8.2 Varmepumpe og kjøleskap — effektfaktor

Kretsprosessen baklengs: effektfaktor for oppvarming ($\varepsilon_V$) og kjøling ($\varepsilon_K$), Carnot-grensen, og praktiske reservoar-/kompressoroppsett.

55 min

9 oppgaver

Varmepumpekjøleskapeffektfaktor

Din fremgang i kapitlet

0 / 9 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

8.1Kretsprosesser og virkningsgrad (Carnot, Otto, Stirling)

Brukes videre i

8.3Drill: kretsprosessen (sjanger T5–T6)

Sjanger T6 — varmepumpe- og kjøleskapsoppgaven, altså en kretsprosess kjørt baklengs der du skal finne effektfaktoren, kompressorarbeidet eller varmen som blir flyttet — dukker opp i om lag 9 av 10 sett (~90 %). Den hører til termofysikkhalvdelen, spørsmål 21–40, og kommer nesten alltid rett etter eller sammen med kretsprosessklyngen fra kap. 8.1. Prioritet: høyeste — dette må sitte.

Signaturen er kort: du får to temperaturer og enten en varmeeffekt eller et kompressorarbeid, og skal finne den tredje størrelsen gjennom effektfaktoren. Eller du får en oppgitt effektfaktor og skal sjekke den mot Carnot-grensen for en varmepumpe.

Ordforklaringer først. En varmepumpe er en maskin som bruker arbeid til å flytte varme fra et kaldt sted til et varmt. Et kjøleskap er den samme maskinen — forskjellen ligger bare i hva du er interessert i: varmen som kommer UT i det varme rommet (varmepumpe), eller varmen som blir FJERNET fra det kalde (kjøleskap). Effektfaktoren (også kalt COP, fra engelsk coefficient of performance) er forholdet mellom det du er interessert i, og arbeidet du måtte betale for. Kompressoren er pumpa som gjør arbeidet.

Den ene tingen som skiller denne sjangeren fra alle andre: effektfaktoren er større enn 1. En varmepumpe med effektfaktor $3{,}50$ leverer tre og en halv gang så mye varme som den elektriske energien du putter inn. Det er ikke juks og ikke et brudd på energibevaring — pumpa flytter varme, den lager den ikke. Resten kommer fra uteluften.

Tre feil koster nesten alle poengene her. Den første er å tro at effektfaktoren må være under 1, «fordi virkningsgrad alltid er det», og «rette» et riktig svar på $4{,}00$ til $0{,}25$ . Den andre er å regne $\varepsilon_V$ når $\varepsilon_K$ var spurt — de skiller seg med nøyaktig 1. Den tredje er celsius i Carnot-grensen, og her er den ekstra brutal: den gir en effektfaktor under 1, altså et svar som er fysisk umulig for en varmepumpe.

⚠ Symbolvarsel

$T$ er absolutt temperatur i kelvin i hele dette kapitlet — Carnot-grensene er brøker av temperaturer og tåler ikke celsius. $Q$ er varme i joule, ikke kvalitetsfaktoren fra kap. 5.2. $\varepsilon$ (epsilon) er effektfaktoren, dimensjonsløs, og skal ikke forveksles med emissiviteten $e$ som kommer i kap. 9.2. $c$ er spesifikk varmekapasitet i $\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$ , per kilogram, ikke per mol som $C_V$ .

Forkunnskaper — sist du var her

Dette kapitlet bygger direkte på kap. 8.1. Du trenger fire ting derfra, og de står her:

$\Delta U_\text{syklus} = 0 \quad\Longrightarrow\quad |Q_H| = |Q_L| + W$
Energibalansen over en syklus. For en varmepumpe leser du den slik: varmen som kommer ut i det varme rommet, er summen av varmen som ble hentet fra det kalde, og arbeidet kompressoren gjorde. Det er denne ene likningen hele kapitlet hviler på.

$\eta = \frac{W_\text{netto}}{Q_\text{inn}}, \qquad \eta_\text{Carnot} = 1 - \frac{T_k}{T_v}$
Virkningsgrad og Carnot-grensen for en maskin. Vi kommer til å snu begge om til pumpeformer.

