4.3 Statikk og momentbalanse

Likevekt for stive legemer: $\sum\mathbf{F}=0$ og $\sum\tau=0$ om et klokt valgt punkt — bjelke, stupebrett, plate mot vegg, talje.

55 min

10 oppgaver

Statikkmomentbalanse

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.1Massesenter, treghetsmoment og Steiners sats

Brukes videre i

4.4Drill: treghetsmoment, dreieimpuls og statikk (sjanger M4, M5, M9)

Sjanger M9 — statikk og momentbalanse, altså «her er en konstruksjon som står stille, finn kreftene i den» — dukker opp i om lag 7 av 10 sett (~70 %). Temaet hører til mekanikkhalvdelen, spørsmål 1–20, og har prioritet bør sitte.

Signaturene er få og faste: en bjelke festet i et hengsel i veggen og holdt vannrett av en snor; et stupebrett som ligger på to opplagringspunkter med en person ute i enden; en stige eller plate som står mot en vegg og holdes av friksjon i gulvet; og et taljesystem der du skal finne hvor mye kraften reduseres.

Her taper studenter poeng på fortegn, ikke på fysikk. Likevektsbetingelsene er enkle å skrive ned. Det som går galt, er at et moment får feil fortegn, eller at en opplagerkraft som faktisk peker nedover blir regnet som om den peker oppover. Derfor har dette kapitlet én ufravikelig arbeidsvane: definer positiv rotasjonsretning eksplisitt i hver eneste oppgave, før du skriver den første momentlikningen. Det tar fem sekunder og fjerner den hyppigste feilen i sjangeren.

Det andre poenget er valget av momentpunkt. Det er ikke gitt av oppgaven — det velger du, og et klokt valg kan gjøre en oppgave med tre ukjente til én likning med én ukjent.

Forkunnskaper — sist du var her

Dette kapitlet bygger på kap. 4.1 og på kraftmomentet fra kap. 4.2. Du trenger tre ting, og de står her:

$\tau = rF\sin\phi = dF$
Kraftmomentet om et punkt, der $d = r\sin\phi$ er den vinkelrette avstanden fra punktet til kraftens virkelinje. Enheten er $\text{N}\cdot\text{m}$ . En kraft som peker rett mot punktet, har momentarm null og gir ingen rotasjon.

$x_\text{CM} = \frac{\sum m_ix_i}{\sum m_i}$
Massesenteret, som er det punktet der tyngden kan tegnes som én kraft. For en homogen bjelke er det midt på bjelken — det er hele grunnen til at $Mg$ får momentarmen $L/2$ .

$\sum \tau = I\alpha$
Newtons 2. lov for rotasjon. I dette kapitlet er $\alpha = 0$ , fordi alt står stille — og da blir loven $\sum\tau = 0$ . Statikk er altså ikke et nytt kapittel i fysikken; det er rotasjonsdynamikk med null på høyre side.

Fra fysikken på videregående: Vektorer og komponenter er verktøyet for å dekomponere en snorkraft i en vannrett og en loddrett del. Det gjør vi i hver eneste oppgave her.

Symbolmerknad. I dette kapitlet er $S$ et taustrekk i newton — i termodelen (Del 7) betyr samme bokstav entropi i J/K. $R$ er en radius eller en reaksjonskraft, aldri gasskonstanten. $N$ er en normalkraft, $f$ en friksjonskraft, og $\mu_s$ koeffisienten for statisk friksjon.

Løkke 1 — de to likevektsbetingelsene (~12 min)

Se på en balkong. Den henger ut fra veggen med en person og et bord på seg, og den beveger seg ikke. To ting må da være sant samtidig: den flytter seg ikke, og den dreier seg ikke. Det er de to likevektsbetingelsene, og de gir tilsammen tre likninger i planet.

Grunnen til at det er to betingelser og ikke én, er at et stivt legeme kan gjøre to slags bevegelser. En punktmasse kan bare flytte seg; en bjelke kan i tillegg vippe. Derfor er $\sum\mathbf{F}=0$ alene ikke nok for en bjelke — en vippe med et barn på hver side kan godt ha kraftbalanse og likevel begynne å dreie.

Statisk likevekt

\sum F_x = 0, \qquad \sum F_y = 0, \qquad \sum \tau = 0.

