8.1 Kretsprosesser og virkningsgrad (Carnot, Otto, Stirling)

Et legeme som er så stort at det kan gi fra seg eller ta imot varme uten at temperaturen endrer seg merkbart. I oppgavene er det gjerne «et varmebad ved $T_v$», «uteluften», «kjølevannet i elva» eller «rommet». Symbolene er $T_v$ for det varme og $T_k$ for det kalde, alltid i kelvin.

Poenget med idealiseringen er at temperaturen blir en konstant du kan sette rett inn i formlene. Betingelsen for at den holder, er at varmemengden som utveksles, er liten mot reservoarets varmekapasitet. Er den ikke det — for eksempel når du varmer opp en bøtte vann — må du regne med at temperaturen kryper oppover, og da må du integrere.

Med volum langs den vannrette aksen og trykk langs den loddrette gjelder:

- medklokke rundt sløyfa ⟹ $W_\text{netto} > 0$ ⟹ varmekraftmaskin (arbeid ut);
- motklokke rundt sløyfa ⟹ $W_\text{netto} < 0$ ⟹ varmepumpe eller kjøleskap (arbeid inn).

Dette er det raskeste enkeltgrepet i hele sjangeren: les retningen først, før du regner noe som helst. Da vet du om du skal finne en virkningsgrad (maskin) eller en effektfaktor (pumpe), og du har alt strøket halvparten av alternativene. Betingelsen er at aksene står som beskrevet — er de byttet, snus konklusjonen.

⚠ Merk nevneren: bare de trinnene der varme går INN hører i $Q_\text{inn}$. Å ta med et trinn der $Q < 0$ er en av de dyreste feilene i sjangeren. [står på det utdelte arket]

Betydningen er at den er den mest effektive syklusen som er fysisk mulig mellom to gitte temperaturer:
$$\eta_\text{Carnot} = 1 - \frac{T_k}{T_v} \qquad (T \text{ i kelvin}).$$
Betingelsen for at grensen gjelder, er bare at maskinen arbeider mellom to reservoarer med temperaturene $T_v$ og $T_k$ — den gjelder for ALLE sykluser, ikke bare for Carnots egen. Derfor er den en grense å måle seg mot, ikke en konstruksjonsanvisning. [står på det utdelte arket]

Betingelsen for at $r$ er meningsfullt, er at syklusen har to isokorer eller på annen måte et veldefinert største og minste volum.

Virkningsgraden er
$$\eta_\text{Otto} = 1 - r^{1-\gamma} = 1 - \frac{1}{r^{\gamma-1}},$$
og betingelsen er at gassen er ideell med konstant $\gamma$, og at begge adiabatene har samme volumforhold $r$ (som de har, siden isokorene ligger ved $V_2$ og $V_1$). Med $r = 8{,}50$ og $\gamma = 1{,}40$ blir $\eta = 0{,}5752$. [må kunne brukes eller utledes aktivt]

Arbeidet kommer bare fra isotermene, siden isokorene har $W = 0$:
$$W_\text{netto} = nR(T_v - T_k)\ln\frac{V_2}{V_1}.$$
Betingelsen for at virkningsgraden når Carnot-grensen, er at de to isokorene utveksler varme internt gjennom en regenerator. Uten regenerator må den isokore varmen kjøpes utenfra, og den havner i nevneren. Med tallene i eksempelet under: $0{,}500$ med regenerator, $0{,}275$ uten.

En varmelagrende masse — typisk et finmasket metallnett eller en pakke tynne plater — som gassen strømmer gjennom i begge retninger. På det avkjølende trinnet lagrer den varmen gassen gir fra seg; på det oppvarmende trinnet gir den den samme varmen tilbake.

Poenget er at denne varmen aldri forlater maskinen. Den skal derfor ikke regnes som tilført varme, og faller ut av nevneren i $\eta = W_\text{netto}/Q_\text{inn}$. Betingelsen for en ideell regenerator er at den utveksler varmen uten temperaturforskjell og uten tap — det er en idealisering, men en god en: virkelige Stirling-regeneratorer gjenvinner over 90 prosent.

