2.3 Drill: skråplan og energibevaring (sjanger M1, M3)

Sjangerdrill der avgjørelsen «kinematikk eller energibevaring?» og «med eller uten rotasjonsledd?» tas raskt og riktig — mot tallsvar.

85 min

14 oppgaver

Drillskråplanenergibevaring (sjanger M1M3)

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.2Arbeid, energibevaring og rullende legeme ($K=\tfrac{7}{10}mv^2$)

Brukes videre i

2.PPrøver til del 2: Kraft, energi og rulling

Dette er et treningskapittel, ikke et teorikapittel. Ingenting nytt innføres. Her drilles de to sjangrene fra Del 2 i eksamenstempo, og de er de to mest forutsigbare i hele faget:

Sjanger M1 — Newton på skråplan med friksjon, altså «her ligger eller glir et legeme på en skrå flate med en oppgitt friksjonskoeffisient, finn akselerasjonen, snuavstanden eller vinkelen der glidingen starter». Den dukker opp i praktisk talt alle sett (~100 %).

Sjanger M3 — rullende legeme med energibevaring, altså «her ruller en kule, en sylinder eller et hjul uten å gli over et høydefall, finn farten i bunnen eller hvor høyt det kommer». Den dukker også opp i praktisk talt alle sett (~100 %).

Begge hører til mekanikkhalvdelen, spørsmål 1–20. Prioritet for begge: høyeste prioritet — dette må sitte.

Hele kapitlet handler om to avgjørelser du skal ta på fem sekunder. Den første er kinematikk eller energibevaring? Den andre er med eller uten rotasjonsledd? Tar du dem riktig, er resten én regnelinje. Tar du dem galt, er svaret ditt et av de gale alternativene — og de ligger ferdig i lista, fordi oppgavesettene er konstruert rundt nettopp disse to feilene.

Om tidsbruken. Kapitlet er anslått til 85 minutter og er lagt opp som fire økter du trygt kan dele over flere kvelder: løsningsoppskriften og det gjennomregnede flervalgstilfellet (~20 min), skråplansoppgavene 1–5 (~25 min), rullingsoppgavene 6–10 (~22 min), og de sammensatte oppgavene 11–14 (~18 min).

Sju av de fjorten oppgavene er i A–F-format med seks ferdige svaralternativer, slik den nyeste dokumenterte eksamensformen er. Resten er i åpen form, slik at du trener både metoden og bokstavsvaret. På eksamen har du rundt seks minutter per spørsmål; disse skal du klare på tre til fem.

Forkunnskaper — sist du var her

Dette kapitlet trener stoffet fra kap. 2.1 og kap. 2.2, og innfører ingenting nytt. Her er de seks relasjonene du kommer til å bruke, ferdig oppfrisket:

$a = g\left(\sin\theta \pm \mu\cos\theta\right)$
Newtons 2. lov langs et skråplan med kinetisk friksjon: minus når legemet går nedover, pluss når det går oppover. Massen faller ut. Her er $\theta$ planets helning og $\mu$ friksjonskoeffisienten.

$N = mg\cos\theta, \qquad f = \mu N$
Normalkraften og friksjonskraften på et skråplan uten ytre krefter. Har oppgaven en ytre kraft med komponent normalt på flaten, må $N$ finnes av likevekten normalt på planet først.

$x = \frac{v_0^2}{2a}, \qquad \tan\theta_\text{krit} = \mu_s$
Snuavstanden langs planet for et legeme som sendes oppover, og vinkelen der et legeme i ro begynner å gli. Her er $\mu_s$ den statiske friksjonskoeffisienten.

$K = \tfrac12 mv^2 + \tfrac12 I\omega^2 = \tfrac12(1+c)mv^2, \qquad c = \frac{I}{mR^2}, \qquad v = \omega R$
Kinetisk energi for et legeme som ruller uten å gli. Størrelsen $I$ er treghetsmomentet, $\omega$ vinkelfarten, $R$ radien, og $c$ den dimensjonsløse formfaktoren som sier hvor stor andel av massen som sitter langt fra aksen. Den siste relasjonen, $v = \omega R$ , er rullebetingelsen — den gjelder bare når legemet ikke sluntrer.

