4.1 Massesenter, treghetsmoment og Steiners sats

Massesenter for punktmasser og legemer, treghetsmoment ved $\int r^2\,dm$ og $\sum m_i r_i^2$, og Steiners sats for akse utenfor massesenteret.

60 min

10 oppgaver

MassesentertreghetsmomentSteiners sats

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.2Arbeid, energibevaring og rullende legeme ($K=\tfrac{7}{10}mv^2$)

Brukes videre i

4.2Dreieimpuls, rulling, presesjon og fallende stang 4.3Statikk og momentbalanse 5.1Harmoniske svingninger, egenfrekvens, fysisk og konisk pendel

Sjanger M4 — treghetsmoment og Steiners sats, altså «finn treghetsmomentet til dette legemet om denne aksen» — dukker opp i praktisk talt alle sett (~100 %). Temaet hører til mekanikkhalvdelen, spørsmål 1–20, og har høyeste prioritet — dette må sitte.

Grunnen er at treghetsmomentet er inngangsdøra til alt annet i rotasjonsfysikken. Uten riktig $I$ blir rotasjonsenergien feil, vinkelakselerasjonen feil, dreieimpulsen feil og svingetiden til en pendel feil. Fire–fem spørsmål i et typisk sett hviler på at du fikk $I$ riktig i første regnelinje.

Den gode nyheten: treghetsmomentene for standardlegemene står på det utdelte formelarket, og det gjør Steiners sats også. Du skal ikke pugge dem. Det du må kunne aktivt, er tre ting: å velge riktig akse, å måle avstandene vinkelrett på aksen, og å se når oppslaget alene ikke er nok — for arket gir deg $I$ om en akse gjennom massesenteret, mens oppgaven nesten alltid spør om en annen akse.

Signaturene du vil kjenne igjen: punktmasser i hjørnene av en trekant eller et kvadrat; en stang der massen ikke er jevnt fordelt, så du må integrere; et sammensatt legeme av to deler; og en akse som ligger utenfor massesenteret, slik at Steiner-leddet må med.

Forkunnskaper — sist du var her

Dette kapitlet bygger på rotasjonsstoffet fra Del 2, og på integrasjonsteknikk fra matematikken. Alt du trenger, står oppfrisket her — du skal ikke måtte bla tilbake for å komme i gang.

Fra matematikken: Bestemt integral som grenseverdi er grunnlaget for at en sum av mange små bidrag blir et integral, og Variabelskifte (substitusjon) trenger du når integrasjonsvariabelen ikke er den samme som lengden langs legemet. Vektorkoordinater og regning er verktøyet for å regne massesenteret komponent for komponent.

Fra Del 2 av denne boka har du møtt rotasjonsenergien og sammenhengen mellom banefart og vinkelfart. De to relasjonene er de eneste du trenger herfra, og her er de:

$K_\text{rot} = \tfrac12 I\omega^2$
Den kinetiske energien til et legeme som roterer med vinkelfart $\omega$ om en fast akse. Størrelsen $I$ er nettopp treghetsmomentet dette kapitlet handler om. Legg merke til hvor lik den er $\tfrac12 mv^2$ : massen er byttet med treghetsmomentet, og farten med vinkelfarten.

$v = \omega r$
Banefarten til et punkt som ligger i avstanden $r$ fra rotasjonsaksen. Den forutsetter at $\omega$ er i radianer per sekund, og den er grunnen til at punkter langt fra aksen bidrar mye mer til energien enn punkter nær aksen.

Et begrep før vi begynner. Et stivt legeme er et legeme der avstanden mellom to punkter i legemet ikke endrer seg — en stang, en skive, en kule. Hele dette kapitlet handler om stive legemer. En vannstråle eller en gummistrikk er ikke stive legemer, og de behandles ikke her.

Symbolmerknad. I dette kapitlet er $R$ en radius (ikke gasskonstanten, som er betydningen i termodelen), $\rho$ er en volumtetthet (i kap. 1.2 var samme bokstav en krumningsradius), og $I$ er alltid et treghetsmoment — en skalar, aldri en vektor. Se symbol- og formellisten nederst.

Løkke 1 — massesenteret (~12 min)

Legg en hammer på pekefingeren og prøv å få den til å balansere. Det går bare i ett eneste punkt, og det punktet ligger ikke midt på skaftet — det ligger tett inntil hodet. Punktet du fant, er hammerens massesenter.

Massesenteret er ikke et geometrisk sentrum. Det er et vektet gjennomsnitt, der hver del av legemet teller med sin egen masse. Er halvparten av massen samlet i den ene enden, trekker den enden punktet mot seg.

Vi trenger massesenteret av to grunner i dette kapitlet. Den første er praktisk: tyngden på et legeme kan alltid regnes som om den virket i massesenteret, og det er dette som gjør statikk i kap. 4.3 mulig. Den andre er at Steiners sats — kapitlets viktigste verktøy — måler avstander nettopp fra massesenteret.

