4.4 Drill: treghetsmoment, dreieimpuls og statikk (sjanger M4, M5, M9)

Sjangerdrill med Steiner-refleks, fortegnsdisiplin på dreieimpuls og klokt momentpunkt — raskt mot tallsvar.

90 min

15 oppgaver

Drilltreghetsmomentdreieimpulsstatikk (sjanger M4M9)

Din fremgang i kapitlet

0 / 15 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.3Statikk og momentbalanse

Brukes videre i

4.PPrøver til del 4: Rotasjon: treghetsmoment, dreieimpuls og statikk

Dette er et treningskapittel, ikke et teorikapittel. Her drilles de tre sjangrene fra Del 4 i eksamenstempo:

Sjanger M4 — treghetsmoment og Steiners sats («finn $I$ om denne aksen») i praktisk talt alle sett (~100 %), høyeste prioritet — dette må sitte.

Sjanger M5 — dreieimpuls og rulling («finn $L$ med riktig fortegn, eller hva som skjer når rotasjonen endres») i om lag 9 av 10 sett (~90 %), høyeste prioritet. Overgangen gliding→rulling i rundt 4 av 10 sett (~40 %).

Sjanger M9 — statikk og momentbalanse («finn kreftene i en konstruksjon som står stille») i om lag 7 av 10 sett (~70 %), prioritet bør sitte.

Alle tre hører til mekanikkhalvdelen, spørsmål 1–20.

Om tidsbruken. Kapitlet er anslått til 90 minutter og er lagt opp som fire økter du trygt kan dele over flere kvelder: løsningsoppskriften og det gjennomregnede caset (~20 min), treghetsmoment-oppgavene 1–5 (~25 min), dreieimpuls- og rulleoppgavene 6–10 (~25 min), og statikk- og blandingsoppgavene 11–15 (~20 min). Seks av de femten oppgavene er i A–F-format med seks ferdige alternativer, akkurat som eksamen; resten er i åpen form, slik at du trener både metoden og bokstavsvaret.

Målet er tempo med presisjon. På eksamen har du rundt seks minutter per spørsmål. Oppgavene her skal du klare på tre til fem — og fortsatt med fire gjeldende siffer gjennom kjeden.

Forkunnskaper

Alt du trenger står i kap. 4.1, kap. 4.2 og kap. 4.3. Her er verktøykassa samlet på én skjerm, slik at du kan lukke den og prøve deg først:

$I = \sum_i m_ir_i^2, \qquad I = \int r^2\,dm, \qquad I = I_\text{CM} + Md^2$

$I_\text{stang, midt} = \tfrac{1}{12}ML^2, \quad I_\text{stang, ende} = \tfrac13ML^2, \quad I_\text{kule} = \tfrac25MR^2, \quad I_\text{kuleskall} = \tfrac23MR^2, \quad I_\text{sylinder} = \tfrac12MR^2, \quad I_\text{ring} = MR^2$

$\tau = rF\sin\phi = dF, \qquad \sum\tau = I\alpha, \qquad \sum\boldsymbol{\tau}_\text{ytre} = \frac{d\mathbf{L}}{dt}$

$\mathbf{L} = \mathbf{L}_\text{spinn} + \mathbf{L}_\text{bane} = I_\text{CM}\boldsymbol{\omega} + \mathbf{R}_\text{CM}\times m\mathbf{V}, \qquad I_1\omega_1 = I_2\omega_2$

$V = R\omega \ (\textbf{bare ved ren rulling}), \qquad V_\text{slutt} = \tfrac57V_0 \ (\text{kule}), \qquad t = \frac{2V_0}{7\mu g}$

$\omega_\text{stang} = \sqrt{\frac{3g}{L}}, \qquad \alpha_\text{stang} = \frac{3g}{2L}\cos\phi, \qquad \Omega = \frac{Mgr}{I_0\omega}$

$\sum F_x = 0, \qquad \sum F_y = 0, \qquad \sum\tau_P = 0, \qquad f \le \mu_sN$

Boka bruker $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$ . Behold fire gjeldende siffer gjennom hele regnekjeden, og rund først i sluttsvaret.

