3.2 Gravitasjon, satellittbaner og rakettligning

Sirkelbane under gravitasjon ($GMm/r^2=m\omega^2 r$), geostasjonær bane og rakettligningen fra impulsbevarelse — kompakt beredskap.

50 min

8 oppgaver

Gravitasjonsatellittbanerrakettligning

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.1Bevegelsesmengde, impuls og støt

Brukes videre i

3.3Drill: støt, impuls og baner (sjanger M6, M12)

Sjanger M12 — gravitasjon, satellittbaner og rakett, altså «et legeme går i bane rundt en klode, finn radien, farten eller omløpstiden» — dukker opp i rundt fire av ti sett (~40 %) for banedelen, og i rundt to av ti (~20 %) for rakettdelen. Temaet hører til mekanikkhalvdelen, spørsmål 1–20. Prioritet: bør sitte.

Dette er ikke fagets hyppigste sjanger, men den er blant de mest lønnsomme å ha klar. Grunnen er at hele banedelen hviler på én ligning du setter opp selv, og at regnekjeden derfra er tre linjer lang. Kan du den, tar spørsmålet halvannet minutt. Kan du den ikke, står du fast — for det finnes ingen omvei.

Signaturen er lett å kjenne igjen: en satellitt, en romstasjon eller en måne i sirkelbane, med to av de tre størrelsene baneradius $r$ , banefart $v$ og omløpstid $T$ oppgitt. Den klassiske varianten er den geostasjonære banen, der omløpstiden er gitt som ett døgn og du skal finne radien eller høyden over bakken.

Rakettdelen er «kjenne til»-stoff. Den ligger sist i kapitlet, i Løkke 3, og er kortere med vilje. Du trenger én formel og forståelsen av hvorfor massen synker når farten øker — men du skal ikke bruke halve lesetiden der.

Om tidsbruken. Kapitlet er anslått til 50 minutter, delt i tre løkker med tidsanslag: sirkelbanen (~16 min), den geostasjonære banen (~16 min) og raketten (~12 min), pluss omtrent seks minutter på begrepsbank og formelliste. Det er et kompakt kapittel sammenlignet med kap. 3.1 — nettopp fordi frekvensen er lavere.

Ett tall å ta med seg videre allerede nå: tyngdeakselerasjonen ved jordoverflaten kan regnes ut av gravitasjonsloven som $GM/R^2 = 9{,}82\,\text{m/s}^2$ , altså de samme $9{,}81\,\text{m/s}^2$ du har brukt hele veien. Gravitasjonen i bane er ikke en annen kraft enn tyngden — det er samme kraft, målt lenger ute.

Forkunnskaper — sist du var her

Dette kapitlet bygger på kap. 3.1, der du arbeidet med bevegelsesmengde og impulsbevarelse — det er nøyaktig den bevaringsloven raketten hviler på. Fra kap. 1.2 trenger du sentripetalakselerasjonen og vanen med å sette opp Newtons 2. lov inn mot sentrum i en krum bane.

Fra videregående er fundamentet lagt i fysikk 2: Newtons gravitasjonslov, Gravitasjonsfelt og gravitasjonspotensial, Satellittbevegelse og romfart og Gravitasjon og energi (den siste for gravitasjonell potensiell energi, som vi bare berører her). Har du ikke hatt fysikk 2, går det fint: alt du trenger, står i de tre relasjonene under.

De tre relasjonene du trenger ferdig oppfrisket:

$F = \frac{GMm}{r^2}$
Newtons gravitasjonslov. To legemer med masse $M$ og $m$ trekker på hverandre med en kraft som avtar med kvadratet av avstanden $r$ mellom sentrene deres. Kraften peker langs linjen mellom dem, og $G = 6{,}674\cdot10^{-11}\,\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ er gravitasjonskonstanten. Både loven og konstanten står på det utdelte formelarket.

$a_\text{sentripetal} = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r$
Sentripetalakselerasjonen for et legeme som går i sirkel med radius $r$ . Den peker inn mot sentrum, og de to formene er den samme størrelsen skrevet med banefart $v$ eller med vinkelfart $\omega$ . Sammenhengen mellom dem er $v = \omega r$ . Dette står på arket.

$\sum \mathbf{p} = \text{konstant} \quad (\text{når ingen ytre kraft virker})$
Impulsbevarelse fra kap. 3.1: den samlede bevegelsesmengden i et system endres ikke av indre krefter. En rakett som støter ut gass, er nettopp et slikt system — gassen får bevegelsesmengde bakover, raketten like mye forover.