Virkningsgraden er
$$\eta_\text{Diesel} = 1 - \frac{1}{\gamma}\cdot\frac{\alpha^{\gamma} - 1}{r^{\gamma-1}(\alpha - 1)},$$
der $\alpha = V_3/V_2$ er innsprøytningsforholdet. Betingelsen $\alpha \to 1$ gir tilbake Otto-uttrykket $1 - r^{1-\gamma}$, som det skal. Ved samme $r$ er Diesel alltid dårligere enn Otto — med $r = 18{,}0$ og $\alpha = 2{,}00$: $0{,}632$ mot $0{,}685$. Dette er kjenne til-stoff: gjenkjenn formen, kjenn forskjellen fra Otto. [står på det utdelte arket]

Boka bruker gjennomgående $\Delta U = Q - W$, der $Q$ er varme TILFØRT systemet og $W$ er arbeid gassen gjør PÅ omgivelsene. Konsekvensene du må ha i fingrene:

- gassen utvider seg $\Rightarrow W > 0$; gassen komprimeres $\Rightarrow W < 0$;
- varme går inn $\Rightarrow Q > 0$; varme går ut $\Rightarrow Q < 0$;
- adiabat: $Q = 0$, altså $\Delta U = -W$;
- isoterm for ideell gass: $\Delta U = 0$, altså $Q = W$.

Den andre konvensjonen som finnes i litteraturen, $\Delta U = Q + W$ med $W$ som arbeid gjort PÅ gassen, gir samme fysikk men motsatt fortegn på $W$. Blander du dem, snus alle arbeidsfortegn i regnskapet.

To størrelser som er lette å blande, og som gir helt ulike virkningsgrader:

- $Q_\text{inn}$ = summen av varmen på bare de trinnene der $Q > 0$. Dette er nevneren i $\eta$.
- $Q_\text{netto}$ = summen over ALLE trinn $= Q_\text{inn} - |Q_\text{ut}| = W_\text{netto}$.

Bruker du $Q_\text{netto}$ som nevner, får du alltid $\eta = 1$, og det er umulig. Kontrollen er enkel: nevneren skal være større enn telleren.

Grunnen til at grensen ikke nås, er dobbel: ekte prosesser er irreversible (friksjon, turbulens, varmeledning over en endelig temperaturforskjell), og de fleste sykluser tar imot varme over et intervall av temperaturer i stedet for ved én. Bruk grensen som kontrollverktøy — får du en virkningsgrad over den, har du regnet feil.

$Q$ og $W$ er veiavhengige: de avhenger av hvilken vei gassen gikk. Over en lukket sløyfe er de generelt IKKE null — og det er nettopp derfor en maskin kan fungere.

Dette skillet er hele grunnen til at $\Delta U_\text{syklus} = 0$ og $\Delta S_\text{gass, syklus} = 0$, mens $W_\text{netto} \neq 0$.

Signaturen: en gass føres rundt en lukket sløyfe, og du skal finne temperaturer i hjørnene, varme og arbeid per trinn, netto arbeid og virkningsgrad. I flervalgssettene kommer den som en klynge på tre til fire koblede spørsmål, ofte i denne rekkefølgen: (1) en hjørnetemperatur eller et hjørnetrykk, (2) varmen på ett trinn, (3) netto arbeid eller virkningsgraden, (4) sammenligning med Carnot-grensen.

Fordi spørsmålene er koblet, er det første svaret verdt mer enn ett poeng. Bruk ekstra tid på hjørnetabellen, og kontroller den mot gasslova i hvert hjørne før du går videre.

I termodelen er $\gamma = C_P/C_V$ adiabateksponenten: dimensjonsløs, alltid større enn 1, med verdiene $\tfrac53 \approx 1{,}67$ (enatomig), $\tfrac75 = 1{,}40$ (toatomig) og $\tfrac97 \approx 1{,}29$ (toatomig med vibrasjon, eller flerledded). Den står i $pV^\gamma = \text{konstant}$ og i $\eta_\text{Otto} = 1 - r^{1-\gamma}$.

⚠ Symbolkollisjon: i kap. 5.2 var $\gamma = b/2m$ dempingskoeffisienten, med enheten $\text{s}^{-1}$ og typisk verdi mellom 0,1 og 1. Kjennetegnet som alltid skiller dem: har størrelsen enhet, er det demping; er den et rent tallforhold mellom 1 og 5/3, er det adiabateksponenten. De opptrer aldri i samme oppgave.

