5.1 Harmoniske svingninger, egenfrekvens, fysisk og konisk pendel

Forkunnskaper — sist du var her

Dette kapitlet bygger på treghetsmomentet fra kap. 4.1 og på kraftmomentet fra kap. 4.2. Du trenger tre ting derfra, og de står her:

$$I = I_\text{CM} + Md^2$$
Steiners sats. Dette er den formelen som avgjør flest pendeloppgaver. Treghetsmomentet i en fysisk pendel skal alltid være om opphengspunktet, og opphengspunktet ligger per definisjon utenfor massesenteret — ellers ville pendelen ikke svingt. For en skive hengt opp i randen er $I_A = \tfrac12MR^2 + MR^2 = \tfrac32MR^2$.

$$I_\text{stang, ende} = \tfrac13ML^2, \qquad I_\text{skive} = \tfrac12MR^2, \qquad I_\text{kule} = \tfrac25MR^2$$
De tre standardtreghetsmomentene som brukes mest her. Alle står på det utdelte arket.

$$\sum\tau = I\alpha, \qquad \tau = dF\ \text{(med vinkelrett momentarm)}$$
Newtons 2. lov for rotasjon. Hele den fysiske pendelen kommer ut av denne ene loven, anvendt på tyngdens moment om opphengspunktet.

Fra matematikken: Repetisjon av derivasjon trenger du til svingelikningen — du skal kjenne igjen at $x = A\cos(\omega_0t+\phi)$ deriverer to ganger til $-\omega_0^2x$. Fra fysikken: Sirkelbevegelse og sentripetalkraft er grunnlaget for den koniske pendelen, der resultanten av kreftene peker inn mot sirkelsentret.

To relasjoner fra matematikken, ferdig oppfrisket:

$$\frac{d^2}{dt^2}\cos(\omega t) = -\omega^2\cos(\omega t)$$
Grunnen til at cosinus løser svingelikningen: to derivasjoner gir funksjonen tilbake, ganget med $-\omega^2$.

$$\sin\theta \approx \theta \quad \text{for små } \theta \text{ (i radianer)}$$
Småvinkeltilnærmingen. Ved $\theta = 10^\circ = 0{,}1745\,\text{rad}$ er $\sin\theta = 0{,}1736$ — en forskjell på 0,5 prosent. Det er denne tilnærmingen som gjør en pendel harmonisk, og den er grunnen til at alle pendelformler har forbeholdet «for små utslag».

Symbolmerknad. $T$ er periode i sekunder (i Del 6–10: absolutt temperatur i kelvin). $S$ er taustrekk i newton (i Del 7: entropi i J/K). $k$ er fjærstivhet i N/m (ikke Boltzmanns konstant, som er $k_B$ i termodelen). $\omega$ er en vinkelfrekvens i rad/s. Symbolet $\gamma$ opptrer ikke i dette kapitlet — det kommer i kap. 5.2 som dempingskoeffisient, og i termodelen som noe helt annet.

Løkke 1 — svingelikningen og egenfrekvensen (~14 min)

Heng en kasse i en fjær, dra den litt ned og slipp. Den svinger opp og ned, og den gjør det med samme takt hele veien — like mange svingninger per sekund om du dro den 2 cm eller 10 cm. Det er den mest bemerkelsesverdige egenskapen ved en harmonisk svingning, og den er hele grunnen til at et pendelur går riktig.

Hvorfor er det slik? Fordi kraften som drar massen tilbake, er proporsjonal med utslaget. Dobler du utslaget, dobler du kraften, og massen får dobbelt så stor akselerasjon — den rekker like langt i like lang tid.

Løkke 2 — fjærer i serie og parallell (~10 min)

To fjærer kan settes sammen på to måter, og de gir motsatt effekt. Det er lett å blande dem, og oppgavene utnytter det.

I serie, altså etter hverandre, må hver fjær strekkes for at massen skal flytte seg — de to strekkene legges sammen, og systemet blir mykere enn hver enkelt fjær:
$$\frac{1}{k} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}.$$

I parallell, altså side om side, strekkes begge like mye, og de to kreftene legges sammen — systemet blir stivere:
$$k = k_1 + k_2.$$

Intuisjon som gjør at du ikke blander dem: to fjærer etter hverandre er som en dobbelt så lang fjær, og en lang fjær er myk. To fjærer side om side er som en dobbelt så tykk fjær, og en tykk fjær er stiv. Serie gir mykere, parallell gir stivere — og en samlet stivhet i serie er alltid mindre enn den minste av de to.

Løkke 3 — den fysiske pendelen (~20 min)

— naturlig pausepunkt —

Heng en sykkelfelg på en spiker i veggen og dytt den litt til siden. Den svinger. Det er ikke en punktmasse i enden av en tråd — det er et utstrakt legeme som svinger om et punkt, og det heter en fysisk pendel.