Symbolmerknad — to av bokas fem symbolkollisjoner er aktive her. I dette kapitlet er $T$ omløpstiden (svingetiden) i sekunder, ikke en temperatur; temperatur får du først i Del 6. Og $R$ er en radius i meter, ikke gasskonstanten. Symbolet $p$ er bevegelsesmengde (en vektor), ikke trykk. Vi skriver $M$ for kloden som blir gått i bane rundt og $m$ for legemet som går i bane, og vi skriver $R_\text{jord}$ når vi mener jordas egen radius og $r$ når vi mener baneradien.

Tallene vi bruker gjennom hele kapitlet. Jordas masse er $M = 5{,}972\cdot10^{24}\,\text{kg}$ og radien $R_\text{jord} = 6{,}371\cdot10^{6}\,\text{m}$ . Produktet $GM$ opptrer i hver formel, aldri $G$ og $M$ hver for seg — så regn det ut én gang og lagre det:

$GM = 3{,}986\cdot10^{14}\,\text{m}^3/\text{s}^2.$

Alle tre konstantene står på formelarket. Én kontroll før vi begynner: $GM/R_\text{jord}^2 = 9{,}82\,\text{m/s}^2$ , som er tyngdeakselerasjonen ved bakken. Stemmer det tallet, har du satt inn riktig.

Løkke 1 — gravitasjonen som sentripetalkraft (~16 min)

Astronautene på en romstasjon flyter. De ser vektløse ut, og det er lett å tro at tyngden er borte der oppe. Den er ikke det. I 400 kilometers høyde er gravitasjonen fremdeles nesten 89 prosent av det den er ved bakken. Astronautene flyter fordi de er i fritt fall — de faller, sammen med stasjonen, hele tiden. De bare faller rundt jorda i stedet for ned i den.

Det er hele ideen bak en bane. Kast en stein vannrett, og den faller i en bue til den treffer bakken. Kast den fortere, og buen blir lengre. Kast den fort nok, og buen krummer akkurat like mye som jordoverflaten krummer — og da treffer den aldri bakken. Steinen er i bane.

Regnemessig er dette overraskende enkelt, fordi det bare finnes én kraft å tegne. Ingen normalkraft, ingen friksjon, ingen snor. Gravitasjonen er den eneste kraften på satellitten, og den peker rett inn mot sentrum av kloden. Men det er nøyaktig retningen en sentripetalkraft må ha.

Sirkelbane under gravitasjon

r

Standard gravitasjonsparameter

GM = 6{,}674\cdot10^{-11}\cdot 5{,}972\cdot10^{24}\,\text{m}^3/\text{s}^2 = 3{,}986\cdot10^{14}\,\text{m}^3/\text{s}^2 \quad (\text{jorda}).

Sentripetalkraft (resultanten inn mot sentrum)

mv^2/r

📜Banebetingelsen: gravitasjonen ER sentripetalkraften

Isolér satellitten. Den eneste kraften på den er gravitasjonen fra kloden, rettet inn mot sentrum. Newtons 2. lov inn mot sentrum gir derfor

$\frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r} = m\omega^2 r.$

Dette er kapitlets ene ligning, og alt annet følger av den.

Trinn 1 — satellittens masse faller ut. Massen $m$ står som faktor på begge sider og forkortes bort:
$\frac{GM}{r^2} = \frac{v^2}{r} \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{GM}{r}}.$
Intuisjon: en tung og en lett satellitt i samme høyde går like fort. Det er samme grunn som at en tung og en lett stein faller like fort — gravitasjonen vokser med massen, og treghetsmotstanden vokser like mye.

Trinn 2 — koblingen til omløpstiden. En full runde er $2\pi r$ lang og tar tiden $T$ , så
$v = \frac{2\pi r}{T}.$
Dette er ren definisjon, ikke fysikk, men det er koblingen som gjør oppgavene løsbare: oppgaven oppgir nesten alltid $T$ og spør etter $r$ , eller omvendt.

Trinn 3 — sett de to sammen. Bruk $\omega = 2\pi/T$ i midtformen $GM/r^2 = \omega^2 r$ :
$\frac{GM}{r^2} = \frac{4\pi^2}{T^2}\,r \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\ \frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{GM}\ }$

Høyresiden inneholder bare konstanter. For jorda er den
$\frac{4\pi^2}{GM} = 9{,}905\cdot10^{-14}\,\text{s}^2/\text{m}^3,$
og den samme verdien gjelder for hver eneste bane rundt jorda. Det er Keplers tredje lov, og det er den kraftigste kontrollen du har: regn ut $T^2/r^3$ for svaret ditt, og se om du treffer.

Tre former av samme sannhet, alt etter hva oppgaven spør om:
$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}, \qquad r = \left(\frac{GMT^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}.$

Ingen av de tre står ferdig på det utdelte arket. Gravitasjonsloven og sentripetalakselerasjonen står der; kombinasjonen må du gjøre selv, og det tar én linje.

Banefart

v = \sqrt{\frac{GM}{r}}.