Massesenter

M\mathbf{g}

Massesenter for et system av punktmasser

x_\text{CM} = \frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}, \qquad y_\text{CM} = \frac{\sum m_i y_i}{\sum m_i}.

Homogent legeme

Et legeme der massen er jevnt fordelt, altså der tettheten er den samme overalt. For et homogent legeme sammenfaller massesenteret med det geometriske sentrum, og standardformlene for treghetsmoment på formelarket gjelder direkte. Er legemet ikke homogent — en stang der tettheten vokser mot den ene enden, en skive med tyngre ytterkant — må både massesenteret og treghetsmomentet regnes ut ved integrasjon. Oppgaveteksten sier det alltid: står ordet «homogen», kan du slå opp; står det en tetthetsfunksjon, må du integrere.

For et system av punktmasser er regningen ren bokføring. Legg origo der det er lurt, list opp masse og koordinater, og regn ut de to summene:

$x_\text{CM} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2 + \dots}{m_1 + m_2 + \dots}.$

Intuisjon: dette er nøyaktig samme regning som et vektet karaktergjennomsnitt, der massene er vektene. En masse som er dobbelt så stor, trekker massesenteret dobbelt så hardt mot seg.

For et sammensatt legeme — en hammer, en stang med en kule i enden, en plate med et hull — gjelder den samme formelen med delene som «punktmasser». Hver del bidrar med sin masse plassert i sitt eget massesenter. Et hull håndteres som en negativ masse, og det er et av de få stedene i fysikken der en negativ masse er nyttig.

Intuisjon for kontrollen: massesenteret må alltid ligge et sted mellom de ytterste delene. Får du et svar utenfor legemet for et legeme uten hull, har du gjort en regnefeil — det er en gratis sluttsjekk som tar to sekunder.

✏️Eksempel 1: massesenteret til tre bolter på en lett plate

Tre bolter er skrudd fast i en tynn plate som selv har så liten masse at vi kan se bort fra den. Boltene har massene $2{,}00\,\text{kg}$ , $3{,}00\,\text{kg}$ og $5{,}00\,\text{kg}$ , og de sitter i punktene $(0,\ 0)$ , $(0{,}400\,\text{m},\ 0)$ og $(0{,}400\,\text{m},\ 0{,}300\,\text{m})$ .

Finn massesenteret til systemet.

Total masse først, siden den går inn i begge nevnerne:

M = 2{,}00 + 3{,}00 + 5{,}00 = 10{,}00\,\text{kg}.

Så komponentvis. For $x$ -komponenten bidrar den første bolten ingenting, siden $x_1 = 0$ :
$x_\text{CM} = \frac{3{,}00 \cdot 0{,}400 + 5{,}00 \cdot 0{,}400}{10{,}00}\,\text{m} = \frac{1{,}200 + 2{,}000}{10{,}00}\,\text{m} = \frac{3{,}200}{10{,}00}\,\text{m} = 0{,}320\,\text{m}.$

For $y$ -komponenten er det bare den tredje bolten som har en $y$ -koordinat forskjellig fra null:
$y_\text{CM} = \frac{5{,}00 \cdot 0{,}300}{10{,}00}\,\text{m} = \frac{1{,}500}{10{,}00}\,\text{m} = 0{,}150\,\text{m}.$

Massesenteret ligger altså i $(0{,}320\,\text{m},\ 0{,}150\,\text{m})$ .

Sluttsjekk. Punktet må ligge inne i trekanten boltene spenner ut, og det gjør det: $x$ -verdien ligger mellom 0 og 0,400, og $y$ -verdien mellom 0 og 0,300. Legg også merke til at $x_\text{CM}$ ligger nær 0,400 m: åtte av de ti kiloene sitter der, så massesenteret trekkes dit.

Benevningskontroll: teller har enhet $\text{kg}\cdot\text{m}$ , nevner $\text{kg}$ , og brøken blir meter. Det stemmer.

📝Oppgave 1

(Innstegsoppgave — begreper og enheter.)

a) Forklar med egne ord hva treghetsmomentet til et legeme forteller, og hvorfor to legemer med samme masse kan ha helt forskjellig treghetsmoment.

b) Hvilken SI-enhet har treghetsmomentet? Vis at enheten følger av uttrykket $K_\text{rot} = \tfrac12 I\omega^2$ .

📝Oppgave 2

Sjanger M4

En hammer består av et homogent skaft med masse $0{,}300\,\text{kg}$ og lengde $0{,}320\,\text{m}$ , og et hode med masse $0{,}720\,\text{kg}$ som kan regnes som en punktmasse i avstanden $0{,}340\,\text{m}$ fra den frie enden av skaftet.

a) Finn massesenterets avstand fra den frie enden av skaftet.

b) Hvor mange prosent av skaftlengden fra den frie enden ligger massesenteret?

Løkke 2 — treghetsmoment for punktmasser (~14 min)

Prøv å svinge en hammer to ganger: først med hånden rundt skaftet nær hodet, så med hånden helt ute i enden av skaftet. Samme hammer, samme masse — men den andre gangen er den mye tyngre å få i gang og mye tyngre å stoppe. Det du kjenner, er at treghetsmomentet har endret seg fordi aksen flyttet seg.

