1.1 Kinematikk fra fartsfunksjon — derivér, integrér, tell runder

Forkunnskaper — sist du var her

Dette er bokas første fagkapittel, så det bygger ikke på noe tidligere kapittel i TFY4115. Det du trenger, er regneteknikk fra matematikken og litt bevegelseslære fra videregående.

Fra matematikken: Repetisjon av derivasjon og Bestemt integral som grenseverdi — du skal derivere og integrere en oppgitt funksjon. Variabelskifte (substitusjon) trenger du til integralene med eksponentialledd. Fra fysikken: Bevegelse i to dimensjoner gir grunnlaget for at akselerasjonen er den deriverte av farten.

De tre relasjonene du trenger ferdig oppfrisket:

$$\frac{d}{dt}e^{-t/\tau} = -\frac{1}{\tau}e^{-t/\tau}$$
Den deriverte av et eksponentialledd. Her er $\tau$ (den greske bokstaven tau) en konstant med enhet sekund, og den indre deriverte $-1/\tau$ er det som gir minustegnet og faktoren.

$$\int_0^{t} e^{-u/\tau}\,du = \tau\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$$
Det bestemte integralet av det samme leddet. Når $t$ vokser mot uendelig, går parentesen mot 1, og hele integralet mot $\tau$ — det er verdt å legge på minnet.

$$e^0 = 1, \qquad e^{-1} = 0{,}3679, \qquad e^{-2} = 0{,}1353, \qquad e^{-3} = 0{,}04979$$
Fire verdier du kommer til å bruke gang på gang. Alle står på kalkulatoren, men det er nyttig å kjenne dem godt nok til å se om et svar er rimelig.

To begreper som brukes med en gang. En fartsfunksjon er ganske enkelt farten skrevet som en funksjon av tiden, $v(t)$: den forteller hvor fort noe går på hvert tidspunkt. En vinkelfart $\omega$ (den greske bokstaven omega) er den roterende motsvarigheten: hvor mange radianer et hjul dreier seg per sekund.

Symbolmerknad. I dette kapitlet betyr $T$ ingenting og opptrer ikke; $\tau$ er en tidskonstant, ikke et kraftmoment. Se symbol- og formellisten nederst.

Løkke 1 — fra fart til akselerasjon (~14 min)

Sett deg inn i en elbil på grønt lys og trå gassen i bånn. Det første halvsekundet presses du bakover i setet: akselerasjonen er stor. Ti sekunder senere kjører du fort, men du kjenner nesten ingenting — farten har nærmet seg det motoren klarer å holde, og akselerasjonen har nesten dødd ut.

Dette er den vanligste fartsmodellen i sjangeren, og den sier noe viktig: stor fart og stor akselerasjon er to helt forskjellige ting. Akselerasjonen er ikke hvor fort du kjører, men hvor fort farten endrer seg. I eksempelet over er akselerasjonen på sitt største i det øyeblikket bilen står stille.

$$v(t) = v_0\left(1 - e^{-t/\tau}\right).$$

Deriverer vi, får vi akselerasjonen. Den indre deriverte av $-t/\tau$ er $-1/\tau$, og de to minustegnene opphever hverandre:

$$a(t) = \frac{dv}{dt} = v_0 \cdot \frac{1}{\tau}e^{-t/\tau} = \frac{v_0}{\tau}\,e^{-t/\tau}.$$

Intuisjon: akselerasjonen er en ren avtakende eksponentialfunksjon. Den er aldri null, men den blir raskt liten. Bilen slutter aldri helt å akselerere i modellen — den gjør det bare så lite at det ikke merkes.

Hvor ligger maksimum? Her er det verdt å stoppe. Skal du finne det største punktet til en funksjon, deriverer du og setter den deriverte lik null. La oss gjøre det:

$$a'(t) = -\frac{v_0}{\tau^2}\,e^{-t/\tau}.$$

Dette uttrykket er negativt for alle $t$ — eksponentialleddet er alltid positivt, og fortegnet foran er negativt. Ligningen $a'(t) = 0$ har altså ingen løsning. Når den deriverte er negativ overalt, avtar funksjonen overalt, og da ligger maksimum i randpunktet: i $t = 0$.

$$a_\text{maks} = a(0) = \frac{v_0}{\tau}.$$

Intuisjon: akselerasjonen er størst i det øyeblikket farten er lengst fra grenseverdien, altså i startøyeblikket. Det stemmer med elbilen: rykket kommer med en gang.

