Tilbake
2.2
Alle fag for Høyskole

2.2 Arbeid, energibevaring og rullende legeme ($K=\tfrac{7}{10}mv^2$)

Energibevaring for et legeme som ruller uten å gli — med rotasjonsenergien inkludert — pluss arbeid, effekt og terminalfart som kompakt tilleggsstoff.

60 min
10 oppgaver
Arbeidenergibevaringrullende legeme ($K=\tfrac{7}{10}mv^2$)
Din fremgang i kapitlet
0 / 10 oppgaver
Kapitlets plass i kurset

Forkunnskaper — sist du var her

Dette kapitlet bygger på kap. 2.1, der du satte opp Newtons 2. lov med friksjon, og på kap. 1.2, der du brukte mekanisk energibevaring for et legeme som glir. Fra videregående er Bevegelse i to dimensjoner nyttig bakgrunn. Skal du regne arbeid som et integral, står teknikken i Bestemt integral som grenseverdi.

De tre relasjonene du trenger ferdig oppfrisket:

K=12mv2,U=mghK = \tfrac12 mv^2, \qquad U = mgh
Kinetisk og potensiell energi for et legeme som beveger seg rettlinjet. Begge står på det utdelte formelarket. Enheten for begge er joule: 1 J=1 N⋅m=1 kg⋅m2/s21\,\text{J} = 1\,\text{N}\cdot\text{m} = 1\,\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}^2.

12mv12+mgh1=12mv22+mgh2\tfrac12 mv_1^2 + mgh_1 = \tfrac12 mv_2^2 + mgh_2
Mekanisk energibevaring, slik du brukte den i kap. 1.2. Fra ro gir den v2=2g Δyv^2 = 2g\,\Delta y — men bare for et legeme som glir uten friksjon. Nettopp den begrensningen er det dette kapitlet løfter.

∑F=ma\sum \mathbf{F} = m\mathbf{a}
Newtons 2. lov fra kap. 2.1, som vi trenger når vi skal begrunne rullebetingelsen og terminalfarten.

Én ny størrelse blir innført her, og du trenger den bare i den formen kapitlet gir den. Treghetsmomentet II er et mål på hvor vanskelig et legeme er å få i rotasjon. Verdiene for de standardformene eksamen bruker — kompakt kule, massiv sylinder, kuleskall — står på det utdelte formelarket, og du skal her bare hente dem og sette dem inn. Hvordan de utledes med integralet ∫r2 dm\int r^2\,dm, og hvordan Steiners sats flytter aksen, hører til Del 4.

Symbolmerknad. I dette kapitlet er WW arbeid i joule, KK kinetisk energi, UU potensiell energi, II treghetsmoment i kg⋅m2\text{kg}\cdot\text{m}^2, ω\omega vinkelfart i rad/s, RR en radius i meter, cc treghetsmomentfaktoren I/(mR2)I/(mR^2) og PP effekt i watt. Merk to av bokas symbolkollisjoner: RR betyr radius her, ikke gasskonstanten eller en termisk motstand (som i Del 6–11), og TT brukes ikke — hverken som svingetid eller temperatur. Symbolet cc er en dimensjonsløs formfaktor, ikke en lysfart og ikke en spesifikk varmekapasitet.

Løkke 1 — arbeid og arbeid–energisetningen (~13 min)

Skyv en handlevogn over et gulv. Du kjenner at det koster noe, og at det koster mer jo lenger du skyver og jo hardere du må dytte. Det er nettopp det arbeidet måler: kraft ganget med vei.

Og arbeidet du gjør, forsvinner ikke. Det havner et sted — som fart i vogna, som varme i hjullagrene, eller som høyde hvis gulvet skråner. Regnskapet over hvor det havner, er det mektigste verktøyet i hele mekanikkdelen, fordi det ofte gir svaret uten at du trenger å vite noe om hvor lang tid det tok eller hvordan kraften varierte underveis.

Arbeid
Energien en kraft overfører til et legeme mens legemet flytter seg. For en kraft som virker langs bevegelsen, er arbeidet kraften ganget med strekningen; varierer kraften, må du integrere:
W=∫F⋅ds.W = \int \mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}.
Enheten er joule. Tre presiseringer avgjør om du bruker begrepet riktig. Bare kraftkomponenten langs bevegelsen gjør arbeid — en kraft vinkelrett på bevegelsen gjør null arbeid, og det er derfor normalkraften aldri gjør arbeid på et legeme som følger en flate. Arbeidet har fortegn: positivt når kraften peker med bevegelsen, negativt når den peker mot. Og arbeidet avhenger ikke av tiden: den samme kraften over den samme strekningen gir det samme arbeidet enten det tar ett sekund eller en time.
Arbeid som areal under kraft–vei-grafen

Den praktiske lesningen av integralet W=∫F dxW = \int F\,dx: arbeidet er arealet mellom F(x)F(x)-kurven og xx-aksen. Det gjør oppgaven regnbar uten integrasjon når grafen er satt sammen av rette linjer, som den nesten alltid er på eksamen. Et rektangel gir FΔxF\Delta x, en trekant gir 12FΔx\tfrac12F\Delta x, og et trapes gir høyden ganget med gjennomsnittet av de to parallelle sidene. Areal under aksen teller negativt — det er en kraft som bremser. Denne lesningen er verdt å ha i fingrene, for den gjør en oppgave som ser ut som et integrasjonsproblem, til en halv­minutts geometrioppgave.

📜Arbeid–energisetningen
Det totale arbeidet fra alle krefter på et legeme er lik endringen i legemets kinetiske energi:

Wtot=ΔK=12mv22−12mv12.W_\text{tot} = \Delta K = \tfrac12mv_2^2 - \tfrac12mv_1^2.

Setningen står på det utdelte formelarket, og den er verdt å forstå framfor å pugge, for den følger direkte av Newtons 2. lov. Skriv F=ma=m dv/dtF = ma = m\,dv/dt og bruk kjerneregelen baklengs:

W=∫F dx=∫mdvdt dx=∫mdvdt⋅dxdt dt=∫mv dvdt dt=∫v1v2mv dv=12mv22−12mv12.W = \int F\,dx = \int m\frac{dv}{dt}\,dx = \int m\frac{dv}{dt}\cdot\frac{dx}{dt}\,dt = \int mv\,\frac{dv}{dt}\,dt = \int_{v_1}^{v_2} mv\,dv = \tfrac12mv_2^2 - \tfrac12mv_1^2.

Intuisjon: kinetisk energi er ikke en egen, ny idé. Den er navnet på det arbeidet du må gjøre for å få et legeme opp i fart — og det arbeidet du kan få tilbake når du bremser det ned.

Tre grep dette gir deg:

Tiden faller ut. Du trenger ikke vite hvor lang tid noe tok, bare hvor langt det gikk. Det er derfor energiregnskap slår kinematikk på krumme baner og på varierende krefter.

Krefter som ikke gjør arbeid, kan ignoreres. Normalkraften på en flate står vinkelrett på bevegelsen og gjør null arbeid. Det samme gjør — og dette er nøkkelen i Løkke 2 — friksjonen i kontaktpunktet på et legeme som ruller uten å gli.

«Totalt» betyr totalt. Glemmer du friksjonen i regnskapet, får du for høy fart. Glemmer du rotasjonen, får du også for høy fart. Begge feilene er innebygd i eksamens svaralternativer.

Kinetisk energi
Energien et legeme har fordi det er i bevegelse. For rettlinjet bevegelse:
K=12mv2.K = \tfrac12mv^2.
Enheten er joule, og størrelsen er en skalar — den har ingen retning, og to legemer som beveger seg mot hverandre, har til sammen positiv kinetisk energi. At farten inngår kvadratisk, har en konsekvens verdt å merke seg: dobbel fart gir fire ganger så mye energi, og derfor fire ganger så lang bremselengde ved samme bremsekraft. Uttrykket står på det utdelte arket. Merk at det gjelder translasjon alene — et roterende legeme har i tillegg rotasjonsenergi, og det er hele poenget i Løkke 2.
Potensiell energi i tyngdefeltet
Energien et legeme har i kraft av sin høyde:
U=mgh.U = mgh.
Enheten er joule. Størrelsen er alltid målt relativt til et valgt nullnivå, og valget er fritt — det er bare differansen ΔU=mg Δh\Delta U = mg\,\Delta h som har fysisk betydning. Det er derfor du kan legge nullnivået der det er mest praktisk, som regel i det laveste punktet i oppgaven. Uttrykket står på det utdelte arket, og det forutsetter at gg er konstant, altså at høydeforskjellen er liten sammenlignet med jordas radius. For satellitthøyder holder det ikke, og da trengs det fulle gravitasjonspotensialet fra kap. 3.2.
Konservativ kraft

En kraft der arbeidet bare avhenger av start- og sluttpunkt, ikke av veien mellom dem. Tyngden er konservativ: løfter du et legeme 2 m2\,\text{m}, er arbeidet mot tyngden 2mg2mg uansett om du går rett opp eller i sikksakk, og du får hele arbeidet tilbake når legemet kommer ned igjen. Derfor kan tyngden beskrives med en potensiell energi U=mghU = mgh. Friksjon er ikke konservativ: den peker alltid mot bevegelsen, så arbeidet er negativt uansett hvilken vei du går, og en rundtur gir netto tap. Det er nettopp derfor en kloss som sendes opp et skråplan med friksjon, kommer tilbake med lavere fart (kap. 2.1) — og derfor det ikke finnes noen «friksjonspotensiell energi».

