3.3 Drill: støt, impuls og baner (sjanger M6, M12)

Sjangerdrill: velg riktig bevaringslov (impuls og/eller energi) og kom raskt til tallsvaret for støt, impuls og baner.

80 min

14 oppgaver

Drillstøtimpulsbaner (sjanger M6M12)

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.2Gravitasjon, satellittbaner og rakettligning

Brukes videre i

3.PPrøver til del 3: Bevegelsesmengde, støt og baner

Dette er et treningskapittel, ikke et teorikapittel. Her drilles de to sjangrene fra Del 3 i eksamenstempo, og ingenting nytt innføres.

Sjanger M6 — bevegelsesmengde og støt, impuls. Oppgaveformen der to legemer treffer hverandre og du skal finne fartene etterpå, eller der en kraft virker i en kort stund og du skal finne fartsendringen den gir. Den forekommer i praktisk talt alle sett (~100 %), og er høyeste prioritet — dette må sitte.

Sjanger M12 — gravitasjon, baner og rakett. Oppgaveformen der et legeme går i sirkelbane rundt jorda under gravitasjonen, eller der en rakett endrer fart ved å støte ut masse. Satellittbanen kommer i om lag 4 av 10 sett (~40 %) og raketten i om lag 2 av 10 sett (~20 %). Prioritet: bør sitte — kompakt, men den sikrer poeng når den dukker opp.

Begge hører til mekanikkhalvdelen, spørsmål 1–20.

Om tidsbruken. Kapitlet er anslått til 80 minutter og er lagt opp som tre økter du trygt kan dele over flere kvelder: løsningsoppskriften og det gjennomregnede caset (~20 min), støt- og impulsoppgavene 1–8 (~30 min), og bane- og rakettoppgavene 9–14 (~25 min). De siste fem minuttene er oppslag: begrepsbanken og symbollisten til slutt er repetisjonsstoff, ikke regnetid.

Sju av de fjorten oppgavene er i A–F-format med seks ferdige alternativer, akkurat som eksamen. De gale alternativene kalles distraktorer, og hver enkelt av dem er regnet fram fra en konkret feil — ikke plukket i løse luften. Resten av oppgavene er i åpen form, slik at du trener både metoden og bokstavsvaret.

Målet er tempo med presisjon. På eksamen har du rundt seks minutter per spørsmål. Oppgavene her skal du klare på tre til fem — og fortsatt med tre til fire gjeldende siffer gjennom hele kjeden.

Forkunnskaper — sist du var her

Dette kapitlet trener stoffet fra kap. 3.1 og kap. 3.2. Her er de seks relasjonene du kommer til å bruke, ferdig oppfrisket.

$\mathbf{p} = m\mathbf{v}, \qquad \sum m\mathbf{v} = \sum m\mathbf{v}' \quad (\text{ingen ytre kraft i støtøyeblikket})$
Bevegelsesmengden og impulsbevarelsen. Bevegelsesmengden er en vektor, så fortegnet er en retning: en kule som spretter tilbake har negativ fart i det koordinatsystemet der den kom inn med positiv fart.

$v' = \frac{m v_0}{m+M}, \qquad \Delta K = \tfrac12\,\frac{mM}{m+M}\,v_0^2 = \frac{M}{m+M}\,K_0$
Fullstendig uelastisk støt mot et legeme i ro: legemene får felles fart, og den tapte andelen av den kinetiske energien er $M/(m+M)$ — altså nesten alt når den treffende massen er liten.

$v_1' = \frac{m-M}{m+M}\,v_0, \qquad v_2' = \frac{2m}{m+M}\,v_0$
Elastisk støt mot et legeme i ro. Merk fortegnet i telleren: når $m < M$ blir $v_1'$ negativ, altså spretter legeme 1 tilbake. Her er både bevegelsesmengden og den kinetiske energien bevart, og den relative farten mellom legemene beholder tallverdien sin.

$\mathbf{J} = \Delta\mathbf{p} = \int \mathbf{F}\,dt, \qquad J_\text{trekant} = \tfrac12 F_\text{maks}\,\tau, \qquad a_\text{maks} = \frac{F_\text{maks}}{m}$
Impulsen er arealet under $F(t)$ -grafen. For en trekantpuls er arealet halvparten av rektangelet $F_\text{maks}\tau$ .