Omløpstid

T

Vinkelfart i bane

\omega = 2\pi/T

✏️Eksempel 1: romstasjonen i lav bane

En romstasjon går i sirkelbane 400 kilometer over jordoverflaten.

a) Finn baneradien.
b) Finn banefarten.
c) Finn omløpstiden, i minutter.
d) Hvor stor er gravitasjonsakselerasjonen i denne høyden, og hvor mange prosent av verdien ved bakken er det?

a) Baneradien måles fra jordas sentrum, så høyden må legges til jordradien:

r = R_\text{jord} + h = 6{,}371\cdot10^{6}\,\text{m} + 4{,}00\cdot10^{5}\,\text{m} = 6{,}771\cdot10^{6}\,\text{m}.

Dette er hele trinn én, og det er trinnet folk hopper over. Å bruke

4{,}00\cdot10^5\,\text{m}

som baneradius gir en banefart på over

31\,000\,\text{m/s}

— fire ganger for stort.

b) Symbolsk utledning. Banebetingelsen $GMm/r^2 = mv^2/r$ gir $v = \sqrt{GM/r}$ .

Rask vei til tall. Regn brøken først, med fire siffer:
$\frac{GM}{r} = \frac{3{,}986\cdot10^{14}}{6{,}771\cdot10^{6}}\,\text{m}^2/\text{s}^2 = 5{,}886\cdot10^{7}\,\text{m}^2/\text{s}^2,$
$v = \sqrt{5{,}886\cdot10^{7}}\,\text{m/s} = 7\,672{,}3\,\text{m/s} \approx 7\,672\,\text{m/s} = 7{,}67\,\text{km/s}.$

Benevningskontroll. $\text{m}^3/\text{s}^2$ delt på $\text{m}$ er $\text{m}^2/\text{s}^2$ , og kvadratroten av det er m/s. Det stemmer.

c) Én runde er $2\pi r$ :
$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{6{,}28319 \cdot 6{,}771\cdot10^{6}}{7\,672{,}3}\,\text{s} = \frac{4{,}2543\cdot10^{7}}{7\,672{,}3}\,\text{s} = 5\,545{,}1\,\text{s}.$
Omregnet: $5\,545{,}1/60 = 92{,}42\,\text{min}$ , altså rundt halvannen time per runde. Det er tallet du kanskje har hørt før — en romstasjon går omtrent 16 runder i døgnet.

Kepler-kontroll. $T^2/r^3 = 5\,545{,}1^2/(6{,}771\cdot10^{6})^3 = 9{,}905\cdot10^{-14}\,\text{s}^2/\text{m}^3$ . Det er nøyaktig $4\pi^2/GM$ , så banen er konsistent.

d) Gravitasjonsakselerasjonen er kraften per masse:
$a = \frac{GM}{r^2} = \frac{3{,}986\cdot10^{14}}{4{,}5846\cdot10^{13}}\,\text{m/s}^2 = 8{,}694\,\text{m/s}^2.$
Sammenlignet med bakken: $8{,}694/9{,}81 = 0{,}8862$ , altså $88{,}6$ prosent.

Og der er svaret på romstasjons-gåten. Tyngden er praktisk talt like sterk der oppe. Astronautene flyter ikke fordi gravitasjonen er borte, men fordi alt rundt dem faller like fort som de selv gjør — de er i fritt fall langs banen, sammen med stasjonen. En vekt under føttene deres ville vist null, men gravitasjonen leverer $8{,}694\,\text{m/s}^2$ hele tiden. Uten den ville stasjonen forlatt oss i en rett linje.

📝Oppgave 1

(Innstegsoppgave — én formel og en enhetsomregning.)

En satellitt går i sirkelbane rundt jorda med baneradien $r = 7{,}00\cdot10^{6}\,\text{m}$ .

a) Hvor høyt over jordoverflaten går den?
b) Finn banefarten.
c) Finn omløpstiden, både i sekunder og i minutter.

📝Oppgave 2

Sjanger M12

En jordobservasjonssatellitt går i sirkelbane 800 kilometer over bakken.

a) Finn banefarten og omløpstiden.
b) Sammenlign med romstasjonen i eksempel 1, som går 400 kilometer opp. Er farten høyere eller lavere, og er runden kortere eller lengre i tid?

— naturlig pausepunkt —

Løkke 2 — den geostasjonære banen (~16 min)

Se på en parabolantenne på en husvegg. Den er skrudd fast i én retning og blir aldri justert. Likevel treffer den en satellitt som beveger seg med tusenvis av meter per sekund. Det går fordi satellitten står stille i forhold til huset: den bruker akkurat ett døgn på en runde, og huset bruker akkurat ett døgn på en runde med jorda. De dreier i takt.