Mekanisk energibevaring
Regelen om at summen av kinetisk og potensiell energi er konstant når bare konservative krefter gjør arbeid:
12mv12+mgh1=12mv22+mgh2.\tfrac12mv_1^2 + mgh_1 = \tfrac12mv_2^2 + mgh_2.
Betingelsen er avgjørende og bør sies høyt hver gang: ingen friksjon som glir, ingen luftmotstand, ingen deformasjon. Er de oppfylt, er dette det mest effektive verktøyet i mekanikken, fordi du kan hoppe direkte fra en høyde til en fart uten å vite noe om banens form. Merk at relasjonen ikke er begrenset til translasjon: for et legeme som ruller, må den kinetiske energien inneholde rotasjonsleddet også — og da blir energibevaringen mg Δy=12(1+c)mv2mg\,\Delta y = \tfrac12(1+c)mv^2.
✏️Eksempel 1: arbeidet som areal, og farten det gir

En vogn med masse 5,00 kg5{,}00\,\text{kg} står i ro på et friksjonsfritt, vannrett underlag. En kraft langs bevegelsesretningen virker slik: den er konstant 40,0 N40{,}0\,\text{N} fra x=0x = 0 til x=2,00 mx = 2{,}00\,\text{m}, og avtar deretter rettlinjet til null ved x=5,00 mx = 5{,}00\,\text{m}.

a) Finn arbeidet kraften gjør over de 5,005{,}00 meterne.
b) Finn vognas fart ved x=5,00 mx = 5{,}00\,\text{m}.
c) Hvor stor konstant kraft over hele strekningen ville gitt det samme arbeidet?

a) Arbeidet er arealet under F(x)F(x)-grafen, som her er et rektangel pluss en trekant:
Wrektangel=40,0 N⋅2,00 m=80,0 J,W_\text{rektangel} = 40{,}0\,\text{N} \cdot 2{,}00\,\text{m} = 80{,}0\,\text{J},
Wtrekant=12⋅40,0 N⋅3,00 m=60,0 J,W_\text{trekant} = \tfrac12 \cdot 40{,}0\,\text{N} \cdot 3{,}00\,\text{m} = 60{,}0\,\text{J},
W=80,0+60,0 J=140 J.W = 80{,}0 + 60{,}0\,\text{J} = 140\,\text{J}.

b) Underlaget er friksjonsfritt og vannrett, så den påførte kraften er den eneste som gjør arbeid. Arbeid–energisetningen fra ro gir
W=12mv2⟹v=2Wm=2⋅140 J5,00 kg=56,0 m/s=7,4833 m/s≈7,48 m/s.W = \tfrac12mv^2 \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2W}{m}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 140\,\text{J}}{5{,}00\,\text{kg}}} = \sqrt{56{,}0}\,\text{m/s} = 7{,}4833\,\text{m/s} \approx 7{,}48\,\text{m/s}.

Benevningskontroll: J/kg=(kg⋅m2/s2)/kg=m2/s2\text{J/kg} = (\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}^2)/\text{kg} = \text{m}^2/\text{s}^2, og kvadratrota av det er m/s. Det stemmer.

c) Middelkraften er arbeidet delt på strekningen:
Fˉ=140 J5,00 m=28,0 N.\bar{F} = \frac{140\,\text{J}}{5{,}00\,\text{m}} = 28{,}0\,\text{N}.

Den vanligste feilen her. Å lese grafen som om kraften var 40,0 N40{,}0\,\text{N} hele veien gir W=200 JW = 200\,\text{J} og v=8,94 m/sv = 8{,}94\,\text{m/s} — altså 20 prosent for høy fart. Trekantarealet er halvparten av rektangelet, ikke like stort, og det er verdt å regne de to bidragene hver for seg i stedet for i hodet.

📝Oppgave 1

(Innstegsoppgave — les arbeidet av en graf, og regn energi.)

a) En konstant kraft på 25,0 N25{,}0\,\text{N} virker langs bevegelsen over 4,00 m4{,}00\,\text{m}. Hvor stort er arbeidet?

b) En kraft avtar rettlinjet fra 60,0 N60{,}0\,\text{N} ved x=0x = 0 til null ved x=3,00 mx = 3{,}00\,\text{m}. Hvor stort er arbeidet?

c) Hvor stor kinetisk energi har et legeme med masse 2,50 kg2{,}50\,\text{kg} og fart 6,00 m/s6{,}00\,\text{m/s}?

📝Oppgave 2
Sjanger M2

En kasse med masse 18,0 kg18{,}0\,\text{kg} skyves 6,00 m6{,}00\,\text{m} over et vannrett gulv med en konstant kraft på 75,0 N75{,}0\,\text{N} langs bevegelsen. Friksjonskoeffisienten er 0,2500{,}250.

a) Finn arbeidet den påførte kraften gjør, og arbeidet friksjonen gjør.
b) Finn kassens fart etter de 6,006{,}00 meterne, når den startet fra ro.
c) Hvor mye lenger ville kassen kommet på et friksjonsfritt gulv med samme arbeid tilført?

— naturlig pausepunkt —

Løkke 2 — rulling: v=ωRv = \omega R og rotasjonsenergien (~17 min)

Slipp en kule og en kloss samtidig fra toppen av samme bakke, slik at kula ruller og klossen glir. Kula kommer sist. Det er ikke fordi den taper energi — begge ruller og glir uten tap i idealiseringen vår — men fordi kula må fordele energien sin på to konti.

Dette er kapitlets kjerne, og det er verdt å bruke tid på.

Rullebetingelsen. Et legeme som ruller uten å gli, har en fast kobling mellom hvor fort sentrum flytter seg og hvor fort legemet spinner. Ruller et hjul med radius RR én omdreining, har det flyttet seg 2πR2\pi R langs underlaget. Deriverer vi den sammenhengen, får vi

v=ωR.v = \omega R.

Intuisjon: koblingen finnes fordi kontaktpunktet ikke sklir. Der berører legemet underlaget uten relativ bevegelse, og det betyr at kontaktpunktet i det øyeblikket står helt stille. Da må resten av legemet rotere rundt det punktet — og sentrum, som ligger RR unna, får farten ωR\omega R. Toppunktet, som ligger 2R2R unna, får farten 2ωR=2v2\omega R = 2v. Det er derfor eikene på et sykkelhjul er skarpe nederst og utsmurte øverst på et fotografi.

Rotasjonsenergien. Et legeme som spinner, har kinetisk energi selv om massesenteret står stille. Uttrykket er

Krot=12Iω2,K_\text{rot} = \tfrac12 I\omega^2,

der II er treghetsmomentet — et mål på hvor langt massen ligger fra rotasjonsaksen. Uttrykket er nøyaktig parallelt til 12mv2\tfrac12mv^2, med II i massens rolle og ω\omega i fartens.

Og nå kobler vi de to. Sett ω=v/R\omega = v/R inn i rotasjonsenergien:

Krot=12I(vR)2=12IR2v2=12(ImR2)mv2=12 c mv2,K_\text{rot} = \tfrac12 I\left(\frac{v}{R}\right)^2 = \tfrac12 \frac{I}{R^2}v^2 = \tfrac12\left(\frac{I}{mR^2}\right)mv^2 = \tfrac12\,c\,mv^2,

der vi har innført den dimensjonsløse formfaktoren

c=ImR2.c = \frac{I}{mR^2}.

Dette er hele trikset. Rotasjonsenergien er en fast brøkdel cc av translasjonsenergien, og brøkdelen avhenger bare av formen på legemet — ikke av massen, ikke av radien, ikke av farten.

Rulling uten å gli (ren rulling)

Bevegelsen der et legeme ruller langs et underlag uten at kontaktpunktet sklir. Den kjennes igjen på at legemet legger igjen et ubrutt spor: buelengden det har rullet, er nøyaktig lik strekningen det har flyttet seg. Betingelsen krever friksjon — uten friksjon ville legemet bare glidd — men den friksjonen er statisk, ikke kinetisk, siden det ikke er noen relativ bevegelse i kontaktpunktet. Det har en konsekvens som overrasker mange: friksjonen gjør ikke arbeid ved ren rulling, og energien er bevart. Sklir legemet, gjelder ikke v=ωRv = \omega R, og energiregnskapet må settes opp på nytt med kinetisk friksjon — det tilfellet hører til Del 4.