$c = 0 \ (\text{kloss}), \quad \tfrac25 \ (\text{kompakt kule}), \quad \tfrac12 \ (\text{massiv sylinder}), \quad \tfrac23 \ (\text{kuleskall}), \quad 1 \ (\text{tynn ring})$
De fem verdiene du trenger. De tilsvarer $K = \tfrac12mv^2$ , $\tfrac{7}{10}mv^2$ , $\tfrac34mv^2$ , $\tfrac56mv^2$ og $mv^2$ .

$mg\,\Delta y = \tfrac12(1+c)mv^2 \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2g\,\Delta y}{1+c}}, \qquad \Delta y = \frac{(1+c)v_0^2}{2g}$
Energibevaring for ren rulling, løst begge veier: farten etter et høydefall, og høyden et rullende legeme kommer opp i. Massen og radien faller ut av begge.

Boka bruker $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$ . Behold fire gjeldende siffer gjennom hele regnekjeden, og rund først i sluttsvaret.

Symbolmerknad. I dette kapitlet er $R$ en radius i meter, $I$ et treghetsmoment i $\text{kg}\cdot\text{m}^2$ , $N$ en normalkraft i newton og $c$ en dimensjonsløs formfaktor. Symbolene $p$ , $S$ og $T$ opptrer ikke, så ingen av bokas symbolkollisjoner mellom mekanikk og termofysikk er aktive her.

📜Løsningsoppskrift — rask vei til tall (MC-oppskrift) i fem trinn

Dette er rask vei til tall for hele Del 2: algoritmen du skal kjøre uten å tenke, fra oppgitte tall til bokstavsvar. De to første trinnene er hele oppgaven; de tre siste er bokføring.

1. Konstant kraft på et rett skråplan, eller høydebasert bevegelse? Dette avgjør verktøyet.
- Rett plan med konstant helning og konstant friksjon → kraften langs banen er konstant, og du kan bruke Newtons 2. lov og deretter konstant-akselerasjonsformlene.
- Krum bane, en bue, en bakke med varierende helning, eller et spørsmål som bare oppgir en høydeforskjell → bruk energibevaring. Konstant-akselerasjonsformlene er da direkte feil, for akselerasjonen varierer langs banen.

Kjenn igjen signalordene: «hvor langt opp langs planet», «hvor lang tid» og «hvor stor akselerasjon» peker mot Newtons 2. lov; «hvor høyt», «høydeforskjell», «fra ro i toppen» og «hvor stor fart i bunnen» peker mot energibevaring.

2. Ruller legemet, eller glir det? Dette er kapitlets viktigste enkeltspørsmål.
- Ruller uten å gli → energien fordeles på translasjon og rotasjon, og du må ta med rotasjonsleddet. Alt du gjør, er å erstatte $\tfrac12mv^2$ med $\tfrac12(1+c)mv^2$ . Slå opp $c$ for formen: kule $2/5$ , sylinder $1/2$ , kuleskall $2/3$ , ring $1$ .
- Glir, eller er en kloss uten rotasjon → $c = 0$ , og du bruker $\tfrac12mv^2$ som normalt.

Står det «ruller uten å gli» eller «ruller uten å slure» i oppgaveteksten, er $(1+c)$ obligatorisk. Står det «glir» eller «sklir», skal det ikke være der.

3. Er det friksjon, og hvilken vei peker den? Friksjonen peker alltid mot bevegelsen. På et skråplan gir det fortegnsregelen: minus når legemet går nedover, pluss når det går oppover. Snur legemet underveis, har du to ulike akselerasjoner og må dele oppgaven i to. Merk også at ren rulling ikke taper energi til friksjon — friksjonen er der, men kontaktpunktet står stille, så den gjør ikke arbeid.

4. Sett opp den ene avgjørende ligningen. Nå skal det stå én ligning på arket, og den er en av disse fire:

$a = g\left(\sin\theta \pm \mu\cos\theta\right), \qquad x = \frac{v_0^2}{2a}$

$v = \sqrt{\frac{2g\,\Delta y}{1+c}}, \qquad \Delta y = \frac{(1+c)v_0^2}{2g}$

Har du to av dem etter hverandre — for eksempel et rullende legeme som først ruller ned og deretter glir — er det to trinn, ikke ett.