Symbolmerknad. I dette kapitlet er $I$ et treghetsmoment (skalar), $\mathbf{L}$ en dreieimpuls (vektor) og $L$ en lengde (skalar, kursiv). $\tau$ er kraftmoment, $S$ et taustrekk, $R$ en radius, $\mathbf{p}$ en bevegelsesmengde. Ingen av disse betyr det de betyr i termodelen fra Del 6 — se symbollisten nederst.

📜Løsningsoppskrift — rask vei til tall (MC-oppskrift) i seks trinn

Dette er algoritmen du skal kjøre uten å tenke, fra oppgitte tall til bokstavsvar. Trinn 1 avgjør hvilken vei du går.

1. Hva spørres det om? Fire muligheter, og du skal kjenne dem igjen på tre sekunder:
- et treghetsmoment → punktmasser: $\sum m_ir_i^2$ ; legeme: slå opp $I_\text{CM}$ på arket;
- en dreieimpuls → spinn pluss bane, med fortegn;
- en endring i rotasjon → konstant $I$ : $\tau = I\alpha$ ; endret $I$ : $I_1\omega_1 = I_2\omega_2$ ;
- en kraft i en konstruksjon som står stille → statikk: $\sum\tau_P = 0$ om et klokt punkt.

2. Massesenter først, hvis oppgaven krever det. Bare når du trenger avstanden $d$ til Steiner, eller når tyngden skal plasseres i en statikkoppgave.

3. Går aksen gjennom massesenteret? Er svaret nei, skriv $I = I_\text{CM} + Md^2$ før du slår opp noe. Dette ene trinnet fanger den enkeltfeilen som koster flest poeng i Del 4. Husk unntaket: $\tfrac13ML^2$ er stanga om endepunktet, så der skal du ikke legge til noe.

4. Dreieimpuls: skriv fortegnskonvensjonen først. «Inn i papiret er positiv.» Deretter spinnbidraget $I_\text{CM}\omega$ (retning fra høyrehåndsregelen: mot klokka gir ut av papiret), så banebidraget $mVd_\perp$ (retning fra hvilken vei massesenteret ser ut til å dreie om punktet). Legg sammen med fortegn.

5. Rotasjonsdynamikk: konstant moment eller ikke? Er momentet konstant, er $\alpha$ konstant og $\omega = \alpha t$ gjelder. Varierer momentet (fallende stang), bruk energibevaring for farten og spinnsatsen for akselerasjonen.

6. Statikk: velg momentpunktet der en ukjent virker. Hengselet, opplagringen, stigens fot, vippekanten. Da får du svaret i én likning. Deretter $\sum F_x = 0$ og $\sum F_y = 0$ for resten.

Sluttsjekk, uansett vei: enhet ( $\text{kg}\cdot\text{m}^2$ , $\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}$ , N, $\text{N}\cdot\text{m}$ ) · retning i ord der størrelsen er en vektor · $I > I_\text{CM}$ når aksen ligger utenfor massesenteret · tallet foran $MR^2$ mellom 0 og 2 for en akse gjennom legemet · negativ opplagerkraft betyr motsatt retning.

✏️Gjennomregnet MC-case: rotasjon i eksamenstempo — med margnotater

To komplette flervalgsspørsmål av den typen som kommer på eksamen, regnet gjennom i MC-tempo med margnotater om hvor poengene faktisk faller.

Spørsmål 1. En homogen skive har masse $2{,}50\,\text{kg}$ og radius $0{,}180\,\text{m}$ . En klump med masse $1{,}00\,\text{kg}$ , som kan regnes som en punktmasse, er festet på randen. Skiva roterer om en akse gjennom det motsatte randpunktet, vinkelrett på skiveplanet. Hvor stort er treghetsmomentet?