Dette er den geostasjonære banen, og den er kapitlets viktigste enkeltoppgave. Formen er alltid den samme: omløpstiden er gitt (ett døgn), og du skal finne radien eller høyden. Det som gjør oppgaven verdt å øve på, er at den kombinerer to feller — en enhetsfelle og en rotfelle — og at begge har ferdige svaralternativer i lista.

Verktøyet er den tredje formen fra banebetingelsen, den vi løste for $r$ .

Baneradius og banehøyde

r

Geostasjonær bane

r

📜Baneradius fra omløpstid (Keplers tredje lov i regnbar form)

Løs

T^2/r^3 = 4\pi^2/GM

for radien:

$r = \left(\frac{GMT^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}.$

Utledningen tar to linjer og bør gjøres, ikke pugges. Start i banebetingelsen med vinkelfart, siden det er den formen der $T$ kommer inn direkte:
$\frac{GMm}{r^2} = m\omega^2 r = m\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 r \quad\Longrightarrow\quad GM = \frac{4\pi^2 r^3}{T^2},$
og løs for $r^3$ . Merk at massen $m$ falt ut igjen: en tung og en lett satellitt har samme geostasjonære radius.

Hva som er avgjørende i regnekjeden. Tre ting, i denne rekkefølgen:

1. Omløpstiden skal i sekunder. Ett døgn er $24 \cdot 3\,600\,\text{s} = 86\,400\,\text{s}$ . Setter du inn 24 i stedet, blir $T^2$ en faktor $3\,600^2 = 1{,}3\cdot10^{7}$ for liten, og radien en faktor $(1{,}3\cdot10^{7})^{1/3} = 235$ for liten — du får $180$ km i stedet for $42\,200$ km.
2. Det er en kubikkrot, ikke en kvadratrot. Tar du kvadratroten, får du $2{,}7\cdot10^{8}\,\text{km}$ , som er nesten dobbelt så langt som til sola.
3. Faktoren $4\pi^2 = 39{,}478$ hører i nevneren. Glemmer du den, blir radien $(39{,}478)^{1/3} = 3{,}4$ ganger for stor: $143\,800$ km.

Kubikkroten er samtidig en trøst. Den demper feil kraftig: en feil på 10 prosent i $T^2$ gir bare 3 prosent i $r$ . Så du behøver ikke være redd for avrunding her — men du må treffe tierpotensen, for den demper ingenting.

Formelen står ikke ferdig på det utdelte arket; gravitasjonsloven og sentripetalakselerasjonen gjør det, og resten [må kunne brukes eller utledes aktivt].

📜Rask vei til tall (MC-oppskrift)

Fra oppgitt bane til bokstavsvar i fem trinn.

1. Hvilken lov? Newtons 2. lov inn mot sentrum, med gravitasjonen som eneste kraft:
$\frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r} = m\omega^2 r.$
Alt annet i banedelen er denne ligningen løst for en annen bokstav.

2. Hvilken ene regnelinje? Velg etter hva oppgaven oppgir og hva den spør om:
- oppgitt $r$ , spør om $v$ : $\ v = \sqrt{GM/r}$
- oppgitt $r$ , spør om $T$ : $\ T = 2\pi\sqrt{r^3/GM}$
- oppgitt $T$ , spør om $r$ : $\ r = (GMT^2/4\pi^2)^{1/3}$
- spør om høyden: regn $r$ først, trekk fra $R_\text{jord}$ til slutt
- rakett: $\ \Delta v = u\ln(m_0/m)$ , eller $m = m_0e^{-\Delta v/u}$

3. Hvilke verdier hentes fra arket? $G$ , jordas masse og jordradien står der. Produktet $GM = 3{,}986\cdot10^{14}\,\text{m}^3/\text{s}^2$ lager du selv, én gang, og lagrer. Kombinasjonene i punkt 2 må du sette opp selv — de står ikke der.

4. Hvor mange siffer? Fire gjennom kjeden. Kubikkroten demper feil, så avrunding er mindre farlig her enn i resten av boka — men tierpotensen må være rett, og der hjelper ingen demping. Skriv derfor alltid tallene på standardform mens du regner: $3{,}986\cdot10^{14}$ , ikke $398\,600\,000\,000\,000$ .

5. Sjekk før du krysser av. Fem kontroller på tjue sekunder:
- Sekunder? Timer og minutter i formelen er sjangerens dyreste feil.
- Radius eller høyde? Spør oppgaven om høyde over bakken, skal $R_\text{jord}$ trekkes fra.
- Størrelsesorden. Jordbaner har $r$ mellom $6{,}4\cdot10^{6}$ og omtrent $4{,}2\cdot10^{7}\,\text{m}$ , og $v$ mellom $3\,000$ og $7\,900\,\text{m/s}$ . Et svar utenfor det er galt, uten at du behøver å vite hvorfor.
- Kepler. $T^2/r^3$ skal bli $9{,}905\cdot10^{-14}\,\text{s}^2/\text{m}^3$ . Denne kontrollen fanger nesten alle feil i sjangeren, og den tar to tastetrykk.
- Retningen på sammenhengen. Høyere bane betyr lavere fart og lengre omløpstid. Har du fått motsatt, har du snudd en brøk.