$\text{medklokke i } pV \Rightarrow \text{maskin}, \qquad \text{motklokke} \Rightarrow \text{pumpe}$
Omløpsretningen. Den er den raskeste måten å avgjøre hvilken av de to formelfamiliene du skal bruke.

$\Delta S_\text{univers} \ge 0$
Andre hovedsetning. Den er grunnen til at effektfaktoren har et tak, akkurat som virkningsgraden har det. Entropien behandles i full bredde i kap. 7.2.

Nytt i dette kapitlet er den spesifikke varmekapasiteten per kilogram,
$Q = mc\,\Delta T, \qquad c_\text{vann} = 4180\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)},$
som du trenger når oppgaven handler om å varme opp vann i en tank i stedet for om en ideell gass. Merk forskjellen fra $C_V$ og $C_P$ , som er per mol. Har du hatt Fysikk 1 på videregående, har du møtt $Q = mc\Delta T$ der.

Boka bruker $R = 8{,}314\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}$ og behold fire gjeldende siffer gjennom hele regnekjeden.

Løkke 1 — maskinen baklengs, og hvorfor tallet blir større enn 1 (~14 min)

Legg hånda bak kjøleskapet. Der er det varmt. Kjøleskapet kjøler ikke ned kjøkkenet — det varmer det opp, og det varmer det opp med mer energi enn det bruker strøm til, fordi det i tillegg flytter varme ut av matvarene. Et kjøleskap er en varmepumpe der du har snudd deg mot den kalde siden.

Intuisjon: tenk på en vannpumpe. Den lager ikke vann; den flytter vann oppover, og den kan flytte mange liter for hver joule den bruker. En varmepumpe gjør det samme med varme — den flytter den fra et kaldt sted til et varmt, og arbeidet er bare det som trengs for å tvinge varmen «oppover» mot sin naturlige retning.

Energiregnskapet er identisk med maskinens, bare lest baklengs. Over én syklus er $\Delta U = 0$ , så

$|Q_H| = |Q_L| + W,$

der $W$ nå er arbeid tilført utenfra. Alle tre er positive tall når vi skriver dem med absoluttverdi, og likningen sier: det som kommer ut på den varme siden, er summen av det som kom inn på den kalde siden og arbeidet.

Varmepumpe

W

Kjøleskap (kjølemaskin)

|Q_L|

Effektfaktor for oppvarming

\varepsilon_V = \frac{|Q_H|}{W} = \frac{\text{varmen du får i huset}}{\text{arbeidet du betaler for}}.

Effektfaktor for kjøling

\varepsilon_K = \frac{|Q_L|}{W} = \frac{\text{varmen du fjerner fra det kalde}}{\text{arbeidet du betaler for}}.

Kompressor og kuldemedium

W

📜

\varepsilon_V = \varepsilon_K + 1

Påstand: for én og samme maskin er effektfaktoren for oppvarming nøyaktig 1 større enn effektfaktoren for kjøling.

Utledning. Start i energibalansen over en syklus, $|Q_H| = |Q_L| + W$ , og del alt på $W$ :
$\frac{|Q_H|}{W} = \frac{|Q_L|}{W} + \frac{W}{W} \quad\Longrightarrow\quad \varepsilon_V = \varepsilon_K + 1.$
Det er hele utledningen — én divisjon.

Intuisjon: varmen som kommer ut på den varme siden, er varmen du hentet PLUSS arbeidet du betalte. Arbeidet blir selv varme til slutt, og det teller med i $|Q_H|$ men ikke i $|Q_L|$ . Differansen er nøyaktig ett arbeid, og delt på arbeidet blir det 1.

