7.1 Første hovedsetning og termodynamiske prosesser

$\Delta U=Q-W$, arbeid $W=\int p\,dV$, og de fire prosessene (isoterm, isobar, isokor, adiabat $pV^\gamma=\text{konst}$) med riktig $(Q,W,\Delta U)$-relasjon.

60 min

10 oppgaver

Første hovedsetningtermodynamiske prosesser

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

6.2Ekvipartisjon, frihetsgrader og varmekapasitet ($C_V$, $C_P$, $\gamma$)

Brukes videre i

7.2Entropi og andre hovedsetning 8.1Kretsprosesser og virkningsgrad (Carnot, Otto, Stirling)

Dette er termohalvdelens mest brukte kapittel. Alt som følger — hele
kretsprosessdelen i Del 8, entropien i kap. 7.2 og
varmepumpene — hviler på de fire prosessene og på ett energiregnskap.

Sjanger T8 — hovedsetningene som fortegnsanalyse (bokas navn på
oppgaveformen der du får to av størrelsene varme, arbeid og indre energi og skal
finne den tredje, med riktig fortegn) forekommer i praktisk talt alle sett
(~100 %). Sjanger T4 — adiabatoppgaven (en prosess uten varmeutveksling,
der du skal finne nytt trykk, ny temperatur eller arbeidet) forekommer i om lag
9 av 10 sett (~90 %). Begge hører i termohalvdelen, spørsmål 21–40.
Prioritet: høyeste — dette må sitte.

Signaturen er alltid den samme: kjenn igjen prosesstypen, og bruk dens
relasjon. Er volumet fast, er arbeidet null. Er trykket fast, er arbeidet
$p\,\Delta V$ . Er temperaturen fast, er $\Delta U$ null. Er det ingen
varmeutveksling, er $Q$ null. Fire setninger, og halve termohalvdelen er dekket.

Den ene feilen som koster mest her, er å bruke feil prosessrelasjon (felle
#10 — å behandle isokor, isobar, isoterm og adiabat om hverandre). Den nest
dyreste er feil fortegn i energiregnskapet, og den tredje er feil
$\gamma$ i adiabatrelasjonen (felle #8), som er ekstra dyr fordi $\gamma$ står
i en eksponent.

Forkunnskaper — sist du var her

Dette kapitlet bygger på kap. 6.2, og du trenger tre ting
derfra. De står ferdig oppfrisket her:

$C_V = \frac{f}{2}R, \qquad C_P = C_V + R, \qquad \gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{f+2}{f}$
De tre størrelsene hele kapitlet regner med. Enatomig gass:
$C_V = 12{,}471$ , $C_P = 20{,}785$ , $\gamma = 1{,}6667$ . Toatomig ved
romtemperatur: $C_V = 20{,}785$ , $C_P = 29{,}099$ , $\gamma = 1{,}4000$
(varmekapasiteter i $\text{J/(mol}\cdot\text{K)}$ ).

$\Delta U = nC_V\,\Delta T \qquad (\textbf{uansett prosess})$
Endringen i indre energi. Merk «uansett prosess» — det er $C_V$ som står her selv
i en isobar prosess, fordi indre energi bare avhenger av temperaturen. Dette er
den enkeltrelasjonen du kommer til å bruke oftest i resten av boka.

$pV = nRT$
Gassloven fra kap. 6.1, som binder de tre
tilstandsstørrelsene sammen. Du bruker den i praktisk talt hver deloppgave, ofte
for å finne den temperaturen oppgaven ikke oppgir.

Fra matematikken: Bestemt integral som grenseverdi trenger du
til $W = \int p\,dV$ — arbeidet er arealet under prosessveien i et
$pV$ -diagram. Og logaritmen dukker opp i det isoterme arbeidet:
$\int_{V_1}^{V_2}\frac{dV}{V} = \ln\frac{V_2}{V_1}, \qquad \ln 2 = 0{,}69315, \qquad \ln 3 = 1{,}09861, \qquad \ln 4 = 1{,}38629.$

Fra mekanikken: energibegrepet fra kap. 2.2. Arbeid
er kraft ganger vei der; her er det trykk ganger volumendring, men det er samme
regnskap. Og energibevaring gjelder like fullt — den blir bare utvidet med
varme.

⚠ Symbolvarsel. Fra og med dette kapitlet er $Q$ varme i joule; i
kap. 5.2 var $Q$ kvalitetsfaktoren, som er
dimensjonsløs. $W$ er arbeid i joule — samme størrelse som i mekanikken, men
her regnet på gassen. $\gamma$ er adiabateksponenten, dimensjonsløs mellom 1
og $\tfrac53$ , ikke dempingskoeffisienten. Og $T$ er kelvin, alltid.

Løkke 1 — energiregnskapet og fortegnene (~14 min)

Trykk stempelet ned i en sykkelpumpe med tommelen over ventilen. Pumpen blir
varm. Du har ikke tilført varme — du har gjort arbeid på luften, og
energien måtte ta veien inn i gassen.