✏️Eksempel 2: den geostasjonære banen

En kommunikasjonssatellitt skal stå stille sett fra bakken, altså gå én runde i takt med jordas rotasjon. Regn med omløpstiden $T = 24$ timer.

a) Finn baneradien.
b) Hvor høyt over bakken er det?
c) Finn banefarten og vinkelfarten.
d) Kontrollér svaret mot Keplers tredje lov.
e) Jordas rotasjonstid i forhold til stjernene er egentlig $86\,164$ sekunder, ikke $86\,400$ . Hvor mye endrer det svaret?

a) Symbolsk utledning. Fra banebetingelsen med vinkelfart,

GM/r^2 = \omega^2 r

\omega = 2\pi/T

r = \left(\frac{GMT^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}.

Rask vei til tall. Først omløpstiden i sekunder — dette er trinnet som avgjør oppgaven:
$T = 24 \cdot 3\,600\,\text{s} = 86\,400\,\text{s}, \qquad T^2 = 7{,}4650\cdot10^{9}\,\text{s}^2.$
Deretter teller og nevner hver for seg:
$GMT^2 = 3{,}986\cdot10^{14} \cdot 7{,}4650\cdot10^{9} = 2{,}9755\cdot10^{24}, \qquad 4\pi^2 = 39{,}478,$
$r^3 = \frac{2{,}9755\cdot10^{24}}{39{,}478}\,\text{m}^3 = 7{,}5372\cdot10^{22}\,\text{m}^3,$
$r = \left(7{,}5372\cdot10^{22}\right)^{1/3}\,\text{m} = 4{,}2240\cdot10^{7}\,\text{m} = 42\,240\,\text{km}.$

Et tips til kubikkroten på en enkel kalkulator: skriv eksponenten som et multiplum av 3 først. $7{,}5372\cdot10^{22} = 75{,}372\cdot10^{21}$ , og $\sqrt[3]{75{,}372} = 4{,}2240$ ganger $10^{7}$ . Da slipper du å stole på at maskinen håndterer eksponenten riktig.

b) Høyden over bakken:
$h = r - R_\text{jord} = 4{,}2240\cdot10^{7} - 6{,}371\cdot10^{6}\,\text{m} = 3{,}5869\cdot10^{7}\,\text{m} = 35\,869\,\text{km}.$
Det er nesten seks jordradier ut. Dette tallet — rundt $36\,000$ km — er verdt å ha i hodet som en størrelsesordenskontroll.

c)
$v = \frac{2\pi r}{T} = \frac{6{,}28319 \cdot 4{,}2240\cdot10^{7}}{86\,400}\,\text{m/s} = \frac{2{,}6540\cdot10^{8}}{86\,400}\,\text{m/s} = 3\,071{,}8\,\text{m/s},$
$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{6{,}28319}{86\,400}\,\text{rad/s} = 7{,}2722\cdot10^{-5}\,\text{rad/s}.$
Kontroll: $\omega r = 7{,}2722\cdot10^{-5} \cdot 4{,}2240\cdot10^{7}\,\text{m/s} = 3\,072\,\text{m/s}$ . Samme tall, som det skal være.

Merk at farten er lavere enn i lav bane ( $3\,072$ mot $7\,672\,\text{m/s}$ ), selv om banen er over seks ganger så stor. Det er $1/\sqrt{r}$ -oppførselen i praksis.

d) Kepler-kontroll.
$\frac{T^2}{r^3} = \frac{7{,}4650\cdot10^{9}}{7{,}5372\cdot10^{22}}\,\text{s}^2/\text{m}^3 = 9{,}905\cdot10^{-14}\,\text{s}^2/\text{m}^3.$
Det er $4\pi^2/GM$ , samme verdi som for romstasjonen i eksempel 1 — to helt ulike baner, samme konstant.

e) Med $T = 86\,164\,\text{s}$ blir $r = 42\,163\,\text{km}$ og $h = 35\,792\,\text{km}$ . Forskjellen i radius er $0{,}18$ prosent — altså 77 kilometer.

Og her skal vi være ærlige om hva som er hva. Den fysisk riktige omløpstiden for en geostasjonær bane er ett stjernedøgn, $86\,164\,\text{s}$ , fordi det er tiden jorda bruker på én omdreining om sin egen akse. Døgnet på $86\,400\,\text{s}$ er tiden fra sol i sør til sol i sør igjen, som er litt lengre fordi jorda samtidig har flyttet seg langs banen rundt sola. Eksamensoppgaver oppgir «24 timer», og da regner du med $86\,400\,\text{s}$ og får $42\,240$ km. Vet du at forskjellen finnes, vet du også at et alternativ på $42\,160$ km ikke er en felle, men en mer nøyaktig variant av det samme svaret.

