3.1 Bevegelsesmengde, impuls og støt

Impulsbevarelse, elastisk og fullstendig uelastisk støt med energitap, og impuls fra en tidsavhengig kraft $\int F\,dt$.

55 min

8 oppgaver

Bevegelsesmengdeimpulsstøt

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.2Arbeid, energibevaring og rullende legeme ($K=\tfrac{7}{10}mv^2$)

Brukes videre i

3.2Gravitasjon, satellittbaner og rakettligning

Sjanger M6 — bevegelsesmengde og støt, impuls, altså «to legemer treffer hverandre, finn fartene etterpå eller hvor mye energi som gikk tapt» — dukker opp i praktisk talt alle sett (~100 %). Den hører til mekanikkhalvdelen, spørsmål 1–20. Prioritet: høyeste prioritet — dette må sitte.

Sjangeren har tre faste ansikter, og det er verdt å kjenne dem igjen på tre sekunder:

Det uelastiske støtet. To legemer treffer hverandre og blir sittende sammen. Bevegelsesmengden er bevart, energien er ikke. Spørsmålet er felles fart, energitap, eller hvor stor andel av energien som gikk tapt.

Det elastiske støtet. To legemer treffer hverandre og spretter fra hverandre uten energitap. Nå er både bevegelsesmengden og energien bevart, og det gir to ligninger med to ukjente — som heldigvis er løst en gang for alle i to ferdige fartsformler.

Impulsen fra en tidsavhengig kraft. En ball treffer en racket, en fot treffer en fotball, en hammer treffer en spiker. Kraften varierer voldsomt gjennom de få millisekundene kontakten varer, men arealet under $F(t)$ -kurven er hele endringen i bevegelsesmengde.

Én felle bærer flere distraktorer enn de andre til sammen: å bruke energibevaring i et uelastisk støt. Det er en av de mest naturlige tankefeilene i faget, fordi energibevaring har vært det mektigste verktøyet siden kap. 2.2. I et støt der legemene blir sittende sammen, er den rett og slett gal — og tallet den gir, ligger som et ferdig svaralternativ.

Om tidsbruken. Kapitlet er anslått til 55 minutter, delt i fire løkker med tidsanslag og ett pausepunkt.

Forkunnskaper — sist du var her

Dette kapitlet bygger på kap. 2.2, der du satte opp energiregnskap og brukte arbeid–energisetningen, og på kap. 2.1, der du satte opp Newtons 2. lov komponentvis. Skal du lese et areal under en graf som et integral, står teknikken i Bestemt integral som grenseverdi.

De tre relasjonene du trenger ferdig oppfrisket:

$\sum \mathbf{F} = m\mathbf{a}$
Newtons 2. lov. I dette kapitlet skriver vi den om til en form som er langt nyttigere for støt, nemlig $\sum \mathbf{F} = d\mathbf{p}/dt$ . Loven står på det utdelte formelarket i begge former.

$K = \tfrac12 mv^2$
Kinetisk energi. Vi trenger den til å regne ut hvor mye energi som forsvinner i et støt, og til å uttrykke betingelsen for at et støt er elastisk. Den står på arket.

$v^2 = 2g\,\Delta y$
Energibevaring for et legeme som glir eller svinger fritt, fra kap. 1.2 og kap. 2.2. Vi trenger den i den ballistiske pendelen i Løkke 4 — men bare etter støtet, aldri gjennom det.

Én ny idé kommer her, og den er verdt å forberede seg på. Bevegelsesmengde er en vektor, mens energi er en skalar. Det betyr at bevegelsesmengden til to legemer som beveger seg mot hverandre, kan summere til null, mens energien deres aldri kan. Fortegnet er derfor ikke en detalj i dette kapitlet — det er halve regningen.

Symbolmerknad, og en av bokas viktigste symbolkollisjoner. Her betyr $\mathbf{p}$ bevegelsesmengde, en vektor med enheten $\text{kg}\cdot\text{m/s}$ . I termodelen Del 6–11 betyr den samme bokstaven trykk, en skalar med enheten pascal. De to har ingenting med hverandre å gjøre, og du vil aldri møte dem i samme kapittel — men det er verdt å vite nå, slik at du ikke blir forvirret senere. Symbolet $\mathbf{J}$ er impuls, ikke joule (som er enheten J for energi); sammenhengen avgjør, og impulsen har enheten $\text{N}\cdot\text{s}$ . Symbolet $S$ brukes i denne boka som taustrekk i mekanikken og som entropi i termodelen; her opptrer det ikke.

Løkke 1 — bevegelsesmengde og impuls (~14 min)

Ta imot en fotball med hendene. Du gjør det instinktivt riktig: du følger etter ballen med hendene i stedet for å møte den stivt. Hvorfor?

Fordi ballens bevegelsesmengde skal til null uansett hva du gjør — den er gitt av massen og farten. Det du kan velge, er hvor lang tid det skal ta. Og siden kraften er endringen i bevegelsesmengde per tid, betyr lengre tid mindre kraft. Det er samme fysikk som ligger bak kollisjonsputer, fallunderlag på lekeplasser og knebøy når du lander etter et hopp.

Dette er hele innholdet i impulsbegrepet, og det er verdt å si det i én linje før vi formaliserer: en gitt endring i bevegelsesmengde kan oppnås med en stor kraft i kort tid eller en liten kraft i lang tid.

Bevegelsesmengde

\mathbf{p} = m\mathbf{v}.

Symbolkollisjonen:

p

som bevegelsesmengde og som trykk

p

Impuls

\mathbf{J} = \Delta\mathbf{p} = \int \mathbf{F}\,dt.

📜Newtons 2. lov i impulsform, og impulsbevarelse

Impulsformen. Newtons 2. lov kan skrives om når massen er konstant:

$\sum \mathbf{F} = m\mathbf{a} = m\frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d(m\mathbf{v})}{dt} = \frac{d\mathbf{p}}{dt}.$

Intuisjon: kraft er ikke «det som gir fart», men det som endrer bevegelsesmengde, og hvor fort. Formen $\sum \mathbf{F} = d\mathbf{p}/dt$ er faktisk den Newton selv brukte, og den er mer generell enn $m\mathbf{a}$ — den gjelder også når massen endrer seg, som for en rakett (kap. 3.2).