$\frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r} = m\omega^2 r, \qquad v = \frac{2\pi r}{T} \quad\Longrightarrow\quad r = \left(\frac{GM\,T^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}$
Sirkelbane under gravitasjonen: gravitasjonskraften er resultanten inn mot sentrum. Massen til satellitten faller ut, og kombinasjonen med $v = 2\pi r/T$ gir baneradien direkte fra omløpstiden.

$\Delta v = u\ln\frac{m_0}{m} \quad\Longleftrightarrow\quad m = m_0\,e^{-\Delta v/u}, \qquad F = u\left\lvert\frac{dm}{dt}\right\rvert$
Rakettligningen og skyvekraften. Legg merke til minustegnet i eksponenten: massen synker når farten øker, og en rakett som skal øke farten med én utstøtsfart, må brenne bort $1 - e^{-1} = 63{,}2$ prosent av startmassen sin.

Tallverdier du bruker i hele kapitlet. $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$ , og for jorda $GM = 3{,}986\cdot10^{14}\,\text{m}^3/\text{s}^2$ og $R_\text{jord} = 6{,}371\cdot10^6\,\text{m}$ . Som kontroll: $GM/R_\text{jord}^2 = 9{,}8202\,\text{m/s}^2$ , som er tyngdeakselerasjonen ved overflaten — det viser at de to konstantene hører sammen.

Symbolmerknad — tre av bokas symbolkollisjoner er aktive her. I dette kapitlet er $p$ bevegelsesmengde (i termodelen, Del 6–11, betyr $p$ trykk), $T$ er en omløpstid i sekunder (i termodelen: absolutt temperatur), og $R$ er en radius (i termodelen: gasskonstanten eller en termisk motstand). I tillegg er $u$ utstøtsfarten til rakettens drivstoff, ikke en generell fart.

📜Løsningsoppskrift — rask vei til tall (MC-oppskrift) i fire trinn

Dette er rask vei til tall for hele Del 3: algoritmen du kjører uten å tenke, fra oppgitte tall til bokstavsvar. Trinn 1 er porten som avgjør resten, og den er hele forskjellen mellom et poeng og null poeng.

1. Er det et støt? Da er bevegelsesmengden ALLTID bevart — og energien bare noen ganger. Les oppgaveteksten etter to ordgrupper:

- «blir sittende fast», «kobles sammen», «kiler seg inn i», «henger i en snor og fanger» → fullstendig uelastisk. Bevegelsesmengden er bevart, den kinetiske energien er ikke bevart. Gå til trinn 2.
- «elastisk støt», «spretter tilbake uten energitap», «fullstendig elastisk» → elastisk. Da er begge bevart, og du bruker de to ferdige fartsformlene.

Står det ingenting av dette, avgjør fysikken: to legemer som fortsetter med samme fart etterpå, har hatt et uelastisk støt. Og merk retningen: bevegelsesmengden er en vektor, så du må velge en positiv retning før du skriver den første ligningen, og holde den hele veien.

2. Uelastisk: én divisjon, og energitapet som differanse. Felles fart er $v' = mv_0/(m+M)$ . Energitapet regner du alltid som differansen mellom det du hadde og det du har igjen,
$\Delta K = K_0 - K' = \tfrac12 mv_0^2 - \tfrac12(m+M)v'^2,$
og andelen er $\Delta K/K_0 = M/(m+M)$ . Skal klossen svinge opp etterpå (ballistisk pendel), er det en ny fase med en ny lov: der er energien bevart, og $h = v'^2/(2g)$ .

3. Er det en kraft som virker en kort stund? Da er impulsen arealet under $F(t)$ . Regn arealet geometrisk — trekant er $\tfrac12 F_\text{maks}\tau$ , trapes er middelhøyden ganger bredden — og bruk $J = \Delta p = m\,\Delta v$ . To feller å sjekke med det samme: er $\Delta v$ en differanse eller en sum? For et legeme som spretter tilbake, er $\Delta v = v_\text{ut} + v_\text{inn}$ i tallverdi, fordi fartsretningen snudde.

4. Er det en bane? Da er gravitasjonen resultanten inn mot sentrum. Sett $GMm/r^2 = mv^2/r$ og bruk $v = 2\pi r/T$ når omløpstiden er oppgitt. Før du regner: gjør $T$ om til sekunder, og bestem om spørsmålet spør om baneradien $r$ (fra jordas sentrum) eller om høyden $h = r - R_\text{jord}$ (over bakken). Er det en rakett, er det samme bevaringslov som i trinn 1 i ny drakt: $\Delta v = u\ln(m_0/m)$ .