📝Oppgave 3

Sjanger M12

En navigasjonssatellitt går i sirkelbane med omløpstid $T = 12{,}0$ timer.

a) Finn baneradien og høyden over bakken.
b) Finn banefarten.
c) Ligger banen høyere eller lavere enn den geostasjonære, og med hvilken faktor? Svar først uten å regne, ut fra formelen alene, og bekreft deretter med tallene.

📝Oppgave 4

(Kvalitativ oppgave — svar med ord, ingen utregning.)

a) En astronaut om bord på en romstasjon i lav bane flyter fritt inne i modulen. Betyr det at gravitasjonen er neglisjerbar der oppe? Forklar.

b) To satellitter går i samme bane, den ene ti ganger så tung som den andre. Hvilken går fortest? Begrunn svaret ut fra banebetingelsen.

— naturlig pausepunkt —

Løkke 3 — raketten («kjenne til»-stoff, ~12 min)

Nå til noe helt annet. En rakett i verdensrommet har ingenting å skyve fra. Det finnes ikke luft å presse mot, ingen bakke å sparke i. Likevel akselererer den. Hvordan?

Svaret ligger i bevaringsloven fra kap. 3.1. Raketten kaster masse bakover. Systemet rakett-pluss-gass hadde en viss bevegelsesmengde før, og har den samme etterpå. Går gassen bakover, må raketten gå forover. Det er alt — samme fysikk som når du står på skøyter og kaster en ryggsekk fra deg.

Om prioriteringen: dette er «kjenne til»-stoff. Rakettdelen av sjanger M12 dukker opp i rundt to av ti sett (~20 %), og når den kommer, er det som regel ett spørsmål med én formel. Målet med denne løkka er derfor beskjedent: at du kjenner igjen formen, vet hvilken vei fortegnet går, og kan sette inn. Bruk tolv minutter, ikke tretti.

Utstøtsfart

u

📜Rakettligningen

Se på raketten i det øyeblikket den har massen

m

og farten

v

. I løpet av et lite tidsintervall støter den ut massen

\lvert dm\rvert

med farten

u

bakover relativt seg selv, og får selv fartsøkningen

dv

. Uten ytre krefter er bevegelsesmengden bevart, og regnskapet blir

$m\,dv = -u\,dm.$

Minustegnet er hele poenget: $dm$ er negativ (rakettens masse avtar), så $dv$ blir positiv. Del på $m$ og integrér fra starttilstanden $(m_0, v_0)$ til slutt-tilstanden $(m, v)$ :

$\int_{v_0}^{v} dv = -u\int_{m_0}^{m}\frac{dm}{m} \quad\Longrightarrow\quad \Delta v = u\ln\frac{m_0}{m}.$

Integralet $\int dm/m = \ln m$ står i Rottmann. Løst for massen:

$\boxed{\ \Delta v = u\ln\frac{m_0}{m}, \qquad m = m_0e^{-\Delta v/u}\ }$

Fortegnet er verdt en advarsel. Eksponenten er negativ: massen synker når farten øker. Får du en eksponent uten minustegn, gir formelen en sluttmasse som er større enn startmassen — og en rakett som blir tyngre av å brenne drivstoff, finnes ikke. Kontrollen tar ett blikk: er $m < m_0$ ?

Intuisjon: logaritmen forteller at fartsgevinsten går på masseforhold, ikke på massemengde. Å brenne halve massen gir $\Delta v = u\ln 2 = 0{,}69u$ , uansett om raketten er stor eller liten. Vil du ha $\Delta v = 3u$ , må masseforholdet være $e^3 = 20$ — altså må 95 prosent av startmassen være drivstoff. Det er derfor raketter er nesten bare tank, og det er derfor de bygges i trinn som kastes av underveis.

Formelen står ikke på det utdelte arket. Impulsbevarelsen gjør det, og logaritmeintegralet står i Rottmann; selve rakettligningen [må kunne brukes eller utledes aktivt].

Skyvekraft

F = u\left\lvert\frac{dm}{dt}\right\rvert.

Massebrøk og drivstoffandel

m/m_0 = e^{-\Delta v/u}

✏️Eksempel 3: rakettrinnet

Et rakettrinn har startmasse $m_0 = 5{,}00\cdot10^{4}\,\text{kg}$ og en motor med utstøtsfart $u = 2\,800\,\text{m/s}$ . Motoren brenner drivstoff med massestrømmen $250\,\text{kg/s}$ .

a) Hvor stor skyvekraft gir motoren?
b) Trinnet skal øke farten med $\Delta v = 3\,200\,\text{m/s}$ . Hvor stor er massen når motoren stopper, og hvor mye drivstoff er brent?
c) Hvor lenge brenner motoren?
d) Hvor stor er akselerasjonen ved start, rett over bakken, og hvor stor er den ved slutten av brenningen?