Slipp så luften ut av et fullt sykkeldekk mot håndbaken. Luftstrømmen er
kald. Gassen har utvidet seg og gjort arbeid mot omgivelsene, og energien
måtte komme fra et sted — nemlig fra gassens egen indre energi, altså fra
molekylenes bevegelse. Derfor faller temperaturen.

To hverdagslige observasjoner, og de er de to fortegnene i første hovedsetning.

Termodynamisk prosess

pV

Kvasistatisk prosess

pV

Varme

Q

Q > 0

Arbeid

W

i termofysikken

pA

📜Første hovedsetning

Energien i universet er bevart. For et system som mottar varmen

Q

og gjør
arbeidet

W

på omgivelsene:

\boxed{\ \Delta U = Q - W\ }

Loven står på det utdelte arket i nettopp denne formen.

Fortegnskonvensjonen denne boka bruker overalt — les den én gang, og hold
den:

- $Q > 0$ : varme inn i systemet.
- $W > 0$ : arbeid gjort av systemet på omgivelsene (gassen utvider seg).
- $\Delta U > 0$ : den indre energien øker, altså stiger temperaturen (for en
ideell gass).

Intuisjon: les den som en bankkonto. $Q$ er innskudd, $W$ er uttak, og
$\Delta U$ er endringen i saldo. Varmer du gassen og lar den utvide seg samtidig,
er noe satt inn og noe tatt ut — og saldoen endres bare med differansen.

Tre spesialtilfeller som gir halve poengene i sjangeren:

- Ingen volumendring ⇒ $W = 0$ ⇒ $\Delta U = Q$ .
- Ingen varmeutveksling ⇒ $Q = 0$ ⇒ $\Delta U = -W$ .
- Ingen temperaturendring (ideell gass) ⇒ $\Delta U = 0$ ⇒ $Q = W$ .

Og for en ideell gass gjelder alltid, uansett prosess:
$\Delta U = nC_V\,\Delta T.$

Du kommer til å møte begge formene, og de er ikke uenige om fysikken. De
definerer $W$ ulikt:

Form	Hva $W$ betyr	Positiv $W$ betyr
$\Delta U = Q - W$ (denne boka, og TFY4115s formelark)	arbeidet gassen gjør på omgivelsene	gassen utvider seg
$\Delta U = Q + W$ (mange kjemibøker og en del engelske fysikkbøker)	arbeidet omgivelsene gjør på gassen	gassen komprimeres

De to

W

-ene er hverandres motsatte, så begge likningene sier det samme.
Slik kjenner du igjen hvilken en tekst bruker, på fem sekunder: finn
uttrykket for isotermt arbeid eller for en ekspansjon.

- Står det $W = nRT\ln(V_2/V_1)$ og teksten sier at $W$ er positiv når gassen

utvider seg, er konvensjonen $\Delta U = Q - W$ .
- Står det $W = -nRT\ln(V_2/V_1)$ , eller sier teksten at $W$ er negativ ved

ekspansjon, er konvensjonen $\Delta U = Q + W$ .
En annen sikker markør: i en adiabatisk kompresjon stiger temperaturen. Med
$\Delta U = Q - W$ må da $W$ være negativ; med $\Delta U = Q + W$ må $W$ være
positiv.

Rådet er enkelt: bruk denne bokas konvensjon konsekvent, og skriv den ned
øverst på kladden. Blander du de to midt i en kretsprosess i Del 8, forplanter
fortegnsfeilen seg gjennom hele syklusen, og virkningsgraden blir feil. Det som

uansett ikke kan feiltolkes, er retningen i klartekst: skriv « $1{,}99\,\text{kJ}$
arbeid gjort på gassen» ved siden av tallet, hver gang.

Arbeid som areal under

pV

-kurven

W = \int p\,dV

✏️Eksempel 1: isobar oppvarming, med fullt energiregnskap

1{,}20\,\text{mol}

nitrogengass (toatomig) holdes ved konstant trykk

1{,}50\cdot10^{5}\,\text{Pa}

mens volumet vokser fra

20{,}0\,\text{L}

til

30{,}0\,\text{L}

a) Finn temperaturen før og etter.

b) Finn arbeidet gassen gjør.

c) Finn endringen i indre energi.

d) Finn den tilførte varmen, på to uavhengige måter.

a) Symbolsk. Gassloven løst for temperaturen:

T = pV/(nR)

Rask vei til tall. Regn $nR$ én gang og gjenbruk det:
$nR = 1{,}20 \cdot 8{,}314 = 9{,}9768\,\text{J/K},$
$T_1 = \frac{1{,}50\cdot10^{5} \cdot 0{,}0200}{9{,}9768}\,\text{K} = 300{,}70\,\text{K}, \qquad T_2 = \frac{1{,}50\cdot10^{5} \cdot 0{,}0300}{9{,}9768}\,\text{K} = 451{,}05\,\text{K},$
altså $\Delta T = 150{,}35\,\text{K}$ .

b) Symbolsk. Konstant trykk gir $W = \int p\,dV = p\,\Delta V$ — trykket kan
settes utenfor integralet.

