4.2 Dreieimpuls, rulling, presesjon og fallende stang

Forkunnskaper — sist du var her

Dette kapitlet bygger direkte på treghetsmomentet fra kap. 4.1. Du trenger tre ting derfra, og de står her:

$$I = \sum_i m_ir_i^2, \qquad I = \int r^2\,dm$$
Treghetsmomentet om en oppgitt akse, målt med vinkelrette avstander til aksen. Enheten er $\text{kg}\cdot\text{m}^2$.

$$I = I_\text{CM} + Md^2$$
Steiners sats, som flytter treghetsmomentet fra en akse gjennom massesenteret til en parallell akse i avstanden $d$. Du trenger den i dette kapitlet blant annet for stanga som er hengslet i enden: $\tfrac13ML^2$ er nettopp $\tfrac{1}{12}ML^2 + M(L/2)^2$.

$$I_\text{kule} = \tfrac25MR^2, \qquad I_\text{sylinder} = \tfrac12MR^2, \qquad I_\text{stang, ende} = \tfrac13ML^2$$
De tre standardtreghetsmomentene dette kapitlet bruker mest. Alle står på det utdelte arket.

Fra matematikken: Vektorer i tre dimensjoner gir kryssproduktet og høyrehåndsregelen, som er verktøyet for retningen på dreieimpulsen. Vi bruker kryssproduktet bare i to situasjoner, og i begge er vektorene i papirplanet, slik at resultatet peker inn i eller ut av papiret.

Symbolmerknad. I dette kapitlet er $\mathbf{p}$ bevegelsesmengde (en vektor, $\mathbf{p}=m\mathbf{v}$), ikke trykk — trykk er betydningen i termodelen fra Del 6. $\tau$ er kraftmoment i $\text{N}\cdot\text{m}$, ikke en tidskonstant som i kap. 1.1. $R$ er en radius. Vektorer skrives med fet skrift ($\mathbf{L}$, $\boldsymbol{\omega}$, $\boldsymbol{\tau}$), skalarer uten ($I$, $K$, $m$).

Løkke 1 — kraftmoment og Newtons 2. lov for rotasjon (~13 min)

Prøv å åpne en tung dør ved å skyve helt inne ved hengslene. Det går nesten ikke. Flytt hånden ut til håndtaket, og døra svinger opp med lett trykk. Kraften er den samme; det som er forskjellig, er hvor den virker.

Det som får noe til å rotere, er altså ikke kraften alene, men kraften ganget med avstanden til aksen. Den størrelsen heter kraftmoment, og den er rotasjonens motsvarighet til kraften.

Løkke 2 — dreieimpuls: spinn og bane (~16 min)

En fotball som skrus, gjør to ting samtidig: den flyr framover, og den spinner om sin egen akse. Begge bevegelsene bidrar til den samme størrelsen — dreieimpulsen — og de kan bidra med motsatt fortegn.

Dette er kapitlets vanskeligste punkt og samtidig det mest eksamensrelevante. Nøkkelen er at dreieimpuls alltid regnes om et valgt punkt eller en valgt akse, og at et legeme som både flytter seg og spinner, har et banebidrag (fra massesenterets bevegelse) og et spinnbidrag (fra rotasjonen om massesenteret).

$$\mathbf{L} = \mathbf{L}_\text{spinn} + \mathbf{L}_\text{bane} = I_\text{CM}\boldsymbol{\omega} + \mathbf{R}_\text{CM}\times m\mathbf{V}.$$

Intuisjon: tenk på Jorda. Den spinner om sin egen akse (spinn) og går i bane rundt Sola (bane). Begge bevegelsene er rotasjon om noe, og begge gir dreieimpuls om Solas sentrum. Oppdelingen er ikke to konkurrerende beskrivelser — det er to ledd som legges sammen.

Hvordan finner du fortegnene? Med tre spørsmål, i denne rekkefølgen:

1. Velg positiv retning. For eksempel «inn i papiret er positiv».
2. Spinnbidraget: hvilken vei roterer legemet om sitt eget senter? Mot klokka gir ut av papiret, med klokka gir inn i papiret.
3. Banebidraget: går massesenteret forbi referansepunktet på den ene eller andre siden? Tegn vektoren $\mathbf{R}_\text{CM}$ og farten $\mathbf{V}$, og bruk høyrehåndsregelen på kryssproduktet.

Intuisjon for banebidraget uten kryssprodukt: se på om massesenterets bevegelse ser ut som en rotasjon med eller mot klokka sett fra referansepunktet. Går kula mot høyre og punktet ligger under den, ser bevegelsen ut som en dreining med klokka om punktet — altså inn i papiret.

Det som gjør sjangeren farlig, er at banebidraget nesten alltid er mye større enn spinnbidraget. For en kule er $L_\text{bane}/L_\text{spinn} = mVR/(\tfrac25mR^2\omega) = \tfrac52 V/(R\omega)$, og med et moderat spinn er dette et tall mellom 2 og 10. Da avgjør fortegnet på det lille spinnleddet om svaret blir noen få prosent større eller mindre — og alternativene ligger nettopp der.

Løkke 3 — spinnsatsen og bevaring av dreieimpuls (~12 min)

— naturlig pausepunkt —

En kunstløper som snurrer med armene ut, trekker dem inn og snurrer plutselig mye fortere. Ingen skyver på henne. Det som skjer, er at hun endrer sitt eget treghetsmoment, og da må vinkelfarten endre seg for at dreieimpulsen skal holde seg konstant.