Betingelser: likningen gjelder for én bestemt maskin med ett bestemt arbeid og én bestemt syklus. Den gjelder også for Carnot-grensene hver for seg:
$\varepsilon_{V,\text{Carnot}} = \frac{T_v}{T_v - T_k} = \frac{T_k}{T_v - T_k} + 1 = \varepsilon_{K,\text{Carnot}} + 1.$

Bruk den som kontroll. Har du regnet én av de to, får du den andre gratis — og hvis du har regnet begge uavhengig og de ikke skiller seg med nøyaktig 1, har du gjort en feil et sted. [må kunne brukes eller utledes aktivt]

📝Oppgave 1

(Innstegsoppgave — begreper og energibalanse.)

a) En varmepumpe bruker $1{,}50\,\text{kW}$ elektrisk effekt og leverer $5{,}40\,\text{kW}$ varme til et hus. Finn $\varepsilon_V$ .

b) Hvor mye varme hentes fra uteluften per sekund?

c) Finn $\varepsilon_K$ for den samme maskinen, og kontroller sammenhengen mellom de to.

d) Forklar i én til to setninger hvorfor $\varepsilon_V > 1$ ikke bryter energibevaring.

📝Oppgave 2

Eksamensnivå, sjanger T6

Et kjøleskap fjerner $180\,\text{W}$ varme fra kjøleskapsrommet og har $\varepsilon_K = 3{,}20$ .

a) Hvilken elektrisk effekt bruker kompressoren?

b) Hvor mye varme avgir kjøleskapet til kjøkkenet per sekund?

c) Hvor lang tid tar det å fryse $0,500\,\text{kg}$ vann som alt er ved $0\,^\circ\text{C}$ , hvis all kjøleeffekten går til det? Smeltevarmen til vann er $L_f = 3{,}34\cdot10^5\,\text{J/kg}$ .

Løkke 2 — Carnot-grensene for en pumpe (~14 min)

Akkurat som virkningsgraden har et tak, har effektfaktoren det. Og taket har samme opphav: entropiregnskapet.

Intuisjon: varmen du henter fra uteluften ved $T_k$ , bærer entropi $|Q_L|/T_k$ med seg. Den entropien må ut igjen med varmen som avgis ved $T_v$ , altså $|Q_H|/T_v$ . Arbeid bærer ingen entropi. Skal regnskapet minst gå opp, må $|Q_H|/T_v \ge |Q_L|/T_k$ , og det setter en øvre grense for hvor mye varme du kan flytte per joule arbeid.

Regner du det ut, får du to grenser som er verdt å kunne utenat i formen — ikke i tallverdi, siden de står på arket:

$\varepsilon_{V,\text{Carnot}} = \frac{T_v}{T_v - T_k}, \qquad \varepsilon_{K,\text{Carnot}} = \frac{T_k}{T_v - T_k}.$

Legg merke til hva som står i nevneren: temperaturDIFFERANSEN. Det er den som avgjør. Skal du flytte varme over en liten temperaturforskjell, er det billig og effektfaktoren blir stor. Skal du flytte den langt, blir det dyrt.

📜Carnot-effektfaktorene, utledet fra entropiregnskapet

Påstand: ingen varmepumpe mellom reservoarene

T_v

T_k

kan ha

\varepsilon_V

større enn

T_v/(T_v-T_k)

Utledning. Kjør en Carnot-syklus baklengs. Arbeidsmediet er tilbake i utgangstilstanden, så $\Delta S_\text{gass} = 0$ , og for en reversibel syklus gir det
$\frac{|Q_H|}{T_v} = \frac{|Q_L|}{T_k} \quad\Longrightarrow\quad \frac{|Q_L|}{|Q_H|} = \frac{T_k}{T_v}.$
Sett inn energibalansen $W = |Q_H| - |Q_L|$ :
$\varepsilon_V = \frac{|Q_H|}{|Q_H|-|Q_L|} = \frac{1}{1 - |Q_L|/|Q_H|} = \frac{1}{1 - T_k/T_v} = \frac{T_v}{T_v-T_k}.$
Og deretter, direkte fra $\varepsilon_V = \varepsilon_K + 1$ :
$\varepsilon_{K,\text{Carnot}} = \frac{T_v}{T_v-T_k} - 1 = \frac{T_k}{T_v-T_k}.$

Legg merke til den vakre sammenhengen som er verdt å kjenne:
$\varepsilon_{V,\text{Carnot}} = \frac{1}{\eta_\text{Carnot}}.$
En Carnot-varmepumpe er nøyaktig en Carnot-maskin baklengs, så effektfaktoren er den inverse virkningsgraden. Det er også den raskeste veien til tallet på eksamen: har du alt regnet $\eta_\text{Carnot}$ , er $\varepsilon_V$ én divisjon unna.