Rullebetingelsen v=ωRv = \omega R
Koblingen mellom massesenterets fart og vinkelfarten for et legeme som ruller uten å gli:
v=ωR,a=αR.v = \omega R, \qquad a = \alpha R.
Den følger av at kontaktpunktet står stille: én omdreining flytter legemet 2πR2\pi R langs underlaget, og derivert gir det v=ωRv = \omega R. Enhetene stemmer fordi radianer er dimensjonsløse: rad/s⋅m=m/s\text{rad/s} \cdot \text{m} = \text{m/s}. Betingelsen er det som gjør rulling regnbar, for den lar deg uttrykke rotasjonsenergien ved den samme variabelen som translasjonsenergien. Merk at RR er radien til den flaten som ruller, ikke til noe annet i figuren — for et hjul med nav er det hjulradien, ikke navradien.
Rotasjonsenergi
Den kinetiske energien et legeme har fordi det roterer:
Krot=12Iω2.K_\text{rot} = \tfrac12 I\omega^2.
Enheten er joule. Uttrykket er nøyaktig parallelt til 12mv2\tfrac12mv^2: treghetsmomentet II spiller massens rolle, og vinkelfarten ω\omega spiller fartens. For et legeme som både flytter seg og roterer, er den totale kinetiske energien summen av de to:
K=12mv2+12Iω2.K = \tfrac12mv^2 + \tfrac12 I\omega^2.
Det er verdt å si tydelig at dette er en sum, ikke et valg: du skal ikke velge det ene uttrykket framfor det andre. Å bruke bare translasjonsleddet er felle #1 i feilkatalogen og gir for høy fart; å legge translasjonsleddet til for et legeme som bare roterer om en fast akse, er felle #2 og gir for lav fart. Uttrykket Krot=12Iω2K_\text{rot} = \tfrac12I\omega^2 står på det utdelte arket.
Treghetsmoment (slik det brukes her)
Størrelsen II som måler hvor vanskelig et legeme er å få i rotasjon om en gitt akse. Den avhenger av hvordan massen er fordelt: masse langt fra aksen teller mye mer enn masse nær aksen. Enheten er kg⋅m2\text{kg}\cdot\text{m}^2. For de standardformene eksamen bruker, står verdiene på det utdelte formelarket, og i dette kapitlet skal du bare hente dem:
Ikompakt kule=25mR2,Imassiv sylinder=12mR2,Ikuleskall=23mR2.I_\text{kompakt kule} = \tfrac25mR^2, \qquad I_\text{massiv sylinder} = \tfrac12mR^2, \qquad I_\text{kuleskall} = \tfrac23mR^2.
Legg merke til mønsteret: kuleskallet har all massen ytterst og størst II; den kompakte kula har mye masse nær sentrum og minst. Hvordan verdiene utledes med integralet ∫r2 dm\int r^2\,dm, og hvordan Steiners sats håndterer en akse utenfor massesenteret, hører til Del 4 — her trenger du bare å kjenne dem igjen og velge riktig.
Treghetsmomentfaktoren c=I/(mR2)c = I/(mR^2)
Det dimensjonsløse tallet som sier hvor stor brøkdel av translasjonsenergien som ligger i rotasjonen for et legeme som ruller:
c=ImR2,K=12(1+c)mv2.c = \frac{I}{mR^2}, \qquad K = \tfrac12(1+c)mv^2.
Faktoren avhenger bare av formen, ikke av masse, radius eller fart — det er hele grunnen til at rullingsoppgaver har så rene svar. Verdiene du trenger:
c=0 (punktmasse eller glidende kloss),25 (kompakt kule),12 (massiv sylinder),23 (kuleskall),1 (tynn ring).c = 0 \ (\text{punktmasse eller glidende kloss}), \quad \tfrac25 \ (\text{kompakt kule}), \quad \tfrac12 \ (\text{massiv sylinder}), \quad \tfrac23 \ (\text{kuleskall}), \quad 1 \ (\text{tynn ring}).
Rekkefølgen er verdt å huske som en logikk, ikke som en liste: jo mer av massen som ligger langt fra aksen, jo større cc, jo mer energi bundet i rotasjonen, og jo lavere sluttfart. Ringen, med all massen i randen, har c=1c = 1 og deler energien i to like halvdeler.
📜Kinetisk energi for et rullende legeme: K=12(1+c)mv2K = \tfrac12(1+c)mv^2
Sett rullebetingelsen ω=v/R\omega = v/R inn i den totale kinetiske energien:

K=12mv2+12Iω2=12mv2+12IR2v2=12(1+ImR2)mv2=12(1+c)mv2.K = \tfrac12mv^2 + \tfrac12 I\omega^2 = \tfrac12mv^2 + \tfrac12\frac{I}{R^2}v^2 = \tfrac12\left(1 + \frac{I}{mR^2}\right)mv^2 = \tfrac12(1+c)mv^2.

Med verdiene fra formelarket blir det fire faste resultater som er verdt å ha klare:

LegemeIIc=I/(mR2)c = I/(mR^2)KKRotasjonsandel
kloss som glir, eller punktmasse—0012mv2\tfrac12mv^20 %0\ \%
kompakt kule25mR2\tfrac25mR^225\tfrac25710mv2\tfrac{7}{10}mv^228,6 %28{,}6\ \%
massiv sylinder12mR2\tfrac12mR^212\tfrac1234mv2\tfrac34mv^233,3 %33{,}3\ \%
kuleskall23mR2\tfrac23mR^223\tfrac2356mv2\tfrac56mv^240,0 %40{,}0\ \%

Utledningen av 710\tfrac{7}{10}-leddet er den du oftest trenger, og den er tre linjer. For en kompakt kule er I=25mR2I = \tfrac25mR^2, så
K=12mv2+12⋅25mR2⋅v2R2=12mv2+15mv2=(510+210)mv2=710mv2.K = \tfrac12mv^2 + \tfrac12 \cdot \tfrac25mR^2 \cdot \frac{v^2}{R^2} = \tfrac12mv^2 + \tfrac15mv^2 = \left(\tfrac{5}{10} + \tfrac{2}{10}\right)mv^2 = \tfrac{7}{10}mv^2.
Legg merke til at RR forkortes bort. Kulas størrelse spiller ingen rolle — en kanonkule og en kulelagerkule ruller ned den samme bakken med den samme sluttfarten.
Rotasjonsandelen er c/(1+c)c/(1+c), og for kula er den (2/5)/(7/5)=2/7=28,6 %(2/5)/(7/5) = 2/7 = 28{,}6\ \%. Translasjonsandelen er 1/(1+c)=5/7=71,4 %1/(1+c) = 5/7 = 71{,}4\ \%. De to andelene er faste for en gitt form, uansett hvor fort legemet går.
Resultatene 710mv2\tfrac{7}{10}mv^2, 34mv2\tfrac34mv^2 og 56mv2\tfrac56mv^2 står ikke ferdig på formelarket. Treghetsmomentene gjør, og resten [må kunne brukes eller utledes aktivt] — det er nettopp derfor sjangeren fungerer som eksamensoppgave.
✏️Eksempel 2: kula som ruller ned — hele energiregnskapet

En kompakt kule med masse 0,450 kg0{,}450\,\text{kg} og radius 5,00 cm5{,}00\,\text{cm} slippes fra ro og ruller uten å gli ned et fall på Δy=1,80 m\Delta y = 1{,}80\,\text{m}.

a) Finn treghetsmomentet.
b) Finn farten og vinkelfarten i bunnen.
c) Sett opp hele energiregnskapet: hvor mye ligger i translasjon og hvor mye i rotasjon?
d) Hvilken fart ville du fått hvis du glemte rotasjonsleddet?

a) Fra formelarket, kompakt kule om egen akse:
I=25mR2=0,400⋅0,450 kg⋅(0,0500 m)2=0,400⋅0,450⋅2,50⋅10−3 kg⋅m2,I = \tfrac25mR^2 = 0{,}400 \cdot 0{,}450\,\text{kg} \cdot \left(0{,}0500\,\text{m}\right)^2 = 0{,}400 \cdot 0{,}450 \cdot 2{,}50 \cdot 10^{-3}\,\text{kg}\cdot\text{m}^2,
I=4,50⋅10−4 kg⋅m2.I = 4{,}50 \cdot 10^{-4}\,\text{kg}\cdot\text{m}^2.

b) Symbolsk utledning. All potensiell energi går til kinetisk energi, og den kinetiske energien har to ledd:
mg Δy=12(1+c)mv2⟹v=2g Δy1+c.mg\,\Delta y = \tfrac12(1+c)mv^2 \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2g\,\Delta y}{1+c}}.
Massen faller ut, og radien gjorde det allerede da vi innførte cc.