Sluttsjekk, uansett vei (ti sekunder). Enhet — tierpotens — fortegn. Og én fagspesifikk kontroll per vei: et uelastisk støt gir alltid lavere fart enn energibevaring ville gitt; en bane rundt jorda oppfyller alltid $T^2/r^3 = 4\pi^2/GM = 9{,}90\cdot10^{-14}\,\text{s}^2/\text{m}^3$ ; og et rakettsvar har alltid mindre sluttmasse enn startmasse.

✏️Gjennomregnet MC-case: kula i klossen og satellitten på seks timer — med margnotater

Dette er to komplette flervalgsspørsmål av den typen som kommer på eksamen, regnet gjennom i MC-tempo med margnotater om hvor poengene faktisk faller. Det første er et støt, det andre en bane — og de to fellene de er bygget rundt, er de to som koster mest i Del 3.

Spørsmål 1. En kule med masse $m = 0{,}0250\,\text{kg}$ og fart $v_0 = 260\,\text{m/s}$ treffer en trekloss med masse $M = 1{,}80\,\text{kg}$ som henger i ro i en snor med lengde $1{,}25\,\text{m}$ . Kula blir sittende fast i klossen.

Hvor stor er farten til kloss og kule rett etter støtet?

A $3{,}61\,\text{m/s}$ · B $7{,}12\,\text{m/s}$ · C $3{,}56\,\text{m/s}$ · D $30{,}4\,\text{m/s}$ · E $6{,}50\,\text{m/s}$ · F $1{,}78\,\text{m/s}$

Spørsmål 2. En satellitt går i sirkelbane rundt jorda med omløpstid $T = 6{,}00$ timer. Bruk $GM = 3{,}986\cdot10^{14}\,\text{m}^3/\text{s}^2$ og $R_\text{jord} = 6{,}371\cdot10^6\,\text{m}$ .

Hvor stor er baneradien, målt fra jordas sentrum?

A $42\,241\,\text{km}$ · B $71{,}366\,\text{km}$ · C $57\,080\,\text{km}$ · D $10\,392\,\text{km}$ · E $16\,763\,\text{km}$ · F $23\,134\,\text{km}$

Spørsmål 1 — svar C.

Margnotat — hvilken lov? Ordene «blir sittende fast» avgjør alt: støtet er fullstendig uelastisk. Bevegelsesmengden er bevart, den kinetiske energien er det ikke. Tre sekunder, og du har valgt riktig vei.

Margnotat — hvilken ene regnelinje? Bevegelsesmengden før støtet er kulas alene, $p_0 = mv_0 = 6{,}50\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$ , og etterpå beveger de to seg som ett legeme med massen $m+M = 1{,}825\,\text{kg}$ :
$v' = \frac{mv_0}{m+M} = \frac{6{,}50}{1{,}825}\,\text{m/s} = 3{,}5616\,\text{m/s} \approx 3{,}56\,\text{m/s}.$
Én divisjon. Tjue sekunder. Snorlengden trengs ikke i dette spørsmålet i det hele tatt — den hører til neste ledd av oppgaven.

Margnotat — hva hentes hvor? $\mathbf{p} = m\mathbf{v}$ og $\mathbf{J} = \Delta\mathbf{p} = \int\mathbf{F}\,dt$ står på det utdelte arket. Selve formelen $v' = mv_0/(m+M)$ står ikke der: den må du sette opp fra impulsbevarelsen, og det er én linje.

Margnotat — hvor mange siffer? Bær fire i kladden ( $3{,}5616$ ) og rund til tre i svaret. Her er marginen til nærmeste alternativ bare 1,4 prosent, så avrundingen må gjøres til slutt — ikke underveis.