F = u\left\lvert\frac{dm}{dt}\right\rvert = 2\,800\,\text{m/s} \cdot 250\,\text{kg/s} = 7{,}00\cdot10^{5}\,\text{N} = 700\,\text{kN}.

b) Symbolsk utledning. Rakettligningen løst for massen: $m = m_0e^{-\Delta v/u}$ .

Rask vei til tall. Regn eksponenten først, med fire siffer:
$\frac{\Delta v}{u} = \frac{3\,200}{2\,800} = 1{,}1429, \qquad e^{-1{,}1429} = 0{,}31891.$
$m = 5{,}00\cdot10^{4}\,\text{kg} \cdot 0{,}31891 = 15\,945{,}3\,\text{kg} \approx 1{,}59\cdot10^{4}\,\text{kg}.$
Brent drivstoff:
$m_0 - m = 5{,}00\cdot10^{4} - 15\,945{,}3\,\text{kg} = 34\,054{,}7\,\text{kg} \approx 3{,}41\cdot10^{4}\,\text{kg}.$
Altså er $68{,}1$ prosent av startmassen brent for å få $3\,200\,\text{m/s}$ .

Fortegnskontroll. $15\,945{,}3\,\text{kg}$ er mindre enn $50\,000\,\text{kg}$ . Hadde du glemt minustegnet i eksponenten, ville du fått $5{,}00\cdot10^{4} \cdot e^{+1{,}1429} = 156\,786\,\text{kg}$ — altså en rakett som ble tyngre av å brenne. Det tallet ligger som et ferdig svaralternativ i denne sjangeren.

c) Brenntiden er brent masse delt på massestrømmen:
$t = \frac{34\,054{,}7\,\text{kg}}{250\,\text{kg/s}} = 136{,}2\,\text{s} \approx 136\,\text{s},$
altså litt over to minutter.

d) Ved start må skyvekraften også bære tyngden:
$a_0 = \frac{F}{m_0} - g = \frac{7{,}00\cdot10^{5}}{5{,}00\cdot10^{4}}\,\text{m/s}^2 - 9{,}81\,\text{m/s}^2 = 14{,}00 - 9{,}81\,\text{m/s}^2 = 4{,}19\,\text{m/s}^2.$
Ved slutten er massen nede i $1{,}59\cdot10^{4}\,\text{kg}$ , mens skyvekraften er den samme:
$a = \frac{7{,}00\cdot10^{5}}{15\,945{,}3}\,\text{m/s}^2 - 9{,}81\,\text{m/s}^2 = 43{,}90 - 9{,}81\,\text{m/s}^2 = 34{,}1\,\text{m/s}^2.$

Det er en åtte ganger så stor akselerasjon. Grunnen er at motoren yter det samme hele veien, mens massen den skal flytte, er blitt tre ganger mindre. Det er derfor mannskapet kjenner den hardeste påkjenningen rett før et trinn kobles av, ikke ved oppskytingen — og derfor motorene i praksis strupes ned mot slutten.

Sluttsjekk av enheter. Skyvekraften: $\text{(m/s)}\cdot\text{(kg/s)} = \text{N}$ . ✔ Massen: kilogram ganget med et rent tall. ✔ Brenntiden: $\text{kg}/(\text{kg/s}) = \text{s}$ . ✔

📝Oppgave 5

Sjanger M12, rakettdelen

Et rakettrinn har utstøtsfart $u = 3\,200\,\text{m/s}$ og skal brenne til startmassen er redusert til en fjerdedel, altså masseforholdet $m_0/m = 4{,}00$ .

a) Hvor stor fartsøkning gir det?
b) Motoren har massestrømmen $180\,\text{kg/s}$ . Hvor stor er skyvekraften?
c) En vanlig feil er å regne fartsøkningen som $u \cdot 4{,}00$ . Hvorfor er det galt, og hva måtte masseforholdet vært for at $\Delta v = 4{,}00u$ skulle stemme?

Typiske feil — og tierpotensfellen i kubikkroten

Å bruke omløpstiden i timer eller minutter. Dette er sjangerens dyreste feil, og den er lett å gjøre fordi oppgaveteksten alltid oppgir timer. Setter du 24 inn i stedet for

86\,400

, blir radien 235 ganger for liten:

180

km i stedet for

42\,200

km. Feilen gir alltid et alternativ som ser regnbart ut. Vanen som fjerner den: skriv «

T = \ldots\,\text{s}

» som første linje i utregningen, hver gang.