5. Løs for tallsvaret, og sjekk fire ting før du krysser av.
- Massen: spør oppgaven om en akselerasjon, en fart, en avstand eller en vinkel, skal massen ikke være i svaret. Spør den om en kraft eller en energi, skal den være der.
- Fortegn og rimelighet: akselerasjonen oppover er alltid større enn nedover; en fart etter et høydefall er alltid lavere for et rullende legeme enn for et glidende.
- Enhet: $\text{m/s}^2$ , $\text{m/s}$ , m, s, N eller J — én av dem, og aldri en blanding.
- Siffer: fire gjennom kjeden. Den utsatte mellomverdien er parentesen $\sin\theta - \mu\cos\theta$ , som er en differanse mellom to tall av samme størrelsesorden.

✏️Gjennomregnet flervalgstilfelle: sylinderen og klossen — med margnotater

Dette er to komplette flervalgsspørsmål av den typen som kommer på eksamen — ett fra hver av kapitlets to sjangre — regnet gjennom i eksamenstempo med margnotater om hvor poengene faktisk faller.

Spørsmål 1. En massiv sylinder slippes fra ro og ruller uten å gli ned en bane med høydeforskjell $\Delta y = 1{,}60\,\text{m}$ . Hvor stor er farten i bunnen?

A $5{,}60\,\text{m/s}$ · B $4{,}57\,\text{m/s}$ · C $4{,}74\,\text{m/s}$ · D $4{,}34\,\text{m/s}$ · E $3{,}96\,\text{m/s}$ · F $3{,}23\,\text{m/s}$

Spørsmål 2. En kloss sendes oppover et skråplan med helning $\theta = 28{,}0^\circ$ og startfart $v_0 = 7{,}20\,\text{m/s}$ . Den kinetiske friksjonskoeffisienten er $\mu = 0{,}320$ . Hvor langt kommer klossen langs planet før den snur?

A $14{,}1\,\text{m}$ · B $5{,}63\,\text{m}$ · C $2{,}56\,\text{m}$ · D $7{,}03\,\text{m}$ · E $3{,}51\,\text{m}$ · F $1{,}65\,\text{m}$

Spørsmål 1: Svar: B.***

Margnotat — hvilken lov? Oppgaven oppgir en høydeforskjell og ingen helning, ingen lengde og ingen tid. Da er det energibevaring, ikke kinematikk. Trinn 1 i oppskriften er avgjort på tre sekunder.

Margnotat — ruller eller glir? Det står «ruller uten å gli», så rotasjonsleddet er obligatorisk. Sylinder betyr $c = 1/2$ , altså $1 + c = 1{,}500$ . Dette er trinn 2, og det er det ene trinnet hele spørsmålet står og faller på.

Margnotat — hvilken ene regnelinje?
$v = \sqrt{\frac{2g\,\Delta y}{1+c}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 9{,}81 \cdot 1{,}60}{1{,}500}}\,\text{m/s} = \sqrt{\frac{31{,}392}{1{,}500}}\,\text{m/s} = \sqrt{20{,}928}\,\text{m/s} = 4{,}5747\,\text{m/s}.$
Én multiplikasjon, én divisjon, én kvadratrot. Under tjue sekunder.

Margnotat — hva hentes hvor? Tyngdeakselerasjonen $g$ , energiuttrykkene $K = \tfrac12mv^2$ og $K_\text{rot} = \tfrac12I\omega^2$ og treghetsmomentene for standardlegemer står alle på det utdelte formelarket. Det arket ikke gir deg, er sammenstillingen: at $I = \tfrac12mR^2$ og $v = \omega R$ til sammen gir $\tfrac12(1+c)mv^2$ med $c = 1/2$ . Den utledningen må du kunne kjøre selv, og den tar tre linjer.

Margnotat — hvor mange siffer? Fire gjennom kjeden. Her er marginen romslig, men merk hvor tett alternativene ligger: mellom det riktige svaret $4{,}57$ og kule-varianten $4{,}74$ er det bare 3,5 prosent.