Grensetilfeller:
- $T_k \to T_v$ gir $\varepsilon_V \to \infty$ . Å flytte varme over en forsvinnende liten temperaturforskjell koster forsvinnende lite arbeid.
- $T_k \to 0$ gir $\varepsilon_V \to 1$ og $\varepsilon_K \to 0$ . Det er den nedre grensen: å pumpe fra det absolutte nullpunktet er så dyrt at all varmen ut kommer fra arbeidet.
- $\varepsilon_V > 1$ alltid, siden $T_v > T_v - T_k$ når $T_k > 0$ .

Med tallene i eksempelet under, $T_v = 294{,}15\,\text{K}$ og $T_k = 268{,}15\,\text{K}$ : $\varepsilon_{V,\text{Carnot}} = 11{,}3135$ og $\varepsilon_{K,\text{Carnot}} = 10{,}3135$ . Differansen er nøyaktig 1 ✔. [står på det utdelte arket; må også kunne utledes aktivt]

Celsius i effektfaktoren gir et fysisk umulig svar

Carnot-effektfaktorene er brøker av absolutte temperaturer og krever kelvin. Feilen her er farligere enn i virkningsgraden, fordi den gir et svar som ser tilforlatelig ut i formen men er umulig i fysikken.

Se på huset i eksempelet under: inne $21{,}0\,^\circ\text{C}$ , ute $-5{,}0\,^\circ\text{C}$ . Riktig, i kelvin:
$\varepsilon_{V,\text{Carnot}} = \frac{294{,}15}{294{,}15 - 268{,}15} = \frac{294{,}15}{26{,}00} = 11{,}3135.$
Galt, i celsius:
$\frac{21{,}0}{21{,}0 - (-5{,}0)} = \frac{21{,}0}{26{,}0} = 0{,}8077.$

Svaret er under 1, og det er umulig. En varmepumpe med $\varepsilon_V < 1$ ville levert mindre varme enn det elektriske arbeidet den brukte — altså vært dårligere enn en panelovn, som per definisjon har $\varepsilon_V = 1$ nøyaktig. Ingen varmepumpe kan være dårligere enn en panelovn: i verste fall stopper den bare å flytte varme, og da er den en panelovn.

Kontrollen som fjerner fella helt: $\varepsilon_V$ skal være større enn 1. Får du et tall under, har du enten brukt celsius eller snudd brøken. (Felle #11 — kelvin- og enhetsslurv, og felle #13 — forveksle virkningsgrad og effektfaktor.)

Merk hva som skjer med nevneren: temperaturDIFFERANSEN $T_v - T_k$ er den SAMME i kelvin og celsius — $26{,}0$ begge veier. Det er bare telleren som må være absolutt. Derfor ser celsius-varianten så uskyldig ut: halve regnestykket er riktig.

✏️Eksempel 1: varmepumpe til et hus (eksamensnivå)

En luft-til-luft-varmepumpe holder et hus på $21{,}0\,^\circ\text{C}$ mens uteluften er $-5{,}0\,^\circ\text{C}$ . Huset trenger $8{,}00\,\text{kW}$ varme for å holde temperaturen. Pumpa har en virkelig effektfaktor $\varepsilon_V = 3{,}50$ .

a) Finn Carnot-grensen for begge effektfaktorene.

b) Hvilken elektrisk effekt trenger kompressoren, og hvor mye varme hentes fra uteluften?

c) Finn $\varepsilon_K$ for pumpa, og kontroller sammenhengen.

d) Hvor stor del av grensen utnytter pumpa, og hvor mye strøm sparer den mot en panelovn?

a) Symbolsk.