Rask vei til tall.
$W = 1{,}50\cdot10^{5} \cdot (0{,}0300 - 0{,}0200)\,\text{J} = 1{,}50\cdot10^{5} \cdot 0{,}0100\,\text{J} = 1500{,}0\,\text{J}.$
Fortegnet i klartekst: positivt, altså $1500{,}0\,\text{J}$ arbeid gjort av
gassen på omgivelsene. Gassen skyver stempelet utover.

c) Symbolsk. $\Delta U = nC_V\Delta T$ med $C_V = \tfrac52R$ for en toatomig
gass — merk at det er $C_V$ og ikke $C_P$ , selv om prosessen er isobar.

Rask vei til tall.
$\Delta U = 1{,}20 \cdot 20{,}785 \cdot 150{,}35\,\text{J} = 3750{,}0\,\text{J}.$

Elegant kontroll: for en isobar prosess er $nR\Delta T = p\Delta V = W$ , så
$\Delta U = nC_V\Delta T = \frac{C_V}{R}\,nR\Delta T = \tfrac52 W = 2{,}5 \cdot 1500{,}0\,\text{J} = 3750{,}0\,\text{J} \ \checkmark$
Den snarveien er verdt å kjenne: i en isobar prosess er $\Delta U$ nøyaktig
$\tfrac{f}{2}$ ganger arbeidet.

d) Første måte — første hovedsetning:
$Q = \Delta U + W = 3750{,}0 + 1500{,}0\,\text{J} = 5250{,}0\,\text{J}.$

Andre måte — direkte med $C_P$ :
$Q = nC_P\Delta T = 1{,}20 \cdot 29{,}099 \cdot 150{,}35\,\text{J} = 5250{,}0\,\text{J} \ \checkmark$
Samme svar fra to helt ulike veier. Dette er også utledningen av
$C_P = C_V + R$ i tall: av de $5250{,}0\,\text{J}$ som ble tilført, gikk
$3750{,}0\,\text{J}$ til molekylenes egen bevegelse og $1500{,}0\,\text{J}$ til å skyve
omgivelsene unna.

Fella her: hadde du brukt $C_P$ i $\Delta U$ , ville du fått
$5250{,}0\,\text{J}$ i stedet for $3750{,}0\,\text{J}$ — og differansen er
nøyaktig arbeidet, som du da har telt to ganger. Det er felle #8 i sin reneste
form.

📝Oppgave 1

(Innstegsoppgave — bare fortegn og energiregnskap, ingen gasslov.)

a) En gass mottar $1200\,\text{J}$ varme og gjør $450\,\text{J}$ arbeid på
omgivelsene. Hvor mye endrer den indre energien seg?

b) Stiger eller synker temperaturen?

c) En annen gass komprimeres, slik at omgivelsene gjør $600\,\text{J}$
arbeid på den, mens $250\,\text{J}$ varme strømmer ut. Skriv opp $Q$ og
$W$ med riktig fortegn i denne bokas konvensjon, og finn $\Delta U$ .

📝Oppgave 2

Sjanger T8

2{,}50\,\text{mol}

argon
(enatomig) varmes fra

295\,\text{K}

til

375\,\text{K}

i en stiv
beholder.

a) Hvor mye arbeid gjør gassen?

b) Finn $\Delta U$ .

c) Finn den tilførte varmen.

📝Oppgave 3

Sjanger T8

0{,}800\,\text{mol}

toatomig gass utvider seg ved konstant trykk

2{,}40\cdot10^{5}\,\text{Pa}

, og volumet øker med

12{,}0\,\text{L}

a) Finn arbeidet gassen gjør.

b) Finn temperaturendringen.

c) Finn $\Delta U$ og den tilførte varmen.

d) Hvor stor andel av den tilførte varmen gikk til arbeid?

— naturlig pausepunkt —

Løkke 2 — de fire prosessene (~16 min)

Nå skal vi gå gjennom de fire veiene en gass kan føres langs, én for én. Alle
fire er navngitt etter hva som holdes fast, og navnet er hele oppskriften:
kjenner du prosesstypen, kjenner du relasjonen.

Isokor prosess (fast volum)

\Delta V = 0

Isobar prosess (fast trykk)

W = p\,\Delta V = nR\,\Delta T, \qquad Q = nC_P\,\Delta T, \qquad \Delta U = nC_V\,\Delta T.

Isoterm prosess (fast temperatur)

\Delta U = 0, \qquad Q = W = nRT\ln\frac{V_2}{V_1}.

Adiabatisk prosess (ingen varmeutveksling)

Q = 0

Utledningen som kreves aktivt: adiabatrelasjonene

Dette er den ene utledningen i kapitlet du bør kunne gjøre fra bunnen, fordi den
forklarer hvor eksponenten $\gamma$ kommer fra.