Margnotat — hvilket nabo-alternativ lander du på hvis du slurver? A ( $5{,}60\,\text{m/s}$ ) er svaret hvis du glemmer rotasjonsleddet og bare bruker $\tfrac12mv^2$ — altså $\sqrt{2g\,\Delta y}$ . Dette er fagets hyppigst innebygde felle. C ( $4{,}74\,\text{m/s}$ ) er kule i stedet for sylinder, altså $c = 2/5$ . D ( $4{,}34\,\text{m/s}$ ) er kuleskall i stedet for sylinder, altså $c = 2/3$ . E ( $3{,}96\,\text{m/s}$ ) er tynn ring i stedet for sylinder, altså $c = 1$ . F ( $3{,}23\,\text{m/s}$ ) er å glemme faktoren 2 i $mg\,\Delta y = \tfrac12(1+c)mv^2$ . Legg merke til at fem av de seks alternativene er samme fysikk med én bokføringsfeil. Det er slik eksamenssett i dette faget er bygget — ingen tullesvar.

Margnotat — sluttsjekken, ti sekunder. En kloss som glir friksjonsfritt ned de samme 1,60 meterne, får $\sqrt{31{,}392}\,\text{m/s} = 5{,}60\,\text{m/s}$ . Et rullende legeme må komme lavere enn det, siden en del av energien er bundet i rotasjonen. Den ene sjekken stryker alternativet på $5{,}60$ med en gang, og gir deg samtidig et tak å måle svaret mot.

Spørsmål 2: Svar: E.**

Margnotat — hvilken lov? Nå er helningen oppgitt, friksjonen er oppgitt, og planet er rett. Kraften langs banen er derfor konstant, og Newtons 2. lov pluss konstant-akselerasjonsformlene er raskeste vei. (Energibevaring virker også, men du må da regne friksjonsarbeidet, og det er en linje mer.)

Margnotat — ruller eller glir? Det er en kloss, og den glir. Ingen rotasjonsledd. Trinn 2 er avklart.

Margnotat — hvilken vei peker friksjonen? Klossen går oppover, så friksjonen peker nedover langs planet — samme vei som tyngdekomponenten. Begge bremser, og derfor er det pluss i parentesen. Dette er trinn 3, og det er dyrere å ta feil her enn noe annet i sjangeren.

Margnotat — hvilken ene regnelinje? To korte, egentlig:
$a = g\left(\sin\theta + \mu\cos\theta\right) = 9{,}81\left(0{,}469472 + 0{,}320 \cdot 0{,}882948\right)\,\text{m/s}^2,$
$a = 9{,}81 \cdot 0{,}752015\,\text{m/s}^2 = 7{,}3773\,\text{m/s}^2, \qquad x = \frac{v_0^2}{2a} = \frac{51{,}84}{14{,}755}\,\text{m} = 3{,}5135\,\text{m}.$
Svaret er $3{,}51\,\text{m}$ med tre gjeldende siffer.

Margnotat — hva hentes hvor? $g$ , $\sum \mathbf{F} = m\mathbf{a}$ , $f \le \mu_s F_\perp$ og konstant-akselerasjonsformlene står på arket. Dekomponeringen i $mg\sin\theta$ og $mg\cos\theta$ , og fortegnsvalget, må du gjøre selv — det er hele sjangeren.

Margnotat — hvor mange siffer? Her er parentesen en sum, og da er avrundingen mild. Men tren likevel vanen: bruk $\sin 28{,}0^\circ = 0{,}469472$ og $\cos 28{,}0^\circ = 0{,}882948$ med seks siffer, og behold fire i parentesen. I minus-varianten — som du møter i neste spørsmål og i halvparten av oppgavene under — er den samme parentesen en differanse, og der spiser en avrunding et helt siffer.

Margnotat — hvilket nabo-alternativ lander du på hvis du slurver? A ( $14{,}1\,\text{m}$ ) er minus i stedet for pluss foran friksjonsleddet — altså nedover-formelen brukt på en oppoverbevegelse. Legg merke til hvor stort utslaget er: nesten fire ganger for langt. B ( $5{,}63\,\text{m}$ ) er å droppe friksjonsleddet helt, altså $a = g\sin\theta$ . C ( $2{,}56\,\text{m}$ ) er $\sin$ og $\cos$ byttet om. Testen $\theta = 0$ ville avslørt det straks. D ( $7{,}03\,\text{m}$ ) er å glemme faktoren 2 i $x = v_0^2/(2a)$ . F ( $1{,}65\,\text{m}$ ) er snuhøyden $x\sin\theta$ , altså den loddrette høyden — riktig regning på et annet spørsmål enn det som ble stilt.