Frilegemediagram

M\mathbf{g}

Positiv rotasjonsretning

Den retningen du selv velger å regne som positiv når du summerer momenter — vanligvis mot klokka, men valget er fritt så lenge du holder det. Konvensjonen må skrives ned før den første momentlikningen, for hvert eneste moment får sitt fortegn av den: en kraft som ville dreid legemet den valgte veien, gir positivt moment, en som ville dreid det motsatt, gir negativt. Dette er kapitlets viktigste arbeidsvane. Uten en nedskrevet konvensjon blir fortegnene gjetning, og en fortegnsfeil i én av tre likninger ødelegger hele svaret — også når hver enkelt kraft er riktig regnet ut.

📜Likevektsbetingelsene for et stivt legeme

Et stivt legeme i planet er i likevekt når og bare når

\sum F_x = 0, \qquad \sum F_y = 0, \qquad \sum \tau_P = 0

for et vilkårlig valgt punkt

P

. Betingelsene står på det utdelte arket i formen

\sum F = ma

\sum\tau=I\alpha

med null på høyre side, men oppsettet — hvilke krefter som finnes, hvor de virker, og hvilket punkt du velger — [må kunne brukes eller utledes aktivt].

Tre presiseringer som avgjør oppgaver:

1. Momentbetingelsen om ett punkt er nok, forutsatt at kraftbetingelsene også brukes. Du får ikke flere uavhengige likninger ved å velge et annet punkt i tillegg — men du kan bruke et annet punkt som kontroll.
2. Tyngden virker i massesenteret. For en homogen bjelke med lengde $L$ betyr det momentarmen $L/2$ fra hver ende.
3. En ukjent kraft du har tegnet i gal retning, kommer ut negativ. Det er ikke en feil — det er svaret som forteller deg at kraften peker motsatt vei. Behold fortegnet, og skriv i klartekst hva det betyr.

✏️Eksempel 1: vippa som skal balansere

Et vippebrett med lengde $4{,}00\,\text{m}$ er opplagret i midten. Et barn med masse $24{,}0\,\text{kg}$ sitter $1{,}800\,\text{m}$ fra opplagringspunktet på den ene siden.

a) Hvor langt fra midten må et barn på $32{,}0\,\text{kg}$ sitte for at vippa skal balansere?
b) Hvor stor er kraften fra opplagringspunktet, når brettets egen masse er så liten at vi ser bort fra den?

Frilegemediagram. Isoler brettet med barna. Tre krefter virker på det: de to tyngdene

m_1g

m_2g

rett ned, og normalkraften

N

rett opp fra opplagringspunktet.

Positiv rotasjonsretning: mot klokka. Det første barnet sitter til venstre og dreier brettet mot klokka (positivt), det andre til høyre og dreier med klokka (negativt).

a) Legg momentpunktet i opplagringspunktet. Da faller $N$ ut, siden den har momentarm null der:
$\sum\tau = m_1g\,x_1 - m_2g\,x_2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x_2 = \frac{m_1}{m_2}x_1.$
Legg merke til at $g$ faller ut på begge sider — svaret er uavhengig av tyngdeakselerasjonen, og vippa ville balansert likt på Månen.
$x_2 = \frac{24{,}0}{32{,}0} \cdot 1{,}800\,\text{m} = 1{,}350\,\text{m}.$

b) Kraftbetingelsen loddrett:
$N = (m_1+m_2)g = 56{,}0 \cdot 9{,}81\,\text{N} = 549{,}360\,\text{N} \approx 549{,}360\,\text{N}.$

Sluttsjekk, to ledd. (i) Det tyngste barnet må sitte nærmest midten, og $1{,}350 < 1{,}800$ ✔. (ii) Kontroller momentlikningen om et annet punkt, for eksempel det første barnets plass: $N\cdot x_1 - m_2g(x_1+x_2) = 549{,}360 \cdot 1{,}800 - 313{,}92 \cdot 3{,}150 = -0{,}000\,\text{N}\cdot\text{m} \approx 0$ ✔. At regnestykket går opp om et annet punkt, er den sterkeste kontrollen statikken har.

📝Oppgave 1

(Innstegsoppgave — begreper.)

a) Hvorfor er det ikke nok at summen av kreftene er null for at en bjelke skal stå stille? Gi et konkret eksempel.

b) En kraft på $150{,}0\,\text{N}$ virker loddrett nedover i avstanden $0{,}600\,\text{m}$ fra et momentpunkt. Hvor stort er momentet, og hvilken vei dreier det legemet?