Margnotat — energibevarings-fella, og hvorfor den ALLTID gir for høy fart. Dette er sjangerens dyreste feil. Setter du opp $\tfrac12 mv_0^2 = \tfrac12(m+M)v'^2$ , får du
$v'_\text{galt} = v_0\sqrt{\frac{m}{m+M}} = 30{,}4\,\text{m/s},$
altså alternativ D. Forholdet mellom det gale og det riktige svaret er $\sqrt{(m+M)/m} = 8{,}54$ — den gale metoden er ikke litt feil, den er en faktor åtte og en halv feil, og den er alltid for høy. Grunnen er fysisk: energien du later som er bevart, har i virkeligheten gått til varme og deformasjon i treet. Regn andelen og se hvor brutalt det er: $\Delta K/K_0 = M/(m+M) = 98{,}6$ prosent av kulas kinetiske energi blir borte i støtet, altså $833{,}4$ av $845$ joule. Bare $11{,}58$ joule er igjen som bevegelse.

Margnotat — de andre nabo-alternativene, hvert fra sin feil. A ( $3{,}61$ ) er å dele på $M$ alene i stedet for på $m+M$ ; den ligger 1,4 prosent fra fasiten og er den farligste i lista. B ( $7{,}12$ ) er den elastiske fartsformelen $2m/(m+M)\cdot v_0$ brukt på et støt der legemene blir sittende sammen — nøyaktig dobbelt så mye som fasiten. E ( $6{,}50$ ) er bevegelsesmengden $6{,}50\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$ lest av som om den var en fart. F ( $1{,}78$ ) er halvparten av fasiten, altså snittfarten mellom $0$ og $v'$ forvekslet med sluttfarten.

Margnotat — sluttsjekken, ti sekunder. Klossen er 72 ganger tyngre enn kula, så bevegelsesmengden $6{,}50\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$ fordelt på nesten to kilo må gi en fart av størrelsesorden noen få meter per sekund. Det stryker $30{,}4$ og $6{,}50$ umiddelbart, og etterpå står du igjen med fire alternativer der fysikken må avgjøre.

Og for ordens skyld, resten av oppgaven: klossen svinger opp til $h = v'^2/(2g) = 0{,}647\,\text{m}$ , altså $64{,}7$ cm, som for en snor på $1{,}25$ m svarer til en utslagsvinkel $\alpha = \arccos(1 - h/L) = 61{,}1^\circ$ . Merk at det er energibevaring som gjelder i den fasen, ikke bevegelsesmengde: snoren er en ytre kraft så snart støtet er over.

— naturlig pausepunkt —

Spørsmål 2 — svar E.

Margnotat — hvilken lov? Gravitasjonen er den eneste kraften på satellitten, og i en sirkelbane er den resultanten inn mot sentrum:
$\frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}.$
Satellittens egen masse faller ut på begge sider — det er derfor oppgaven ikke oppgir den, og det er en god kontroll på at du har satt opp riktig.

Margnotat — hvilken ene regnelinje? Sett inn $v = 2\pi r/T$ og løs for $r$ :
$r = \left(\frac{GM\,T^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}, \qquad T = 6{,}00\ \text{timer} = 21\,600\,\text{s}.$
$r = \left(\frac{3{,}986\cdot10^{14} \cdot 4{,}6656\cdot10^{8}}{39{,}4784}\right)^{1/3}\text{m} = \left(4{,}7107\cdot10^{21}\right)^{1/3}\text{m} = 1{,}6763\cdot10^{7}\,\text{m} = 16\,763\,\text{km}.$
Én kubikkrot. Førti sekunder.

Margnotat — hva hentes hvor? $GM$ (eller $G$ og jordmassen), $R_\text{jord}$ og gravitasjonsloven $F = GmM/r^2$ står på det utdelte arket. Kubikkroten tar kalkulatoren. Kombinasjonen av kraftbalansen med $v = 2\pi r/T$ må du kunne gjøre aktivt — den står ingen steder.

Margnotat — hvor mange siffer? Kubikkroten er vennlig: en feil på 1 prosent i $T^2$ gir bare 0,33 prosent i $r$ . Men det er en falsk trygghet, for kubikkroten demper ikke enhetsfeil, og det er nettopp der denne sjangeren tar folk.

Margnotat — ENHETSFELLA: timer eller sekunder? Setter du $T = 6{,}00$ rett inn, uten å gjøre om til sekunder, får du $r = 71{,}4\,\text{km}$ , altså alternativ B. Faktoren du taper er $3600^{2/3} = 234{,}9$ . Legg merke til hvordan tallet selv avslører fella: en bane med radius $71{,}4$ km ligger inne i jorda, siden jordradien er $6\,371$ km. Enhver baneradius som er mindre enn $6\,371$ km, er fysisk umulig — og den kontrollen tar to sekunder.