\varepsilon_{V,\text{Carnot}} = T_v/(T_v-T_k)

med begge temperaturer i kelvin.

Rask vei til tall. Skriv om først:
$T_v = 21{,}0 + 273{,}15 = 294{,}15\,\text{K}, \qquad T_k = -5{,}0 + 273{,}15 = 268{,}15\,\text{K}, \qquad T_v - T_k = 26{,}00\,\text{K}.$
$\varepsilon_{V,\text{Carnot}} = \frac{294{,}15}{26{,}00} = 11{,}3135, \qquad \varepsilon_{K,\text{Carnot}} = \frac{268{,}15}{26{,}00} = 10{,}3135.$
Kontroll: differansen er $1{,}0000$ , altså nøyaktig 1 ✔. Og $1/\eta_\text{Carnot} = 1/0{,}08839 = 11{,}3135$ ✔.

b) Symbolsk. Fra $\varepsilon_V = |Q_H|/W$ følger $W = |Q_H|/\varepsilon_V$ .

Rask vei til tall.
$W = \frac{8{,}00\,\text{kW}}{3{,}50} = 2{,}2857\,\text{kW},$
$|\dot Q_L| = 8{,}00 - 2{,}2857 = 5{,}7143\,\text{kW}.$
Altså: $5{,}71\,\text{kW}$ hentes gratis fra uteluft på $-5{,}0\,^\circ\text{C}$ .

c)
$\varepsilon_K = \frac{5{,}7143}{2{,}2857} = 2{,}5000.$
Kontroll: $\varepsilon_V - 1 = 3{,}50 - 1 = 2{,}50$ ✔.

d) Andel av grensen:
$\frac{3{,}50}{11{,}3135} = 0{,}3094, \qquad\text{altså om lag } 31\ \text{prosent av det teoretisk mulige}.$
En panelovn måtte brukt hele $8{,}00\,\text{kW}$ elektrisk. Pumpa bruker $2{,}286\,\text{kW}$ , altså en besparelse på
$1 - \frac{1}{\varepsilon_V} = 1 - \frac{1}{3{,}50} = 0{,}7143, \qquad\text{om lag } 71\ \text{prosent.}$

Sluttsjekk, fire ledd. (i) Begge temperaturene i kelvin ✔. (ii) $\varepsilon_V = 3{,}50 > 1$ ✔. (iii) $\varepsilon_V < \varepsilon_{V,\text{Carnot}} = 11{,}313$ ✔ — pumpa bryter ikke andre hovedsetning. (iv) $|\dot Q_L| + W = 5{,}714 + 2{,}286 = 8{,}00\,\text{kW}$ ✔.

Og hvorfor grensen er så høy her: temperaturdifferansen er bare $26{,}0\,\text{K}$ , mens den varme temperaturen er $294{,}1\,\text{K}$ . Nevneren er liten, telleren stor, og grensen blir over 11. At virkelige pumper bare klarer en tredjedel av det, skyldes at kompressoren har friksjon og at varmevekslerne trenger en reell temperaturforskjell for å overføre varme i det hele tatt.

📝Oppgave 3

Eksamensnivå, sjanger T6

En varmepumpe skal holde et hus på $22{,}0\,^\circ\text{C}$ når det er $-15{,}0\,^\circ\text{C}$ ute, og huset trenger $6{,}50\,\text{kW}$ .

a) Finn Carnot-grensen for effektfaktoren.

b) Hvilken elektrisk effekt trenger kompressoren minst?

c) En medarbeider regner grensen med celsius og får $0{,}5946$ . Forklar hvordan man ser at det svaret er umulig, uten å regne på nytt.

📝Oppgave 4

Eksamensnivå, sjanger T6

En varmepumpe leverer $5{,}20\,\text{kW}$ til et hus på $20{,}0\,^\circ\text{C}$ mens det er $-10{,}0\,^\circ\text{C}$ ute. Den målte effektfaktoren er $\varepsilon_V = 2{,}80$ .

a) Finn kompressoreffekten og varmen som hentes fra uteluften.

b) Finn $\varepsilon_K$ .

c) Hvor stor del av Carnot-grensen utnytter pumpa?