Rask vei til tall. Kompakt kule gir c=2/5c = 2/5, altså 1+c=1,41 + c = 1{,}4:
2g Δy=2⋅9,81⋅1,80 m2/s2=35,316 m2/s2,2g\,\Delta y = 2 \cdot 9{,}81 \cdot 1{,}80\,\text{m}^2/\text{s}^2 = 35{,}316\,\text{m}^2/\text{s}^2,
v2=35,3161,4 m2/s2=25,226 m2/s2,v=5,0225 m/s≈5,02 m/s.v^2 = \frac{35{,}316}{1{,}4}\,\text{m}^2/\text{s}^2 = 25{,}226\,\text{m}^2/\text{s}^2, \qquad v = 5{,}0225\,\text{m/s} \approx 5{,}02\,\text{m/s}.
Vinkelfarten følger av rullebetingelsen:
ω=vR=5,0225 m/s0,0500 m=100,45 rad/s≈100 rad/s.\omega = \frac{v}{R} = \frac{5{,}0225\,\text{m/s}}{0{,}0500\,\text{m}} = 100{,}45\,\text{rad/s} \approx 100\,\text{rad/s}.

c) Den totale energien er den potensielle energien kula startet med:
Ktot=mg Δy=0,450⋅9,81⋅1,80 J=7,9461 J≈7,95 J.K_\text{tot} = mg\,\Delta y = 0{,}450 \cdot 9{,}81 \cdot 1{,}80\,\text{J} = 7{,}9461\,\text{J} \approx 7{,}95\,\text{J}.
Translasjonsdelen:
Ktransl=12mv2=0,500⋅0,450⋅25,226 J=5,6758 J≈5,68 J.K_\text{transl} = \tfrac12mv^2 = 0{,}500 \cdot 0{,}450 \cdot 25{,}226\,\text{J} = 5{,}6758\,\text{J} \approx 5{,}68\,\text{J}.
Rotasjonsdelen, regnet uavhengig som en kontroll:
Krot=12Iω2=0,500⋅4,50⋅10−4⋅(100,45)2 J=0,500⋅4,50⋅10−4⋅1,0090⋅104 J=2,2703 J.K_\text{rot} = \tfrac12 I\omega^2 = 0{,}500 \cdot 4{,}50 \cdot 10^{-4} \cdot \left(100{,}45\right)^2\,\text{J} = 0{,}500 \cdot 4{,}50 \cdot 10^{-4} \cdot 1{,}0090 \cdot 10^{4}\,\text{J} = 2{,}2703\,\text{J}.

Kontrollen som må stemme:
5,6758+2,2703 J=7,9461 J=mg Δy.✓5{,}6758 + 2{,}2703\,\text{J} = 7{,}9461\,\text{J} = mg\,\Delta y. \quad \checkmark

Andelene er
KtranslKtot=5,67587,9461=0,71429=57,KrotKtot=2,27037,9461=0,28571=27.\frac{K_\text{transl}}{K_\text{tot}} = \frac{5{,}6758}{7{,}9461} = 0{,}71429 = \frac57, \qquad \frac{K_\text{rot}}{K_\text{tot}} = \frac{2{,}2703}{7{,}9461} = 0{,}28571 = \frac27.
Nøyaktig 5/75/7 og 2/72/7, som teoremet lovet — og helt uavhengig av massen, radien og høyden.

d) Den som glemmer rotasjonsleddet, regner v=2g Δyv = \sqrt{2g\,\Delta y}:
vfeil=35,316 m/s=5,9427 m/s≈5,94 m/s.v_\text{feil} = \sqrt{35{,}316}\,\text{m/s} = 5{,}9427\,\text{m/s} \approx 5{,}94\,\text{m/s}.
Det er 18,3 prosent for høyt. Dette er felle #1 — å glemme rotasjonsenergien for et rullende legeme — og 5,94 m/s5{,}94\,\text{m/s} er et fullstendig plausibelt tall som ligger som et ferdig svaralternativ. Ingenting i selve tallet avslører feilen; bare disiplinen med å spørre «ruller dette legemet?» gjør det.

Sluttsjekk. Enhetene er m/s, rad/s, kg⋅m2\text{kg}\cdot\text{m}^2 og J. Farten er lavere enn den friksjonsfrie glidefarten, som den skal være. Og de to energiene summerer til den potensielle energien vi startet med — ingen energi har forsvunnet, den er bare fordelt.

📝Oppgave 3

(Innstegsoppgave — bruk 710\tfrac{7}{10}-leddet og rullebetingelsen.)

a) En kompakt kule med masse 1,20 kg1{,}20\,\text{kg} ruller uten å gli med farten 3,00 m/s3{,}00\,\text{m/s}. Hvor stor er den totale kinetiske energien, og hvor mye av den ligger i rotasjonen?

b) Et hjul med radius 0,350 m0{,}350\,\text{m} ruller uten å gli med vinkelfart 42,0 rad/s42{,}0\,\text{rad/s}. Hvor fort flytter navet seg?

📝Oppgave 4
Sjanger M3

En massiv sylinder med masse 2,40 kg2{,}40\,\text{kg} og radius 8,00 cm8{,}00\,\text{cm} ruller uten å gli fra ro ned et fall på 2,20 m2{,}20\,\text{m}.

a) Finn farten i bunnen.
b) Finn vinkelfarten der.
c) Hvor mange joule ligger i rotasjonen?

Løkke 3 — hvorfor kula kommer saktere ned enn klossen (~15 min)

Nå kan vi svare på spørsmålet kap. 1.2 utsatte. Der gled alle legemene, og det sto at et rullende legeme kommer saktere ned. Her er begrunnelsen, og den er én linje.

Sett den totale kinetiske energien lik den potensielle energien legemet startet med:

mg Δy=12(1+c)mv2⟹v=2g Δy1+c.mg\,\Delta y = \tfrac12(1+c)mv^2 \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2g\,\Delta y}{1+c}}.

Sammenlign med den glidende klossen, som har c=0c = 0 og altså v=2g Δyv = \sqrt{2g\,\Delta y}. Forholdet mellom de to fartene er

vrullendevglidende=11+c,\frac{v_\text{rullende}}{v_\text{glidende}} = \frac{1}{\sqrt{1+c}},

og det avhenger bare av formen. Ikke av høyden, ikke av massen, ikke av radien, ikke av hvor bratt bakken er.

Intuisjon: legemet får en fast mengde energi fra fallet — mg Δymg\,\Delta y, og den er den samme for kloss og kule. Men kula må bruke en del av den på å komme i spinn, og bare resten blir framdrift. Klossen har ingen spinnkonto å fylle, så alt går til fart.

Og her er tallene, for et fall på Δy=2,50 m\Delta y = 2{,}50\,\text{m} fra ro:

Legemecc1/1+c1/\sqrt{1+c}Sluttfart
kloss som glir001,0001{,}0007,00 m/s7{,}00\,\text{m/s}
kompakt kule25\tfrac250,8450{,}8455,92 m/s5{,}92\,\text{m/s}
massiv sylinder12\tfrac120,8160{,}8165,72 m/s5{,}72\,\text{m/s}
kuleskall23\tfrac230,7750{,}7755,42 m/s5{,}42\,\text{m/s}
tynn ring110,7070{,}7074,95 m/s4{,}95\,\text{m/s}

Kula kommer altså ned med 15,5 prosent lavere fart enn klossen. Det er ikke en marginal effekt, og den er umulig å se hvis du bare regner 2gΔy\sqrt{2g\Delta y}.
Rekkefølgen er verdt å lære som en logikk, ikke som en tabell. Jo mer av massen som ligger langt fra aksen, jo tyngre er legemet å få i spinn, jo mer energi bindes i rotasjonen, og jo lavere blir sluttfarten. Kuleskallet har all massen ytterst blant de tre og taper mest. Den kompakte kula har mye masse nær sentrum og taper minst. Klossen, som ikke spinner i det hele tatt, vinner alltid.
Én ting som IKKE spiller inn. Bakkens form. Uttrykket inneholder bare høydeforskjellen Δy\Delta y, ikke lengden, vinkelen eller krumningen. En bratt bakke og en slak bakke med samme høydefall gir samme sluttfart — de bruker bare ulik tid på det.
📜Sluttfart for et rullende legeme: v=2g Δy/(1+c)v = \sqrt{2g\,\Delta y/(1+c)}
Energibevaring for et legeme som ruller uten å gli, fra ro gjennom høydefallet Δy\Delta y:

mg Δy=12(1+c)mv2⟹v=2g Δy1+cmg\,\Delta y = \tfrac12(1+c)mv^2 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{v = \sqrt{\frac{2g\,\Delta y}{1+c}}}

Betingelsene, som må sies hver gang: legemet må rulle uten å gli (ellers gjelder ikke v=ωRv = \omega R), og det må ikke være luftmotstand eller glidende friksjon (ellers er energien ikke bevart). Rullingen krever friksjon, men den friksjonen er statisk og gjør ikke arbeid — den bare formidler dreiemomentet.