Margnotat — de andre alternativene. A ( $42\,241$ ) er 24-timers-refleksen: den geostasjonære baneradien, som er riktig svar på et annet spørsmål. C ( $57\,080$ ) er å glemme $4\pi^2$ i nevneren. D ( $10\,392$ ) er høyden over bakken, $r - R_\text{jord}$ , i stedet for baneradien — les alltid spørsmålet en gang til på dette punktet, for eksamen bruker begge. F ( $23\,134$ ) er å legge jordradien til i stedet for å trekke den fra, altså å tro at $r$ måles fra overflaten.

Margnotat — sluttsjekken med Kepler, femten sekunder. Enhver sirkelbane rundt jorda oppfyller
$\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{GM} = 9{,}90\cdot10^{-14}\,\text{s}^2/\text{m}^3.$
Sett inn: $4{,}6656\cdot10^{8}/(1{,}6763\cdot10^{7})^3 = 9{,}90\cdot10^{-14}\,\text{s}^2/\text{m}^3$ — det stemmer. Og en enda raskere sjekk: omløpstiden er 6 timer, altså mellom en lav bane (halvannen time, radius rundt $6\,700$ km) og den geostasjonære (24 timer, radius $42\,241$ km), så svaret må ligge mellom de to. Det stryker tre av de fem gale alternativene alene.

Økt 2 — støt og impuls (~30 min)

Åtte oppgaver på sjanger M6. Oppgave 1, 3, 5 og 7 er i A–F-format med seks ferdige alternativer; de øvrige er i åpen form. Regn med tre til fem minutter per oppgave, og skriv ned den positive retningen din før du setter opp den første ligningen.

📝Oppgave 1

Sjanger M6, A–F-format

En vogn med masse $0{,}600\,\text{kg}$ ruller med farten $2{,}50\,\text{m/s}$ mot en vogn med masse $0{,}900\,\text{kg}$ som står i ro på det samme sporet. Vognene kobles sammen i støtet og fortsetter som ett legeme.

Hvor stor er farten til de to vognene sammen etter støtet?

A $1{,}67\,\text{m/s}$ · B $2{,}00\,\text{m/s}$ · C $1{,}58\,\text{m/s}$ · D $1{,}00\,\text{m/s}$ · E $1{,}50\,\text{m/s}$ · F $0{,}500\,\text{m/s}$

📝Oppgave 2

Sjanger M6

Samme to vogner som i oppgave 1: $m = 0{,}600\,\text{kg}$ med farten $2{,}50\,\text{m/s}$ mot $M = 0{,}900\,\text{kg}$ i ro, koblet sammen i støtet.

a) Hvor mye kinetisk energi går tapt i støtet?
b) Hvor stor andel av den kinetiske energien er det, og hva ble energien til?
c) Vis at andelen er den samme uansett hvor fort den første vognen kjørte.

📝Oppgave 3

Sjanger M6, A–F-format

En kule med masse $m = 0{,}200\,\text{kg}$ og fart $v_0 = 5{,}00\,\text{m/s}$ treffer en kule med masse $M = 0{,}500\,\text{kg}$ som ligger i ro. Støtet er elastisk, og all bevegelse skjer langs samme rette linje. Positiv retning er den kula kom fra.

Hvor stor er farten til den første kula etter støtet?

A $2{,}14\,\text{m/s}$ · B $-2{,}14\,\text{m/s}$ · C $2{,}86\,\text{m/s}$ · D $1{,}43\,\text{m/s}$ · E $-5{,}00\,\text{m/s}$ · F $-3{,}00\,\text{m/s}$

📝Oppgave 4

Sjanger M6

Den samme kula som i oppgave 3 ( $m = 0{,}200\,\text{kg}$ , $v_0 = 5{,}00\,\text{m/s}$ ) treffer nå tre ulike legemer i ro, alltid i et elastisk støt langs samme linje.

a) $M = 0{,}200\,\text{kg}$ , altså like tungt som kula.
b) $M = 2{,}00\,\text{kg}$ , altså ti ganger tyngre.
c) $M = 0{,}0500\,\text{kg}$ , altså en firedel så tungt.

Finn fartene etter støtet i hvert tilfelle, og si hvor stor andel av den kinetiske energien som blir overført til legemet som sto i ro.