Dette er den viktigste enkeltinnsikten i hele Del 4: treghetsmoment er ikke en egenskap ved legemet alene. Det er en egenskap ved legemet og aksen sammen. Spør noen «hva er treghetsmomentet til denne stanga?», er spørsmålet ufullstendig til de har sagt hvilken akse.

Treghetsmoment

I

Vinkelrett avstand til aksen

I = \sum m_i r_i^2

📜Treghetsmoment for et system av punktmasser

For punktmasser

m_i

i vinkelrette avstander

r_i

fra aksen er

I = \sum_i m_i r_i^2.

Uttrykket følger direkte fra rotasjonsenergien: hvert punkt har farten

v_i = \omega r_i

, så den totale kinetiske energien er

K = \sum_i \tfrac12 m_i v_i^2 = \sum_i \tfrac12 m_i \omega^2 r_i^2 = \tfrac12\left(\sum_i m_i r_i^2\right)\omega^2 = \tfrac12 I\omega^2.

Vinkelfarten

\omega

er den samme for alle punktene i et stivt legeme, og det er derfor den kan settes utenfor summen. Uttrykket står på det utdelte arket, men å velge de riktige

r_i

-ene må du gjøre selv.

✏️Eksempel 2: tre like masser i en likesidet trekant

Tre like punktmasser $m = 0{,}500\,\text{kg}$ sitter i hjørnene av en likesidet trekant med sidekant $a = 0{,}600\,\text{m}$ . Massene er festet til hverandre med lette staver.

a) Finn treghetsmomentet om en akse gjennom ett av hjørnene, vinkelrett på trekantplanet.
b) Finn treghetsmomentet om en akse gjennom massesenteret, vinkelrett på trekantplanet.
c) Kontroller at de to svarene henger sammen slik Steiners sats krever.

a) Symbolsk. Sett aksen i hjørnet

A

. Massen i

A

har

r = 0

og bidrar ingenting. De to andre hjørnene ligger i den vinkelrette avstanden

a

fra aksen, siden trekanten er likesidet og aksen står vinkelrett på planet:

I_A = m\cdot 0^2 + m a^2 + m a^2 = 2ma^2.

Rask vei til tall.
$I_A = 2 \cdot 0{,}500\,\text{kg} \cdot (0{,}600\,\text{m})^2 = 2 \cdot 0{,}500 \cdot 0{,}360\,\text{kg}\cdot\text{m}^2 = 0{,}360\,\text{kg}\cdot\text{m}^2.$

b) Massesenteret til tre like masser ligger i trekantens geometriske sentrum, og avstanden fra sentrum til hvert hjørne i en likesidet trekant er $a/\sqrt{3}$ . Alle tre massene ligger i den samme vinkelrette avstanden:
$I_\text{CM} = 3m\left(\frac{a}{\sqrt3}\right)^2 = 3m\cdot\frac{a^2}{3} = ma^2 = 0{,}180\,\text{kg}\cdot\text{m}^2.$

c) Steiners sats sier at treghetsmomentet om en akse i avstanden $d$ fra en parallell akse gjennom massesenteret er $I = I_\text{CM} + Md^2$ . Her er $M = 3m = 1{,}500\,\text{kg}$ og $d = a/\sqrt3 = 0{,}3464\,\text{m}$ :
$I_\text{CM} + Md^2 = ma^2 + 3m\cdot\frac{a^2}{3} = ma^2 + ma^2 = 2ma^2 = I_A. \checkmark$
Med tall: $0{,}180 + 1{,}500 \cdot 0{,}3464^2 = 0{,}180 + 0{,}180 = 0{,}360\,\text{kg}\cdot\text{m}^2$ .

Legg merke til hva dette betyr. Treghetsmomentet om hjørnet er dobbelt så stort som om massesenteret, med akkurat samme masse. Aksen alene fordoblet svaret. Og legg merke til retningen: $I_A > I_\text{CM}$ , aldri motsatt.

📝Oppgave 3

Sjanger M4

Fire punktmasser på $0{,}300\,\text{kg}$ hver sitter i hjørnene av et kvadrat med sidekant $0{,}500\,\text{m}$ , forbundet med lette staver.

a) Finn treghetsmomentet om en akse gjennom kvadratets sentrum, vinkelrett på kvadratplanet.

b) Finn treghetsmomentet om en akse gjennom ett av hjørnene, vinkelrett på planet.

c) Bruk Steiners sats til å kontrollere at de to svarene er forenlige.

Løkke 3 — når massen er kontinuerlig fordelt: $\int r^2\,dm$ (~18 min)

En stang er ikke en samling punktmasser. Den er en sammenhengende masse, og summen $\sum m_ir_i^2$ blir da et integral. Ideen er den samme som når strekningen ble integralet av farten i kap. 1.1: del legemet i så små biter at hver bit kan regnes som en punktmasse, og summer.