Løkke 4 — fra gliding til ren rulling (~12 min)

Kast en bowlingkule nedover banen. Den første biten glir den: farten framover er for stor for rotasjonen. Friksjonen gjør to ting samtidig — den bremser translasjonen og den øker rotasjonen — helt til de to møtes i ren rulling. Da slutter glidningen, og friksjonen har ikke lenger noe å bremse.

Løkke 5 — den fallende stanga (~13 min)

En stang er hengslet i den ene enden og står loddrett opp. Du slipper den. Hvor fort roterer den når den er vannrett, og hvor stor er vinkelakselerasjonen der?

Dette er en gjenganger i utledningssettene, og den er lærerik fordi den tvinger deg til å velge verktøy. To spørsmål, to helt forskjellige verktøy:

Vinkelfarten kommer fra energibevaring. Massesenteret faller høyden $L/2$, og all den potensielle energien går til rotasjonsenergi om hengselet:

$$Mg\frac{L}{2} = \tfrac12 I_A\omega^2, \qquad I_A = \tfrac13ML^2.$$

$$Mg\frac{L}{2} = \tfrac12\cdot\tfrac13ML^2\omega^2 = \tfrac16ML^2\omega^2 \quad\Longrightarrow\quad \omega = \sqrt{\frac{3g}{L}}.$$

Intuisjon: massen faller ut av svaret, akkurat som i fritt fall. En tung og en lett stang med samme lengde treffer bakken med samme vinkelfart.

Vinkelakselerasjonen kommer fra spinnsatsen. Tyngden virker i massesenteret, i avstanden $L/2$ fra hengselet. Når stanga står i vinkelen $\phi$ over vannrett, er momentarmen $\tfrac{L}{2}\cos\phi$:

$$\tau = Mg\frac{L}{2}\cos\phi = I_A\alpha \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \frac{3g}{2L}\cos\phi.$$

Intuisjon: momentet er størst når stanga er vannrett ($\phi = 0$) og null når den står loddrett — der har tyngden ingen momentarm i det hele tatt. Derfor er $\alpha$ ikke konstant, og derfor kan du ikke bruke $\omega = \alpha t$ eller $\omega^2 = 2\alpha\varphi$ (felle #3).

Med tall. For $L = 1{,}20\,\text{m}$ og $M = 2{,}00\,\text{kg}$:
$$\omega = \sqrt{\frac{3 \cdot 9{,}81}{1{,}20}}\,\text{rad/s} = \sqrt{24{,}5250}\,\text{rad/s} = 4{,}9523\,\text{rad/s},$$
$$\alpha_\text{vannrett} = \frac{3 \cdot 9{,}81}{2 \cdot 1{,}20}\,\text{rad/s}^2 = 12{,}2625\,\text{rad/s}^2.$$

Enden av stanga har da banefarten $v = \omega L = 5{,}9427\,\text{m/s}$ og tangentialakselerasjonen $a = \alpha L = 14{,}7150\,\text{m/s}^2$ — altså 1{,}500 ganger $g$. Enden av en fallende stang akselererer raskere enn fritt fall. Det er ikke et paradoks: hengselet holder igjen på den nedre delen, og stanga «kastes» derfor rundt.

Rask vei til tall (MC-oppskrift)

1. Hvilken lov? Spør hva som er etterspurt. Dreieimpuls om et punkt: spinn pluss bane med fortegn. Endring i rotasjon med konstant moment: $\tau=I\alpha$. $I$ som endrer seg: $I_1\omega_1=I_2\omega_2$. Vinkelfart etter et fall: energibevaring. Vinkelakselerasjon i en gitt stilling: spinnsatsen.
2. Hvilken ene regnelinje? Dreieimpuls: $L = mVd_\perp \pm I_\text{CM}\omega$. Gliding→rulling: $V=\tfrac57V_0$ og $t=2V_0/(7\mu g)$. Fallende stang: $\omega=\sqrt{3g/L}$ og $\alpha=(3g/2L)\cos\phi$. Presesjon: $\Omega=Mgr/(I_0\omega)$.
3. Hva hentes hvor? Treghetsmomentene, $\tau=I\alpha$, $L=I\omega$, $\boldsymbol{\tau}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}$ og spinnsatsen står på det utdelte arket. Faktorene $\tfrac57$, $\sqrt{3g/L}$ og $(3g/2L)\cos\phi$ gjør det ikke — de må utledes.
4. Hvor mange siffer? Fire gjennom kjeden. I dreieimpulsoppgaver ligger summen og differansen av de to bidragene ofte bare 20–30 prosent fra hverandre, og med tre siffer i mellomregningen kan de blandes.
5. Hva sjekker du før du krysser av? (i) Enhet: $\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}$ for dreieimpuls, $\text{N}\cdot\text{m}$ for moment. (ii) Retning oppgitt i ord — «inn i papiret», «ut av papiret». (iii) Ved bevaring: er $L$ virkelig uendret i tallene dine? (iv) Er energien større etter en innovertrekking (den skal være det)? (v) Har du brukt konstant-$\alpha$-formler på et moment som varierer?

Løkke 6 — presesjon, til å kjenne igjen (~7 min)

Denne biten har prioritet kjenne til: den er med i rundt 2 av 10 sett (~20 %), og når den kommer, er den ett flervalgsspørsmål med én formel. Du skal kunne kjenne igjen situasjonen og sette inn — ikke utlede.

Sett en snurrebass i gang og la den stå på skrå. I stedet for å falle, begynner aksen å dreie langsomt rundt i en kjegle. Det er presesjon, og forklaringen ligger i at spinnsatsen er en vektorlikning: tyngdens moment står vinkelrett på dreieimpulsen, og et moment vinkelrett på $\mathbf{L}$ endrer ikke tallverdien til $\mathbf{L}$ — bare retningen.

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard- og repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.