres av størrelsesordenen.

$R$ der $k_B$ skulle stått, eller omvendt. Regelen er: per mol → $R$ , per
molekyl → $k_B$ . Feilen gir en faktor $6{,}022\cdot10^{23}$ , altså 23
tierpotenser, og avsløres alltid av størrelsesordenen — hvis du sjekker den.

Liter mot kubikkmeter, gram mot kilogram. Tre av fire enhetsfeil i denne
sjangeren er en av disse to. Faktoren er 1000 i volumet og
$\sqrt{1000} \approx 31{,}6$ i $v_\text{rms}$ når molar masse settes inn i g/mol.

Å tro at tyngre molekyl betyr mer kinetisk energi. Ved samme temperatur har
alle molekyler samme $\langle E_k\rangle = \tfrac32k_BT$ . Det tunge molekylet har
lavere $v_\text{rms}$ . Dette står i praktisk talt hvert sett som et av de
gale alternativene, formulert overbevisende.

Å regne $v \propto T$ i stedet for $v \propto \sqrt{T}$ . Firedobler du den
absolutte temperaturen, dobles farten. Energien firedobles. Blander du de to, får
du et svar som er dobbelt eller halvparten av det riktige — og begge tallene står
på lista.

Å glemme faktoren $\tfrac13$ i $p = \tfrac13(N/V)m\langle v^2\rangle$ . Det
gale svaret er eksakt tre ganger for stort, og for et gasstrykk «ser tre
atmosfærer» like rimelig ut som én.

Og avrundingsfellen (felle #16 — for få siffer gjennom kjeden). I dette
kapitlet er faren størst i to steg: (i) i $v_\text{rms}$ når du regner
$3RT/M$ og runder før rota — hold fire siffer, for rota gjør at feilen halveres
men ikke forsvinner; (ii) i forholdsformen når temperaturforskjellen er liten, for
da regner du et forhold nær 1, og der er den relative feilen svært følsom. Skriv
kelvinverdiene med to desimaler ( $311{,}15\,\text{K}$ , ikke $311$ ), regn
forholdet med seks siffer, og rund først i sluttsvaret. Alternativene på denne
eksamen ligger så tett at ett siffer for lite er nok til å velge naboen.

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard- og repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har
lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder
kjernestoffet.

Sjanger T1 — gasslov- og molekyltalloppgaven

p

Sjanger T2 — kinetisk gassteori og

v_\text{rms}

\tfrac32k_BT

Kelvin-fella (felle #11)

v_\text{rms}

R

eller

k_B

— per mol eller per molekyl

R = N_Ak_B = 8{,}314\ \text{J/(mol}\cdot\text{K)}, \qquad k_B = \frac{R}{N_A} = 1{,}381\cdot10^{-23}\ \text{J/K}.

Enhetsomregningene som velter gasslov-regningen

1\,\text{L} = 10^{-3}\,\text{m}^3, \qquad 1\,\text{cm}^3 = 1\,\text{mL} = 10^{-6}\,\text{m}^3, \qquad 1\,\text{bar} = 10^{5}\,\text{Pa},

Symbolene som skifter betydning i termodelen

p

Symbol	Del 1–5 (mekanikk)	Del 6–11 (termofysikk)
$p$	bevegelsesmengde $\mathbf{p}=m\mathbf{v}$ (vektor)	trykk (skalar), Pa
$T$	periode, s	absolutt temperatur, K
$R$	radius, m	gasskonstanten (eller $R_\text{term}$ , termisk motstand)
$\gamma$	dempingskoeffisient $b/2m$ , $\text{s}^{-1}$	adiabateksponent $C_P/C_V$ , dimensjonsløs
$S$	taustrekk, N	entropi, J/K
$Q$	kvalitetsfaktor, dimensjonsløs	varme, J

Symbol- og formelliste

Repetisjonsoppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.