Margnotat — sluttsjekken, ti sekunder.* Massen var ikke oppgitt, og den skal heller ikke være i svaret — det stemmer. Friksjonsfritt ville klossen nådd $5{,}63\,\text{m}$ , så svaret må være kortere enn det. Og oppgaven spurte om avstanden langs planet, ikke høyden; høyden er $3{,}5135 \cdot 0{,}469472\,\text{m} = 1{,}65\,\text{m}$ , som også ligger i lista. Les alltid hvilken av de to som er etterspurt.

Økt 2 — sjanger M1: skråplan med friksjon (~25 min)

Fem oppgaver på skråplanet. Oppgave 1, 3 og 5 er i A–F-format med seks alternativer; oppgave 2 og 4 er i åpen form. Regn med tre til fem minutter per oppgave, og hold fire gjeldende siffer i parentesen $\sin\theta \pm \mu\cos\theta$ .

📝Oppgave 1

Sjanger M1, A–F-format

En kasse glir nedover et lasteplan som heller $\theta = 18{,}0^\circ$ . Den kinetiske friksjonskoeffisienten mellom kassen og planet er $\mu = 0{,}220$ .

Hvor stor er akselerasjonen?

A $5{,}08\,\text{m/s}^2$ · B $3{,}03\,\text{m/s}^2$ · C $0{,}979\,\text{m/s}^2$ · D $8{,}66\,\text{m/s}^2$ · E $0{,}873\,\text{m/s}^2$ · F $1{,}13\,\text{m/s}^2$

📝Oppgave 2

Sjanger M1

En kjelke sendes oppover en bakke med helning $\theta = 32{,}0^\circ$ med startfarten $v_0 = 5{,}40\,\text{m/s}$ . Friksjonskoeffisienten er $\mu = 0{,}280$ i begge retninger.

a) Finn akselerasjonen mens kjelken går oppover.
b) Hvor langt opp langs bakken kommer den, og hvilken loddrett høyde svarer det til?
c) Hvor stor er farten når kjelken er tilbake i startpunktet?

📝Oppgave 3

Sjanger M1, A–F-format

En pall glir nedover et skråplan med konstant fart. Planets helning er $\theta = 15{,}0^\circ$ .

Hvor stor er den kinetiske friksjonskoeffisienten?

A $0{,}259$ · B $0{,}966$ · C $0{,}134$ · D $0{,}536$ · E $0{,}268$ · F $0{,}250$

📝Oppgave 4

Sjanger M1

En kasse med masse $m = 24{,}0\,\text{kg}$ står på et vannrett gulv. Friksjonskoeffisienten er $\mu = 0{,}300$ . Kassen dras med en kraft $F = 110\,\text{N}$ som peker $22{,}0^\circ$ over vannrett.

a) Finn normalkraften fra gulvet.
b) Finn friksjonskraften.
c) Finn akselerasjonen.
d) En kollega skyver i stedet, med samme kraft $22{,}0^\circ$ under vannrett. Hvor stor blir akselerasjonen da, og hvor mye raskere kommer kassen i gang når man drar?

📝Oppgave 5

Sjanger M1, A–F-format,…

En kloss sendes oppover et skråplan med helning $\theta = 35{,}0^\circ$ og startfart $v_0 = 6{,}80\,\text{m/s}$ . Friksjonskoeffisienten er $\mu = 0{,}420$ i begge retninger.

Hvor stor er farten når klossen er tilbake i utgangspunktet?