Fire konsekvenser å ta med til eksamen:

Massen faller ut, og radien faller ut. Alt som avgjør, er høydefallet og formfaktoren. To kuler av samme form men helt ulik størrelse og masse ruller ned med samme sluttfart.

Bare høydeforskjellen teller. Ikke banens lengde, ikke vinkelen, ikke om den er rett eller krum. Er banen et skråplan med lengde LL og vinkel θ\theta, er Δy=Lsin⁡θ\Delta y = L\sin\theta — og det er den du skal sette inn, ikke LL.

Snupunktet ligger i samme høyde som starten. Ruller legemet oppover, gjelder samme ligning baklengs: Δy=(1+c)v02/(2g)\Delta y = (1+c)v_0^2/(2g). Merk at et rullende legeme kommer høyere enn en glidende kloss med samme fart, siden det har mer energi ved samme fart.

Akselerasjonen langs et skråplan blir a=gsin⁡θ/(1+c)a = g\sin\theta/(1+c), som er den samme brøken igjen. Den kan du bruke hvis oppgaven spør om tid — men trenger du bare farten, går energiveien raskere.

✏️Eksempel 3: kappløpet ned bakken (eksamensnivå)

Fire legemer slippes samtidig fra ro fra toppen av samme bakke og går ned et høydefall på Δy=2,50 m\Delta y = 2{,}50\,\text{m}: en kloss som glir friksjonsfritt, en kompakt kule, en massiv sylinder og et kuleskall. De tre siste ruller uten å gli.

a) Finn sluttfarten til hver av dem.
b) Hvor mange prosent lavere er kulas fart enn klossens?
c) Rangér dem, og forklar rekkefølgen ut fra hvor massen ligger.
d) Endres rekkefølgen hvis kula er ti ganger så tung, eller hvis bakken gjøres dobbelt så bratt?

a) Alle fire har det samme 2g Δy2g\,\Delta y:
2g Δy=2⋅9,81⋅2,50 m2/s2=49,05 m2/s2.2g\,\Delta y = 2 \cdot 9{,}81 \cdot 2{,}50\,\text{m}^2/\text{s}^2 = 49{,}05\,\text{m}^2/\text{s}^2.
Så er det bare å dele på (1+c)(1+c) og ta kvadratrota:

vkloss=49,051,000 m/s=49,05 m/s=7,0036 m/s≈7,00 m/s,v_\text{kloss} = \sqrt{\frac{49{,}05}{1{,}000}}\,\text{m/s} = \sqrt{49{,}05}\,\text{m/s} = 7{,}0036\,\text{m/s} \approx 7{,}00\,\text{m/s},
vkule=49,051,400 m/s=35,036 m/s=5,9191 m/s≈5,92 m/s,v_\text{kule} = \sqrt{\frac{49{,}05}{1{,}400}}\,\text{m/s} = \sqrt{35{,}036}\,\text{m/s} = 5{,}9191\,\text{m/s} \approx 5{,}92\,\text{m/s},
vsylinder=49,051,500 m/s=32,700 m/s=5,7184 m/s≈5,72 m/s,v_\text{sylinder} = \sqrt{\frac{49{,}05}{1{,}500}}\,\text{m/s} = \sqrt{32{,}700}\,\text{m/s} = 5{,}7184\,\text{m/s} \approx 5{,}72\,\text{m/s},
vskall=49,051,6667 m/s=29,430 m/s=5,4249 m/s≈5,42 m/s.v_\text{skall} = \sqrt{\frac{49{,}05}{1{,}6667}}\,\text{m/s} = \sqrt{29{,}430}\,\text{m/s} = 5{,}4249\,\text{m/s} \approx 5{,}42\,\text{m/s}.

b)
vkulevkloss=5,91917,0036=0,84515=11,4,\frac{v_\text{kule}}{v_\text{kloss}} = \frac{5{,}9191}{7{,}0036} = 0{,}84515 = \frac{1}{\sqrt{1{,}4}},
altså 15,5 prosent lavere. Kontrollen 1/1,4=0,845151/\sqrt{1{,}4} = 0{,}84515 bekrefter at forholdet bare avhenger av formfaktoren.

c) Rekkefølgen er kloss, kule, sylinder, kuleskall — fra raskest til langsomst. Forklaringen ligger i hvor massen sitter i forhold til rotasjonsaksen. Klossen roterer ikke i det hele tatt og bruker all energien på fart. Den kompakte kula har mye av massen samlet nær sentrum, der den er billig å få i spinn, så bare 2/72/7 av energien bindes. Sylinderen har massen jevnt fordelt utover i tverrsnittet og binder 1/31/3. Kuleskallet har all massen ytterst, der den er dyrest å få i spinn, og binder 2/52/5 av energien. Hadde vi hatt en tynn ring med, ville den vært sist av alle med c=1c = 1 og en halvpart av energien i rotasjonen.

d) Nei, ingen av delene. Sluttfarten er
v=2g Δy1+c,v = \sqrt{\frac{2g\,\Delta y}{1+c}},
og masse, radius, bakkevinkel og banelengde står ikke i uttrykket. En tiganger tyngre kule har tiganger så mye potensiell energi å bruke, men også tiganger så mye masse å akselerere, og de to effektene forkortes. En brattere bakke gir større akselerasjon, men kortere vei, og de to effektene forkortes også — det er derfor bare høydefallet Δy\Delta y overlever i uttrykket. Det eneste som kan endre rekkefølgen, er å endre formen på legemene.

Sluttsjekk. Alle fartene er lavere enn klossens 7,00 m/s7{,}00\,\text{m/s}, og de faller monotont med økende cc — som de må. Alle er i m/s. Og forholdene 1/1+c1/\sqrt{1+c} stemmer med tabellen i Løkke 3 til fire siffer.

Snupunkt ved rulling
Punktet der et legeme som ruller oppover, har farten null. For ren rulling uten luftmotstand er energien bevart, så snupunktet ligger i den høyden der all kinetisk energi er blitt potensiell:
Δy=(1+c)v022g.\Delta y = \frac{(1+c)v_0^2}{2g}.
Her ligger en detalj som overrasker: et rullende legeme kommer høyere enn en glidende kloss med samme starthastighet, med faktoren (1+c)(1+c). Grunnen er at det rullende legemet har mer kinetisk energi ved samme fart — rotasjonsenergien kommer i tillegg — og all den energien kan omsettes i høyde. En kompakt kule med v0=4,00 m/sv_0 = 4{,}00\,\text{m/s} kommer 1,14 m1{,}14\,\text{m} opp, mot klossens 0,816 m0{,}816\,\text{m}. Merk at legemet må rulle hele veien: begynner det å gli, gjelder ikke regnestykket.
Hvorfor friksjonen ikke gjør arbeid ved ren rulling

Ved rulling uten gliing er kontaktpunktet i ro i forhold til underlaget. Friksjonen der er statisk, og arbeidet en kraft gjør, er kraften ganget med forflytningen av angrepspunktet — som er null. Derfor er den mekaniske energien bevart selv om det virker en friksjonskraft, og derfor kan du bruke energibevaring uten et tapsledd. Friksjonen er likevel helt nødvendig: uten den ville legemet glidd i stedet for å rulle, og koblingen v=ωRv = \omega R ville falt bort. Friksjonens rolle er å formidle det dreiemomentet som setter legemet i spinn, ikke å ta energi. Sklir legemet, er friksjonen kinetisk, kontaktpunktet flytter seg, og da gjør friksjonen negativt arbeid som i kap. 2.1.

📝Oppgave 5
Sjanger M3, A–F-format

En massiv sylinder ruller uten å gli fra ro ned et høydefall på 3,20 m3{,}20\,\text{m}.

Hvor stor er farten i bunnen?

A 7,92 m/s7{,}92\,\text{m/s} · B 6,70 m/s6{,}70\,\text{m/s} · C 6,14 m/s6{,}14\,\text{m/s} · D 6,47 m/s6{,}47\,\text{m/s} · E 5,60 m/s5{,}60\,\text{m/s} · F 5,28 m/s5{,}28\,\text{m/s}

📝Oppgave 6
Sjanger M3

Tre legemer slippes fra ro fra samme høyde og går ned det samme høydefallet: en kompakt kule som ruller, et kuleskall som ruller, og en kloss som glir friksjonsfritt.

a) Rangér sluttfartene uten å regne ut tallene, og begrunn rangeringen.
b) Finn forholdet mellom kuleskallets og den kompakte kulas sluttfart, som et eksakt uttrykk og som et desimaltall.
c) Høydefallet er 4,00 m4{,}00\,\text{m}. Finn alle tre sluttfartene.

📜Rask vei til tall (MC-oppskrift)
Fra oppgitt høydefall til bokstavsvar i fem trinn.