📝Oppgave 5

Sjanger M6, A–F-format

En ball med masse $0{,}145\,\text{kg}$ ligger i ro og treffes av kraftpulsen i figuren over: kraften stiger rett opp til $F_\text{maks} = 240\,\text{N}$ og faller rett tilbake til null, med total varighet $\tau = 0{,}0200\,\text{s}$ .

Hvor stor fart har ballen når pulsen er over?

A $33{,}1\,\text{m/s}$ · B $8{,}28\,\text{m/s}$ · C $2{,}40\,\text{m/s}$ · D $4{,}80\,\text{m/s}$ · E $1\,660\,\text{m/s}$ · F $16{,}6\,\text{m/s}$

📝Oppgave 6

Sjanger M6

En ball med masse $0{,}0800\,\text{kg}$ treffer gulvet med farten $7{,}50\,\text{m/s}$ nedover og forlater gulvet med farten $6{,}00\,\text{m/s}$ oppover. Kontakten med gulvet varer $0{,}0140\,\text{s}$ .

a) Hvor stor er impulsen gulvet gir ballen?
b) Hvor stor er middelkraften fra gulvet?
c) Sammenlign middelkraften med ballens tyngde, og si hvor stor andel av den kinetiske energien ballen mistet.

📝Oppgave 7

Sjanger M6, A–F-format,…

En trekloss med masse $M = 4{,}50\,\text{kg}$ henger i ro i en snor med lengde $L = 1{,}60\,\text{m}$ . En kule med masse $m = 0{,}0180\,\text{kg}$ treffer klossen vannrett og blir sittende fast, og klossen med kula svinger ut til en maksimal vinkel $22{,}0^\circ$ fra loddlinjen.

Hvor stor var kulas fart rett før støtet?

A $379\,\text{m/s}$ · B $378\,\text{m/s}$ · C $1{,}51\,\text{m/s}$ · D $861\,\text{m/s}$ · E $268\,\text{m/s}$ · F $24{,}0\,\text{m/s}$

📝Oppgave 8

(Kvalitativ oppgave — valg av bevaringslov.) For hvert av de fem tilfellene under: si hvilken eller hvilke bevaringslover du kan bruke, og hvilke du ikke kan bruke. Du skal ikke regne ut noe.

a) To skøytere skyver fra hverandre på isen og glir hver sin vei.

b) En pil borer seg inn i en halmball som står på et glatt gulv.

c) Halmballen med pilen i glir videre over gulvet og opp en liten rampe, der den stopper.

d) To biljardkuler av samme masse treffer hverandre sentralt, og den ene stopper.

e) En kloss henger i en snor. En kule blir sittende fast i klossen, og klossen svinger opp.

— naturlig pausepunkt —

Økt 3 — baner, rakett og sammensatte oppgaver (~25 min)

Seks oppgaver på sjanger M12, pluss en sammensatt støtoppgave til slutt. Oppgave 9, 11 og 13 er i A–F-format. Huskeregelen du skal ha framme hele tiden: gjør omløpstiden om til sekunder først, og les nøye om spørsmålet gjelder baneradien fra jordas sentrum eller høyden over bakken.

📝Oppgave 9

Sjanger M12, A–F-format

En satellitt går i sirkelbane $350\,\text{km}$ over jordoverflaten. Bruk $GM = 3{,}986\cdot10^{14}\,\text{m}^3/\text{s}^2$ og $R_\text{jord} = 6\,371\,\text{km}$ .

Hvor stor er banefarten?

A $33{,}7\,\text{km/s}$ · B $10{,}9\,\text{km/s}$ · C $7{,}70\,\text{km/s}$ · D $5{,}45\,\text{km/s}$ · E $0{,}489\,\text{km/s}$ · F $244\,\text{km/s}$

📝Oppgave 10

Sjanger M12

Samme satellitt som i oppgave 9: sirkelbane $350\,\text{km}$ over bakken, altså baneradius $r = 6{,}721\cdot10^{6}\,\text{m}$ og banefart $7\,701\,\text{m/s}$ .

a) Hvor lang er omløpstiden, i minutter?
b) Hvor stor er sentripetalakselerasjonen i banen, og hvordan forholder den seg til $9{,}81\,\text{m/s}^2$ ?
c) Kontroller svaret med Kepler-forholdet $T^2/r^3$ .