$I = \int r^2\,dm.$

Hele håndverket ligger i å skrive $dm$ riktig. Massen til en liten bit er tettheten ganger bitens størrelse, og hvilken tetthet du bruker, avhenger av om legemet er en linje, en flate eller et volum.

Masseelement

dm

Linjetetthet

\lambda

Flatetetthet

\sigma

Volumtetthet

\rho

La oss gjøre den viktigste utledningen i kapitlet: den homogene stanga. Den er verdt å kunne gjennomføre, ikke fordi svaret ikke står på arket, men fordi den viser hvor stor forskjell aksevalget gjør.

En homogen stang med masse $M$ og lengde $L$ har $\lambda = M/L$ . Legg først aksen i den ene enden, og la $x$ måle avstanden fra aksen. Da er $r = x$ , og

$I_\text{ende} = \int_0^L x^2\,\lambda\,dx = \frac{M}{L}\int_0^L x^2\,dx = \frac{M}{L}\cdot\frac{L^3}{3} = \tfrac13 ML^2.$

Flytt så aksen til midten. Nå går $x$ fra $-L/2$ til $+L/2$ :

$I_\text{midt} = \frac{M}{L}\int_{-L/2}^{L/2} x^2\,dx = \frac{M}{L}\cdot\frac{2}{3}\left(\frac{L}{2}\right)^3 = \tfrac{1}{12}ML^2.$

Intuisjon: de to svarene skiller seg med en faktor fire. Grunnen er kvadratet: når aksen flyttes til enden, kommer halve massen dobbelt så langt unna, og bidraget vokser med kvadratet av avstanden. Integrasjonsgrensene er altså ikke en formalitet — de er selve aksevalget (felle #7 i bokas feilregister: feil grenser i $\int r^2\,dm$ ).

Kontroll som er verdt å gjøre hver gang: er svaret på formen (et tall mindre enn 1) $\times ML^2$ ? Alle treghetsmomenter for et legeme med utstrekning $L$ eller $R$ har den formen, og tallet foran er alltid mindre enn 1 for en akse gjennom legemet.

✏️Eksempel 3: stang der massen er tyngst i den ene enden

En stang med lengde

L = 0{,}900\,\text{m}

og total masse

M = 1{,}200\,\text{kg}

har linjetettheten

\lambda(x) = \lambda_0\left(1 + \frac{x}{L}\right), \qquad 0 \le x \le L,

altså dobbelt så tett i enden

x = L

som i enden

x = 0

a) Uttrykk $\lambda_0$ ved $M$ og $L$ .
b) Finn treghetsmomentet om en akse gjennom enden $x = 0$ , vinkelrett på stanga.
c) Hvor ligger massesenteret?
d) Sammenlign svaret i b) med en homogen stang med samme masse og lengde.

a) Totalmassen er integralet av linjetettheten:

M = \int_0^L \lambda_0\left(1 + \frac{x}{L}\right)dx = \lambda_0\left[x + \frac{x^2}{2L}\right]_0^L = \lambda_0\left(L + \frac{L}{2}\right) = \frac{3\lambda_0 L}{2}.

\lambda_0 = \frac{2M}{3L} = \frac{2 \cdot 1{,}200}{3 \cdot 0{,}900}\,\text{kg/m} = 0{,}8889\,\text{kg/m}.

b) Symbolsk. Med aksen i $x = 0$ er $r = x$ :
$I = \int_0^L x^2\lambda_0\left(1 + \frac{x}{L}\right)dx = \lambda_0\left[\frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4L}\right]_0^L = \lambda_0 L^3\left(\frac13 + \frac14\right) = \frac{7\lambda_0 L^3}{12}.$
Sett inn $\lambda_0 = 2M/(3L)$ :
$I = \frac{7}{12}\cdot\frac{2M}{3L}\cdot L^3 = \frac{7}{18}ML^2.$

Rask vei til tall.
$I = \frac{7}{18}\cdot 1{,}200\,\text{kg}\cdot(0{,}900\,\text{m})^2 = 0{,}3889 \cdot 1{,}200 \cdot 0{,}810\,\text{kg}\cdot\text{m}^2 = 0{,}3780\,\text{kg}\cdot\text{m}^2.$

c) Massesenteret er det massevektede gjennomsnittet av posisjonen:
$x_\text{CM} = \frac{1}{M}\int_0^L x\,\lambda(x)\,dx = \frac{\lambda_0}{M}\left[\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3L}\right]_0^L = \frac{\lambda_0 L^2}{M}\left(\frac12 + \frac13\right) = \frac{5\lambda_0 L^2}{6M}.$
Med $\lambda_0 = 2M/(3L)$ blir dette
$x_\text{CM} = \frac{5}{6}\cdot\frac{2}{3}L = \frac{5L}{9} = 0{,}500\,\text{m}.$
Punktet ligger altså litt forbi midten, mot den tunge enden — som det skal.

d) En homogen stang har $I_\text{ende} = \tfrac13 ML^2 = 0{,}3240\,\text{kg}\cdot\text{m}^2$ . Forholdet er
$\frac{7/18}{1/3} = \frac{7}{6} = 1{,}1667,$
altså om lag 17 prosent mer. Det er rimelig: den tunge enden ligger langt fra aksen, og der teller massen med kvadratet av avstanden.