A $6{,}80\,\text{m/s}$ · B $3{,}40\,\text{m/s}$ · C $1{,}70\,\text{m/s}$ · D $13{,}6\,\text{m/s}$ · E $4{,}30\,\text{m/s}$ · F $5{,}38\,\text{m/s}$

— naturlig pausepunkt —

Økt 3 — sjanger M3: rulling og energibevaring (~22 min)

Fem oppgaver på rulling. Oppgave 6 og 8 er i A–F-format. Huskeregelen du skal ha framme hele tiden er den samme hele veien: ruller legemet, erstatt $\tfrac12mv^2$ med $\tfrac12(1+c)mv^2$ — og slå opp $c$ for formen.

📝Oppgave 6

Sjanger M3, A–F-format

En kompakt kule slippes fra ro og ruller uten å gli ned en bane med høydeforskjell $\Delta y = 1{,}40\,\text{m}$ .

Hvor stor er farten i bunnen?

A $5{,}24\,\text{m/s}$ · B $4{,}28\,\text{m/s}$ · C $4{,}06\,\text{m/s}$ · D $4{,}43\,\text{m/s}$ · E $3{,}71\,\text{m/s}$ · F $3{,}13\,\text{m/s}$

📝Oppgave 7

Sjanger M3

En kompakt kule med masse $m = 0{,}320\,\text{kg}$ og radius $R = 0{,}0400\,\text{m}$ ruller uten å gli ned en bane med høydeforskjell $\Delta y = 2{,}20\,\text{m}$ , fra ro.

a) Finn farten i bunnen.
b) Finn vinkelfarten i bunnen.
c) Sett opp energiregnskapet i joule: hvor mye sitter i translasjon og hvor mye i rotasjon?

📝Oppgave 8

Sjanger M3, A–F-format

En massiv sylinder ruller uten å gli oppover et skråplan med startfarten $v_0 = 3{,}60\,\text{m/s}$ .

Hvor stor loddrett høyde kommer sylinderen opp i?

A $0{,}991\,\text{m}$ · B $0{,}661\,\text{m}$ · C $0{,}925\,\text{m}$ · D $1{,}10\,\text{m}$ · E $1{,}32\,\text{m}$ · F $1{,}98\,\text{m}$

📝Oppgave 9

Sjanger M3, eksamensnivå

En kompakt kule ruller uten å gli fra ro ned et skråplan med helning $\theta = 20{,}0^\circ$ . Strekningen langs planet er $L = 5{,}00\,\text{m}$ .

a) Vis at akselerasjonen langs planet er $a = g\sin\theta/(1+c)$ , og regn den ut.
b) Finn farten i bunnen på to ulike måter.
c) Hvor lang tid tar turen?
d) Hvor stor må den statiske friksjonskoeffisienten minst være for at kula skal rulle uten å slure?

📝Oppgave 10

(Kvalitativ oppgave — rangering.) Fem legemer med samme masse og samme radius slippes samtidig fra ro i toppen av samme bane, med høydeforskjell $\Delta y$ : en kloss som glir friksjonsfritt, en kompakt kule, en massiv sylinder, et tynt kuleskall og en tynn ring. De fire siste ruller uten å gli.

a) Ranger dem etter farten i bunnen, og begrunn rangeringen med ett uttrykk.
b) Hvem kommer først ned? Er svaret det samme som i a)?
c) Spiller massen eller radien noen rolle for rangeringen?
d) Vil rangeringen endres hvis $\Delta y$ blir dobbelt så stor?

— naturlig pausepunkt —

Økt 4 — sammensatte oppgaver (~18 min)

De fire siste oppgavene blander de to sjangrene og krever at du velger verktøy selv. Oppgave 11 og 14 er i A–F-format.

📝Oppgave 11

Sjanger M1 og M3…

En kloss glir fra ro ned en glatt, buet renne og faller høyden $\Delta y = 1{,}25\,\text{m}$ . Ved bunnen fortsetter den inn på et vannrett parti der friksjonskoeffisienten er $\mu = 0{,}180$ .

Hvor langt glir klossen ut på det vannrette partiet før den stopper?