📝Oppgave 2

Sjanger M9

Et vippebrett er opplagret $1{,}200\,\text{m}$ fra den ene enden og har total lengde $4{,}00\,\text{m}$ . Brettet er homogent med masse $20{,}0\,\text{kg}$ . Et barn med masse $35{,}0\,\text{kg}$ setter seg helt ute på den korte enden.

a) Hvor stort moment gir brettets egen tyngde om opplagringspunktet, og hvilken vei dreier det?

b) Må noe holde den lange enden nede, eller balanserer brettet av seg selv? Begrunn med tall.

Løkke 2 — det kloke momentpunktet (~14 min)

Nå kommer det som gjør statikk raskt. Momentbetingelsen gjelder om hvilket som helst punkt. Det betyr at du kan velge punktet slik at de ukjente du ikke er interessert i, forsvinner av seg selv — for en kraft som virker gjennom momentpunktet, har momentarm null.

Regelen er derfor kort: legg momentpunktet der en ukjent kraft virker. I en bjelke festet med hengsel finnes det to ukjente hengselkrefter, og legger du punktet i hengselet, faller begge ut samtidig. Da står du igjen med én likning og én ukjent — snorstrekket — og den kan du løse direkte.

Momentpunkt

Det punktet du velger å regne momenter om. Valget er fritt (så lenge legemet er i likevekt), og det er et regneverktøy : hver kraft som virker gjennom punktet, faller ut av momentlikningen, fordi momentarmen er null. Strategien er derfor å legge punktet der de ukjente kreftene du ikke spør etter virker — typisk i et hengsel, et opplagringspunkt eller foten av en stige. Et dårlig valgt punkt gir en likning med tre ukjente og tvinger deg til å løse et likningssystem; et klokt valgt punkt gir svaret i én linje. Et annet punkt kan i tillegg brukes som uavhengig kontroll til slutt.

Hengselkraft

H_x

Taustrekk

S

✏️Eksempel 2: bjelken i hengsel, holdt av en snor

En homogen bjelke med masse $M = 40{,}0\,\text{kg}$ og lengde $L = 3{,}00\,\text{m}$ er festet til en vegg med et hengsel og holdes vannrett av en snor som går fra bjelkens ytterende opp til veggen. Snora danner vinkelen $\phi = 35^\circ$ med bjelken.

a) Finn strekket i snora.
b) Finn de to komponentene av hengselkraften, og kraftens tallverdi og retning.
c) Kontroller svaret ved å regne momentet om et annet punkt.

Frilegemediagram (se figuren over). Fire krefter virker på bjelken: tyngden

Mg

rett ned i midten, strekket

S

langs snora fra ytterenden, og hengselkreftene

H_x

H_y

. Vi tegner

H_x

mot høyre og

H_y

oppover, og lar fortegnene korrigere oss om vi tok feil.

Positiv rotasjonsretning: mot klokka.

a) Symbolsk. Legg momentpunktet i hengselet. Da faller både $H_x$ og $H_y$ ut. Tyngden har momentarmen $L/2$ og dreier bjelken med klokka (negativt). Snorkraftens komponent vinkelrett på bjelken er $S\sin\phi$ , med momentarm $L$ , og den dreier mot klokka (positivt):
$\sum\tau = S\sin\phi \cdot L - Mg\cdot\frac{L}{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad S = \frac{Mg}{2\sin\phi}.$
Legg merke til at $L$ faller ut. Strekket er uavhengig av bjelkens lengde — bare av massen og vinkelen.

Rask vei til tall.
$S = \frac{40{,}0 \cdot 9{,}81}{2 \cdot \sin 35^\circ}\,\text{N} = \frac{392{,}40}{2 \cdot 0{,}57358}\,\text{N} = \frac{392{,}40}{1{,}14715}\,\text{N} = 342{,}0643\,\text{N} \approx 342{,}064\,\text{N}.$

b) Kraftbetingelsene. Snorkraften peker opp og inn mot veggen, så dens vannrette komponent er $-S\cos\phi$ :
$\sum F_x = H_x - S\cos\phi = 0 \quad\Longrightarrow\quad H_x = S\cos\phi = 342{,}0643 \cdot 0{,}81915\,\text{N} = 280{,}2026\,\text{N},$
$\sum F_y = H_y + S\sin\phi - Mg = 0 \quad\Longrightarrow\quad H_y = Mg - S\sin\phi = 392{,}40 - 196{,}200\,\text{N} = 196{,}2000\,\text{N}.$
Begge er positive, så vi tegnet dem riktig vei: hengselet skyver bjelken utover og oppover.