Start med første hovedsetning for en infinitesimal, adiabatisk ( $Q = 0$ )
prosess:
$dU = -dW \quad\Longrightarrow\quad nC_V\,dT = -p\,dV.$

Intuisjon: den lille energien gassen taper ved å skyve, må komme fra dens egen
indre energi — det finnes ingen annen kilde når $Q = 0$ .

Sett inn $p = nRT/V$ fra gassloven, og $n$ faller ut:
$C_V\,dT = -\frac{RT}{V}\,dV \quad\Longrightarrow\quad \frac{dT}{T} = -\frac{R}{C_V}\cdot\frac{dV}{V}.$

Integrér begge sider fra tilstand 1 til tilstand 2:
$\ln\frac{T_2}{T_1} = -\frac{R}{C_V}\ln\frac{V_2}{V_1} = \frac{R}{C_V}\ln\frac{V_1}{V_2}.$

Nå brukes koblingen til $\gamma$ fra kap. 6.2:
$\gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{C_V+R}{C_V} = 1 + \frac{R}{C_V} \quad\Longrightarrow\quad \frac{R}{C_V} = \gamma - 1.$

Dermed:
$\ln\frac{T_2}{T_1} = (\gamma-1)\ln\frac{V_1}{V_2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1} \quad\Longrightarrow\quad TV^{\gamma-1} = \text{konstant}.$

Og derfra de to andre formene, med gassloven: setter du
$T = pV/(nR)$ inn i $TV^{\gamma-1} = \text{konstant}$ , får du
$pV\cdot V^{\gamma-1} = pV^{\gamma} = \text{konstant}$ . Setter du i stedet
$V = nRT/p$ inn, får du $T^{\gamma}/p^{\gamma-1} = \text{konstant}$ . De tre
formene er samme relasjon — velg den som inneholder de to størrelsene oppgaven
gir deg.

Arbeidet langs en adiabat følger nå av $\Delta U = -W$ :
$W = -nC_V(T_2-T_1) = nC_V(T_1-T_2) = \frac{p_1V_1 - p_2V_2}{\gamma-1},$
der den siste formen fås ved å bruke $nC_V = nR/(\gamma-1)$ og gassloven. Den er
nyttig når oppgaven oppgir trykk og volum men ikke temperaturer.

Intuisjon for hvorfor $\gamma$ og ikke 1: langs en isoterm holdes temperaturen
oppe av varme utenfra, så trykket faller bare fordi volumet vokser. Langs en
adiabat får gassen ingen varme, så temperaturen faller også — og trykket
faller derfor av to grunner samtidig. Det er derfor adiabaten er brattere, og
eksponenten forteller hvor mye.

📜Adiabaten er alltid brattere enn isotermen

I et punkt

(V, p)

som de deler er helningene

\left(\frac{dp}{dV}\right)_\text{isoterm} = -\frac{p}{V}, \qquad \left(\frac{dp}{dV}\right)_\text{adiabat} = -\gamma\frac{p}{V}.

Forholdet er nøyaktig

\gamma

, og siden

\gamma > 1

alltid (fordi

C_P > C_V

), er adiabaten alltid den bratteste — uansett gass, uansett trykk,
uansett volum.

Følgene, som er direkte lesbare i figuren under:

- Ved ekspansjon ( $V$ øker) faller adiabaten under isotermen: trykket
faller mer, fordi temperaturen faller i tillegg.
- Ved kompresjon ( $V$ minker) stiger adiabaten over isotermen: trykket
stiger mer, fordi temperaturen stiger i tillegg.
- Adiabatisk arbeid ved ekspansjon er mindre enn isotermt arbeid mellom
samme volumer, siden arealet under er mindre.

En figur der de to krysser med motsatt bratthet, underviser fellen. Har du et
flervalgsspørsmål med grafer, er brattheten det første du sjekker.

Prosesstabellen — de fire på én linje hver

W

Prosess	Fast	$W$	$Q$	$\Delta U$	Vei i $pV$
isokor	$V$	$0$	$nC_V\Delta T$	$nC_V\Delta T$	loddrett
isobar	$p$	$p\Delta V = nR\Delta T$	$nC_P\Delta T$	$nC_V\Delta T$	vannrett
isoterm	$T$	$\displaystyle nRT\ln\frac{V_2}{V_1}$	samme som $W$	$0$	hyperbel
adiabat	— ( $Q=0$ )	$-nC_V\Delta T$	$0$	$nC_V\Delta T$	brattere hyperbel

✏️Eksempel 2: adiabatisk kompresjon

1{,}00\,\text{mol}

nitrogengass (toatomig,

\gamma = 1{,}4000

) komprimeres
adiabatisk fra

25{,}0\,\text{L}

til halve volumet. Starttemperaturen er

300{,}0\,\text{K}

a) Finn starttrykket.

b) Finn slutt-temperaturen.

c) Finn slutt-trykket, og kontroller svaret med gassloven.

d) Finn arbeidet, og si tydelig hvilken vei det går.

e) Hvor stort ville slutt-trykket blitt om prosessen i stedet var isoterm?

p_1 = \frac{nRT_1}{V_1} = \frac{1{,}00 \cdot 8{,}314 \cdot 300{,}0}{0{,}0250} \,\text{Pa} = 9{,}9768\cdot10^{4}\,\text{Pa}.

b) Symbolsk. Adiabatrelasjonen i temperatur-volum-form,
$TV^{\gamma-1} = \text{konstant}$ , gir
$T_2 = T_1\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}.$
Velg denne formen fordi oppgaven gir deg temperatur og volum.