A $4{,}96\,\text{m}$ · B $4{,}63\,\text{m}$ · C $9{,}72\,\text{m}$ · D $13{,}9\,\text{m}$ · E $3{,}47\,\text{m}$ · F $6{,}94\,\text{m}$

📝Oppgave 12

(Kvalitativ oppgave — verktøyvalg.) For hvert av de fem spørsmålene under: si hvilket verktøy du ville brukt (Newtons 2. lov med kinematikk, eller energibevaring), om rotasjonsleddet $(1+c)$ skal med, og hvilket fortegn friksjonsleddet får hvis det er noe. Du skal ikke regne ut noe.

a) «En kloss glir nedover et skråplan med helning $\theta$ og friksjonskoeffisient $\mu$ . Hvor lang tid tar det å komme 4,00 m?»

b) «En kompakt kule ruller uten å gli ned en bakke med høydeforskjell $h$ . Hvor stor er farten i bunnen?»

c) «En kloss sendes oppover et skråplan med friksjon. Hvor langt opp langs planet kommer den?»

d) «Et hjul ruller uten å gli nedover en bakke og videre opp den andre siden, som er like glatt. Hvor høyt kommer det?»

e) «En kule ruller uten å gli ned en bakke med høydeforskjell $h$ . Hvor lang tid bruker den, når bakken er rett med helning $\theta$ ?»

📝Oppgave 13

Sjanger M1 og M3…

Et skråplan har helning $\theta = 26{,}0^\circ$ . To legemer sendes oppover planet med samme startfart $v_0 = 4{,}80\,\text{m/s}$ :

- en kompakt kule, som ruller uten å gli hele veien,
- en kloss, som glir med friksjonskoeffisient $\mu = 0{,}260$ .

a) Hvor langt opp langs planet kommer kula, og hvilken loddrett høyde svarer det til?
b) Hvor langt opp kommer klossen?
c) Hvor mange ganger lenger kommer kula, og hva er den fysiske grunnen?
d) Hvor langt ville en kloss kommet hvis planet var glatt, og hva forteller sammenligningen med kula?

📝Oppgave 14

Sjanger M3, A–F-format,…

En massiv sylinder ruller uten å gli fra ro ned et skråplan med helning $\theta = 30{,}0^\circ$ .

Hvor lang tid bruker sylinderen på de første $L = 3{,}50\,\text{m}$ langs planet?

A $1{,}19\,\text{s}$ · B $1{,}41\,\text{s}$ · C $1{,}46\,\text{s}$ · D $1{,}54\,\text{s}$ · E $1{,}69\,\text{s}$ · F $1{,}03\,\text{s}$

Typiske feil — hele M1- og M3-repertoaret, og avrundingsfellen

Alle fellene under er hentet fra oppgavene du nettopp har gjort, og hver av dem svarte til et konkret svaralternativ.

Å glemme rotasjonsenergien for et rullende legeme (felle #1 — den hyppigst innebygde fella i hele mekanikkdelen). Regelen er $K = \tfrac12(1+c)mv^2$ , aldri $\tfrac12mv^2$ , når det står «ruller uten å gli». Utslaget er stort: i oppgave 7 ga fella $6{,}57\,\text{m/s}$ i stedet for $5{,}55$ , altså 18,3 prosent for høyt. Og merk at fella snur retning: nedover gir den for stor fart, oppover for liten høyde, og på et rett plan for stor akselerasjon. Ikke lær den som «for stort svar» — lær den som « $(1+c)$ mangler».

Å bruke feil formfaktor. Kule $2/5$ , sylinder $1/2$ , kuleskall $2/3$ , ring $1$ . I oppgave 6 og 14 var fire av de fem gale alternativene riktig metode med feil $c$ , og de lå bare tre til seks prosent fra hverandre. Ingen sluttsjekk fanger dette — bare kunnskap gjør.

Feil fortegn foran friksjonsleddet (felle #5 — feil fortegn eller retning på en friksjons- eller akselerasjonskomponent). Minus når legemet går nedover, pluss når det går oppover, fordi friksjonen alltid peker mot bevegelsen. I det gjennomregnede flervalgstilfellet ga fella $14{,}1\,\text{m}$ i stedet for $3{,}51$ — nesten fire ganger for langt. Kontrollen tar tre sekunder: akselerasjonen oppover skal være større enn nedover.

Å bruke kinematikk med konstant akselerasjon på en krum bane. En buet renne eller en bakke med varierende helning har ikke konstant akselerasjon langs banen, og da er $v^2 = v_0^2 + 2as$ ubrukelig. Bruk energibevaring — den bryr seg ikke om formen på banen, bare om høydeforskjellen. Dette var trinn 1 i oppgave 11.