Tallverdien:
$H = \sqrt{H_x^2+H_y^2} = \sqrt{78513{,}5 + 38494{,}4}\,\text{N} = 342{,}0643\,\text{N},$
med retningen
$\arctan\frac{H_y}{H_x} = \arctan 0{,}70021 = 35{,}0^\circ \text{ over vannrett}.$

Legg merke til et pent resultat: $H_y = Mg - S\sin\phi = 2S\sin\phi - S\sin\phi = S\sin\phi$ , siden $Mg = 2S\sin\phi$ . Da er $H_x = S\cos\phi$ og $H_y = S\sin\phi$ , altså $H = S$ og vinkelen nøyaktig $\phi$ . Hengselkraften er like stor som snorstrekket, speilvendt om bjelken — i dette oppsettet, med tyngden i midten og snora i ytterenden. Det er en god sluttsjekk å kjenne.

c) Kontroll med et annet momentpunkt. Velg bjelkens ytterende, der snora er festet. Nå faller $S$ ut, og momentet fra $H_y$ (momentarm $L$ , dreier med klokka) må balansere tyngdens (momentarm $L/2$ , dreier mot klokka):
$-H_y\cdot L + Mg\cdot\frac{L}{2} = -196{,}2000 \cdot 3{,}00 + 392{,}40 \cdot 1{,}50 = 0{,}0000\,\text{N}\cdot\text{m} \approx 0. \checkmark$

Vanlige feil i denne oppgaven, med tall. Glemmer du faktoren $\tfrac12$ i tyngdens momentarm (altså plasserer tyngden i ytterenden), får du $S = 684{,}1285\,\text{N}$ — dobbelt så mye. Bruker du $\cos\phi$ i stedet for $\sin\phi$ i momentlikningen, får du $239{,}5160\,\text{N}$ . Begge tallene ligger som ferdige svaralternativer.

📝Oppgave 3

Sjanger M9

En homogen bjelke med masse $25{,}0\,\text{kg}$ og lengde $2{,}40\,\text{m}$ er festet i veggen med et hengsel og holdes vannrett av en snor fra ytterenden, i vinkelen $40^\circ$ med bjelken. En last på $15{,}0\,\text{kg}$ henger $1{,}800\,\text{m}$ fra hengselet.

a) Finn strekket i snora.

b) Finn hengselkraftens komponenter og tallverdi.

📝Oppgave 4

(Kvalitativ oppgave — strategi og fortegn.)

a) Hvorfor er det lurt å legge momentpunktet i hengselet når du skal finne snorstrekket i en bjelke?

b) En medstudent legger momentpunktet midt på bjelken i stedet. Får hun feil svar? Hva blir forskjellen i arbeidsmengde?

c) Hva betyr det fysisk hvis du løser for en opplagerkraft og får et negativt tall?

Løkke 3 — når en kraft peker den andre veien (~12 min)

— naturlig pausepunkt —

Et stupebrett ligger på to opplagringspunkter nær innerenden, og stuperen står ute i den frie enden. Hva gjør den innerste opplagringen? Den skyver ikke brettet opp — den holder det ned. Ellers ville brettet vippet om det ytterste punktet som en gigantisk vippe.

Dette er sjangerens klassiske fortegnsfelle, og den er lett å håndtere når du kjenner den: tegn kraften i den retningen du tror, regn, og les retningen ut av fortegnet.

✏️Eksempel 3: stupebrettet der en kraft blir negativ

Et homogent stupebrett med lengde $4{,}40\,\text{m}$ og masse $30{,}0\,\text{kg}$ ligger på to opplagringspunkter: $A$ helt i innerenden ( $x=0$ ) og $B$ i $x = 1{,}500\,\text{m}$ . En stuper med masse $60{,}0\,\text{kg}$ står helt ute i den frie enden.

a) Finn kreftene fra de to opplagringspunktene.
b) Tolk fortegnene fysisk.