Utledningen bruker akkurat den samme oppskriften som fjæra, bare med rotasjonsstørrelser. Tyngden virker i massesenteret, i avstanden $d$ fra opphengspunktet $A$. Når pendelen er dreid ut vinkelen $\theta$, er tyngdens momentarm $d\sin\theta$, og momentet drar pendelen tilbake:

$$\tau = -Mgd\sin\theta.$$

Newtons 2. lov for rotasjon om $A$ gir

$$I_A\ddot{\theta} = -Mgd\sin\theta.$$

Dette er ikke svingelikningen — det står $\sin\theta$ og ikke $\theta$. Men for små utslag er $\sin\theta \approx \theta$, og da får vi

$$\ddot{\theta} + \frac{Mgd}{I_A}\theta = 0.$$

Intuisjon: formen er identisk med fjæras $\ddot{x}+(k/m)x=0$. Vi kan lese av egenfrekvensen direkte ved å sammenligne:

$$\omega_0 = \sqrt{\frac{Mgd}{I_A}}, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{I_A}{Mgd}}.$$

Her ligger hele oppgavesjangeren, og her ligger fella. Treghetsmomentet $I_A$ skal være om opphengspunktet, ikke om massesenteret. Og siden pendelen bare kan svinge når opphengspunktet ligger utenfor massesenteret, må du alltid bruke Steiners sats:

$$I_A = I_\text{CM} + Md^2.$$

Glemmer du Steiner-leddet, blir $I_A$ for liten, og perioden for kort.

Løkke 4 — den koniske pendelen (~14 min)

En kule i enden av en snor svinges rundt i en vannrett sirkel, slik at snora sveiper ut en kjegle. Dette er en konisk pendel, og den er ikke en svingning i det hele tatt — det er en sirkelbevegelse. Men den har en periode, og den regnes ut med samme type oppsett.

To krefter virker på kula: snordraget $S$ langs snora, og tyngden $mg$ rett ned. Kula går i sirkel, så resultanten må peke vannrett inn mot sirkelsentret — det er sentripetalakselerasjonen. Dekomponér snordraget:

$$\text{loddrett:} \quad S\cos\theta = mg, \qquad \text{vannrett:} \quad S\sin\theta = \frac{mv^2}{R}.$$

Intuisjon: den loddrette komponenten bærer vekten, den vannrette holder kula i sirkel. Det er ingen tredje kraft: det finnes ingen utoverrettet kraft på kula. Resultanten av de to virkelige kreftene ER det som krummer banen.

Del de to likningene for å eliminere $S$:

$$\tan\theta = \frac{v^2}{gR}.$$

Med $R = L\sin\theta$ og $v = 2\pi R/T$ gir dette

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g\tan\theta}} = 2\pi\sqrt{\frac{L\cos\theta}{g}}.$$

Intuisjon i den siste formen: $L\cos\theta$ er den loddrette høyden fra festepunktet ned til kulas plan. Den koniske pendelen har altså samme periode som en matematisk pendel med lengde lik denne høyden — et pent resultat som er verdt å kjenne som kontroll.

Merk at snordraget alltid er større enn tyngden: $S = mg/\cos\theta > mg$, og det vokser raskt når vinkelen øker. Ved $60^\circ$ er $S = 2mg$; ved $80^\circ$ nesten $6mg$. Det er grunnen til at en snor knekker når du svinger for fort.

Rask vei til tall (MC-oppskrift)

Dette er den korteste feilfrie veien fra oppgitte tall til bokstavsvaret i svingnings- og pendelsjangeren.

1. Hvilken lov? Identifiser systemet på tre sekunder: masse på fjær → $\omega_0=\sqrt{k/m}$. To fjærer → finn samlet $k$ først (serie: invers sum; parallell: sum). Utstrakt legeme hengt opp i et punkt → fysisk pendel, $T=2\pi\sqrt{I_A/(Mgd)}$. Punktmasse i tråd → $T=2\pi\sqrt{L/g}$. Vannrett sirkelbane i snor → konisk pendel, $T=2\pi\sqrt{L\cos\theta/g}$.
2. Hvilken ene regnelinje? Regn alltid innholdet under rottegnet som eget mellomresultat: $k/m$, $I_A/(Mgd)$, $L\cos\theta/g$. Da har du bare én rotutdragning og én multiplikasjon med $2\pi$ igjen.
3. Hva hentes hvor? $\omega_0=\sqrt{k/m}$, $T=2\pi/\omega$, $f=1/T$, pendelformlene og alle treghetsmomentene står på det utdelte arket. Steiners sats gjør det også. Det som må kunne utledes aktivt, er selve oppsettet: hvilken $I_A$, hvilken $d$, og at $\sin\theta\approx\theta$ er forutsetningen.
4. Hvor mange siffer? Fire gjennom kjeden. To grunner: en kvadratrot halverer den relative feilen, så du trenger flere siffer inn enn ut for å treffe tre siffer i svaret; og alternativene i denne sjangeren skiller seg ofte med bare faktoren $\sqrt{2/3} = 0{,}816$ eller $\sqrt{3/2} = 1{,}22$.
5. Hva sjekker du før du krysser av? (i) Ber oppgaven om $\omega$, $f$ eller $T$? Faktoren $2\pi$ er sjangerens dyreste feil. (ii) Enhet: rad/s, Hz eller s. (iii) Er Steiner-leddet med i $I_A$? (iv) Er den effektive pendellengden $I_A/(Md)$ av samme størrelsesorden som legemet? (v) I konisk pendel: er $S > mg$? (vi) Er svaret rimelig — en laboratoriependel har en periode rundt ett sekund, en fjær med noen hundre gram noen få hertz.

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard- og repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.