Sluttsjekk på formen: svaret $\tfrac{7}{18} = 0{,}3889$ ligger mellom $\tfrac13$ (homogen om enden) og $\tfrac12$ (all masse i den fjerne halvdelen ville gitt mer). Det er nettopp det vi forventer av en stang som er tyngst ytterst.

📝Oppgave 4

Sjanger M4

En stang med lengde

L = 1{,}200\,\text{m}

og masse

M = 0{,}900\,\text{kg}

har linjetettheten

\lambda(x) = \lambda_0\,\frac{x}{L}, \qquad 0 \le x \le L,

altså null masse helt i enden

x=0

og tettest i

x = L

a) Vis at $\lambda_0 = 2M/L$ .

b) Finn treghetsmomentet om en akse gjennom $x = 0$ , vinkelrett på stanga, uttrykt ved $M$ og $L$ , og regn ut tallverdien.

c) Finn massesenteret.

📝Oppgave 5

(Kvalitativ oppgave — konseptrangering. Denne typen kommer som rent flervalgsspørsmål på eksamen.) Fire legemer har alle samme masse $M$ og samme ytre radius $R$ : en tynn ring (all masse i randen), en kompakt kule, en tynn kuleskall og en massiv sylinder. Alle roterer om en akse gjennom massesenteret.

a) Ranger de fire treghetsmomentene fra størst til minst, og begrunn rangeringen i ett resonnement som ikke bruker tallene.

b) Forklar hvorfor rangeringen er den samme uansett hvilke verdier $M$ og $R$ har.

Løkke 4 — Steiners sats (~16 min)

— naturlig pausepunkt —

Nå kommer verktøyet som løser eksamensproblemet. Formelarket gir deg treghetsmomentet om en akse gjennom massesenteret. Oppgaven spør nesten alltid om en annen akse: stanga henger i enden, kula ruller om kontaktpunktet, skiva er hengt opp i randen. Steiners sats er brua mellom de to.

📜Steiners sats

I_\text{CM}

være treghetsmomentet om en akse gjennom massesenteret, og la den nye aksen være parallell med den og ligge i avstanden

d

fra den. Da er

I = I_\text{CM} + Md^2,

der

M

er legemets totale masse. Satsen står på det utdelte arket, men å bruke den riktig er en aktiv ferdighet, og den har tre betingelser som alle må være oppfylt:

1. de to aksene må være parallelle (satsen sier ingenting om aksen dreies);
2. den ene aksen må gå gjennom massesenteret — du kan ikke hoppe direkte mellom to vilkårlige akser;
3. $d$ er den vinkelrette avstanden mellom aksene.

Fordi $Md^2$ alltid er positiv, følger et resultat som er verdt å bruke som sluttsjekk hver gang: treghetsmomentet er minst om en akse gjennom massesenteret, og enhver parallell forskyvning gjør det større.

Hvorfor holder satsen? Ideen er kort. Legg massesenteret i origo og la den nye aksen ligge i avstanden

d

langs

x

-aksen. Et masseelement som ligger i

(x, y)

har da avstanden

x^2+y^2

til CM-aksen og

(x-d)^2 + y^2

til den nye:

$I = \int\left[(x-d)^2 + y^2\right]dm = \int\left(x^2+y^2\right)dm - 2d\int x\,dm + d^2\int dm.$

Det første integralet er $I_\text{CM}$ . Det siste er $Md^2$ . Og det midterste er null — for $\int x\,dm = Mx_\text{CM}$ , og vi la nettopp massesenteret i origo, så $x_\text{CM}=0$ .

Intuisjon: kryssleddet forsvinner nøyaktig fordi vi målte fra massesenteret. Det er derfor betingelse 2 ikke kan slippes: prøver du å bruke satsen mellom to akser der ingen går gjennom CM, står kryssleddet igjen, og svaret blir feil.

La oss se hva satsen gjør i praksis. En kompakt kule har $I_\text{CM} = \tfrac25MR^2$ . Legger vi aksen tangentielt langs overflaten, er $d = R$ :

$I = \tfrac25MR^2 + MR^2 = \tfrac75MR^2.$

Med $M = 2{,}400\,\text{kg}$ og $R = 0{,}150\,\text{m}$ blir $I_\text{CM} = 0{,}02160\,\text{kg}\cdot\text{m}^2$ og $I = 0{,}07560\,\text{kg}\cdot\text{m}^2$ — en faktor $3{,}5$ større. Steiner-leddet dominerer altså fullstendig, og det er nettopp derfor det å glemme det (felle #4 — glemt Steiner-ledd når aksen ligger utenfor massesenteret) gir et svar som ikke er litt feil, men grovt feil.