Integrerer vi over tiden et støt varer, får vi impulssetningen:

$\int \mathbf{F}\,dt = \Delta\mathbf{p} \quad\Longleftrightarrow\quad \mathbf{J} = \mathbf{p}_2 - \mathbf{p}_1.$

Impulsbevarelse. Ser vi på to legemer som støter mot hverandre, er kreftene de utøver på hverandre like store og motsatt rettet — det er Newtons 3. lov. De virker dessuten i nøyaktig like lang tid. Derfor er impulsene de gir hverandre, like store og motsatt rettede, og summen av de to bevegelsesmengdene er uendret:

$\sum m\mathbf{v} = \sum m\mathbf{v}' \quad\Longleftrightarrow\quad m_1\mathbf{v}_1 + m_2\mathbf{v}_2 = m_1\mathbf{v}_1' + m_2\mathbf{v}_2'.$

Betingelsen, som må sies hver gang: summen av ytre krefter på systemet må være null, eller så liten at impulsen fra dem er ubetydelig i den korte tiden støtet varer. Det siste er nesten alltid tilfellet på eksamen: tyngden virker jo på legemene, men over to millisekunder gir den en impuls som er forsvinnende liten sammenlignet med støtkreftene.

Dette er sjangerens ryggrad. Bevegelsesmengden er bevart i alle støt — elastiske, uelastiske og alt mellom. Energien er bare bevart i de elastiske. Det er den ene setningen hele kapitlet hviler på.

Impuls som areal under

F(t)

\mathbf{J} = \int \mathbf{F}\,dt

✏️Eksempel 1: tennisserven — fra kraftpuls til fart

En tennisball med masse $58{,}0\,\text{g}$ ligger i ro og treffes av en racket. Kraften på ballen vokser rettlinjet fra null til $240\,\text{N}$ og faller deretter rettlinjet tilbake til null. Hele kontakten varer $20{,}0\,\text{ms}$ .

a) Finn impulsen ballen får.
b) Finn ballens fart rett etter støtet.
c) Finn den største akselerasjonen ballen opplever, og sammenlign den med $g$ .
d) Hvor stor er middelkraften?

a) Trekantpulsen har arealet

J = \tfrac12 F_\text{maks}\tau = \tfrac12 \cdot 240\,\text{N} \cdot 0{,}0200\,\text{s} = 2{,}40\,\text{N}\cdot\text{s}.

b) Symbolsk utledning. Impulsen er endringen i bevegelsesmengde, og ballen startet i ro:
$J = \Delta p = mv - 0 \quad\Longrightarrow\quad v = \frac{J}{m}.$

Rask vei til tall. Massen må i kilogram: $58{,}0\,\text{g} = 0{,}0580\,\text{kg}$ .
$v = \frac{2{,}40\,\text{N}\cdot\text{s}}{0{,}0580\,\text{kg}} = 41{,}379\,\text{m/s} \approx 41{,}4\,\text{m/s}.$
Det er $149\,\text{km/t}$ — en realistisk serv.

Benevningskontroll: $\text{N}\cdot\text{s}/\text{kg} = (\text{kg}\cdot\text{m/s}^2)\cdot\text{s}/\text{kg} = \text{m/s}$ . Det stemmer.

c) Toppkraften gir toppakselerasjonen:
$a_\text{maks} = \frac{F_\text{maks}}{m} = \frac{240\,\text{N}}{0{,}0580\,\text{kg}} = 4\,137{,}9\,\text{m/s}^2 \approx 4{,}14 \cdot 10^3\,\text{m/s}^2.$
Det er $4\,138/9{,}81 = 422$ ganger $g$ . Slike akselerasjoner er helt vanlige i støt, og de er en god påminnelse om hvorfor støt må behandles med impuls og ikke med konstant-akselerasjonsformler.

En pen kontroll. For en symmetrisk trekantpuls er $J = \tfrac12F_\text{maks}\tau$ og $\Delta v = J/m$ , altså
$a_\text{maks} = \frac{F_\text{maks}}{m} = \frac{2J}{m\tau} = \frac{2\,\Delta v}{\tau} = \frac{2 \cdot 41{,}379}{0{,}0200}\,\text{m/s}^2 = 4\,137{,}9\,\text{m/s}^2.$
Samme tall, uten å gå via kraften. Sammenhengen $a_\text{maks} = 2\Delta v/\tau$ er verdt å kjenne — den sier at toppakselerasjonen er dobbelt så stor som gjennomsnittsakselerasjonen $\Delta v/\tau$ .

d) Middelkraften er impulsen delt på tiden:
$\bar{F} = \frac{J}{\tau} = \frac{2{,}40\,\text{N}\cdot\text{s}}{0{,}0200\,\text{s}} = 120\,\text{N},$
altså nøyaktig halvparten av toppkraften — som en trekant krever.

Den vanligste feilen her. Å regne arealet som $F_\text{maks}\tau = 4{,}80\,\text{N}\cdot\text{s}$ og få $v = 82{,}8\,\text{m/s}$ . Det er dobbelt så stort, og det ser like plausibelt ut. Trekanten er halve rektangelet.

📝Oppgave 1

(Innstegsoppgave — regn bevegelsesmengde og impuls.)

a) Hvor stor bevegelsesmengde har en bil med masse $1\,450\,\text{kg}$ og fart $22{,}0\,\text{m/s}$ ?

b) En ball med masse $45{,}0\,\text{g}$ har farten $30{,}0\,\text{m/s}$ mot en vegg. Den spretter tilbake med farten $22{,}0\,\text{m/s}$ . Hvor stor impuls fikk ballen fra veggen?

c) Kontakten med veggen varte $8{,}00\,\text{ms}$ . Hvor stor var middelkraften?

📝Oppgave 2

Sjanger M6

En ball med masse $60{,}0\,\text{g}$ treffer et gulv med farten $6{,}00\,\text{m/s}$ og spretter opp igjen med samme fart. Kontakten varer $12{,}0\,\text{ms}$ , og kraften kan regnes som en symmetrisk trekantpuls.

a) Finn impulsen ballen får fra gulvet.
b) Finn toppkraften.
c) Vis at toppakselerasjonen kan skrives $a_\text{maks} = 4v/\tau$ , og regn den ut.