Dette er verdt å ta med seg som et arbeidsvane, ikke som en regel du kan bruke blindt: for de mettende og de rent avtakende modellene ligger maksimal akselerasjon i $t = 0$, og du kan sette inn direkte. Men se hva som skjer i Løkke 4 med en modell som først vokser — der ligger maksimum et annet sted, og den som bruker $t = 0$ mekanisk, treffer feil alternativ.

Løkke 2 — integrasjon: strekning og vinkel (~14 min)

Går vi den andre veien — fra farten til strekningen — må vi integrere. Grunnideen er enkel: farten ganger et lite tidsintervall gir et lite stykke strekning, og summen av alle de små stykkene er integralet.

$$s(t) = \int_0^{t} v(u)\,du.$$

Merk at integrasjonsvariabelen har fått nytt navn ($u$) fordi $t$ er brukt som øvre grense. Det er ren bokføring, men det sparer deg for forvirring.

For den mettende modellen blir regningen slik. Vi deler integralet i to:

$$s(t) = \int_0^{t} v_0\left(1 - e^{-u/\tau}\right)du = v_0\int_0^{t} du - v_0\int_0^{t} e^{-u/\tau}\,du.$$

Det første integralet er bare $t$. Det andre står i Rottmann og er $\tau(1 - e^{-t/\tau})$. Til sammen:

$$s(t) = v_0\left[t - \tau\left(1 - e^{-t/\tau}\right)\right].$$

Intuisjon: for store $t$ går parentesen mot 1, og uttrykket nærmer seg $v_0(t - \tau)$. Det er en rett linje med stigningstall $v_0$ — altså: når farten har nådd grensefarten, tilbakelegges strekningen jevnt, men bilen ligger permanent $v_0\tau$ meter bak en som hadde holdt grensefarten fra første øyeblikk. Etterslepet er prisen for oppstarten, og det slutter å vokse.

Den roterende varianten er den samme regningen med andre bokstaver. Vinkelen er integralet av vinkelfarten:

$$\varphi(t) = \int_0^{t} \omega(u)\,du.$$

For nedbremsingsmodellen $\omega(t) = \omega_0 e^{-t/\tau}$ blir totalvinkelen særlig ryddig. Integrerer vi helt ut, til $t \to \infty$:

$$\varphi_\text{tot} = \int_0^{\infty} \omega_0 e^{-u/\tau}\,du = \omega_0\tau.$$

Intuisjon: hjulet stopper formelt aldri — vinkelfarten blir bare mindre og mindre. Likevel er den totale vinkelen et endelig tall, nemlig startvinkelfarten ganger tidskonstanten. Arealet under en kurve som avtar eksponentielt, er endelig selv om kurven er uendelig lang. Dette er hele grunnen til at spørsmålet «hvor mange runder gjør hjulet før det stopper?» har et fornuftig svar.

Løkke 3 — rundetelling: den ene plassen svaret er et heltall (~12 min)

Nå kommer sjangerens signaturspørsmål. Et hjul, en turbin eller en sentrifuge bremses ned, og oppgaven spør: hvor mange hele omdreininger gjør den før den stopper?

Framgangsmåten er to trinn du allerede kan, pluss ett nytt. Først integrerer du vinkelfarten og finner den totale vinkelen $\varphi_\text{tot}$ i radianer. Deretter deler du på $2\pi$, siden én omdreining er $2\pi$ radianer. Og til slutt — dette er det nye — tar du heltallsdelen.

$$\text{antall hele omdreininger} = \left\lfloor \frac{\varphi_\text{tot}}{2\pi} \right\rfloor.$$

De to hakeparentesene med bare nedre hake betyr «rund nedover til nærmeste heltall». Grunnen til at det må stå der, er fysisk og ikke matematisk: har hjulet dreid 16,04 omdreininger, har det gjort 16 hele runder. Den siste, ufullstendige runden teller ikke som en hel omdreining.