Frilegemediagram. Fire krefter:

N_A

N_B

fra opplagringene (vi tegner begge oppover), brettets tyngde

M_pg

i midten (

x=2{,}20\,\text{m}

), og stuperens tyngde

m_dg

x=4{,}40\,\text{m}

Positiv rotasjonsretning: mot klokka.

a) Legg momentpunktet i $A$ , så faller $N_A$ ut:
$N_B\cdot 1{,}500 = M_pg\cdot 2{,}20 + m_dg\cdot 4{,}40$
$N_B = \frac{647{,}46 + 2589{,}84}{1{,}500}\,\text{N} = \frac{3237{,}30}{1{,}500}\,\text{N} = 2158{,}2000\,\text{N} \approx 2158{,}2000\,\text{N}.$

Kraftbetingelsen loddrett gir $N_A$ :
$N_A = (M_p+m_d)g - N_B = 882{,}900 - 2158{,}2000\,\text{N} = -1275{,}3000\,\text{N}.$

b) $N_A$ kom ut negativ. Det betyr at kraften peker motsatt vei av det vi tegnet: opplagringen i $A$ må trekke brettet ned med $1275{,}3000\,\text{N}$ , ikke skyve det opp. Fysisk er det rimelig — brettet er festet i innerenden, og stuperens vekt ute i enden vil ellers vippe hele brettet om punktet $B$ . Et stupebrett er derfor boltet fast innerst; det ligger ikke bare løst oppå.

Legg også merke til at $N_B = 2158{,}2000\,\text{N}$ er større enn den samlede tyngden på $882{,}900\,\text{N}$ . Det er ikke en feil: den ekstra kraften er nødvendig for å balansere nedholdet i $A$ . Summen er fortsatt riktig: $-1275{,}3000 + 2158{,}2000 = 882{,}900\,\text{N}$ ✔.

Kontroll med et annet momentpunkt. Velg $B$ . Nå faller $N_B$ ut, og $N_A$ har momentarm $1{,}500\,\text{m}$ :
$N_A = \frac{M_pg(1{,}500-2{,}20) + m_dg(1{,}500-4{,}40)}{1{,}500} = -1275{,}3000\,\text{N}. \checkmark$
Samme tall, samme fortegn, helt uavhengig regning. Det er den kontrollen som er verdt tjue sekunder på en eksamen.

Sluttsjekk: (i) $N_A + N_B$ må være lik den samlede tyngden ✔. (ii) Er stuperen på utsiden av det ytterste opplagringspunktet, må den innerste kraften være negativ — det er en regel du kan bruke som forhåndssjekk.

📝Oppgave 5

Sjanger M9

Et homogent stupebrett med lengde $4{,}00\,\text{m}$ og masse $25{,}0\,\text{kg}$ ligger på to opplagringer: $A$ i $x=0$ og $B$ i $x = 1{,}200\,\text{m}$ . En person med masse $55{,}0\,\text{kg}$ står i den frie enden.

a) Finn de to opplagerkreftene.

b) Hvor langt ute må personen minst stå for at kraften i $A$ skal bli negativ?

Løkke 4 — friksjon, talje og kantring (~15 min)

De siste tre variantene av sjangeren har hver sin lille nøkkel.

Stigen mot veggen løses av at veggen er glatt: da kan veggen bare gi en vannrett kraft, og hele tyngden må bæres av gulvet. Friksjonen i gulvet er det eneste som hindrer at foten glir ut.

Taljen løses ved å telle hvor mange tau som faktisk bærer lasten.

Kantring løses ved å spørre hvor tyngdens virkelinje treffer bakken i forhold til vippekanten.

Statisk friksjon og friksjonsgrensen

f \le \mu_s N,

Normalkraft

N

Talje og trinsesystem

n

✏️Eksempel 4: stigen mot den glatte veggen (eksamensnivå)

En homogen stige med lengde $5{,}00\,\text{m}$ og masse $18{,}0\,\text{kg}$ står mot en glatt (friksjonsfri) vegg og danner vinkelen $\theta = 62^\circ$ med gulvet.

a) Finn normalkraften fra gulvet.
b) Finn kraften fra veggen.
c) Hvor stor må friksjonskoeffisienten mellom stigen og gulvet minst være for at stigen ikke skal skli?