Løkke 2 — det uelastiske støtet (~14 min)

Nå til støt mellom to legemer. Vi begynner med det enkleste tilfellet: to legemer som treffer hverandre og blir sittende sammen. En godsvogn som kobles til en annen, en pil som treffer et blink, en kule som borer seg inn i en sandsekk.

Bevegelsesmengden er bevart. Kreftene legemene utøver på hverandre, er like store og motsatt rettet (Newtons 3. lov) og virker like lenge, så de gir like store og motsatt rettede impulser. Summen endres ikke:

$mv_0 = (m + M)v' \quad\Longrightarrow\quad v' = \frac{m}{m + M}v_0,$

når $M$ ligger i ro før støtet.

Intuisjon: den samme bevegelsesmengden må nå fordeles på en større masse, så farten blir mindre. Brøken $m/(m+M)$ er alltid mellom 0 og 1, og den sier hvor stor andel av den samlede massen som «hadde farten» fra før.

Energien er ikke bevart. Og dette er det avgjørende punktet i hele kapitlet. Deformasjon, varme og lyd tar en del av den kinetiske energien, og det er ingen måte å få den tilbake. Regn ut hvor mye:

$K_0 = \tfrac12mv_0^2, \qquad K' = \tfrac12(m+M)v'^2 = \tfrac12(m+M)\frac{m^2v_0^2}{(m+M)^2} = \tfrac12\frac{m^2}{m+M}v_0^2.$

Differansen blir

$\Delta K = K_0 - K' = \tfrac12mv_0^2\left(1 - \frac{m}{m+M}\right) = \tfrac12\frac{mM}{m+M}v_0^2,$

og andelen som går tapt, er den forbausende enkle

$\frac{\Delta K}{K_0} = \frac{M}{m+M}.$

Intuisjon: andelen tapt energi er den brøkdelen av den samlede massen som sto stille før støtet. En liten kule i en stor kloss taper nesten alt; to like masser taper nøyaktig halvparten; en stor kloss som treffer en liten kule, taper nesten ingenting.

Merk at energien ikke er «borte». Den er blitt indre energi i de to legemene — varme, permanent deformasjon, lydbølger. Total energi er bevart; det er den mekaniske energien som ikke er.

Støt

20\,\text{ms}

Fullstendig uelastisk støt

M

Isolert system, indre og ytre krefter

Et system der summen av de ytre kreftene er null, slik at den totale bevegelsesmengden er konstant. Skillet mellom indre og ytre krefter er hele grunnen til at impulsbevarelse virker. Indre krefter er de legemene i systemet utøver på hverandre; de kommer alltid i par som er like store og motsatt rettede (Newtons 3. lov) og kan derfor aldri endre systemets totale bevegelsesmengde. Ytre krefter kommer utenfra og kan endre den. I støtoppgaver velger vi systemet slik at støtkreftene blir indre, og argumenterer for at de ytre kreftene — tyngden, friksjonen, snordraget — gir en ubetydelig impuls i den korte tiden støtet varer. Det er verdt å merke seg at nettopp dette argumentet bryter sammen i fasen etter støtet i en ballistisk pendel, der snoren er en ytre kraft som virker lenge.

📜Fullstendig uelastisk støt: felles fart og energitap

For et legeme med masse

m

og fart

v_0

som treffer et legeme med masse

M

i ro, og blir sittende fast:

$v' = \frac{m}{m+M}v_0, \qquad \Delta K = \tfrac12\frac{mM}{m+M}v_0^2, \qquad \frac{\Delta K}{K_0} = \frac{M}{m+M}$

Grensetilfellene er verdt å ha i hodet som kontroller:

Situasjon	Felles fart	Andel energi tapt
$M \ll m$ (tung treffer lett)	nesten $v_0$	nesten $0$
$M = m$ (like masser)	$v_0/2$	$1/2$
$M \gg m$ (lett treffer tung)	nesten $0$	nesten $1$

Kula som skytes inn i en tung kloss, taper altså nesten hele sin kinetiske energi — men all bevegelsesmengden er der fortsatt, fordelt på en mye større masse.
Én forenkling verdt å merke seg: den etterspurte energiandelen er ofte lettere å finne enn energitapet i joule. Andelen er bare

M/(m+M)

, og den krever ingen kjennskap til farten i det hele tatt.
Og en advarsel om hva du IKKE kan bruke. Energibevaring gjelder ikke gjennom dette støtet. Setter du

\tfrac12mv_0^2 = \tfrac12(m+M)v'^2

, får du

v'_\text{feil} = v_0\sqrt{\frac{m}{m+M}},

som er større enn det riktige svaret med faktoren $\sqrt{(m+M)/m}$ . Tallet er alltid plausibelt, og det står i alternativlista.

✏️Eksempel 2: godsvognene som kobles

En godsvogn med masse $12{,}0 \cdot 10^3\,\text{kg}$ ruller med farten $3{,}00\,\text{m/s}$ mot en stillestående vogn med masse $20{,}0 \cdot 10^3\,\text{kg}$ . Vognene kobles sammen i støtet. Regn med at rullemotstanden er ubetydelig.

a) Finn farten til de sammenkoblede vognene.
b) Finn den kinetiske energien før og etter støtet.
c) Hvor mye energi gikk tapt, og hvor stor andel er det?
d) Hva ville farten blitt hvis du feilaktig brukte energibevaring?