Rask vei til tall (MC-oppskrift)

Dette er den korteste feilfrie veien fra oppgitte tall til bokstavsvaret i denne sjangeren.

1. Hvilken lov? Punktmasser: $I=\sum m_ir_i^2$ . Legeme: slå opp $I_\text{CM}$ på arket. Ikke-homogent legeme: $I=\int r^2dm$ .
2. Hvilken ene regnelinje? Spør: går aksen gjennom massesenteret? Hvis nei, skriv $I = I_\text{CM} + Md^2$ med én gang, før du regner noe.
3. Hva hentes hvor? Standardtreghetsmomentene ( $\tfrac{1}{12}ML^2$ , $\tfrac13ML^2$ , $\tfrac25MR^2$ , $\tfrac23MR^2$ , $\tfrac12MR^2$ , $MR^2$ ) og Steiners sats står på det utdelte arket. Integraler av potensfunksjoner slår du opp i Rottmann. Aksevalget og oppsettet må du gjøre selv.
4. Hvor mange siffer? Behold fire gjennom kjeden. Treghetsmomenter er små tall med potenser av 10, og en tidlig avrunding av $R^2$ flytter deg lett til nabo-alternativet.
5. Hva sjekker du før du krysser av? (i) Er enheten $\text{kg}\cdot\text{m}^2$ ? (ii) Er svaret større enn $I_\text{CM}$ når aksen ligger utenfor massesenteret? (iii) Ligger tallet foran $MR^2$ eller $ML^2$ mellom $0$ og omtrent $2$ ? Er det mye større, har du sannsynligvis brukt en avstand i stedet for en avstand i annen — eller glemt en faktor.

📝Oppgave 6

Sjanger M4

En homogen skive med masse $M = 2{,}000\,\text{kg}$ og radius $R = 0{,}250\,\text{m}$ roterer om en akse som står vinkelrett på skiva, men som er flyttet ut til punktet midt mellom sentrum og randen.

a) Finn treghetsmomentet om denne aksen, uttrykt ved $M$ og $R$ .

b) Regn ut tallverdien, og oppgi hvor mange prosent større den er enn om aksen gikk gjennom sentrum.

✏️Eksempel 4: skive med påmontert klump, i flervalgsformat (eksamensnivå)

Dette er et komplett flervalgsspørsmål av den typen som kommer på eksamen: seks alternativer A–F, og bare bokstaven teller.

En homogen skive har masse $M = 3{,}000\,\text{kg}$ og radius $R = 0{,}200\,\text{m}$ . En liten klump med masse $m = 1{,}500\,\text{kg}$ , som kan regnes som en punktmasse, er festet på randen. Skiva roterer om en akse gjennom det motsatte randpunktet, vinkelrett på skiveplanet.

Hvor stort er treghetsmomentet om denne aksen?

A $0{,}1800\,\text{kg}\cdot\text{m}^2$ · B $0{,}2400\,\text{kg}\cdot\text{m}^2$ · C $0{,}3000\,\text{kg}\cdot\text{m}^2$ · D $0{,}4080\,\text{kg}\cdot\text{m}^2$ · E $0{,}4200\,\text{kg}\cdot\text{m}^2$ · F $0{,}4800\,\text{kg}\cdot\text{m}^2$

Svar: E.

Hvilken lov? Treghetsmomentet til et sammensatt legeme er summen av delenes treghetsmomenter om samme akse. Her er det to deler: skiva og klumpen. Begge må flyttes til aksen i randen.

Skiva. $I_\text{CM} = \tfrac12MR^2$ , og aksen ligger $d = R$ unna:
$I_\text{skive} = \tfrac12MR^2 + MR^2 = \tfrac32MR^2 = 1{,}5 \cdot 3{,}000 \cdot 0{,}0400\,\text{kg}\cdot\text{m}^2 = 0{,}1800\,\text{kg}\cdot\text{m}^2.$

Klumpen. Den sitter på randen på motsatt side av aksen, altså i avstanden $2R$ — en punktmasse trenger ikke Steiner, den har bare $mr^2$ :
$I_\text{klump} = m(2R)^2 = 1{,}500 \cdot (0{,}400)^2\,\text{kg}\cdot\text{m}^2 = 0{,}2400\,\text{kg}\cdot\text{m}^2.$

Sum:
$I = 0{,}1800 + 0{,}2400 = 0{,}4200\,\text{kg}\cdot\text{m}^2.$

Hvor mange siffer? Alternativene skiller seg med under 10 prosent på de nærmeste, så behold fire gjennom kjeden. Her går tallene opp, men det kan du ikke regne med.

Hvilken felle er hvert galt alternativ regnet fram fra?