Løkke 3 — den samme sløyfa, motsatt vei (~10 min)

I $pV$ -diagrammet er en varmepumpe ikke en ny figur. Det er den samme figuren, gjennomløpt motsatt vei.

Intuisjon: la gassen gå gjennom nøyaktig de samme fire prosessene, men i omvendt rekkefølge. Der maskinen tok imot varme ved høy temperatur, gir pumpa den fra seg. Der maskinen ga fra seg ved lav temperatur, tar pumpa imot. Og der maskinen leverte netto arbeid, må pumpa få det tilført.

Derfor er omløpsretningen det første du leser i en oppgave med et diagram. Den avgjør hvilken formelfamilie du er i, og den avgjør fortegnet på arealet.

Motklokke i

pV

-diagrammet

W_\text{netto} = \oint p\,dV < 0,

✏️Eksempel 2: kjøleskapet som varmer kjøkkenet

Et kjøleskap holder $4{,}0\,^\circ\text{C}$ inne mens kjøkkenet er $22{,}0\,^\circ\text{C}$ . Det fjerner $250\,\text{W}$ fra kjøleskapsrommet og har $\varepsilon_K = 4{,}00$ .

a) Finn kompressoreffekten og varmen som avgis til kjøkkenet.

b) Finn Carnot-grensen for kjølingen, og hvor stor del av den kjøleskapet utnytter.

c) En student foreslår å kjøle ned kjøkkenet ved å la kjøleskapsdøra stå åpen. Regn ut hva som faktisk skjer med kjøkkenets energibalanse per døgn.

a) Symbolsk.

W = |Q_L|/\varepsilon_K

|Q_H| = |Q_L| + W

Rask vei til tall.
$W = \frac{250\,\text{W}}{4{,}00} = 62{,}50\,\text{W}, \qquad |\dot Q_H| = 250 + 62{,}50 = 312{,}50\,\text{W}.$
Kontroll: $\varepsilon_V = \varepsilon_K + 1 = 5{,}00$ , og $\varepsilon_V W = 5{,}00 \cdot 62{,}50 = 312{,}50\,\text{W}$ ✔.

b)
$T_i = 277{,}15\,\text{K}, \qquad T_r = 295{,}15\,\text{K}, \qquad T_r - T_i = 18{,}00\,\text{K},$
$\varepsilon_{K,\text{Carnot}} = \frac{T_i}{T_r-T_i} = \frac{277{,}15}{18{,}00} = 15{,}3972.$
Kjøleskapet utnytter $4{,}00/15{,}3972 = 0{,}2598$ , altså om lag $26$ prosent av grensen. Det er et helt normalt tall for et husholdningsapparat.

c) Med døra åpen slutter skapet å ha en kald og en varm side — all varmen det «fjerner» kommer rett fra kjøkkenet igjen. Netto tilføres kjøkkenet nøyaktig kompressorarbeidet:
$\dot Q_\text{netto til kjøkkenet} = |\dot Q_H| - |\dot Q_L| = W = 62{,}50\,\text{W}.$
Per døgn:
$E = 62{,}50\,\text{W} \cdot 24 \cdot 3600\,\text{s} = 5{,}4000\,\text{MJ} = 1{,}500\,\text{kWh}.$
Kjøkkenet blir varmere, ikke kaldere. Og det er verdt å merke seg at selv med døra LUKKET tilføres kjøkkenet netto $62{,}50\,\text{W}$ — for varmen som fjernes fra maten, kommer også ut på baksiden til slutt. Et kjøleskap er en varmeovn med $62{,}5\,\text{W}$ effekt, som tilfeldigvis holder maten kald.

Sluttsjekk, tre ledd. (i) Begge temperaturer i kelvin i grensen ✔. (ii) $\varepsilon_K = 4{,}00 < \varepsilon_{K,\text{Carnot}} = 15{,}397$ ✔. (iii) $|\dot Q_H| > |\dot Q_L|$ ✔ — det kommer alltid mer varme ut enn inn, og differansen er arbeidet.