1. Hvilken lov? Energibevaring, med den totale kinetiske energien:
mg Δy=12(1+c)mv2.mg\,\Delta y = \tfrac12(1+c)mv^2.
Er det friksjon som glir, eller luftmotstand, gjelder den ikke — da må du trekke fra arbeidet mot friksjonen.

2. Hvilken ene regnelinje?
v=2g Δy1+c.v = \sqrt{\frac{2g\,\Delta y}{1+c}}.
Men først det avgjørende spørsmålet, som tar tre sekunder og er verdt flere poeng enn resten av regningen: ruller legemet, eller glir det? Ruller det, hvilken form har det?
c=0 (glir),25 (kompakt kule),12 (massiv sylinder),23 (kuleskall),1 (ring).c = 0 \ (\text{glir}), \quad \tfrac25 \ (\text{kompakt kule}), \quad \tfrac12 \ (\text{massiv sylinder}), \quad \tfrac23 \ (\text{kuleskall}), \quad 1 \ (\text{ring}).

3. Rekkefølgen på oppslagene. Fra det utdelte arket henter du gg, K=12mv2K = \tfrac12mv^2, Krot=12Iω2K_\text{rot} = \tfrac12I\omega^2, v=ωrv = \omega r og treghetsmomentene for standardlegemene. Sammensetningen til (1+c)(1+c) [må kunne brukes eller utledes aktivt]. Er høydefallet oppgitt som en banelengde LL og en vinkel, må du regne Δy=Lsin⁡θ\Delta y = L\sin\theta først — det er et eget lite trinn som er lett å hoppe over.

4. Hvor mange siffer? Regn 2g Δy2g\,\Delta y ferdig med fire siffer, del deretter på (1+c)(1+c) som en eksakt brøk (1,41{,}4, 1,51{,}5, 5/35/3), og ta kvadratrota til slutt. Fordi svaret går gjennom en kvadratrot, halveres relativfeilen — det gjør sjangeren litt mer tilgivende enn skråplansjangeren, men alternativene ligger til gjengjeld tettere.

5. Sjekk før du krysser av. Fire kontroller på ti sekunder:
- Er svaret lavere enn 2g Δy\sqrt{2g\,\Delta y}? Det må det være for et rullende legeme. Denne ene sjekken stryker typisk ett eller to alternativer, og den fanger felle #1.
- Massen og radien: de skal ikke være i et fartssvar. Er de der, har du gjort en feil.
- Riktig form? Kule, sylinder og skall gir tre ulike svar som ligger tett. Les oppgaveteksten en gang til: «kompakt», «massiv», «tynt skall» og «hult» er ikke pynteord.
- Enhet: m/s for fart, rad/s for vinkelfart, J for energi.

Løkke 4 — effekt og terminalfart (~14 min)

De to siste temaene i kapitlet er «bør sitte»-stoff: effekt i rundt tre av ti sett (~30 %) og terminalfart i rundt fire av ti (~40 %). De er begge korte, og de henger sammen gjennom luftmotstanden.

Effekt er arbeid per tid. Skyver du med kraften FF mens legemet beveger seg med farten vv, er effekten

P=dWdt=Fdxdt=Fv.P = \frac{dW}{dt} = F\frac{dx}{dt} = Fv.

Intuisjon: det er forskjell på å gjøre et arbeid og å gjøre det raskt. En heis som løfter et tonn tjue meter, gjør det samme arbeidet enten den bruker fem sekunder eller fem minutter — men den trenger seksti ganger så stor motor i det første tilfellet.

Luftmotstand og den tredje potensen. For farter over noen få meter i sekundet er luftmotstanden omtrent proporsjonal med kvadratet av farten, Fluft=bv2F_\text{luft} = bv^2. Effekten som må til for å holde farten mot den, blir da

P=Fluftv=bv3.P = F_\text{luft}v = bv^3.

Den tredje potensen er dramatisk, og den forklarer noe alle syklister vet: å øke farten fra 24 til 32 km/t koster ikke en tredjedel mer, men to tredjedeler mer. Dobler du farten, må du åtte­doble effekten.

Terminalfart er farten der luftmotstanden er blitt like stor som tyngden, slik at akselerasjonen er null og farten ikke øker mer. Med den vanlige modellen for luftmotstand,

Fluft=12ρACdv2,F_\text{luft} = \tfrac12\rho A C_d v^2,

der ρ\rho er luftens tetthet, AA tverrsnittsarealet og CdC_d en formavhengig motstandskoeffisient, gir kraftbalansen

12ρACdvt2=mg⟹vt=2mgρACd.\tfrac12\rho A C_d v_t^2 = mg \quad\Longrightarrow\quad v_t = \sqrt{\frac{2mg}{\rho A C_d}}.

Symbolmerknad: her betyr ρ\rho luftens tetthet i kg/m3\text{kg/m}^3 — ikke en krumningsradius, som i kap. 1.2. Det er den samme greske bokstaven med to helt ulike betydninger, og sammenhengen må avgjøre.

En pen skaleringslov følger. For kompakte legemer av samme materiale og form vokser massen med diameteren i tredje potens (m∝d3m \propto d^3), mens tverrsnittsarealet vokser i andre (A∝d2A \propto d^2). Da blir

vt∝d3d2=d.v_t \propto \sqrt{\frac{d^3}{d^2}} = \sqrt{d}.

Et haglkorn med fire ganger så stor diameter faller altså dobbelt så fort. Det er derfor små dråper daler og store dråper slår.

Effekt
Arbeid per tidsenhet, altså hvor raskt energi overføres:
P=dWdt=Fv(kraft langs bevegelsen).P = \frac{dW}{dt} = Fv \quad (\text{kraft langs bevegelsen}).
Enheten er watt: 1 W=1 J/s1\,\text{W} = 1\,\text{J/s}. To presiseringer er verdt å ha med. Effekten avhenger av farten, ikke bare av kraften — den samme kraften gir dobbel effekt ved dobbel fart, og null effekt når legemet står stille. Og effekten har fortegn, som arbeidet: en bremsekraft gir negativ effekt, altså energi som tas ut av bevegelsen. Uttrykket P=FvP = Fv står på det utdelte arket. En vanlig anvendelse er å finne den farten en gitt motoreffekt kan holde mot en gitt motstand, som er en ligning i vv.
Effekt mot luftmotstand: P=bv3P = bv^3
Den effekten som må til for å holde konstant fart mot en luftmotstand som er proporsjonal med fartskvadratet. Er motstanden F=bv2F = bv^2, blir effekten
P=Fv=bv3.P = Fv = bv^3.
Den tredje potensen er den viktigste kvalitative innsikten i temaet: effektbehovet vokser med kubikken av farten. Dobler du farten, åttedobler du effekten; øker du farten med 10 prosent, øker effektbehovet med 33 prosent. Det forklarer hvorfor toppfarten til en sykkel, en bil eller en båt vokser så lite når motoren blir kraftigere — toppfarten går som P1/3P^{1/3}. Konstanten bb har enheten kg/m og samler tetthet, areal og form i ett tall.
Terminalfart
Den konstante farten et fallende legeme nærmer seg når luftmotstanden er blitt like stor som tyngden:
12ρACdvt2=mg⟹vt=2mgρACd.\tfrac12\rho A C_d v_t^2 = mg \quad\Longrightarrow\quad v_t = \sqrt{\frac{2mg}{\rho A C_d}}.
Her er ρ\rho luftens tetthet (omtrent 1,2 kg/m31{,}2\,\text{kg/m}^3 ved havnivå), AA legemets tverrsnittsareal og CdC_d en dimensjonsløs motstandskoeffisient som avhenger av formen (rundt 0,50{,}5 for en kule, rundt 1,01{,}0–1,41{,}4 for et flatt eller foldet legeme). Farten er en grenseverdi, ikke en fart legemet oppnår i et bestemt øyeblikk — akselerasjonen avtar mot null, og farten nærmer seg vtv_t asymptotisk. Merk at et tungt legeme har høyere terminalfart enn et lett av samme form, og at et stort areal senker den. Det er hele prinsippet bak en fallskjerm.
Skaleringen vt∝dv_t \propto \sqrt{d}
For kompakte legemer av samme form og samme materiale vokser massen som d3d^3 og tverrsnittsarealet som d2d^2, der dd er diameteren. Terminalfarten blir da
vt=2mgρACd∝d3d2=d.v_t = \sqrt{\frac{2mg}{\rho A C_d}} \propto \sqrt{\frac{d^3}{d^2}} = \sqrt{d}.
Store legemer faller altså fortere enn små, men bare med kvadratrota av størrelsen: fire ganger så stor diameter gir dobbelt så høy terminalfart. Sammenhengen forklarer en rekke hverdagsobservasjoner — at tåkedråper svever mens regndråper faller, at små insekter kan falle fra vilkårlig høyde uten skade, og at hagl må være stort for å gjøre skade. Merk at loven forutsetter samme form og samme tetthet; en fallskjerm bryter den fordi arealet vokser uavhengig av massen.
✏️Eksempel 4: fallskjermhopperen og syklisten
Del 1. En fallskjermhopper har samlet masse 85,0 kg85{,}0\,\text{kg}. I fritt fall med kroppen strukket ut er tverrsnittsarealet 0,700 m20{,}700\,\text{m}^2 og motstandskoeffisienten Cd=1,00C_d = 1{,}00. Luftens tetthet er 1,20 kg/m31{,}20\,\text{kg/m}^3. Med åpen skjerm er arealet 25,0 m225{,}0\,\text{m}^2 og Cd=1,40C_d = 1{,}40.

a) Finn terminalfarten før og etter at skjermen åpnes.
b) Hvor mange ganger lavere er farten med skjerm?