Sett

m = 12{,}0 \cdot 10^3\,\text{kg}

M = 20{,}0 \cdot 10^3\,\text{kg}

a) Symbolsk utledning. Bevegelsesmengden er bevart:
$mv_0 = (m+M)v' \quad\Longrightarrow\quad v' = \frac{m}{m+M}v_0.$

Rask vei til tall.
$v' = \frac{12{,}0}{32{,}0} \cdot 3{,}00\,\text{m/s} = 0{,}37500 \cdot 3{,}00\,\text{m/s} = 1{,}1250\,\text{m/s} \approx 1{,}13\,\text{m/s}.$
Legg merke til at massene kan settes inn i tonn, siden bare forholdet inngår.

b)
$K_0 = \tfrac12mv_0^2 = 0{,}500 \cdot 12{,}0 \cdot 10^3 \cdot 9{,}00\,\text{J} = 54{,}0 \cdot 10^3\,\text{J} = 54{,}0\,\text{kJ},$
$K' = \tfrac12(m+M)v'^2 = 0{,}500 \cdot 32{,}0 \cdot 10^3 \cdot 1{,}2656\,\text{J} = 20{,}25 \cdot 10^3\,\text{J} \approx 20{,}3\,\text{kJ}.$

c)
$\Delta K = 54{,}0 - 20{,}25\,\text{kJ} = 33{,}75\,\text{kJ} \approx 33{,}8\,\text{kJ}.$
Andelen:
$\frac{\Delta K}{K_0} = \frac{33{,}75}{54{,}0} = 0{,}62500 = 62{,}5\ \%.$

Kontrollen som må stemme: andelen skal være $M/(m+M)$ :
$\frac{20{,}0}{32{,}0} = 0{,}62500. \quad \checkmark$
Nøyaktig samme tall, og regnet helt uavhengig av fartene. Det er den raskeste veien til en energiandel, og den er verdt å bruke som førstevalg på eksamen.

Vi kan også kontrollere formelen for tapet direkte:
$\Delta K = \tfrac12\frac{mM}{m+M}v_0^2 = 0{,}500 \cdot \frac{12{,}0 \cdot 20{,}0}{32{,}0} \cdot 10^3 \cdot 9{,}00\,\text{J} = 0{,}500 \cdot 7{,}500 \cdot 10^3 \cdot 9{,}00\,\text{J} = 33{,}75\,\text{kJ}. \quad \checkmark$

d) Med energibevaring, som er galt her:
$\tfrac12mv_0^2 = \tfrac12(m+M)v'^2 \quad\Longrightarrow\quad v'_\text{feil} = v_0\sqrt{\frac{m}{m+M}} = 3{,}00\sqrt{0{,}37500}\,\text{m/s},$
$v'_\text{feil} = 3{,}00 \cdot 0{,}61237\,\text{m/s} = 1{,}8371\,\text{m/s} \approx 1{,}84\,\text{m/s}.$
Det er 63 prosent for høyt. Og legg merke til hvorfor feilen ikke avslører seg selv: $1{,}84\,\text{m/s}$ er et helt rimelig tall for to sammenkoblede godsvogner. Den eneste måten å unngå den er å stille spørsmålet før du regner: henger legemene sammen etterpå? Da er energien ikke bevart.

Sluttsjekk. Farten etter er lavere enn før, som den må være når massen har vokst. Energien etter er lavere enn før, som den må være i et uelastisk støt. Og andelen tapt stemmer med masseforholdet.

📝Oppgave 3

Sjanger M6

En pil med masse $0{,}900\,\text{kg}$ treffer en stillestående blokk med masse $2{,}70\,\text{kg}$ og blir sittende fast. Pilas fart før støtet er $5{,}50\,\text{m/s}$ .

a) Finn farten rett etter støtet.
b) Finn den kinetiske energien før og etter.
c) Hvor stor andel av energien gikk tapt? Finn den på to måter.

📝Oppgave 4

Sjanger M6, A–F-format

En kloss med masse $0{,}400\,\text{kg}$ glir med farten $9{,}00\,\text{m/s}$ og treffer en stillestående kloss med masse $1{,}10\,\text{kg}$ . De to blir sittende sammen.

Hvor stor er farten rett etter støtet?

A $3{,}27\,\text{m/s}$ · B $4{,}65\,\text{m/s}$ · C $2{,}40\,\text{m/s}$ · D $6{,}60\,\text{m/s}$ · E $4{,}80\,\text{m/s}$ · F $4{,}50\,\text{m/s}$

— naturlig pausepunkt —

Løkke 3 — det elastiske støtet (~14 min)

Nå det andre ytterpunktet: et støt der ingen mekanisk energi går tapt. To biljardkuler, to stålkuler i en pendelrekke, to molekyler i en gass. Ingen virkelige makroskopiske støt er helt elastiske, men mange er nær nok til at idealiseringen er nyttig.

Nå har vi to bevaringslover, og altså to ligninger:

$mv_0 = mv_1' + Mv_2' \qquad \text{og} \qquad \tfrac12mv_0^2 = \tfrac12mv_1'^2 + \tfrac12Mv_2'^2.$

To ligninger, to ukjente. Regningen er en smule kronglete, men den er gjort en gang for alle, og resultatet er to formler du kan slå opp:

$v_1' = \frac{m - M}{m + M}v_0, \qquad v_2' = \frac{2m}{m + M}v_0.$

Merk fortegnet i den første formelen nøye. Telleren er $m - M$ , altså den innkommende massen minus målets. Er $m < M$ — en lett kule treffer en tung — blir $v_1'$ negativ: kula spretter tilbake. Det er ikke en regnefeil, det er svaret. Fortegnet er informasjon om retning.

Intuisjon gjennom tre grensetilfeller:

Like masser ( $m = M$ ): $v_1' = 0$ og $v_2' = v_0$ . Den innkommende kula stopper helt, og målkula overtar hele farten. Det er biljardspillerens grunnstøt, og det er nettopp derfor det virker.

Lett treffer tungt ( $m \ll M$ ): $v_1' \to -v_0$ og $v_2' \to 0$ . Kula spretter tilbake med nesten samme fart, og veggen rører seg nesten ikke. Det er en ball mot en murvegg.

Tungt treffer lett ( $m \gg M$ ): $v_1' \to v_0$ og $v_2' \to 2v_0$ . Den tunge kula fortsetter nesten uforstyrret, og den lette skytes av gårde med dobbelt fart. Det er en golfklubb mot en golfball.