A $0{,}1215\,\text{kg}\cdot\text{m}^2$ · B $0{,}1539\,\text{kg}\cdot\text{m}^2$ · C $0{,}1701\,\text{kg}\cdot\text{m}^2$ · D $0{,}2430\,\text{kg}\cdot\text{m}^2$ · E $0{,}2511\,\text{kg}\cdot\text{m}^2$ · F $0{,}2916\,\text{kg}\cdot\text{m}^2$

Spørsmål 2. En kompakt kule med masse $0{,}320\,\text{kg}$ og radius $0{,}0600\,\text{m}$ glir mot høyre med senterfarten $8{,}50\,\text{m/s}$ og har baksnurr med vinkelfarten $60{,}0\,\text{rad/s}$ . Hvor stor er den totale dreieimpulsen om et punkt på gulvet?

A $0{,}02765\,\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}$ · B $0{,}09792\,\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}$ · C $0{,}13555\,\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}$ · D $0{,}16320\,\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}$ · E $0{,}19085\,\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}$ · F $0{,}22848\,\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}$

Spørsmål 1: svar E.

Margnotat — hvilken lov, og hvor mange deler? Treghetsmoment for et sammensatt legeme: summen av delenes $I$ om samme akse. To deler: skiva og klumpen. Fem sekunder å se.

Margnotat — trinn 3 i oppskriften, det som avgjør oppgaven. Går aksen gjennom skivas massesenter? Nei — den ligger i randen. Skriv derfor $I_\text{skive} = \tfrac12MR^2 + MR^2$ med én gang, før du regner:
$I_\text{skive} = \tfrac32MR^2 = 1{,}5 \cdot 2{,}50 \cdot 0{,}03240\,\text{kg}\cdot\text{m}^2 = 0{,}1215\,\text{kg}\cdot\text{m}^2.$
Klumpen er en punktmasse og trenger ikke Steiner — bare $mr^2$ med riktig $r$ . Den sitter på motsatt rand, altså i avstanden $2R = 0{,}360\,\text{m}$ fra aksen:
$I_\text{klump} = 1{,}00 \cdot 0{,}1296\,\text{kg}\cdot\text{m}^2 = 0{,}1296\,\text{kg}\cdot\text{m}^2.$
$I = 0{,}1215 + 0{,}1296 = 0{,}2511\,\text{kg}\cdot\text{m}^2.$
To multiplikasjoner og en addisjon. Førti sekunder.

Margnotat — hva hentes hvor? $\tfrac12MR^2$ og Steiners sats står på det utdelte arket. Aksevalget, oppdelingen i to deler og avstanden $2R$ må du finne selv. Ingenting her krever mer enn en enkel kalkulator.

Margnotat — hvor mange siffer? De to nærmeste alternativene ligger 3,3 prosent fra hverandre. Med tre siffer i $R^2$ er du trygg, men skriv fire i kladden: $0{,}03240$ , ikke $0{,}032$ .

Margnotat — hvilket alternativ lander du på hvis du slurver? C er Steiner-leddet glemt for skiva (felle #4 — glemt Steiner-ledd). B setter klumpen i avstanden $R$ i stedet for $2R$ — den sitter på motsatt rand, og avstanden mellom to motstående randpunkter er diameteren. D bruker kule-formelen $\tfrac25MR^2$ i stedet for skiveformelen. F bruker ringformelen $MR^2$ . A glemmer klumpen helt.

Margnotat — sluttsjekken, femten sekunder. Skiva alene om randen er $0{,}1215$ , og klumpen kan bare legge til: alt som er $\le 0{,}1215$ er umulig, og det stryker A. Klumpen bidrar med $0{,}1296$ , altså mer enn skiva selv — svaret må ligge over det dobbelte av skivas bidrag, og det stryker C og B. Tre alternativer igjen, og de skiller seg bare i hvilken linje på arket du leste.

— naturlig pausepunkt —

Spørsmål 2: svar C.

Margnotat — hvilken lov? Total dreieimpuls om et punkt: spinn pluss bane. To bidrag, og fortegnet avgjør.

Margnotat — trinn 4, det som avgjør oppgaven. Skriv konvensjonen først: «inn i papiret er positiv.» Baksnurr betyr rotasjon mot klokka, altså spinn ut av papiret (negativt). Massesenteret går mot høyre over punktet, altså bane inn i papiret (positivt).