Del 2. En syklist møter en luftmotstand F=bv2F = bv^2 med b=0,250 kg/mb = 0{,}250\,\text{kg/m}.

c) Hvor stor effekt må til for å holde 8,00 m/s8{,}00\,\text{m/s}, og hvor stor for å holde 16,0 m/s16{,}0\,\text{m/s}?
d) Hvilken fart kan syklisten holde med 250 W250\,\text{W}?

a) Symbolsk utledning. Ved terminalfart er akselerasjonen null, så luftmotstanden balanserer tyngden:
12ρACdvt2=mg⟹vt=2mgρACd.\tfrac12\rho A C_d v_t^2 = mg \quad\Longrightarrow\quad v_t = \sqrt{\frac{2mg}{\rho A C_d}}.

Rask vei til tall. Telleren er den samme i begge tilfellene:
2mg=2⋅85,0⋅9,81 N=1 667,7 N.2mg = 2 \cdot 85{,}0 \cdot 9{,}81\,\text{N} = 1\,667{,}7\,\text{N}.
Uten skjerm er ρACd=1,20⋅0,700⋅1,00=0,8400 kg/m\rho A C_d = 1{,}20 \cdot 0{,}700 \cdot 1{,}00 = 0{,}8400\,\text{kg/m}:
vt=1 667,70,8400 m/s=1 985,4 m/s=44,557 m/s≈44,6 m/s.v_t = \sqrt{\frac{1\,667{,}7}{0{,}8400}}\,\text{m/s} = \sqrt{1\,985{,}4}\,\text{m/s} = 44{,}557\,\text{m/s} \approx 44{,}6\,\text{m/s}.
Det er 160 km/t160\,\text{km/t} — en realistisk verdi for fritt fall.

Med skjerm er ρACd=1,20⋅25,0⋅1,40=42,00 kg/m\rho A C_d = 1{,}20 \cdot 25{,}0 \cdot 1{,}40 = 42{,}00\,\text{kg/m}:
vt=1 667,742,00 m/s=39,707 m/s=6,3014 m/s≈6,30 m/s.v_t = \sqrt{\frac{1\,667{,}7}{42{,}00}}\,\text{m/s} = \sqrt{39{,}707}\,\text{m/s} = 6{,}3014\,\text{m/s} \approx 6{,}30\,\text{m/s}.
Det er 22,7 km/t22{,}7\,\text{km/t} — omtrent som å hoppe ned fra to meter, som er hele poenget med en fallskjerm.

Benevningskontroll: N/(kg/m)=(kg⋅m/s2)⋅m/kg=m2/s2\text{N}/(\text{kg/m}) = (\text{kg}\cdot\text{m/s}^2)\cdot\text{m}/\text{kg} = \text{m}^2/\text{s}^2, og kvadratrota er m/s. Det stemmer.

b)
44,5576,3014=7,0710.\frac{44{,}557}{6{,}3014} = 7{,}0710.
Sju ganger lavere. Legg merke til at forholdet er 42,00/0,8400=50,00=7,0711\sqrt{42{,}00/0{,}8400} = \sqrt{50{,}00} = 7{,}0711: massen faller ut, og bare forholdet mellom ρACd\rho A C_d-verdiene avgjør. Skjermen øker ACdA C_d med en faktor 50, og farten synker med kvadratrota av det.

c) Effekten er P=Fv=bv3P = Fv = bv^3:
P(8,00)=0,250⋅(8,00)3 W=0,250⋅512 W=128 W,P(8{,}00) = 0{,}250 \cdot \left(8{,}00\right)^3\,\text{W} = 0{,}250 \cdot 512\,\text{W} = 128\,\text{W},
P(16,0)=0,250⋅(16,0)3 W=0,250⋅4 096 W=1 024 W.P(16{,}0) = 0{,}250 \cdot \left(16{,}0\right)^3\,\text{W} = 0{,}250 \cdot 4\,096\,\text{W} = 1\,024\,\text{W}.
Forholdet er 1 024/128=8,001\,024/128 = 8{,}00 — nøyaktig 232^3, som den tredje potensen krever. Dobbel fart, åtte ganger effekten.

d) Løs P=bv3P = bv^3 for farten:
v=(Pb)1/3=(2500,250)1/3 m/s=(1 000)1/3 m/s=10,0 m/s.v = \left(\frac{P}{b}\right)^{1/3} = \left(\frac{250}{0{,}250}\right)^{1/3}\,\text{m/s} = \left(1\,000\right)^{1/3}\,\text{m/s} = 10{,}0\,\text{m/s}.
Altså 36 km/t36\,\text{km/t} med 250 W250\,\text{W}, som er en realistisk verdi for en trent syklist på flat vei.

Og en lesning verdt å ta med. Skal syklisten opp til 12,0 m/s12{,}0\,\text{m/s}, kreves 0,250⋅1 728=432 W0{,}250 \cdot 1\,728 = 432\,\text{W} — altså 73 prosent mer effekt for 20 prosent mer fart. Toppfarten går som P1/3P^{1/3}, og det er derfor sykkelritt avgjøres av små marginer.

📝Oppgave 7
Sjanger M2

En båt møter en vannmotstand F=bv2F = bv^2 og trenger 18,0 kW18{,}0\,\text{kW} for å holde farten 6,00 m/s6{,}00\,\text{m/s}.

a) Finn konstanten bb.
b) Hvor stor effekt trengs for å holde 9,00 m/s9{,}00\,\text{m/s}?
c) Hvor stor fart kan motoren holde hvis effekten dobles til 36,0 kW36{,}0\,\text{kW}?

📝Oppgave 8

(Kvalitativ oppgave — sjanger M3.) Svar i to til fire setninger på hvert punkt.

a) Forklar hvorfor en kompakt kule som ruller ned en bakke, kommer saktere ned enn en kloss som glir friksjonsfritt ned den samme bakken — uten å bruke formler.

b) Kula ruller fordi det er friksjon mellom kula og underlaget. Hvorfor kan vi da bruke energibevaring, som forutsetter at ingen krefter tar energi ut av systemet?

c) To kuler av samme materiale, den ene med dobbelt så stor radius som den andre, ruller ned samme bakke. Hvilken kommer først ned, og hva er begrunnelsen?

📝Oppgave 9
Sjanger M3, eksamensnivå

En kompakt kule ruller uten å gli oppover et skråplan med helning 22,0∘22{,}0^\circ og startfart 5,60 m/s5{,}60\,\text{m/s}.

a) Hvor høyt kommer kula, målt loddrett, og hvor langt kommer den langs planet?
b) En kloss glir friksjonsfritt oppover det samme planet med samme startfart. Hvor høyt kommer den, og hvorfor kommer den ikke like høyt som kula?
c) Finn kulas akselerasjon langs planet, og bruk den til å regne ut hvor lang tid kula bruker opp. Kontrollér svaret mot strekningen.
d) Hvor stor må den statiske friksjonskoeffisienten minst være for at kula skal rulle uten å gli? Uttrykket er μs≥tan⁡θ⋅c/(1+c)\mu_s \ge \tan\theta \cdot c/(1+c).

📝Oppgave 10
Sjanger M3, A–F-format

En massiv sylinder ruller uten å gli fra ro ned et skråplan. Planet har helning 15,0∘15{,}0^\circ, og sylinderen ruller 6,00 m6{,}00\,\text{m} langs planet.

Hvor stor er farten i bunnen?