Frilegemediagram. Fire krefter virker på stigen: tyngden

Mg

i midten, normalkraften

N_\text{gulv}

rett opp fra gulvet, friksjonen

f

fra gulvet — rettet mot veggen, siden foten ville glidd fra veggen — og normalkraften

N_\text{vegg}

fra veggen, som står vinkelrett på veggen og altså er vannrett, rettet bort fra veggen.

Positiv rotasjonsretning: mot klokka.

a) Loddrett kraftbalanse. Veggen er glatt og gir ingen loddrett kraft:
$N_\text{gulv} = Mg = 18{,}0 \cdot 9{,}81\,\text{N} = 176{,}580\,\text{N}.$
Det er det første poenget i oppgaven: hele tyngden bæres av gulvet.

b) Symbolsk. Legg momentpunktet i foten av stigen. Da faller både $N_\text{gulv}$ og $f$ ut, siden begge virker der. Tyngden har momentarmen $\tfrac{L}{2}\cos\theta$ (vannrett avstand fra foten til massesenteret), og veggkraften har momentarmen $L\sin\theta$ (loddrett avstand fra foten til toppen):
$N_\text{vegg}\cdot L\sin\theta = Mg\cdot\frac{L}{2}\cos\theta \quad\Longrightarrow\quad N_\text{vegg} = \frac{Mg}{2\tan\theta}.$
Lengden $L$ faller ut igjen.

Rask vei til tall. $\tan 62^\circ = 1{,}88073$ :
$N_\text{vegg} = \frac{176{,}580}{2 \cdot 1{,}88073}\,\text{N} = \frac{176{,}580}{3{,}76145}\,\text{N} = 46{,}9446\,\text{N} \approx 46{,}945\,\text{N}.$

c) Vannrett kraftbalanse gir at friksjonen må være like stor som veggkraften:
$f = N_\text{vegg} = 46{,}9446\,\text{N}.$
Friksjonsgrensen er $f \le \mu_sN_\text{gulv}$ , altså
$\mu_s \ge \frac{f}{N_\text{gulv}} = \frac{46{,}9446}{176{,}580} = 0{,}26585 \approx 0{,}266.$
Symbolsk er dette
$\mu_s \ge \frac{1}{2\tan\theta},$
og det er verdt å legge på minnet: kravet avhenger bare av vinkelen, ikke av massen eller lengden. En brattere stige (større $\theta$ ) krever mindre friksjon — derfor setter man stigen bratt.

Sluttsjekk, tre ledd. (i) Enhetene: $N_\text{vegg}$ i newton, $\mu_s$ dimensjonsløs ✔. (ii) $N_\text{vegg}$ må være mindre enn $Mg$ for en rimelig bratt stige, og $46{,}945 < 176{,}580$ ✔. (iii) Friksjonskoeffisienten skal være et tall i størrelsesorden $0{,}2$ – $0{,}8$ for vanlige materialer; $0{,}266$ er helt rimelig. Får du $\mu_s > 1$ , har du sannsynligvis byttet om sinus og kosinus.

📝Oppgave 6

Eksamensnivå, sjanger M9

En homogen stige med lengde $4{,}500\,\text{m}$ og masse $15{,}0\,\text{kg}$ står mot en glatt vegg i vinkelen $58^\circ$ med gulvet. En person med masse $70{,}0\,\text{kg}$ står $3{,}200\,\text{m}$ opp langs stigen, målt fra foten.

a) Finn kraften fra veggen.

b) Finn den minste friksjonskoeffisienten gulvet må ha.

c) Blir kravet til friksjon større eller mindre når personen klatrer høyere? Begrunn ut fra uttrykket.

📝Oppgave 7

Sjanger M9,…

En last på $120{,}0\,\text{kg}$ skal løftes med en talje der fire tau går ned til den bevegelige trinsa.

a) Hvor stor kraft må du trekke med?

b) Hvor mange meter tau må du trekke inn for å løfte lasten $0{,}500\,\text{m}$ ?

c) Sammenlign arbeidet du gjør med arbeidet mot tyngden, og kommentér.