- Alternativet C ( $0{,}3000$ ) er å glemme Steiner-leddet for skiva og bruke $\tfrac12MR^2$ om en akse i randen — felle #4.
- Alternativet B ( $0{,}2400$ ) er å plassere klumpen i avstanden $R$ fra aksen i stedet for $2R$ . Klumpen ligger på motsatt rand, og aksen ligger i randen — avstanden mellom to motstående randpunkter er diameteren.
- Alternativet D ( $0{,}4080$ ) er å bruke kule-formelen $\tfrac25MR^2$ i stedet for skiveformelen $\tfrac12MR^2$ før Steiner legges til. Det er samme oppskrift med feil oppslag på arket.
- Alternativet A ( $0{,}1800$ ) er å glemme klumpen helt, altså bare regne skiva.
- Alternativet F ( $0{,}4800$ ) er å lese ring-linja $MR^2$ på arket i stedet for skive-linja $\tfrac12MR^2$ , og deretter legge til Steiner-leddet: $MR^2 + MR^2 = 2MR^2$ . Samme metode, feil linje på arket.

Sluttsjekken som stryker to alternativer på tjue sekunder. Skiva alene om randen er $0{,}1800$ , og klumpen kan bare legge til. Alt som er mindre enn eller lik $0{,}1800$ , er derfor umulig — det stryker A direkte. Videre bidrar klumpen med $1{,}500 \cdot 0{,}1600 = 0{,}2400$ , altså mer enn skiva selv, så svaret må ligge over det dobbelte av skivas bidrag: det stryker C og B også. Da står du igjen med tre alternativer, og de skiller seg bare i hvilken linje på arket du leste.

📝Oppgave 7

Eksamensnivå, sjanger M4

En homogen stang med masse $M_s = 0{,}500\,\text{kg}$ og lengde $L = 0{,}800\,\text{m}$ er hengslet i den ene enden. I den andre enden er det festet en kompakt kule med masse $M_k = 1{,}200\,\text{kg}$ og radius $R = 0{,}100\,\text{m}$ , slik at kulas nærmeste punkt så vidt berører stangenden — kulesentret ligger altså i avstanden $L+R$ fra hengselet.

a) Finn treghetsmomentet om hengselaksen.

b) Hvor stor prosentvis feil gjør du hvis du behandler kula som en punktmasse i avstanden $L+R$ ?

📝Oppgave 8

Sjanger M4,…

En tynn skive med radius

R

har en flatetetthet som vokser lineært utover fra sentrum:

\sigma(r) = \sigma_0\,\frac{r}{R}.

a) Vis at den totale massen er $M = \tfrac23\pi\sigma_0R^2$ .

b) Finn treghetsmomentet om symmetriaksen gjennom sentrum, uttrykt ved $M$ og $R$ .

c) En slik skive har $M = 1{,}600\,\text{kg}$ og $R = 0{,}300\,\text{m}$ . Regn ut $I$ , og sammenlign med en homogen skive med samme masse og radius.

📝Oppgave 9

(Kvalitativ oppgave.) En medarbeider hevder at Steiners sats «noen ganger gir et mindre treghetsmoment, hvis den nye aksen ligger nærmere mesteparten av massen».

a) Er påstanden riktig? Begrunn svaret ut fra formen på satsen.

b) Hva er den fysiske betydningen av at treghetsmomentet er minst om en akse gjennom massesenteret?

c) Gjelder Steiners sats mellom to akser der ingen av dem går gjennom massesenteret? Forklar.

📝Oppgave 10

Eksamensnivå, sjanger…

To skiver er montert på hver sin akse, men roterer om samme akse: en stor skive med masse $1{,}000\,\text{kg}$ og radius $0{,}120\,\text{m}$ roterer om sin egen symmetriakse, og en liten skive med masse $0{,}400\,\text{kg}$ og radius $0{,}060\,\text{m}$ er festet slik at dens sentrum ligger i avstanden $0{,}120 + 0{,}060$ fra den store skivas sentrum, med skiveplanene parallelle.

Hvor stort er systemets treghetsmoment om den store skivas symmetriakse?

A $0{,}00720\,\text{kg}\cdot\text{m}^2$ · B $0{,}00792\,\text{kg}\cdot\text{m}^2$ · C $0{,}02016\,\text{kg}\cdot\text{m}^2$ · D $0{,}02088\,\text{kg}\cdot\text{m}^2$ · E $0{,}01368\,\text{kg}\cdot\text{m}^2$ · F $0{,}02268\,\text{kg}\cdot\text{m}^2$

Typiske feil — og faktorfellen som lander på nabo-alternativet

Å glemme Steiner-leddet (felle #4 — glemt Steiner-ledd når aksen ligger utenfor massesenteret). Dette er kapitlets dyreste feil, og den er lett å gjøre fordi formelarket gir deg

I_\text{CM}

ferdig servert. Motgiften er en vane, ikke et regnetriks: før du slår opp noe som helst, spør du «går aksen gjennom massesenteret?» Er svaret nei, skriv

+Md^2

på arket med én gang.

Å bruke feil avstand i $\sum m_ir_i^2$ . Avstanden skal måles vinkelrett på aksen, og for en akse ut av papirplanet er det avstanden i planet. I en likesidet trekant med akse gjennom ett hjørne er avstandene til de to andre hjørnene sidekanten $a$ — ikke høyden $a\sqrt3/2$ . Bruker du høyden, får du $2m\cdot\tfrac34a^2 = 1{,}5ma^2$ i stedet for $2ma^2$ , altså 25 prosent for lite, og det ligger som et alternativ.