Margnotat — hvilke to regnelinjer?
$L_\text{bane} = mVR = 0{,}320 \cdot 8{,}50 \cdot 0{,}0600\,\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s} = 0{,}16320\,\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s},$
$L_\text{spinn} = \tfrac25mR^2\omega = 0{,}400 \cdot 0{,}320 \cdot 0{,}003600 \cdot 60{,}0\,\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s} = 0{,}02765\,\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s},$
$L = 0{,}16320 - 0{,}02765 = 0{,}13555\,\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s} \text{ inn i papiret}.$

Margnotat — hvor mange siffer, og hvorfor det avgjør her. Summen ( $0{,}19085$ ) og differansen ( $0{,}13555$ ) ligger 41 prosent fra hverandre, og begge står på lista. Hadde spinnet vært mindre, ville de ligget enda tettere. Det er ikke avrundingen som er faren her — det er fortegnet. Men behold fire siffer likevel: $0{,}16320$ , ikke $0{,}16$ .

Margnotat — fellene. E er summen, altså svaret med toppsnurr — ren fortegnsfeil, og det mest valgte gale alternativet i denne sjangeren. D er banebidraget alene, med spinnet glemt. A er spinnbidraget alene, med banen glemt. F er $\tfrac75mVR$ , altså svaret for en kule som ruller rent — riktig formel, feil situasjon (her er $\omega = 60{,}0\,\text{rad/s}$ , mens ren rulling ville krevd $V/R = 141{,}7\,\text{rad/s}$ ).

Margnotat — sluttsjekken. Banebidraget dominerer med faktoren $5{,}903$ , så svaret må ligge nær $0{,}16320$ — enten litt over eller litt under, avhengig av fortegnet. Alt som er langt fra $0{,}16320$ , kan strykes. Og oppgi alltid retningen i ord: et tall uten «inn i papiret» er et halvt svar i denne sjangeren.

Økt 2 — M4: treghetsmoment, oppslag og Steiner (~25 min)

Fem oppgaver på treghetsmoment. Oppgave 1 og 3 er i A–F-format med seks alternativer; de øvrige er i åpen form. Regn med tre til fem minutter per oppgave, og kjør trinn 3 i oppskriften hver gang: går aksen gjennom massesenteret?

📝Oppgave 1

Sjanger M4

Et tynt kuleskall har masse $1{,}80\,\text{kg}$ og radius $0{,}220\,\text{m}$ . Hvor stort er treghetsmomentet om en akse som tangerer skallets overflate?

A $0{,}0581\,\text{kg}\cdot\text{m}^2$ · B $0{,}0871\,\text{kg}\cdot\text{m}^2$ · C $0{,}1220\,\text{kg}\cdot\text{m}^2$ · D $0{,}1307\,\text{kg}\cdot\text{m}^2$ · E $0{,}1452\,\text{kg}\cdot\text{m}^2$ · F $0{,}1742\,\text{kg}\cdot\text{m}^2$

📝Oppgave 2

Sjanger M4

Fire punktmasser på $0{,}400\,\text{kg}$ hver sitter i hjørnene av et rektangel med sidene $0{,}600\,\text{m}$ og $0{,}400\,\text{m}$ , forbundet med lette staver.

a) Finn treghetsmomentet om en akse gjennom rektangelets sentrum, vinkelrett på planet.

b) Finn treghetsmomentet om en akse langs den lange midtlinja (parallell med siden $0{,}600\,\text{m}$ ).

📝Oppgave 3

Sjanger M4, A–F-format

En homogen skive har masse $2{,}60\,\text{kg}$ og radius $0{,}180\,\text{m}$ . Den henges opp i et punkt på randen og roterer om en akse gjennom dette punktet, vinkelrett på skiveplanet. Hvor stort er treghetsmomentet?