Og en kontroll som er lettere å huske enn formlene: i et elastisk støt snur den relative farten mellom legemene, uten å endre størrelse:

$v_2' - v_1' = v_0.$

Nærmer de seg med $4\,\text{m/s}$ før støtet, fjerner de seg med $4\,\text{m/s}$ etter. Den relasjonen er en ligning du kan bruke i stedet for den kvadratiske energiligningen, og det gjør regningen langt raskere hvis du må utlede formlene selv.

Elastisk støt

\tfrac12mv_0^2 = \tfrac12mv_1'^2 + \tfrac12Mv_2'^2 \quad\Longleftrightarrow\quad \Delta K = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad v_2' - v_1' = v_0.

Fartsformlene for elastisk støt mot legeme i ro

M

Den relative farten snur i et elastisk støt

v_2' - v_1' = v_1 - v_2.

Massesenterets fart er uendret

v_\text{CM} = \frac{\sum m_i v_i}{\sum m_i}

✏️Eksempel 3: den elastiske kula, og de tre grensetilfellene

En kule med masse $0{,}150\,\text{kg}$ og fart $4{,}00\,\text{m/s}$ treffer en stillestående kule med masse $0{,}450\,\text{kg}$ i et elastisk støt.

a) Finn fartene til begge kulene etter støtet.
b) Kontrollér at både bevegelsesmengden og energien er bevart.
c) Kontrollér at den relative farten snudde.
d) Hva blir svarene hvis målkula i stedet har massen $0{,}150\,\text{kg}$ , eller $15{,}0\,\text{kg}$ ?

a) Rask vei til tall. Sett inn i fartsformlene, med

m = 0{,}150\,\text{kg}

M = 0{,}450\,\text{kg}

, altså

m + M = 0{,}600\,\text{kg}

v_1' = \frac{0{,}150 - 0{,}450}{0{,}600} \cdot 4{,}00\,\text{m/s} = \frac{-0{,}300}{0{,}600} \cdot 4{,}00\,\text{m/s} = -0{,}500 \cdot 4{,}00\,\text{m/s} = -2{,}00\,\text{m/s},

v_2' = \frac{2 \cdot 0{,}150}{0{,}600} \cdot 4{,}00\,\text{m/s} = 0{,}500 \cdot 4{,}00\,\text{m/s} = 2{,}00\,\text{m/s}.

Den innkommende kula spretter tilbake med $2{,}00\,\text{m/s}$ — det negative fortegnet er svaret, ikke en feil — og målkula går framover med $2{,}00\,\text{m/s}$ .

b) Bevegelsesmengde:
$p_\text{før} = 0{,}150 \cdot 4{,}00\,\text{kg}\cdot\text{m/s} = 0{,}600\,\text{kg}\cdot\text{m/s},$
$p_\text{etter} = 0{,}150 \cdot (-2{,}00) + 0{,}450 \cdot 2{,}00\,\text{kg}\cdot\text{m/s} = -0{,}300 + 0{,}900\,\text{kg}\cdot\text{m/s} = 0{,}600\,\text{kg}\cdot\text{m/s}. \quad \checkmark$

Energi:
$K_\text{før} = \tfrac12 \cdot 0{,}150 \cdot 16{,}0\,\text{J} = 1{,}20\,\text{J},$
$K_\text{etter} = \tfrac12 \cdot 0{,}150 \cdot 4{,}00 + \tfrac12 \cdot 0{,}450 \cdot 4{,}00\,\text{J} = 0{,}300 + 0{,}900\,\text{J} = 1{,}20\,\text{J}. \quad \checkmark$

Legg merke til hvordan de to kontrollene fungerer ulikt: i energiregnskapet teller begge bidragene positivt, i bevegelsesmengderegnskapet trekker det negative bidraget fra. Det er skillet mellom en skalar og en vektor, i to linjer.

c)
$v_2' - v_1' = 2{,}00 - (-2{,}00)\,\text{m/s} = 4{,}00\,\text{m/s} = v_0. \quad \checkmark$
Den relative farten er den samme, med motsatt fortegn.

d) Like masser ( $M = 0{,}150\,\text{kg}$ ):
$v_1' = \frac{0}{0{,}300} \cdot 4{,}00 = 0, \qquad v_2' = \frac{0{,}300}{0{,}300} \cdot 4{,}00 = 4{,}00\,\text{m/s}.$
Den innkommende kula stopper helt, og målkula overtar hele farten. Det er biljardspillerens grunnstøt.

Mye tyngre mål ( $M = 15{,}0\,\text{kg}$ , altså hundre ganger $m$ ):
$v_1' = \frac{0{,}150 - 15{,}0}{15{,}15} \cdot 4{,}00\,\text{m/s} = -0{,}98020 \cdot 4{,}00\,\text{m/s} = -3{,}9208\,\text{m/s},$
$v_2' = \frac{0{,}300}{15{,}15} \cdot 4{,}00\,\text{m/s} = 0{,}019802 \cdot 4{,}00\,\text{m/s} = 0{,}079208\,\text{m/s} \approx 0{,}0792\,\text{m/s}.$
Kula spretter tilbake med 98 prosent av farten, og den tunge kula rører seg nesten ikke. Grensen $m \ll M$ gir $v_1' \to -v_0$ og $v_2' \to 0$ — en ball mot en murvegg.

Sluttsjekk. Alle tre tilfellene bevarer både bevegelsesmengde og energi, og i alle tre er $v_2' - v_1' = 4{,}00\,\text{m/s}$ . Den siste kontrollen er den raskeste, og den fanger nesten alle regnefeil i sjangeren.

📝Oppgave 5

Sjanger M6

En kule med masse $2{,}00\,\text{kg}$ og fart $4{,}00\,\text{m/s}$ treffer en stillestående kule med masse $0{,}500\,\text{kg}$ i et elastisk støt.

a) Finn de to fartene etter støtet.
b) Kontrollér at både bevegelsesmengden og den kinetiske energien er bevart.
c) Hvor stor andel av energien har den lette kula fått?
d) Hva er den største farten den lette kula i prinsippet kan få, uansett hvor tung den innkommende kula er?