A 5,52 m/s5{,}52\,\text{m/s} · B 4,51 m/s4{,}51\,\text{m/s} · C 4,67 m/s4{,}67\,\text{m/s} · D 4,28 m/s4{,}28\,\text{m/s} · E 8,86 m/s8{,}86\,\text{m/s} · F 3,19 m/s3{,}19\,\text{m/s}

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard- og repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Kompakt kule: K=710mv2K = \tfrac{7}{10}mv^2
Det enkeltresultatet du oftest trenger i sjangeren. For en kompakt kule er I=25mR2I = \tfrac25mR^2, altså c=2/5c = 2/5, og med rullebetingelsen v=ωRv = \omega R:
K=12mv2+12⋅25mR2⋅v2R2=12mv2+15mv2=710mv2.K = \tfrac12mv^2 + \tfrac12 \cdot \tfrac25mR^2 \cdot \frac{v^2}{R^2} = \tfrac12mv^2 + \tfrac15mv^2 = \tfrac{7}{10}mv^2.
Utledningen er tre linjer og bør kunne gjøres i margen — treghetsmomentet står på det utdelte arket, men sammensetningen [må kunne brukes eller utledes aktivt]. Fordelingen er 5/75/7 translasjon og 2/72/7 rotasjon, altså 71,4 %71{,}4\ \% og 28,6 %28{,}6\ \%. Radien forkortes bort, så resultatet gjelder for en kanonkule og en kulelagerkule like godt.
Massiv sylinder: K=34mv2K = \tfrac34mv^2
For en massiv sylinder (eller et homogent hjul) om egen akse er I=12mR2I = \tfrac12mR^2, altså c=1/2c = 1/2:
K=12mv2+14mv2=34mv2.K = \tfrac12mv^2 + \tfrac14mv^2 = \tfrac34mv^2.
Fordelingen er 2/32/3 translasjon og 1/31/3 rotasjon, altså 66,7 %66{,}7\ \% og 33,3 %33{,}3\ \%. Sluttfarten etter et fall Δy\Delta y er 2gΔy/1,5=0,81652gΔy\sqrt{2g\Delta y/1{,}5} = 0{,}8165\sqrt{2g\Delta y}, altså 18,4 prosent lavere enn en glidende kloss. Sylinderen ligger mellom den kompakte kula og kuleskallet, fordi massen er jevnt fordelt utover tverrsnittet i stedet for å være samlet nær sentrum eller helt ytterst.
Kuleskall: K=56mv2K = \tfrac56mv^2
For et tynt kuleskall er I=23mR2I = \tfrac23mR^2, altså c=2/3c = 2/3:
K=12mv2+13mv2=56mv2.K = \tfrac12mv^2 + \tfrac13mv^2 = \tfrac56mv^2.
Fordelingen er 3/53/5 translasjon og 2/52/5 rotasjon, altså 60,0 %60{,}0\ \% og 40,0 %40{,}0\ \%. Skallet er det langsomste av de tre standardformene, fordi all massen ligger i maksimal avstand fra aksen og derfor er dyrest å få i spinn. Sluttfarten er 0,77462gΔy0{,}7746\sqrt{2g\Delta y}, altså 22,5 prosent lavere enn en glidende kloss. Merk forskjellen fra en tynn ring, der c=1c = 1 og halve energien går til rotasjon — skallet er en kuleflate, ringen er en sirkellinje.
Energifordelingen mellom translasjon og rotasjon
For et legeme som ruller uten å gli, er andelene faste og avhenger bare av formen:
KtranslK=11+c,KrotK=c1+c.\frac{K_\text{transl}}{K} = \frac{1}{1+c}, \qquad \frac{K_\text{rot}}{K} = \frac{c}{1+c}.
Kompakt kule: 5/75/7 og 2/72/7. Massiv sylinder: 2/32/3 og 1/31/3. Kuleskall: 3/53/5 og 2/52/5. Tynn ring: 1/21/2 og 1/21/2. Andelene er uavhengige av fart, masse, radius og høyde — de er en egenskap ved formen alene. Det gjør dem til en rask kontroll: har du regnet ut de to energiene hver for seg og andelene ikke stemmer med tabellen, er det en regnefeil et sted, ikke en fysisk oppdagelse.
Felle #1 — det glemte rotasjonsleddet

Feilen som består i å skrive 12mv2\tfrac12mv^2 der et rullende legeme krever 12(1+c)mv2\tfrac12(1+c)mv^2. Den gir alltid for høy fart, med faktoren 1+c\sqrt{1+c}: 18,3 prosent for en kompakt kule, 22,5 prosent for en massiv sylinder, 29,1 prosent for et kuleskall. Feilen er den hyppigst innebygde i mekanikkdelens svaralternativer, og den er farlig fordi resultatet aldri ser urimelig ut. Motmiddelet er ett spørsmål stilt før den første ligningen: ruller dette legemet, eller glir det? Og én sluttkontroll: er svaret ditt lavere enn 2gΔy\sqrt{2g\Delta y}? For et rullende legeme må det være det.

Sjanger M3 — rullende legeme med energibevaring

Bokas navn på oppgaveformen der et legeme ruller uten å gli opp eller ned en høydeforskjell, og du skal finne farten, høyden eller energifordelingen. Den forekommer i praktisk talt alle eksamenssett (~100 %) og hører til mekanikkhalvdelen, spørsmål 1–20. Kjeden er kort: avgjør om legemet ruller, finn formfaktoren cc, regn Δy\Delta y (eventuelt fra Lsin⁡θL\sin\theta), og sett inn i v=2gΔy/(1+c)v = \sqrt{2g\Delta y/(1+c)}. Tre feil bærer nesten alle distraktorene: glemt rotasjonsledd, feil form (kule mot sylinder mot skall), og banelengde forvekslet med høydefall.

Sjanger M2 — arbeid, energi og effekt

Bokas navn på oppgaveformen der du skal sette opp et energiregnskap: finne arbeidet en kraft gjør (ofte som areal under en F(x)F(x)-graf), bruke arbeid–energisetningen til å finne en fart, eller finne effekten P=FvP = Fv. Den forekommer i praktisk talt alle eksamenssett (~100 %) og hører til mekanikkhalvdelen, spørsmål 1–20. Sjangeren har også en rangeringsvariant som er verdt å kjenne: gitt at to legemer får det samme kraftstøtet FΔtF\Delta t, får de samme endring i bevegelsesmengde (kap. 3.1); gitt at de får det samme arbeidet FΔxF\Delta x, får de samme endring i kinetisk energi. De to er ikke det samme, og å forveksle dem er en av de billigste feilene å unngå.

Ren rulling mot rullemotstand

To ting som lyder like og oppfører seg helt ulikt. Ren rulling er idealiseringen dette kapitlet bruker: kontaktpunktet står stille, friksjonen er statisk, ingen energi tapes, og v=ωRv = \omega R gjelder. Rullemotstand er den virkelige verdens lille tap, som skyldes at hjulet og underlaget deformeres og retter seg ut igjen — det er typisk en faktor 10–100 mindre enn glidefriksjon og ignoreres i alle oppgaver i denne boka med mindre den er eksplisitt oppgitt. Skillet er verdt å ha klart fordi det forklarer hvorfor idealiseringen «energien er bevart ved rulling» er god nok i praksis: et sykkelhjul mister omtrent én prosent av energien per rulling, ikke tretti.

Akselerasjonen langs planet: a=gsin⁡θ/(1+c)a = g\sin\theta/(1+c)
Akselerasjonen til et legeme som ruller uten å gli ned et skråplan. Den følger av å kombinere Newtons 2. lov for translasjon og rotasjon, men den kan også leses direkte ut av energiuttrykket: siden v2=2gΔy/(1+c)v^2 = 2g\Delta y/(1+c) og Δy=Lsin⁡θ\Delta y = L\sin\theta, gir sammenligning med v2=2aLv^2 = 2aL at
a=gsin⁡θ1+c.a = \frac{g\sin\theta}{1+c}.
Uttrykket er nyttig når oppgaven spør om tid, som energibevaring ikke kan svare på. For en kompakt kule er a=0,714 gsin⁡θa = 0{,}714\,g\sin\theta, for en sylinder 0,667 gsin⁡θ0{,}667\,g\sin\theta, for et skall 0,600 gsin⁡θ0{,}600\,g\sin\theta. Merk at akselerasjonen er konstant, så konstant-aa-formlene gjelder på et rett skråplan — men ikke på en krum bane, der vinkelen endrer seg.
Friksjonskravet for ren rulling
Den minste statiske friksjonskoeffisienten som trengs for at et legeme skal rulle uten å gli ned et skråplan:
μs≥tan⁡θ⋅c1+c.\mu_s \ge \tan\theta \cdot \frac{c}{1+c}.
For en kompakt kule er faktoren c/(1+c)=2/7=0,286c/(1+c) = 2/7 = 0{,}286, for en sylinder 1/31/3, for et skall 2/52/5. Kravet vokser med brattheten: ved 22∘22^\circ trenger en kule bare μs≥0,115\mu_s \ge 0{,}115, ved 45∘45^\circ trenger den 0,2860{,}286. Fordi kravet er så beskjedent for vanlige vinkler, kan eksamensoppgaver trygt anta ren rulling uten å oppgi noen friksjonskoeffisient. Er planet svært bratt eller underlaget svært glatt, brytes betingelsen, og legemet begynner å gli — overgangen fra gliing til ren rulling hører til Del 4.
Symbol- og formelliste
Repetisjonsoppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.