A $0{,}0211\,\text{kg}\cdot\text{m}^2$ · B $0{,}0421\,\text{kg}\cdot\text{m}^2$ · C $0{,}0842\,\text{kg}\cdot\text{m}^2$ · D $0{,}1179\,\text{kg}\cdot\text{m}^2$ · E $0{,}1264\,\text{kg}\cdot\text{m}^2$ · F $0{,}2106\,\text{kg}\cdot\text{m}^2$

📝Oppgave 4

Sjanger M4

En homogen stang med masse $0{,}700\,\text{kg}$ og lengde $1{,}100\,\text{m}$ er hengslet i den ene enden. En punktmasse på $2{,}00\,\text{kg}$ er festet i den andre enden.

a) Finn treghetsmomentet om hengselaksen.

b) Hvor stor andel av treghetsmomentet kommer fra punktmassen?

📝Oppgave 5

Sjanger M4, den…

En homogen skive med radius $0{,}300\,\text{m}$ hadde massen $5{,}00\,\text{kg}$ før et sirkulært hull med radius $0{,}100\,\text{m}$ ble boret ut. Hullets sentrum ligger $0{,}150\,\text{m}$ fra skivas sentrum.

a) Hvor stor masse ble fjernet, og hva er skivas masse etter boringen?

b) Finn treghetsmomentet til den utborede skiva om symmetriaksen gjennom det opprinnelige sentret.

Økt 3 — M5: dreieimpuls, bevaring og rulling (~25 min)

Fem oppgaver på dreieimpuls og rotasjonsdynamikk. Oppgave 6 og 10 er i A–F-format. Skriv fortegnskonvensjonen først i hver oppgave — det er trinn 4 i oppskriften, og det er der poengene faller.

📝Oppgave 6

Sjanger M5

En massiv sylinder med masse $3{,}00\,\text{kg}$ og radius $0{,}150\,\text{m}$ ruller rent mot høyre med senterfarten $2{,}40\,\text{m/s}$ . Hvor stor er dreieimpulsen om et punkt på underlaget?

A $0{,}5400\,\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}$ · B $0{,}7560\,\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}$ · C $1{,}0800\,\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}$ · D $1{,}5120\,\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}$ · E $1{,}6200\,\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}$ · F $2{,}1600\,\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}$

📝Oppgave 7

Sjanger M5

En golfball med masse $0{,}250\,\text{kg}$ og radius $0{,}0350\,\text{m}$ glir over gresset mot høyre med senterfarten $25{,}00\,\text{m/s}$ og har kraftig baksnurr: den roterer mot klokka med $350\,\text{rad/s}$ .

a) Finn den totale dreieimpulsen om et punkt på bakken, med retning.

b) Hvor stor måtte vinkelfarten vært for ren rulling, og hva sier sammenligningen om hva som vil skje?

📝Oppgave 8

Sjanger M5

En dreieskive med treghetsmoment $8{,}00\,\text{kg}\cdot\text{m}^2$ roterer friksjonsfritt om en loddrett akse med $1{,}80\,\text{rad/s}$ . En person med masse $25{,}0\,\text{kg}$ setter seg forsiktig ned helt ute i kanten, i avstanden $1{,}200\,\text{m}$ fra aksen, uten å gi skiva noe støt.

a) Finn vinkelfarten etterpå.

b) Finn den kinetiske energien før og etter. Hvor ble energien av?

📝Oppgave 9

Eksamensnivå, sjanger M5

En massiv sylinder med radius $0{,}0900\,\text{m}$ kastes uten rotasjon inn på et vannrett underlag med senterfarten $5{,}00\,\text{m/s}$ . Glidefriksjonskoeffisienten er $0{,}200$ .

a) Sett opp de to Newton-likningene og vis at sluttfarten ved ren rulling er $\tfrac23V_0$ .

b) Finn tiden og strekningen fram til ren rulling.

c) Hvorfor er sluttfaktoren $\tfrac23$ for en sylinder, mens den er $\tfrac57$ for en kompakt kule?

📝Oppgave 10

Sjanger M5, A–F-format

En homogen stang med lengde $1{,}500\,\text{m}$ er hengslet i den ene enden og slippes fra loddrett stilling. Hvor stor er vinkelfarten i det øyeblikket stanga er vannrett?