Å velge feil standard- $I$ på arket. Arket har fem–seks linjer som ser like ut: $\tfrac25MR^2$ (kompakt kule), $\tfrac23MR^2$ (kuleskall), $\tfrac12MR^2$ (massiv sylinder og skive), $MR^2$ (ring og sylinderskall), $\tfrac{1}{12}ML^2$ (stang om midten) og $\tfrac13ML^2$ (stang om enden). Under tidspress er kule/skall og de to stangvariantene de vanligste forbytningene. Les alltid både hvilket legeme og hvilken akse linja gjelder for.

Å bruke $\tfrac13ML^2$ og så legge til Steiner. Dette er dobbelttelling: $\tfrac13ML^2$ er stanga om endepunktet, altså Steiner allerede utført. Vil du sjekke: $\tfrac{1}{12}ML^2 + M(L/2)^2 = \tfrac{1}{12}ML^2 + \tfrac14ML^2 = \tfrac13ML^2$ . Legger du på et Steiner-ledd igjen, får du $\tfrac{7}{12}ML^2$ , som er et klassisk galt alternativ.

Feil integrasjonsgrenser (felle #7 — feil grenser i $\int r^2\,dm$ ). Grensene er aksevalget. Fra $0$ til $L$ gir aksen i enden; fra $-L/2$ til $L/2$ gir aksen i midten. Bytter du dem om, får du en faktor fire feil.

Og faktorfellen som avgjør flervalget (felle #16 — avrundingsfeil som lander på nabo-alternativet): treghetsmomenter er små tall der alt henger på et kvadrat. Runder du $R = 0{,}150\,\text{m}$ til $0{,}15$ er det harmløst, men runder du $R^2 = 0{,}0225$ til $0{,}02$ , har du gjort en feil på 11 prosent — mer enn nok til å treffe nabo-alternativet. Kvadrer alltid før du runder, og behold fire siffer gjennom kjeden. Og hold orden på tierpotensene: går radien fra centimeter til meter, endrer $R^2$ seg med en faktor $10^4$ .

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard- og repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Treghetsmoment: stang om midten

M

Treghetsmoment: stang om endepunktet

I = \tfrac13ML^2.

Treghetsmoment: kompakt kule

M

Treghetsmoment: tynt kuleskall

M

Treghetsmoment: massiv sylinder og skive

M

Treghetsmoment: ring og sylinderskall

R

Treghetsmoment: tynn rektangulær plate

a

Treghetsradius

k

Treghetsmoment er additivt

I = I_1 + I_2 + \dots

Steiner-refleksen (arbeidsvane)

I = I_\text{CM} + Md^2

Rotasjonsenergi

K_\text{rot} = \tfrac12 I\omega^2,

Rotasjonsakse

Den rette linja alle punktene i et roterende, stivt legeme beveger seg i sirkler omkring. Aksen kan ligge inne i legemet (en skive om sentrum), i randen (en skive hengt opp i kanten) eller helt utenfor legemet. Fordi treghetsmomentet avhenger av aksen, er et spørsmål om treghetsmoment ufullstendig til aksen er oppgitt — og på eksamen er nettopp aksens plassering ofte det eneste som skiller riktig svar fra et av alternativene. Les alltid setningen som oppgir aksen to ganger.

Sjanger M4 — treghetsmoment og Steiners sats

Bokas navn på oppgaveformen der du skal finne treghetsmomentet til et legeme eller et system om en oppgitt akse. Den forekommer i praktisk talt alle eksamenssett (~100 %) og hører til mekanikkhalvdelen, spørsmål 1-20 . Formen har fire varianter: punktmasser i en figur, oppslag av et standardlegeme, integrasjon når massen ikke er jevnt fordelt, og — den klart vanligste — et standardlegeme om en akse utenfor massesenteret, der Steiners sats må med. Sjangeren er også en forutsetning for dreieimpuls i kap. 4.2, statikk i kap. 4.3 og fysisk pendel i kap. 5.1 .

Felle #4 — glemt Steiner-ledd

I_\text{CM}

Formelarket: treghetsmomentene

I=I_0+Md^2

Symbol- og formelliste

Repetisjonsoppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.

4.1 Massesenter, treghetsmoment og Steiners sats

Forkunnskaper — sist du var her

Løkke 1 — massesenteret (~12 min)

Løkke 2 — treghetsmoment for punktmasser (~14 min)

Løkke 3 — når massen er kontinuerlig fordelt: ∫r2 dm\int r^2\,dm∫r2dm (~18 min)

Løkke 4 — Steiners sats (~16 min)

Rask vei til tall (MC-oppskrift)

Begrepsbank

Løkke 3 — når massen er kontinuerlig fordelt: $\int r^2\,dm$ (~18 min)