📝Oppgave 6

(Kvalitativ oppgave — sjanger M6.) Svar i to til fire setninger på hvert punkt.

a) To biler med samme masse kjører mot hverandre med samme fart og kolliderer. Den totale bevegelsesmengden er null både før og etter. Betyr det at ingen energi gikk tapt?

b) Hvorfor kan en golfball forlate klubbhodet med større fart enn klubbhodet selv har, uten at det bryter noen bevaringslov?

c) En student skriver: «I et støt er energien bevart hvis vi bare tar med all energien, også varmen. Derfor kan jeg alltid bruke energibevaring.» Hva er riktig og hva er galt i dette?

📜Rask vei til tall (MC-oppskrift)

Fra oppgitt støt til bokstavsvar i fem trinn.

1. Hvilken lov? Bevegelsesmengden er alltid bevart:
$\sum m\mathbf{v} = \sum m\mathbf{v}'.$
Energien er bevart kun hvis støtet er elastisk. Dette ene skillet er det viktigste i sjangeren, og det avgjøres av ordene i oppgaveteksten — ikke av regningen.

2. Hvilken ene regnelinje? Avgjør støttypen først, så følger formelen:
- «blir sittende fast», «kobles», «borer seg inn i» → fullstendig uelastisk: $v' = \dfrac{m}{m+M}v_0$ .
- «elastisk», «energien er bevart», «spretter uten tap» → $v_1' = \dfrac{m-M}{m+M}v_0$ og $v_2' = \dfrac{2m}{m+M}v_0$ .
- spørres det om en energiandel i et uelastisk støt → $\dfrac{\Delta K}{K_0} = \dfrac{M}{m+M}$ , uten å regne fart i det hele tatt.
- oppgis en $F(t)$ -graf → $J =$ areal $= \Delta p$ , og $\Delta v = J/m$ .

3. Rekkefølgen på oppslagene. Fra det utdelte arket henter du $p = mv$ , $dp/dt = F$ , $\mathbf{J} = \Delta\mathbf{p} = \int\mathbf{F}\,dt$ og $K = \tfrac12mv^2$ . Fartsformlene for det elastiske støtet står ikke der og [må kunne brukes eller utledes aktivt] — den raskeste utledningen går via $v_2' - v_1' = v_0$ sammen med impulsbevarelse.

4. Hvor mange siffer? Regn massebrøken som en egen mellomverdi med fire siffer før du multipliserer med farten. Det er den utsatte størrelsen, særlig når massene ligger nær hverandre. Skal du finne en energiandel, gjør det direkte fra massene i stedet for som en differanse mellom to energier — differansen mister siffer.

5. Sjekk før du krysser av. Fem kontroller på ti sekunder:
- Fortegn: peker svaret riktig vei? En lett kule som treffer en tung elastisk, skal ha negativ $v_1'$ .
- Uelastisk grense: felles fart må ligge mellom 0 og $v_0$ , og den er alltid mindre enn $v_0/2$ når $m < M$ .
- Elastisk grense: $v_2'$ kan aldri overstige $2v_0$ .
- Energien kan ikke vokse: $K' \le K_0$ i alle støt. Får du mer energi ut enn inn, har du snudd noe.
- Enhet: m/s for fart, $\text{N}\cdot\text{s}$ for impuls, J for energi.

Løkke 4 — den ballistiske pendelen (~13 min)

Til slutt en oppgavetype som er en klassiker nettopp fordi den tvinger deg til å bruke to ulike bevaringslover etter hverandre, og til å vite hvorfor.

En kule skytes inn i en kloss som henger i en snor. Kula blir sittende fast, og klossen svinger opp til en høyde du kan måle. Ut fra høyden skal du finne kulas fart — og oppsettet var faktisk en av de første måtene å måle prosjektilfarter på.

Steg 1: støtet. Kula og klossen blir sittende sammen, så dette er et fullstendig uelastisk støt. Bevegelsesmengden er bevart, energien er ikke:

$v' = \frac{m}{m + M}v_0.$

Steg 2: svinget. Nå er støtet over. Klossen med kula i svinger som en pendel, og her er det ingen støt — bare tyngden og snordraget. Snordraget står vinkelrett på bevegelsen og gjør ikke arbeid, så den mekaniske energien er bevart:

$\tfrac12(m+M)v'^2 = (m+M)gh \quad\Longrightarrow\quad h = \frac{v'^2}{2g}.$

Kombinert, og løst baklengs for kulas fart:

$v_0 = \frac{m + M}{m}\sqrt{2gh}.$

Og nå det avgjørende: hvorfor kan vi ikke bruke samme lov i begge stegene?

Bruker du energibevaring i steg 1, får du for høy fart — energien er ikke bevart der, som Løkke 2 viste. Dette er den klassiske fella i oppgaven.

Bruker du bevegelsesmengde i steg 2, får du ikke noe svar i det hele tatt. Snoren er en ytre kraft på systemet, og den virker gjennom hele svinget — ikke bare i et par millisekunder. Bevegelsesmengden er derfor ikke bevart i svingfasen; den endres kontinuerlig fra maksimum i bunnen til null i toppen.

Regelen som følger: bevegelsesmengde gjennom støt, energi gjennom fritt svingende bevegelse. Grensen mellom de to fasene er øyeblikket rett etter at kula har stanset i klossen.

Ballistisk pendel

v' = \frac{m}{m+M}v_0, \qquad h = \frac{v'^2}{2g} \quad\Longrightarrow\quad v_0 = \frac{m+M}{m}\sqrt{2gh}.

Delvis uelastisk støt (kjenne til)

e = \frac{\lvert v_2' - v_1'\rvert}{\lvert v_1 - v_2\rvert},

✏️Eksempel 4: den ballistiske pendelen (eksamensnivå)

En kule med masse $12{,}0\,\text{g}$ skytes vannrett inn i en trekloss med masse $2{,}50\,\text{kg}$ som henger i ro i en snor. Kula blir sittende fast i klossen.

a) Finn farten til kloss og kule rett etter støtet, uttrykt ved kulas fart $v_0$ .
b) Kulas fart er $320\,\text{m/s}$ . Hvor høyt svinger klossen?
c) Hvor stor andel av kulas kinetiske energi ble borte i støtet?
d) Snorlengden er $1{,}20\,\text{m}$ . Hvor stor blir utsvingsvinkelen?
e) En student måler høyden til $11{,}9\,\text{cm}$ og skal finne kulas fart. Vis regningen.