A $2{,}5573\,\text{rad/s}$ · B $3{,}1321\,\text{rad/s}$ · C $3{,}6166\,\text{rad/s}$ · D $4{,}4294\,\text{rad/s}$ · E $6{,}2642\,\text{rad/s}$ · F $8{,}8589\,\text{rad/s}$

Økt 4 — M9 og blandede oppgaver (~20 min)

Fem oppgaver: tre statikk og to som kombinerer rotasjonsdynamikk med det du har lært i hele delen. Oppgave 11 og 15 er i A–F-format. Skriv positiv rotasjonsretning først i hver statikkoppgave.

📝Oppgave 11

Sjanger M9

En homogen bjelke med masse $35{,}0\,\text{kg}$ er festet i veggen med et hengsel og holdes vannrett av en snor fra ytterenden, i vinkelen $42^\circ$ med bjelken. Hvor stort er strekket i snora?

A $114{,}8730\,\text{N}$ · B $171{,}6750\,\text{N}$ · C $231{,}0115\,\text{N}$ · D $256{,}5643\,\text{N}$ · E $343{,}3500\,\text{N}$ · F $513{,}1285\,\text{N}$

📝Oppgave 12

Sjanger M9

En homogen stige med masse $20{,}0\,\text{kg}$ står mot en glatt vegg og danner $65^\circ$ med gulvet.

a) Finn normalkraften fra gulvet og kraften fra veggen.

b) Finn den minste friksjonskoeffisienten gulvet må ha.

c) Hvordan endres svaret i b) hvis stigen er dobbelt så tung?

📝Oppgave 13

Eksamensnivå, sjanger M9

Et homogent stupebrett med lengde $5{,}00\,\text{m}$ og masse $35{,}0\,\text{kg}$ ligger på to opplagringer: den innerste i $x=0$ og den ytterste i $x = 1{,}800\,\text{m}$ . En person med masse $65{,}0\,\text{kg}$ står helt ute i den frie enden.

a) Finn de to opplagerkreftene, med retning.

b) Forklar hvorfor den ene kraften er større enn den samlede tyngden.

📝Oppgave 14

(Blandet: rotasjonsdynamikk og translasjon.) En homogen skive med masse $4{,}00\,\text{kg}$ og radius $0{,}200\,\text{m}$ kan rotere friksjonsfritt om sin symmetriakse. En snor er viklet rundt randen, og i snorenden henger en masse $1{,}500\,\text{kg}$ som slippes fra ro.

a) Finn akselerasjonen til den hengende massen.

b) Finn strekket i snora og skivas vinkelakselerasjon.

c) Kontroller svaret ved å regne momentet om skivas akse.

📝Oppgave 15

(Blandet, A–F-format.) En homogen stang med masse $1{,}20\,\text{kg}$ og lengde $0{,}800\,\text{m}$ roterer om et hengsel i den ene enden med vinkelfarten $5{,}00\,\text{rad/s}$ . En punktmasse på $0{,}500\,\text{kg}$ er festet i den frie enden.

Hvor stor er systemets dreieimpuls om hengselaksen?

A $1{,}2800\,\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}$ · B $1{,}6000\,\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}$ · C $1{,}8133\,\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}$ · D $1{,}9200\,\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}$ · E $2{,}8800\,\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}$ · F $5{,}4400\,\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}$

Typiske feil — hele M4-, M5- og M9-repertoaret, og faktorfellen

Steiner glemt (felle #4). Går aksen utenfor massesenteret og du bruker

I_\text{CM}

direkte, blir svaret grovt for lite — for en kule om tangentaksen med faktoren

3{,}5

. Motgiften er trinn 3 i oppskriften, hver gang.

Steiner brukt to ganger. $\tfrac13ML^2$ er stanga om endepunktet. Legger du på $M(L/2)^2$ igjen, får du $\tfrac{7}{12}ML^2$ — et klassisk galt alternativ.

Feil linje på arket. Kuleskall ( $\tfrac23MR^2$ ) mot kompakt kule ( $\tfrac25MR^2$ ), skive ( $\tfrac12MR^2$ ) mot ring ( $MR^2$ ), stang om midten ( $\tfrac{1}{12}$ ) mot stang om enden ( $\tfrac13$ ). Disse forbytningene gir svar som ligger 10–20 prosent fra fasiten, altså midt i alternativlista. Les både legemet og aksen på arket-linja.