Å blande $v$ og $\omega$ i sentripetalleddet (felle #5 — feil fortegn eller feil størrelse satt inn i en kraftkomponent). Sentripetalakselerasjonen er $v^2/r$ eller $\omega^2 r$ — aldri $\omega^2/r$ og aldri $v^2r$ . Enhetskontrollen tar ett sekund: $v$ måles i m/s, $\omega$ i rad/s, altså $1/\text{s}$ . Sett inn enhetene og se om du får $\text{m/s}^2$ .

Å glemme jordradien, eller å trekke den fra to ganger. Baneradien er $r = R_\text{jord} + h$ , og spørsmålet om «høyden over bakken» krever at du trekker $R_\text{jord}$ fra helt til slutt. To disipliner hjelper: skriv alltid ned hvilken av de to du har regnet ut, og gjør fratrekket som siste linje.

Å ta kvadratroten der det skal være kubikkrot. $r = (GMT^2/4\pi^2)^{1/3}$ har en tredjerot fordi $T^2$ er proporsjonal med $r^3$ . Kvadratroten gir $2{,}7\cdot10^{8}\,\text{km}$ , som er utenfor jord-månesystemet. Størrelsesordenskontrollen fanger den umiddelbart: jordbaner har $r$ mellom $6{,}4\cdot10^{6}$ og omtrent $4{,}2\cdot10^{7}\,\text{m}$ .

Å snu fortegnet i rakettligningen. $m = m_0e^{-\Delta v/u}$ : eksponenten er negativ, og sluttmassen er mindre enn startmassen. Uten minustegnet får du en rakett som blir tyngre av å brenne drivstoff. Kontrollen er ett blikk på om $m < m_0$ .

Å måle utstøtsfarten i forhold til bakken. $u$ er farten gassen har relativt raketten. Det er nettopp derfor rakettligningen har en logaritme og ikke bare formen $\Delta v = u \cdot (\text{masseforhold})$ .

Og tierpotensfellen som er spesiell for dette kapitlet (felle #16 — avrundingsfeil eller potensfeil som lander på et nabo-alternativ). Kubikkroten er en venn og en fiende samtidig. Vennen: en feil på 10 prosent i $T^2$ blir bare 3 prosent i $r$ , så avrunding underveis er mindre farlig her enn ellers i boka. Fienden: nettopp fordi kubikkroten demper, ser et svar med feil tierpotens ofte «nesten riktig» ut i sifrene — $1{,}44\cdot10^{8}$ har de samme første sifrene som ingenting, men står side om side med $4{,}22\cdot10^{7}$ i en alternativliste. Regelen er derfor: regn med standardform hele veien ( $3{,}986\cdot10^{14}$ , ikke sifferrekken), og gjør Kepler-kontrollen $T^2/r^3 = 9{,}905\cdot10^{-14}\,\text{s}^2/\text{m}^3$ til slutt. Den kontrollen er ufølsom for avrunding og treffsikker på potenser.

📝Oppgave 6

Eksamensnivå, sjanger…

En satellitt går i sirkelbane rundt jorda med omløpstid $T = 90{,}0$ minutter.

a) Finn baneradien og høyden over bakken.
b) Finn banefarten.
c) Kontrollér svaret mot Keplers tredje lov.
d) En annen satellitt går i bane $400$ km over bakken (som romstasjonen i eksempel 1). Hvilken av de to ligger lavest, og stemmer det med omløpstidene?

📝Oppgave 7

Eksamensnivå, sjanger…

Et romfartøy skal øke farten med $\Delta v = 4{,}00\cdot10^{3}\,\text{m/s}$ med en motor som har utstøtsfart $u = 2{,}50\cdot10^{3}\,\text{m/s}$ .

Hvor stor andel av startmassen må være drivstoff?

A $20{,}2\,\%$ · B $46{,}5\,\%$ · C $37{,}5\,\%$ · D $79{,}8\,\%$ · E $55{,}1\,\%$ · F $63{,}2\,\%$

📝Oppgave 8

Eksamensnivå, sjanger…

En satellitt skal stå stille sett fra et punkt på ekvator. Hvor høyt over jordoverflaten går den?

A $42\,240\,\text{km}$ · B $35\,870\,\text{km}$ · C $20\,240\,\text{km}$ · D $60\,680\,\text{km}$ · E $29\,500\,\text{km}$ · F $137\,500\,\text{km}$

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard- og repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Keplers tredje lov

\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{GM} = \text{konstant}.

Unnslipningsfart

v_\text{unn} = \sqrt{\frac{2GM}{r}}.

Vektløshet i bane er fritt fall

400

Stjernedøgn og soldøgn

86\,400\,\text{s}

Kubikkroten som demper og som felle

r = (GMT^2/4\pi^2)^{1/3}

Når massen faller ut i baneoppgaver

m

Sjanger M12 — gravitasjon, satellittbane og rakett

v = 2\pi r/T

Symbol- og formelliste

Repetisjonsoppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.