Sett

m = 0{,}0120\,\text{kg}

M = 2{,}50\,\text{kg}

, altså

m + M = 2{,}512\,\text{kg}

a) Steg 1 — impulsbevarelse gjennom støtet. Kula og klossen blir sittende sammen:
$mv_0 = (m+M)v' \quad\Longrightarrow\quad v' = \frac{m}{m+M}v_0 = \frac{0{,}0120}{2{,}512}v_0 = 4{,}7771 \cdot 10^{-3}\,v_0.$
Bare en halv prosent av farten er igjen. Det sier hvor dominerende klossens masse er.

b) Rask vei til tall.
$v' = 4{,}7771 \cdot 10^{-3} \cdot 320\,\text{m/s} = 1{,}5287\,\text{m/s}.$
Steg 2 — energibevaring gjennom svinget. Nå er støtet over, snordraget gjør ikke arbeid, og all kinetisk energi blir potensiell:
$h = \frac{v'^2}{2g} = \frac{\left(1{,}5287\right)^2}{2 \cdot 9{,}81}\,\text{m} = \frac{2{,}3369}{19{,}62}\,\text{m} = 0{,}11910\,\text{m} \approx 11{,}9\,\text{cm}.$
Merk at massen faller ut av steg 2, siden begge sider av energiligningen har faktoren $(m+M)$ .

c) Andelen tapt er $M/(m+M)$ :
$\frac{\Delta K}{K_0} = \frac{2{,}50}{2{,}512} = 0{,}99522 = 99{,}5\ \%.$
Kontroll med tallene: $K_0 = \tfrac12 \cdot 0{,}0120 \cdot 320^2 = 614{,}4\,\text{J}$ , og
$K' = \tfrac12 \cdot 2{,}512 \cdot 2{,}3369\,\text{J} = 2{,}9350\,\text{J}.$
Tapt: $614{,}4 - 2{,}9350 = 611{,}47\,\text{J}$ , altså $611{,}47/614{,}4 = 0{,}99523$ . $\checkmark$

Nesten all energien er borte — den gikk til å bore hullet i treet og varme det opp. Til gjengjeld er hele bevegelsesmengden der: $0{,}0120 \cdot 320 = 3{,}84\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$ før, og $2{,}512 \cdot 1{,}5287 = 3{,}84\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$ etter.

d) Geometrien gir $h = L(1 - \cos\alpha)$ , altså
$\cos\alpha = 1 - \frac{h}{L} = 1 - \frac{0{,}11910}{1{,}20} = 1 - 0{,}099250 = 0{,}90075,$
$\alpha = \arccos 0{,}90075 = 25{,}744^\circ \approx 25{,}7^\circ.$

e) Snu hele kjeden:
$v' = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}119104}\,\text{m/s} = \sqrt{2{,}3368}\,\text{m/s} = 1{,}5286\,\text{m/s},$
$v_0 = \frac{m+M}{m}v' = \frac{2{,}512}{0{,}0120} \cdot 1{,}5286\,\text{m/s} = 209{,}33 \cdot 1{,}5286\,\text{m/s} = 320{,}0\,\text{m/s}. \quad \checkmark$

Og fella, som er verdt å regne ut for å se hvor stor den er. Bruker studenten energibevaring gjennom støtet i stedet, får han
$\tfrac12mv_0^2 = (m+M)gh \quad\Longrightarrow\quad v_0 = \sqrt{\frac{2(m+M)gh}{m}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 2{,}512 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}119104}{0{,}0120}}\,\text{m/s}.$
$v_0 = \sqrt{\frac{5{,}8702}{0{,}0120}}\,\text{m/s} = \sqrt{489{,}18}\,\text{m/s} = 22{,}118\,\text{m/s}.$
Han får $22\,\text{m/s}$ i stedet for $320\,\text{m/s}$ — under en fjortendedel. Her avslører feilen seg selv, siden $22\,\text{m/s}$ er en umulig fart for et prosjektil. Men i oppgaver der massene ligger nærmere hverandre, er avviket mye mindre og feilen mye vanskeligere å se.

Sluttsjekk. Farten etter støtet er langt mindre enn før, som den må være. Høyden er positiv og mindre enn snorlengden, så vinkelen finnes. Energiandelen er under 100 prosent. Og den omvendte regningen i e) gir tilbake de $320\,\text{m/s}$ vi startet med.

📝Oppgave 7

Sjanger M6, eksamensnivå

En kule med masse $25{,}0\,\text{g}$ skytes vannrett med farten $180\,\text{m/s}$ inn i en kloss med masse $1{,}20\,\text{kg}$ som henger i en snor med lengde $0{,}900\,\text{m}$ . Kula blir sittende fast.

a) Finn farten rett etter støtet.
b) Hvor høyt svinger klossen, og hvor stor blir utsvingsvinkelen?
c) Hvor mange joule gikk tapt i støtet, og hvor stor andel er det?
d) Forklar hvorfor du måtte bruke to ulike bevaringslover, og hva som ville skjedd hvis du hadde brukt energibevaring gjennom støtet.

📝Oppgave 8

Sjanger M6, A–F-format

En kule med masse $0{,}200\,\text{kg}$ og fart $6{,}00\,\text{m/s}$ treffer en stillestående kule med masse $0{,}500\,\text{kg}$ i et elastisk støt.

Hvor stor fart har den stillestående kula rett etter støtet?

A $2{,}57\,\text{m/s}$ · B $1{,}71\,\text{m/s}$ · C $8{,}57\,\text{m/s}$ · D $2{,}40\,\text{m/s}$ · E $3{,}00\,\text{m/s}$ · F $3{,}43\,\text{m/s}$

Typiske feil — og hvorfor energibevaring er sjangerens dyreste feilgrep

Å bruke energibevaring i et uelastisk støt. Dette er sjangerens hovedfelle, og den er farlig fordi energibevaring har vært det mektigste verktøyet i to hele kapitler. I et støt der legemene blir sittende sammen, er den mekaniske energien ikke bevart, og ligningen

\tfrac12mv_0^2 = \tfrac12(m+M)v'^2

er rett og slett usann. Den gir en felles fart som er for høy med faktoren

\sqrt{(m+M)/m}

. Motmiddelet er én vane: spør om legemene henger sammen etterpå, før du velger lov. Gjør de det, bruk bevegelsesmengde.