Fortegn på spinn mot bane (felle #5). Summen og differansen av de to bidragene står begge på lista. Skriv «inn i papiret er positiv» først, hver gang.

Dobbelttelling av kinetisk energi (felle #2). Roterer legemet om en fast akse, er $\tfrac12I_A\omega^2$ hele energien. Bruker du i stedet $\tfrac12MV_\text{CM}^2 + \tfrac12I_\text{CM}\omega^2$ , er det også riktig — men ikke bland dem.

$V = R\omega$ brukt før ren rulling er nådd. I glidefasen er $V > R\omega$ . Rullebetingelsen er en betingelse, ikke en identitet.

Konstant- $\alpha$ -formler på et variabelt moment (felle #3). Den fallende stanga har $\alpha \propto \cos\phi$ .

Positiv rotasjonsretning ikke definert i en statikkoppgave. Uten den blir fortegnene gjetning, og en fortegnsfeil i momentlikningen gir et svar som står på lista.

Minustegnet kastet på en opplagerkraft. Negativ betyr motsatt retning. Det er svaret, ikke en feil.

Og faktorfellen som lander på nabo-alternativet (felle #16): rotasjonsoppgaver er fulle av små tall som kvadreres. Kvadrer før du runder — $R = 0{,}180\,\text{m}$ gir $R^2 = 0{,}0324\,\text{m}^2$ , og runder du til $0{,}032$ , har du gjort en feil på 1,2 prosent som i et tett sett er nok. Hold også orden på tierpotensene: går radien fra centimeter til meter, endrer $R^2$ seg med $10^4$ . Og i statikk: sjekk at kalkulatoren står i grader og ikke radianer før den første $\sin$ - eller $\tan$ -utregningen. Den feilen gir ikke et litt galt svar, den gir et helt galt et — som likevel ser ut som et tall.

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard- og repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder oppgavene.

Sjanger M4 i MC-tempo

Treghetsmoment og Steiners sats, i praktisk talt alle sett (~100 %), mekanikkhalvdelen, spørsmål 1-20 . Drillformen har fire faste varianter: punktmasser i en figur (bruk vinkelrett avstand), oppslag av et standardlegeme (les både legeme og akse), integrasjon når tettheten er en funksjon, og — den klart vanligste — et standardlegeme om en akse utenfor massesenteret. Tidsbudsjett: under to minutter for en ren Steiner-oppgave, tre til fire for et sammensatt legeme. Det ene trinnet som avgjør: går aksen gjennom massesenteret?

Sjanger M5 i MC-tempo

I

Sjanger M9 i MC-tempo

S=Mg/(2\sin\phi)

Steiner-refleksen som tidsbesparelse

I=I_\text{CM}+Md^2

Fortegnsdisiplin på dreieimpuls

Rutinen som gjør fortegnsoppgaver rutine: (1) skriv «inn i papiret er positiv» (eller motsatt) på arket; (2) finn spinnretningen med høyrehåndsregelen — mot klokka gir ut av papiret; (3) finn baneretningen ved å spørre hvilken vei massesenteret ser ut til å dreie om referansepunktet; (4) legg sammen med fortegn; (5) oppgi retningen i ord i svaret. Uten punkt 1 og 5 er svaret et halvt svar, og både summen og differansen av de to bidragene står på alternativlista.

Det kloke momentpunktet

\sum\tau=0

MC-tempo i rotasjonsoppgaver

Fire timer på ~40 spørsmål gir om lag seks minutter per spørsmål, men rotasjonsoppgavene i mekanikkhalvdelen er blant de raskeste: en ren Steiner-oppgave tar under to minutter, en dreieimpulsoppgave to-tre, en statikkoppgave to. Det gir tid til de tunge kretsprosessspørsmålene i termohalvdelen senere. Regel for tempo: gjør oppslaget og oppsettet på papir, og bruk kalkulatoren én gang — flere separate innslag er der avrundingsfeilene og tastefeilene kommer inn.

Eliminasjon ved øvre og nedre grenser

I > I_\text{CM}

Symbol- og formelliste

Repetisjonsoppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.