📝Oppgave 11

Sjanger M12,…

En kommunikasjonssatellitt skal stå stille over samme punkt på ekvator. Da må omløpstiden være ett døgn, $T = 24{,}0$ timer. Bruk $GM = 3{,}986\cdot10^{14}\,\text{m}^3/\text{s}^2$ og $R_\text{jord} = 6\,371\,\text{km}$ .

Hvor høyt over jordoverflaten ligger banen?

A $42\,241\,\text{km}$ · B $48\,612\,\text{km}$ · C $137\,460\,\text{km}$ · D $20\,239\,\text{km}$ · E $35\,870\,\text{km}$ · F $60\,683\,\text{km}$

📝Oppgave 12

Sjanger M12

En rakett har startmasse $m_0 = 2{,}80\cdot10^{4}\,\text{kg}$ og støter ut drivstoff med farten $u = 3\,100\,\text{m/s}$ relativt til raketten. Den skal øke farten med $\Delta v = 2\,400\,\text{m/s}$ .

a) Hvor stor masse har raketten når fartsøkningen er oppnådd, og hvor mye drivstoff er brent?
b) Motoren støter ut $180\,\text{kg/s}$ . Hvor stor er skyvekraften, og hvor lang tid tar brenningen?
c) Hvor stor er akselerasjonen rett etter start, når tyngden regnes med?

📝Oppgave 13

Sjanger M12

En rakett støter ut drivstoff med farten $u = 3\,100\,\text{m/s}$ relativt til raketten. Under en brenning synker massen til en firedel av det den var, altså $m_0/m = 4{,}00$ .

Hvor mye øker farten?

A $12\,400\,\text{m/s}$ · B $4\,298\,\text{m/s}$ · C $1\,866\,\text{m/s}$ · D $2\,236\,\text{m/s}$ · E $-4\,298\,\text{m/s}$ · F $9\,300\,\text{m/s}$

📝Oppgave 14

Sjanger M6, eksamensnivå

En kule med masse $m = 0{,}0120\,\text{kg}$ og fart $v_0 = 420\,\text{m/s}$ skytes vannrett gjennom en trekloss med masse $M = 3{,}60\,\text{kg}$ som står i ro på et friksjonsfritt underlag. Kula fortsetter ut på andre siden med farten $160\,\text{m/s}$ .

a) Hvor stor fart får klossen?
b) Hvor mye kinetisk energi gikk tapt, og hvor stor andel er det?
c) Hvorfor kan du ikke bruke formelen $v' = mv_0/(m+M)$ her, og hva ville den gitt?

Typiske feil — hele støt-, impuls- og banerepertoaret, og avrundingsfellen

Alle fellene under er hentet fra oppgavene du nettopp har gjort, og hver av dem svarte til et konkret svaralternativ.

Å bruke energibevaring i et uelastisk støt. Dette er sjangerens dyreste enkeltfeil. Bevegelsesmengden er bevart i alle støt; den kinetiske energien er bevart bare i elastiske. Feilen gir alltid for høy fart, med faktoren $\sqrt{(m+M)/m}$ — i det gjennomregnede caset var det en faktor 8,54, og i oppgave 7 ga varianten «energibevaring gjennom støtet» en kulefart på 24 m/s der svaret var nesten 400. Kontrollen er ett spørsmål: blir noe deformert, boret, kilt fast eller varmet opp? Da er energien ikke bevart.

Å bruke bevegelsesmengde i svingfasen. Speilbildet av feilen over. Så snart støtet er over og klossen henger i en snor, er snordraget og tyngden ytre krefter, og bevegelsesmengden er ikke bevart. Der er energien bevart i stedet. To faser, to lover — og de bytter plass når fasen skifter.

Å dele på $M$ i stedet for på $m+M$ . Etter et fullstendig uelastisk støt er hele massen $m+M$ i bevegelse. Fellen ga 3,61 mot 3,56 m/s i det gjennomregnede caset og 378 mot 379 m/s i oppgave 7 — bare noen tideler unna, altså umulig å stryke ved størrelsesorden. Denne må du regne riktig, ikke sjekke deg ut av.