📝Oppgave 8

Sjanger M9,…

Et skap med masse $45{,}0\,\text{kg}$ har bredden $0{,}800\,\text{m}$ og høyden $1{,}60\,\text{m}$ , og massen kan regnes jevnt fordelt. Det står på et vannrett gulv, og du skyver vannrett i toppkanten.

a) Hvor stor må kraften være for at skapet skal begynne å tippe om den fremre nedre kanten?

b) Hvor stor må friksjonskoeffisienten minst være for at skapet tipper i stedet for å skli?

c) Skapet står på et gulv med $\mu_s = 0{,}350$ . Hva skjer når du øker kraften: tipper det, eller sklir det?

Rask vei til tall (MC-oppskrift)

Dette er den korteste feilfrie veien fra oppgitte tall til bokstavsvaret i statikk-sjangeren.

1. Hvilken lov? Alltid de samme tre: $\sum F_x = 0$ , $\sum F_y = 0$ , $\sum\tau_P = 0$ .
2. Hvilken ene regnelinje? Momentlikningen om det kloke punktet. Legg $P$ der en ukjent kraft virker — hengselet, opplagringen, stigens fot, vippekanten — så faller den ut, og du får svaret i én linje. Bjelke med snor: $S = Mg/(2\sin\phi)$ . Stige mot glatt vegg: $N_\text{vegg} = Mg/(2\tan\theta)$ og $\mu_s \ge 1/(2\tan\theta)$ . Talje: $F = Mg/n$ . Kantring: $F = mgw/(2h)$ .
3. Hva hentes hvor? Likevektsbetingelsene og $\tau = dF$ står på det utdelte arket, sammen med $g$ . Trigonometriske identiteter slår du opp i Rottmann. Oppsettet, momentpunktet og momentarmene [må kunne brukes eller utledes aktivt] — det er der alle poengene ligger.
4. Hvor mange siffer? Fire gjennom kjeden. Sinus- og tangensverdier har fire siffer på kalkulatoren; runder du $\sin 35^\circ$ til $0{,}57$ , endrer svaret seg i tredje siffer, og alternativene i statikkspørsmål ligger typisk 10–20 prosent fra hverandre.
5. Hva sjekker du før du krysser av? (i) Enhet newton (eller $\text{N}\cdot\text{m}$ for moment) på hvert svar. (ii) Retning oppgitt i ord for hver kraft — «nedover», «utover fra veggen». (iii) Summerer kreftene til null? (iv) Ga et annet momentpunkt samme svar? (v) Er en opplagerkraft negativ, har du husket å tolke det som motsatt retning?

📝Oppgave 9

(Kvalitativ oppgave.)

a) En stige står mot en glatt vegg. Hvorfor er normalkraften fra gulvet lik hele tyngden, mens veggen ikke bærer noe av den?

b) Hvorfor blir kravet til friksjon mindre når stigen settes brattere?

c) En medstudent setter $f = \mu_sN$ med én gang i alle statikkoppgaver med friksjon. Når er det riktig, og når er det galt?

📝Oppgave 10

Eksamensnivå, sjanger…

En homogen bjelke med masse $30{,}0\,\text{kg}$ og lengde $2{,}00\,\text{m}$ er festet i veggen med et hengsel og holdes vannrett av en snor fra ytterenden, i vinkelen $50^\circ$ med bjelken.

Hvor stor er tallverdien av kraften hengselet utøver på bjelken?

A $123{,}4735\,\text{N}$ · B $147{,}1500\,\text{N}$ · C $192{,}0907\,\text{N}$ · D $228{,}9248\,\text{N}$ · E $294{,}3000\,\text{N}$ · F $319{,}1523\,\text{N}$

Typiske feil — og fortegnsfellen som avgjør statikkspørsmålet

Å ikke definere positiv rotasjonsretning. Dette er kapitlets hovedfelle, og den er ren disiplin. Uten en nedskrevet konvensjon blir fortegnene gjetning, og en enkelt fortegnsfeil i momentlikningen gir et svar som ofte ligger på alternativlista (typisk fordi to momenter da legges sammen i stedet for å trekkes fra hverandre). Skriv «positiv rotasjonsretning: mot klokka» på arket først, hver gang.

Å bruke $r$ i stedet for momentarmen $d = r\sin\phi$ . For bjelken med snor i vinkelen $\phi$ er det bare komponenten $S\sin\phi$ som gir moment om hengselet. Bruker du hele $S$ , får du et strekk som er $\sin\phi$ ganger for lite — for $\phi = 35^\circ$ betyr det 43 prosent feil.