Rask vei til tall. Med $V_1/V_2 = 2$ og $\gamma - 1 = 0{,}40000$ :
$T_2 = 300{,}0 \cdot 2^{0{,}40000}\,\text{K} = 300{,}0 \cdot 1{,}31951\,\text{K} = 395{,}85\,\text{K}.$
Temperaturen steg med $95{,}852\,\text{K}$ , altså $31{,}95$ prosent — helt
uten at vi tilførte varme. Det er sykkelpumpen.

c) Symbolsk. $pV^{\gamma} = \text{konstant}$ gir
$p_2 = p_1(V_1/V_2)^{\gamma}$ .

Rask vei til tall.
$p_2 = 9{,}9768\cdot10^{4} \cdot 2^{1{,}4000}\,\text{Pa} = 9{,}9768\cdot10^{4} \cdot 2{,}63902\,\text{Pa} = 2{,}6329\cdot10^{5}\,\text{Pa}.$

Uavhengig kontroll med gassloven:
$p_2 = \frac{nRT_2}{V_2} = \frac{1{,}00 \cdot 8{,}314 \cdot 395{,}85}{0{,}01250} \,\text{Pa} = 2{,}6329\cdot10^{5}\,\text{Pa} \ \checkmark$
To helt ulike veier, samme svar. Denne kontrollen bør du gjøre hver gang — den
fanger både feil eksponent og feil avrunding.

d) Symbolsk. $Q = 0$ gir $\Delta U = -W$ , altså $W = -nC_V\Delta T$ .

Rask vei til tall.
$\Delta U = nC_V\Delta T = 1{,}00 \cdot 20{,}785 \cdot 95{,}852\,\text{J} = 1992{,}3\,\text{J}, \qquad W = -1992{,}3\,\text{J} = -1992{,}3\,\text{J}.$
Fortegnet i klartekst: $W$ er negativ, altså gjør omgivelsene
$1992{,}3\,\text{J}$ arbeid på gassen. All denne energien blir indre energi,
og det er derfor temperaturen stiger.

Kontroll med den andre formen for adiabatarbeid:
$W = \frac{p_1V_1 - p_2V_2}{\gamma-1} = \frac{2494{,}20 - 3291{,}12}{0{,}40000}\,\text{J} = -1992{,}3\,\text{J} \ \checkmark$

e) Isotermt ville $pV$ vært konstant, altså
$p_2^\text{isoterm} = p_1 \cdot 2 = 1{,}9954\cdot10^{5}\,\text{Pa},$
som er mindre enn de $2{,}6329\cdot10^{5}\,\text{Pa}$ adiabaten gir. Det stemmer med at
adiabaten er brattere: ved kompresjon stiger den mer, fordi temperaturen stiger
i tillegg. Forholdet er $1{,}3195$ .

Fella i denne oppgaven er å bruke $\gamma = \tfrac53$ (enatomig) i stedet for
$\tfrac75$ . Da ville du fått $T_2 = 476{,}22\,\text{K}$ og
$p_2 = 3{,}1674\cdot10^{5}\,\text{Pa}$ — henholdsvis $20{,}3$ og
$20{,}3$ prosent for høyt. Fordi $\gamma$ står i en eksponent, blir en
liten feil i $\gamma$ en stor feil i svaret, og begge tallene står typisk på
alternativlista.

📝Oppgave 4

Sjanger T4

0{,}500\,\text{mol}

toatomig gass utvider seg
adiabatisk fra

10{,}0\,\text{L}

til

40{,}0\,\text{L}

. Starttemperaturen
er

290\,\text{K}

a) Finn slutt-temperaturen.

b) Finn $\Delta U$ og arbeidet, med fortegn og retning i klartekst.

c) Finn start- og slutt-trykket.

d) Forklar i to setninger hvorfor gassen blir kaldere når ingen varme fjernes.

📝Oppgave 5

Sjanger T4,…

Luft (regn den som toatomig) komprimeres
adiabatisk fra $1{,}00\cdot10^{5}\,\text{Pa}$ til $8{,}00\cdot10^{5}\,\text{Pa}$ . Starttemperaturen er
$300\,\text{K}$ .

a) Finn slutt-temperaturen.

b) Hva ville svaret blitt for en enatomig gass, og hvorfor er det høyere?

c) En dieselmotor tenner drivstoffet ved kompresjonsvarmen alene. Hva sier
svaret i a) om hvorfor det er mulig?