Feil fortegn på fart eller impuls (felle #5 — feil fortegn eller retning på en vektorstørrelse). Bevegelsesmengden er en vektor. To konkrete tilfeller fra kapitlet: i oppgave 3 er $\displaystyle v_1' = \frac{m-M}{m+M}v_0$ negativ når $m < M$ , altså sprett tilbake; og i oppgave 6 er fartsendringen til en sprettende ball en sum i tallverdi, $\Delta v = v_\text{ut} + v_\text{inn}$ , ikke en differanse. Den siste ga 8,57 N i stedet for 77,1 N — en faktor ni. Skriv ned den positive retningen din før første ligning.

Å regne rektangel i stedet for trekant under $F(t)$ . Arealet av en trekantpuls er $\tfrac12 F_\text{maks}\tau$ . Fellen dobler impulsen (33,1 mot 16,6 m/s i oppgave 5). Kontrollen: middelkraften $J/\tau$ skal være halve toppkraften for en trekant.

Å forveksle baneradius og høyde over bakken. Baneradien måles fra jordas sentrum. I oppgave 11 skilte de to svarene $35\,870$ km og $42\,241$ km seg med nøyaktig én jordradius, og begge sto i alternativlisten. Les spørsmålet på nytt før du krysser av, og husk at ingen baneradius kan være mindre enn 6 371 km.

Å blande $v$ og $\omega$ , eller å glemme $v = 2\pi r/T$ . I sentripetalleddet er det $mv^2/r$ eller $m\omega^2r$ — aldri en blanding. Er omløpstiden oppgitt, er koblingen $v = 2\pi r/T$ det som binder de to sammen.

Rakettligningens fortegn. $m = m_0e^{-\Delta v/u}$ : massen synker når farten øker. Et svar der sluttmassen er større enn startmassen, er fysisk umulig — i oppgave 12 ga fortegnsfeilen 60 728 kg for en rakett som startet på 28 000.

Og avrundings- og enhetsfellen som avgjør denne sjangeren (felle #16 — avrundingsfeil eller enhetsfeil som lander på nabo-alternativet). I Del 3 slår den til på to måter, og den ene er verre enn den andre:

- Enheten på omløpstiden. $GM$ er oppgitt i $\text{m}^3/\text{s}^2$ , så $T$ må inn i sekunder. Setter du 6,00 timer rett inn, taper du faktoren $3600^{2/3} = 235$ , og baneradien blir 71 km — inne i jorda. Kubikkroten demper regnefeil, men ikke enhetsfeil.
- Siffer i tette differanser. Masseforhold som $(m+M)/m$ mot $M/m$ skiller seg med brøkdeler av en prosent når $m \ll M$ . Bær fire gjeldende siffer gjennom hele kjeden og rund først i sluttsvaret, ellers kan de to alternativene bytte plass i hendene dine.

Regelen for hele kapitlet: velg bevaringslov før du regner, skriv ned den positive retningen, gjør tider om til sekunder, og bær fire siffer til siste linje.

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard- og repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Sjanger M6 — bevegelsesmengde og støt, impuls

\sum m\mathbf{v} = \sum m\mathbf{v}'

Sjanger M12 — gravitasjon, baner og rakett

GMm/r^2 = mv^2/r

Fullstendig uelastisk støt

v' = \frac{mv_0}{m+M}, \qquad \Delta K = K_0 - K' = \frac{M}{m+M}\,K_0.

Elastisk støt mot et legeme i ro

v_1' = \frac{m-M}{m+M}\,v_0, \qquad v_2' = \frac{2m}{m+M}\,v_0.

Impuls som areal under kraftkurven

\mathbf{J} = \int \mathbf{F}\,dt = \Delta\mathbf{p} = m\,\Delta\mathbf{v}.

Ballistisk pendel

\text{støtet (uelastisk):}\ v' = \frac{mv_0}{m+M}, \qquad \text{svingen (energi):}\ h = \frac{v'^2}{2g}.

Sirkelbanens kraftbalanse og Kepler-kontrollen

\frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r} = m\omega^2 r \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{GM}{r}}, \qquad r = \left(\frac{GM\,T^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}.

Geostasjonær bane

T = 24{,}0

Rakettligningen og skyvekraften

\Delta v = u\ln\frac{m_0}{m} \quad\Longleftrightarrow\quad m = m_0\,e^{-\Delta v/u}, \qquad F = u\left\lvert\frac{dm}{dt}\right\rvert.

Nabo-alternativ i støt- og banekjeden

M

Symbol- og formelliste

Repetisjonsoppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.