Intuisjon: dette er den ene plassen i hele emnet der svaret er et heltall, og derfor det ene stedet der en avrunding underveis ikke gir et litt annet tall, men et helt annet svar. Regner du deg fram til $\varphi_\text{tot} = 100{,}8\,\text{rad}$ og deler på $2\pi$, får du 16,04 og svarer 16. Men runder du $\varphi_\text{tot}$ til to gjeldende siffer først — til $100\,\text{rad}$ — får du 15,9 og svarer 15. Én avrunding, ett helt alternativ feil. Dette er felle #16 (avrundingsfeil som lander på nabo-alternativet) i sin skarpeste form.

Løkke 4 — når maksimum ikke ligger i startøyeblikket (~14 min)

Til nå har maksimal akselerasjon ligget i $t = 0$ hver gang. Det er derfor arbeidsvanen «prøv $t = 0$ først» er så nyttig. Men eksamenssettene har en variant som er laget nettopp for å straffe den som bruker vanen mekanisk, og den er verdt fire minutter.

Et hjul som spinnes opp og deretter bremses ned, modelleres ofte som en potens ganger et eksponentialledd:

$$\omega(t) = \omega_0\,\frac{t}{\tau}\,e^{-t/\tau}.$$

Ved $t = 0$ er vinkelfarten null — hjulet står stille. Så vokser den, når en topp, og avtar mot null igjen. Vi finner toppen ved å derivere. Bruk produktregelen, med $u = t/\tau$ som en snarvei:

$$\alpha(t) = \frac{d\omega}{dt} = \frac{\omega_0}{\tau}\left(1 - \frac{t}{\tau}\right)e^{-t/\tau}.$$

Nå er den deriverte ikke negativ overalt: den er positiv når $t < \tau$, null ved $t = \tau$, og negativ etterpå. Maksimum ligger altså i

$$t_\text{maks} = \tau, \qquad \omega_\text{maks} = \omega_0\cdot 1\cdot e^{-1} = \frac{\omega_0}{e} = 0{,}3679\,\omega_0.$$

Intuisjon: toppen kommer nøyaktig én tidskonstant etter start, og den ligger på 37 prosent av konstanten $\omega_0$ — som altså ikke er den største vinkelfarten her, men bare en skaleringskonstant. Det er en felle i seg selv: alternativet «$\omega_0$» ligger nesten alltid der.

Og vinkelakselerasjonen? Den er størst ved $t = 0$: $\alpha(0) = \omega_0/\tau$. Så for denne modellen ligger maksimal vinkelakselerasjon i startøyeblikket, mens maksimal vinkelfart ligger ved $t = \tau$. Å blande de to spørsmålene er den vanligste feilen i varianten.

Totalvinkelen er verdt å regne ut én gang. Substituér $u = t/\tau$, slik at $dt = \tau\,du$:

$$\varphi_\text{tot} = \int_0^\infty \omega_0\,\frac{t}{\tau}e^{-t/\tau}dt = \omega_0\tau\int_0^\infty u\,e^{-u}\,du = \omega_0\tau.$$

Integralet $\int_0^\infty u e^{-u}du = 1$ står i Rottmann (delvis integrasjon gir det på to linjer om du må). Så totalvinkelen er den samme som for den rent avtakende modellen: $\omega_0\tau$. Det er en pen kontroll å ha i bakhodet.

Får du i stedet modellen med $u^2$, altså $\omega = \omega_0(t/\tau)^2e^{-t/\tau}$, blir integralet $\int_0^\infty u^2e^{-u}du = 2$, og totalvinkelen $2\omega_0\tau$. Da ligger dessuten maksimum ved $t = 2\tau$, og $\alpha(0) = 0$.

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard- og repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.