✏️Eksempel 3: isoterm ekspansjon (eksamensnivå)

2{,}00\,\text{mol}

ideell gass utvider seg isotermt ved

350\,\text{K}

fra

15{,}0\,\text{L}

til

45{,}0\,\text{L}

a) Finn arbeidet gassen gjør.

b) Finn $\Delta U$ og den tilførte varmen.

c) Finn start- og slutt-trykket.

d) Sammenlign arbeidet med det du ville fått ved feilaktig å regne
$W = p_1\,\Delta V$ , og forklar hvorfor den feilen alltid går samme vei.

a) Symbolsk. Trykket er ikke konstant, så det må stå inne i integralet. Med

p = nRT/V

T

konstant:

W = \int_{V_1}^{V_2}\frac{nRT}{V}\,dV = nRT\int_{V_1}^{V_2}\frac{dV}{V} = nRT\ln\frac{V_2}{V_1}.

Rask vei til tall. Regn $nRT$ én gang:
$nRT = 2{,}00 \cdot 8{,}314 \cdot 350\,\text{J} = 5819{,}80\,\text{J}, \qquad \ln\frac{V_2}{V_1} = \ln 3{,}00 = 1{,}09861,$
$W = 5819{,}80 \cdot 1{,}09861\,\text{J} = 6393{,}70\,\text{J} \approx 6{,}394\,\text{kJ}.$
Positivt, altså arbeid gjort av gassen.

b) Isoterm prosess i en ideell gass betyr uendret temperatur, altså
$\Delta U = nC_V\Delta T = 0,$
og da gir første hovedsetning
$Q = \Delta U + W = W = 6393{,}70\,\text{J}.$
All den tilførte varmen gikk rett ut igjen som arbeid. Gassen er her en ren
energiformidler — den endte i samme tilstand energimessig som den startet.

c)
$p_1 = \frac{nRT}{V_1} = \frac{5819{,}80}{0{,}0150}\,\text{Pa} = 3{,}8799\cdot10^{5}\,\text{Pa}, \qquad p_2 = \frac{5819{,}80}{0{,}0450}\,\text{Pa} = 1{,}2933\cdot10^{5}\,\text{Pa}.$
Kontroll: $p_1V_1 = p_2V_2 = 5819{,}80\,\text{J}$ ✔ — som det må være langs en
isoterm.

d) Med starttrykket satt konstant ville du fått
$W^\text{galt} = p_1\,\Delta V = 3{,}8799\cdot10^{5} \cdot 0{,}0300\,\text{J} = 11639{,}6\,\text{J},$
altså $82{,}0$ prosent for mye.

Hvorfor feilen alltid overdriver: trykket faller underveis i en
ekspansjon, så starttrykket er det høyeste trykket i hele prosessen. Å bruke det
hele veien er som å regne arealet under kurven som et rektangel med kurvens
høyeste punkt som høyde. Den geometriske lesningen gjør fella lett å huske —
og lett å oppdage, siden det gale svaret alltid er større.

(Bruker du i stedet gjennomsnittet av start- og sluttrykket, får du
$7759{,}73\,\text{J}$ , altså bare $21{,}4$ prosent for mye. Det er en bedre
tilnærming, men fremdeles en tilnærming: hyperbelen er krum, og logaritmen er det
eksakte svaret.)

📝Oppgave 6

Sjanger T8, isoterm

1{,}50\,\text{mol}

ideell gass utvider seg isotermt ved

320\,\text{K}

til fire ganger volumet.

a) Finn arbeidet og den tilførte varmen.

b) Hvor mye endrer den indre energien seg?

c) Hvor mye varme hadde gått til arbeid om ekspansjonen i stedet var
adiabatisk?

📝Oppgave 7

Sjanger T8, isoterm…

3{,}00\,\text{mol}

ideell
gass komprimeres isotermt ved

400\,\text{K}

fra

50{,}0\,\text{L}

til

20{,}0\,\text{L}

a) Finn arbeidet, og si tydelig hvilken vei det går.

b) Finn varmen, med retning i klartekst.

c) Forklar hvorfor svarene i a) og b) har samme fortegn her, når de hadde
motsatt betydning i en ekspansjon.

— naturlig pausepunkt —

Rask vei til tall (MC-oppskrift)