Å forveksle $\sin\phi$ og $\cos\phi$ . Regelen som holder: bruk den komponenten som står vinkelrett på linja fra momentpunktet til angrepspunktet. For snora som danner vinkelen $\phi$ med bjelken, er det $S\sin\phi$ . For stigens tyngde, der momentarmen er den vannrette avstanden fra foten, er det $\tfrac{L}{2}\cos\theta$ . Tegn figuren og les av — ikke gjett.

Å kaste minustegnet på en opplagerkraft. Får du $N_A = -1{,}28\,\text{kN}$ , er svaret at kraften er $1{,}28\,\text{kN}$ nedover. Det er informasjon, ikke en feil. Setter du inn tallverdien med positivt fortegn videre i regningen, bryter kraftbalansen sammen.

Å sette $N = mg$ når en ytre kraft har loddrett komponent (felle #6 — endret normalkraft gir endret friksjon). I stigeoppgaven er $N_\text{gulv} = Mg$ nettopp fordi veggen er glatt. Har veggen friksjon, eller trekker noen i en snor på skrå, endres $N$ — og siden friksjonsgrensen er $\mu_sN$ , endres den også.

Å sette $f = \mu_sN$ i en oppgave som ikke handler om grensetilfellet. Statisk friksjon er en ulikhet. Regn ut hvor stor friksjonen må være, og sammenlign så med grensen.

Og fortegns-/avrundingsfellen som lander på nabo-alternativet (felle #16): statikkoppgaver har korte regnekjeder, men de går gjennom en trigonometrisk funksjon, og der ligger presisjonen. Behold fire siffer i $\sin\phi$ , $\cos\phi$ og $\tan\theta$ . Runder du $\tan 62^\circ = 1{,}881$ til $1{,}9$ , endres friksjonskravet fra $0{,}266$ til $0{,}263$ — som regel harmløst, men i et spørsmål der alternativene er $0{,}25$ og $0{,}27$ , er det nettopp forskjellen. Den farligere varianten er å bruke grader der kalkulatoren står i radianer: da får du et svar som er helt galt, men som ser ut som et tall. Sjekk kalkulatorens vinkelmodus før første trigonometriske utregning.

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard- og repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Momentarm i statikk

\tau = dF

Tyngden virker i massesenteret

M\mathbf{g}

Statisk bestemt problem

\sum F_x=0

Negativ løsning for en ukjent kraft

1{,}28\,\text{kN}

Kontroll med et annet momentpunkt

\sum\tau=0

Glatt flate: bare normalkraft

N_\text{gulv} = Mg

Stigen mot glatt vegg (prosedyrekort)

M

Kantring

w

Felle #6 — endret normalkraft gir endret friksjon

N = mg

Sjanger M9 — statikk og momentbalanse

Bokas navn på oppgaveformen der en konstruksjon står i ro og du skal finne kreftene i den. Den forekommer i om lag 7 av 10 eksamenssett (~70 %) og hører til mekanikkhalvdelen, spørsmål 1-20 . Prioritet: bør sitte . De fire faste variantene: bjelke i hengsel med snor; stupebrett på to opplagringer (med negativ kraft i den innerste); stige eller plate mot glatt vegg med friksjon i gulvet; og talje. Alle fire løses av samme tre likninger — det som skiller dem, er valget av momentpunkt og hvilke krefter som finnes.

Taljen bytter kraft mot vei

n

Vektstangprinsippet

F_1d_1 = F_2d_2.

Tre-kraft-regelen

Er et stivt legeme i likevekt under nøyaktig tre krefter som ikke er parallelle, må de tres virkelinjer skjære hverandre i ett punkt. Grunnen er enkel: legger du momentpunktet i skjæringspunktet mellom to av dem, gir de null moment, og da må den tredje også gi null moment — altså gå gjennom samme punkt. Regelen er en rask geometrisk kontroll av et frilegemediagram: skjærer ikke de tre linjene i ett punkt, har du tegnet noe galt. Den gjelder ikke når det er fire krefter (som i stigeoppgaven), men da kan du slå to av dem sammen til én resultant og bruke regelen likevel.

Symbol- og formelliste

Repetisjonsoppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.