I hele termodelen er $T$ absolutt temperatur i kelvin. Den står i $pV = nRT$, i $TV^{\gamma-1} = \text{konstant}$, i $\eta_\text{Carnot} = 1 - T_k/T_v$ og i alle entropiuttrykk.

⚠ Symbolkollisjon: i Del 5 var $T$ perioden til en svingning, målt i sekunder, og $T = 2\pi/\omega$. Skulle et kapittel trenge begge, skrives perioden $T_p$. Den praktiske regelen i Del 8: ser du en temperatur uten enhet, spør om det er kelvin — og hvis den er under 273, er det sannsynligvis celsius og må regnes om.

I termodelen er $Q$ varme, målt i joule, med fortegn: positiv inn i systemet. Vi bruker $Q_v$ eller $Q_H$ om varmen fra det varme reservoaret, $Q_k$ eller $Q_L$ om varmen til det kalde, og $Q_\text{inn}$ om summen av de positive bidragene.

⚠ Symbolkollisjon: i kap. 5.2 var $Q = \omega_0/(2\gamma)$ kvalitetsfaktoren til en dempet svingning, dimensjonsløs. Enheten skiller dem: varme har enhet joule, kvalitetsfaktoren har ingen.

I termodelen er $S$ entropi, med enheten $\text{J/K}$. For en isoterm varmeoverføring er $\Delta S = Q/T$, og over en lukket syklus er gassens $\Delta S = 0$ fordi entropi er en tilstandsfunksjon. Andre hovedsetning krever $\Delta S_\text{univers} \ge 0$.

⚠ Symbolkollisjon: i kap. 5.1 var $S$ taustrekket i en konisk pendel, målt i newton. Enheten skiller dem klart: $\text{J/K}$ mot $\text{N}$. Entropien er dessuten en skalar tilstandsfunksjon, mens taustrekket er en kraft med retning.

I Del 8 er $R = 8{,}314\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}$ den universelle gasskonstanten. Den står i $pV = nRT$, i $C_P = C_V + R$ og i isotermarbeidet $nRT\ln(V_2/V_1)$. Sammenhengen med Boltzmanns konstant er $R = N_Ak_B$.

⚠ Symbolkollisjon: $R$ var en radius i Del 1–5 (og blir en termisk motstand $R_\text{term}$ i kap. 9.1, med enheten $\text{K/W}$). Tre helt ulike størrelser, samme bokstav. Enheten avgjør hver gang: $\text{J/(mol}\cdot\text{K)}$, meter, eller $\text{K/W}$. Og merk at Boltzmanns konstant skrives $k_B$ nettopp for å skilles fra fjærstivheten $k$.

Betingelsen er at gassen er ideell OG at prosessen er isoterm — for en adiabat er arbeidet i stedet $-nC_V\Delta T$. Nyttige logaritmeverdier: $\ln 2 = 0{,}69315$, $\ln 2{,}5 = 0{,}91629$, $\ln 3 = 1{,}09861$.

Spørsmålet dukker opp hver gang: hvorfor kan ikke en maskin bare bruke ALL varmen til arbeid? Første hovedsetning forbyr det ikke — $\Delta U = 0$ og $W = Q_\text{inn}$ går fint opp energimessig.

Svaret ligger i entropien. Varmen $Q_\text{inn}$ som tas opp ved $T_v$, bærer med seg entropien $Q_\text{inn}/T_v$. Gassen kan ikke beholde den, siden $\Delta S_\text{gass} = 0$ over syklusen. Arbeid bærer ingen entropi. Derfor må entropien ut med varme, og den minste varmen som kan bære den ut ved temperaturen $T_k$, er $|Q_\text{ut}| = T_k \cdot Q_\text{inn}/T_v$. Det er hele Carnot-grensen, sett fra entropisiden.

For ett trinn er $W = \int p\,dV$ arealet under kurven, målt ned til $V$-aksen. For en lukket sløyfe er $W_\text{netto}$ arealet INNE i sløyfa — ikke arealet under den.

Fellen er å regne arealet under den øvre delen og glemme å trekke fra arealet under den nedre. Kontrollen: for en firkant-syklus skal $W_\text{netto} = (p_2-p_1)(V_2-V_1)$, altså produktet av de to differansene, ikke $p_2(V_2-V_1)$ alene.