1. Hvilken lov? Alt i dette kapitlet er én lov, $\Delta U = Q - W$ , pluss
én identifikasjon: hvilken prosess er det? Let etter signalordene i
oppgaveteksten. «Stiv beholder», «fast volum» → isokor, $W = 0$ . «Fritt
stempel», «konstant trykk», «åpen mot atmosfæren» → isobar,
$W = p\Delta V$ . «Konstant temperatur», «i termisk kontakt med et reservoar»,
«langsomt» → isoterm, $\Delta U = 0$ . «Isolert», «raskt», «ingen
varmeutveksling» → adiabat, $Q = 0$ .
2. Hvilken ene regnelinje? Skriv prosesstypen ned som ord først, og
deretter dens ene relasjon. Isokor: $Q = nC_V\Delta T$ . Isobar:
$W = p\Delta V = nR\Delta T$ og $Q = nC_P\Delta T$ . Isoterm:
$Q = W = nRT\ln(V_2/V_1)$ . Adiabat: $T_2 = T_1(V_1/V_2)^{\gamma-1}$ og
$W = -nC_V\Delta T$ . Regn $\Delta U = nC_V\Delta T$ til slutt som kontroll —
den gjelder alltid.
3. Hva hentes hvor? $\Delta U = Q - W$ , $W = \int p\,dV$ , alle fire
prosessrelasjonene, $pV^\gamma$ -, $TV^{\gamma-1}$ - og
$T^\gamma/p^{\gamma-1}$ -formene, og $C_V$ / $C_P$ -verdiene står på det utdelte
arket. Logaritmer og potenser regner du på kalkulatoren; integralet
$\int dV/V = \ln V$ kan du slå opp i Rottmann. Det som må kunne utledes
aktivt, er (i) det isoterme arbeidet $nRT\ln(V_2/V_1)$ fra integralet, (ii)
adiabatrelasjonen fra $nC_V\,dT = -p\,dV$ , og (iii) hele fortegnsanalysen.
4. Hvor mange siffer? Fire gjennom kjeden. Ett sted krever spesiell
omhu: eksponentene i adiabatrelasjonen. Bruk $\gamma - 1 = 0{,}40000$ og
$(\gamma-1)/\gamma = 0{,}28571$ med alle sifrene, ikke $0{,}4$ og $0{,}29$ . En
avrunding i eksponenten forstørres når du opphøyer, og med et
volumforhold på 10 blir $10^{0{,}4}$ mot $10^{0{,}40}$ en forskjell du ser i
tredje siffer.
5. Hva sjekker du før du krysser av? (i) Er prosesstypen riktig identifisert,
og har jeg brukt dens relasjon? (ii) Er alle temperaturer i kelvin? (iii)
Er fortegnene skrevet ut i klartekst — «inn», «ut», «på gassen», «av gassen»?
(iv) Stemmer $\Delta U = Q - W$ numerisk med de tre tallene mine? (v) Ga
adiabatregningen samme trykk fra $pV^\gamma$ og fra gassloven? (vi) Brukte jeg
riktig $\gamma$ for denne gassen?

📝Oppgave 8

Sjanger T4, flervalg i…

En enatomig
ideell gass komprimeres adiabatisk til en fjerdedel av volumet. Hvor mange ganger
større blir trykket?

A $2{,}5198$ · B $4{,}000$ · C $10{,}079$ · D $6{,}9644$ ·
E $2{,}2974$ · F $40{,}317$

Oppgi bare bokstavsvaret.

📝Oppgave 9

(Kvalitativ oppgave — prosessidentifikasjon. Denne typen har sin egen andel av
eksamenssettet.) For hver av situasjonene under: hvilken prosesstype er det, og
hvilken av $Q$ , $W$ og $\Delta U$ er null?

a) En gass i en stiv stålflaske varmes med en varmekabel.

b) En luftmasse stiger raskt i atmosfæren og utvider seg.

c) En gass i en sylinder med fritt stempel varmes langsomt, mens
atmosfæretrykket virker på stempelet.

d) En gass komprimeres svært langsomt i en sylinder som står i et stort
vannbad med fast temperatur.

📝Oppgave 10

Eksamensnivå

2{,}00\,\text{mol}

toatomig gass starter i tilstand 1 med

V_1 = 40{,}0\,\text{L}

T_1 = 300\,\text{K}

. Den føres først isokort til

T_2 = 450\,\text{K}

, deretter isobart til

V_3 = 60{,}0\,\text{L}

a) Finn $p_1$ , $p_2$ og $T_3$ .

b) Finn $Q$ , $W$ og $\Delta U$ for hvert av de to trinnene.

c) Finn totalene, og kontroller at $\Delta U_\text{tot}$ stemmer med
$nC_V(T_3-T_1)$ .

d) Hvorfor er det siste en gyldig kontroll, når $Q$ og $W$ måtte regnes trinn
for trinn?

Typiske feil — og avrundingen i eksponenten som lander på nabo-alternativet

Å bruke feil prosessrelasjon (felle #10 — å behandle isokor, isobar, isoterm
og adiabat om hverandre). Dette er kapitlets dyreste feil, og den er nesten alltid
en av disse fire:

W \ne 0

i en isokor,

\Delta U \ne 0

i en isoterm,

Q \ne 0

i en adiabat, eller

W = p\Delta V

brukt i en prosess der trykket
ikke er konstant. Motgiften er å skrive prosesstypen ned som ord øverst, før
noe regnes.

Å bruke $C_P$ der $C_V$ hører (felle #8). $\Delta U = nC_V\Delta T$ alltid,
uansett prosess. $C_P$ hører bare i varmen ved konstant trykk. Feilen er nøyaktig
$nR\Delta T$ — altså arbeidet, telt to ganger.