Å bruke bevegelsesmengde der en ytre kraft virker lenge. Den motsatte feilen, og den dukker opp i den ballistiske pendelen: å prøve å bruke impulsbevarelse gjennom svingfasen. Snoren er en ytre kraft som virker gjennom hele svinget, så bevegelsesmengden er ikke bevart der. Bevegelsesmengde gjennom støt, energi gjennom fritt svingende bevegelse.

Å regne fartsendringen som differansen mellom tallverdiene når legemet snur. En ball som kommer inn med $30\,\text{m/s}$ og går ut med $22\,\text{m/s}$ i motsatt retning, har fartsendring $52\,\text{m/s}$ , ikke $8\,\text{m/s}$ . Fortegnet er halve regningen i dette kapitlet, og feilen gir et svar som er en brøkdel av det riktige.

Å forveksle massebrøken $m/(m+M)$ med energiandelen $M/(m+M)$ . De er komplementære, og begge tallene står nesten alltid i alternativlista samtidig. Huskeregelen: farten skaleres med den brøkdelen av massen som hadde farten; energitapet er den brøkdelen som sto stille.

Å glemme faktoren $\tfrac12$ i et trekantareal. En trekantpuls gir impulsen $\tfrac12F_\text{maks}\tau$ , ikke $F_\text{maks}\tau$ . Feilen dobler svaret.

Å bytte om massene i fartsformlene for det elastiske støtet. Telleren i $v_1'$ er $m - M$ , der $m$ er den innkommende massen. Bytter du dem, får du riktig tallverdi men galt fortegn — og fortegnet er svaret på spørsmålet om kula spretter tilbake eller fortsetter.

Å bruke konstant-akselerasjonsformler gjennom et støt (felle #3 i denne sjangerens utgave — konstant-akselerasjonsformler brukt der akselerasjonen ikke er konstant). Kraften i et støt varierer med flere tusen newton over noen millisekunder, og akselerasjonen er alt annet enn konstant. Bruk impuls.

Og avrundingsfellen i dette kapitlet (felle #16 — avrundingsfeil som lander på nabo-alternativet). Den utsatte mellomverdien er massebrøken. Ligger massene nær hverandre, blir brøken nær $\tfrac12$ , og alternativene ligger tett rundt der. Regn brøken med fire siffer som en egen mellomverdi før du multipliserer med farten. Og skal du finne en energiandel, regn den direkte fra massene i stedet for som en differanse mellom to energier — en differanse mellom to nesten like store tall mister siffer, og i eksempel 4 var $K'$ under en halv prosent av $K_0$ .

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard- og repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Energitapet i et fullstendig uelastisk støt

\Delta K = \tfrac12\frac{mM}{m+M}v_0^2,

Andelen tapt energi:

M/(m+M)

\frac{\Delta K}{K_0} = \frac{M}{m+M}

Kraftstøt mot arbeid:

F\Delta t

mot

F\Delta x

F\Delta t

Trekantpulsen og toppakselerasjonen

F_\text{maks}

Hvorfor energien ikke er bevart i et uelastisk støt

Fordi legemene deformeres. Under støtet presses materialet sammen, og en del av deformasjonen er permanent — molekylene har flyttet seg i forhold til hverandre og går ikke tilbake. Arbeidet som gikk til den permanente deformasjonen, blir indre energi: varme i materialet, og lydbølger som stråler ut. Total energi er selvsagt bevart; det er den mekaniske energien, summen av kinetisk og potensiell, som ikke er. Poenget for regningen er at tapet ikke kan forutsies fra utsiden: du kan ikke sette opp et energiregnskap gjennom støtet fordi du ikke kjenner tapsleddet. Derfor bruker vi bevegelsesmengde, som er bevart uansett hvor mye energi som ble borte — og regner ut tapet etterpå som en konsekvens .

Fortegn og retning i én dimensjon

Arbeidsvanen som avgjør halvparten av oppgavene i dette kapitlet. Fordi bevegelsesmengden er en vektor, må du velge en positiv retning før du skriver den første ligningen, og deretter gi hvert legeme fortegn etter hvilken vei det går. Tre konsekvenser: to legemer som beveger seg mot hverandre, kan ha total bevegelsesmengde null; et negativt svar er ikke en feil, men informasjon om at størrelsen peker motsatt vei av det du valgte; og fartsendringen for et legeme som snur, er summen av tallverdiene, ikke differansen. Kinetisk energi følger andre regler — den er en skalar, alltid positiv, og fortegnet på farten forsvinner i kvadreringen. Det er nettopp derfor de to regnskapene gir ulike svar på hva som er «bevart».

Newtons 3. lov som grunnlaget for impulsbevarelse

\mathbf{J}_{A\to B} = -\mathbf{J}_{B\to A} \quad\Longrightarrow\quad \Delta\mathbf{p}_A + \Delta\mathbf{p}_B = 0.

Sjanger M6 — bevegelsesmengde og støt, impuls

Bokas navn på oppgaveformen der to legemer støter sammen, eller der en tidsavhengig kraft virker på ett legeme, og du skal finne fartene etterpå, energitapet eller impulsen. Den forekommer i praktisk talt alle eksamenssett (~100 %) og hører til mekanikkhalvdelen, spørsmål 1-20 . Kjeden er kort og fast: avgjør støttypen ut fra oppgaveteksten, velg lov (bevegelsesmengde alltid, energi bare hvis elastisk), sett inn i den ferdige formelen, og kontrollér fortegnet. Tre feil bærer nesten alle distraktorene: energibevaring brukt i et uelastisk støt, massebrøken forvekslet med energiandelen, og fortegnsfeil når et legeme snur.

Eksplosjonen — støtet baklengs (kjenne til)

m_1v_1 + m_2v_2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{v_1}{v_2} = -\frac{m_2}{m_1}.

Symbol- og formelliste

Repetisjonsoppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.