Å sette $N = mg$ når en ytre kraft har komponent normalt på flaten (felle #6 — normalkraften satt til $mg$ selv om en ytre kraft endrer den). Normalkraften krever sin egen likevektsligning, og den settes opp før friksjonen regnes. I oppgave 4 ga fella $1{,}31\,\text{m/s}^2$ i stedet for $1{,}82$ .

Å svare på høyden når avstanden langs planet var etterspurt, eller omvendt. De to skiller seg med faktoren $\sin\theta$ , og begge tallene ligger som regel i alternativlista. Les spørsmålet to ganger; det er den billigste feilen å unngå i hele kapitlet.

Å ta massen med i et svar der den faller ut. Akselerasjon, fart, avstand og vinkel er alle uavhengige av massen — og for rullende legemer også av radien. Står $m$ eller $R$ i svaret ditt på en av dem, er det en feil.

Å blande $\mu$ inn i akselerasjonen for et rullende legeme. For ren rulling er $a = g\sin\theta/(1+c)$ , uten noe $\mu$ -ledd. Friksjonen er statisk, kontaktpunktet står stille, og den gjør ikke arbeid — virkningen ligger i $(1+c)$ . Friksjonskoeffisienten kommer bare inn hvis oppgaven spør om hvor stor $\mu_s$ må være for at rullingen skal holde, og da er svaret $\mu_s \ge \tan\theta \cdot c/(1+c)$ .

Og avrundingsfellen som er spesiell for dette kapitlet (felle #16 — avrundingsfeil som lander på nabo-alternativet). Den sitter i minus-parentesen $\sin\theta - \mu\cos\theta$ , som er en differanse mellom to tall av samme størrelsesorden. Ligger $\mu$ nær $\tan\theta$ , er parentesen nesten null, og en liten absoluttfeil blir en stor relativfeil. To konkrete tilfeller fra dette kapitlet:

- Oppgave 1: parentesen er $0{,}099785$ . Runder du $\mu\cos\theta$ fra $0{,}209232$ til $0{,}21$ , blir svaret $0{,}971$ i stedet for $0{,}979\,\text{m/s}^2$ — 0,8 prosent feil fra én avrunding i tredje siffer.
- Oppgave 5: her er hele svaret bygget på brøken $(\tan\theta - \mu)/(\tan\theta + \mu) = 0{,}280208/1{,}120208$ . Runder du telleren til $0{,}28$ , endres svaret i fjerde siffer — her romslig nok, men marginen er ikke noe du kan vite på forhånd.

I rullingsoppgavene er mekanismen en annen: der er faren ikke avrunding, men faktorvalg. Alternativene ligger tre til seks prosent fra hverandre fordi de svarer til nabo-verdier av $c$ , og fire siffer hjelper ikke hvis du valgte $1{,}5$ der det skulle stått $1{,}4$ .

Regelen for hele kapitlet: seks siffer i $\sin\theta$ og $\cos\theta$ , fire i parentesen, og slå opp $c$ hver gang — ikke gjett på den.

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard- og repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Trinn 1: kinematikk eller energibevaring?

a

Rotasjonsleddet

(1+c)

v = \omega R

Formfaktoren

c

og de fem verdiene

c = I/(mR^2)

Legeme	$c$	$K$ ved farten $v$
Kloss (glir, ingen rotasjon)	$0$	$\tfrac12mv^2$
Kompakt kule	$\tfrac25$	$\tfrac{7}{10}mv^2$
Massiv sylinder	$\tfrac12$	$\tfrac34mv^2$
Tynt kuleskall	$\tfrac23$	$\tfrac56mv^2$
Tynn ring eller sylinderskall	$1$	$mv^2$

Fortegnstesten i drill-tempo

a = g(\sin\theta - \mu\cos\theta)

Nabo-alternativet i Del 2

c

Sluttsjekklista for skråplan og rulling

m

Energifordelingen mellom translasjon og rotasjon

c

Snuavstand mot snuhøyde

\sin\theta

Symbol- og formelliste

Repetisjonsoppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.