Feil fortegn i $\Delta U = Q - W$ . To varianter: å glemme minusen (og skrive
$\Delta U = Q + W$ med denne bokas $W$ ), og å rote i minusparentesen når $W$ selv
er negativ. Skriv opp $Q$ og $W$ som to egne linjer med fortegn og med retning i
ord før du setter inn.

Å bruke feil $\gamma$ (felle #8 igjen, i sin dyreste form). Enatomig
$\tfrac53 = 1{,}6667$ , toatomig $\tfrac75 = 1{,}4000$ . Fordi $\gamma$ står i en
eksponent, forstørres feilen: en firedobling av trykket gir
$4^{1{,}4000} = 6{,}9644$ ganger med riktig $\gamma$ og $4^{1{,}6667} = 10{,}079$ ganger
med feil — en forskjell på $44{,}7$ prosent.

Å blande de tre adiabatformene. $pV^\gamma$ knytter trykk og volum,
$TV^{\gamma-1}$ knytter temperatur og volum, og $T^\gamma/p^{\gamma-1}$ knytter
temperatur og trykk. Velg den formen som inneholder de to størrelsene oppgaven
gir deg. Bruker du $pV^\gamma$ der $TV^{\gamma-1}$ hører, får du et svar med
eksponenten $\gamma$ i stedet for $\gamma-1$ — og begge tallene ligger på
alternativlista, siden det ene er $T$ -forholdet og det andre $p$ -forholdet.

Å regne isotermt arbeid som $p\,\Delta V$ . Trykket er ikke konstant langs en
isoterm; svaret er $nRT\ln(V_2/V_1)$ . Fella overdriver alltid ved ekspansjon,
siden starttrykket er det høyeste i hele prosessen.

Celsius i adiabatrelasjonen (felle #11). $TV^{\gamma-1}$ er en
proporsjonalitet i absolutt temperatur. Med celsius blir eksponenten anvendt
på et vilkårlig nullpunkt, og svaret er meningsløst — men det ser ikke slik ut.

Og avrundingsfellen (felle #16), som i dette kapitlet bor i eksponenten.
Bruk $\gamma - 1 = 0{,}40000$ og $(\gamma-1)/\gamma = 0{,}28571$ med alle sifrene.
Med et trykkforhold på 20 gir eksponenten $0{,}28571$ faktoren $2{,}35355$ , mens
$0{,}29$ gir $2{,}38396$ — en forskjell i tredje siffer, og nok til å velge naboen
når alternativene ligger tett. En avrunding i en eksponent forstørres når du
opphøyer; en avrunding i en faktor gjør det ikke. Det er forskjellen som gjør
adiabatoppgaven mer sifferkrevende enn resten av kapitlet.

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard- og repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har
lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder
kjernestoffet.

Fortegnskonvensjonen i denne boka

\Delta U = Q - W, \qquad \begin{cases} Q > 0: & \text{varme } \textbf{inn i} \text{ systemet} \\ W > 0: & \text{arbeid gjort } \textbf{av} \text{ systemet på omgivelsene} \\ \Delta U > 0: & \text{indre energi (og temperatur) } \textbf{øker} \end{cases}

Isokor — tallkort

W = 0, \qquad Q = \Delta U = nC_V\,\Delta T, \qquad \frac{p_2}{p_1} = \frac{T_2}{T_1}

Isobar — tallkort

W = p\,\Delta V = nR\,\Delta T, \qquad Q = nC_P\,\Delta T, \qquad \Delta U = nC_V\,\Delta T, \qquad \frac{V_2}{V_1} = \frac{T_2}{T_1}

Isoterm — tallkort

\Delta U = 0, \qquad Q = W = nRT\ln\frac{V_2}{V_1}, \qquad p_1V_1 = p_2V_2

Adiabat — tallkort

Q = 0

De tre eksponentene i adiabatregningen

\gamma = 1{,}4000

Hvorfor adiabaten er brattere

-p/V

Tilstandsfunksjon mot veifunksjon

\Delta U: \ \text{tilstandsfunksjon} \quad \text{—} \quad Q, W: \ \text{veifunksjoner}

Arbeid over en lukket sløyfe (forvarsel til Del 8)

pV

Sjanger T8 — hovedsetningene som fortegnsanalyse

Q

Sjanger T4 — adiabatoppgaven

\gamma

Signalordene som avslører prosesstypen

W = 0

Står det i oppgaven	Prosess	Null
«stiv beholder», «fast volum», «lukket stålflaske»	isokor	$W = 0$
«fritt stempel», «åpen mot atmosfæren», «konstant trykk»	isobar	ingen
«langsomt», «vannbad», «termisk kontakt», «konstant temperatur»	isoterm	$\Delta U = 0$
«isolert», «raskt», «ingen varmeutveksling», «adiabatisk»	adiabat	$Q = 0$

Felle #10 — prosessforveksling

W \ne 0

Enhetsdisiplinen i varme og arbeid

1\,\text{kJ} = 10^{3}\,\text{J}

Symbol- og formelliste

Repetisjonsoppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.