📝Oppgave 5

Eksamensnivå, sjanger T6

Et fryserom holdes på $-18{,}0\,^\circ\text{C}$ i et rom på $24{,}0\,^\circ\text{C}$ . Kjølemaskinen fjerner $1{,}40\,\text{kW}$ fra fryserommet med en kompressor på $0{,}850\,\text{kW}$ .

a) Finn $\varepsilon_K$ og $\varepsilon_V$ for maskinen.

b) Finn Carnot-grensen for $\varepsilon_K$ .

c) Hva ville $\varepsilon_K$ blitt hvis kompressoren i stedet brukte $1{,}60\,\text{kW}$ ? Kommenter svaret.

Løkke 4 — praktiske oppsett: fra tank til effektfaktor (~11 min)

Eksamenssettene stiller sjelden spørsmålet så rent som «finn $\varepsilon_V$ ». Oftere er det pakket inn: en varmepumpe varmer $150$ liter vann fra en temperatur til en annen på et gitt antall timer, og kompressoren bruker en gitt effekt. Finn effektfaktoren.

Da må du selv bygge brøken. Telleren er varmen som faktisk ble levert, nevneren arbeidet som gikk inn:

$\varepsilon_V = \frac{|Q_H|}{W} = \frac{mc\,\Delta T}{P\,\Delta t} = \frac{\rho Vc\,\Delta T}{P\,\Delta t}.$

Intuisjon: dette er ikke en ny formel. Det er den samme definisjonen, med telleren og nevneren regnet ut fra det oppgaven faktisk oppgir. Massen finner du av volum og tetthet ( $\rho_\text{vann} = 1000\,\text{kg/m}^3$ , så 1 liter vann er 1 kg), varmen av $mc\Delta T$ , og arbeidet av effekt ganger tid.

Her er celsius trygt — men bare i $\Delta T$ . Temperaturdifferansen er den samme i kelvin og celsius. Skal du i tillegg sjekke mot Carnot-grensen, må du over til kelvin igjen.

Effektfaktor fra et praktisk oppsett

\varepsilon_V = \frac{\rho V c\,\Delta T}{P\,\Delta t},

✏️Eksempel 3: varmepumpe til varmtvannstank

En varmepumpe varmer $150$ liter vann fra $12{,}0\,^\circ\text{C}$ til $45{,}0\,^\circ\text{C}$ . Kompressoren bruker $700\,\text{W}$ og går i $2,00$ timer. Varmen hentes fra uteluft på $5{,}0\,^\circ\text{C}$ . Bruk $c_\text{vann} = 4180\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$ og $\rho_\text{vann} = 1000\,\text{kg/m}^3$ .

a) Finn varmen som er levert til vannet.

b) Finn kompressorarbeidet og effektfaktoren.

c) Sammenlign med Carnot-grensen mellom uteluft og vanntemperatur.

d) Hvor mye varme ble hentet fra uteluften, og hva ville en elektrisk kolbe kostet i strøm til $1{,}20$ kr/kWh?

a) Symbolsk.

|Q_H| = mc\Delta T

med

m = \rho V

Rask vei til tall.
$m = 1000 \cdot 0,150\,\text{kg} = 150{,}0\,\text{kg}, \qquad \Delta T = 45{,}0 - 12{,}0 = 33{,}0\,\text{K},$
$|Q_H| = 150{,}0 \cdot 4180 \cdot 33{,}0\,\text{J} = 20{,}6910\,\text{MJ}.$
Merk at $\Delta T$ er en differanse, så celsius er trygt her — $33{,}0\,\text{K}$ og $33{,}0\,^\circ\text{C}$ -forskjell er samme tall.

b)
$W = P\,\Delta t = 700\,\text{W} \cdot 2,00 \cdot 3600\,\text{s} = 5{,}0400\,\text{MJ},$
$\varepsilon_V = \frac{20{,}6910}{5{,}0400} = 4{,}1054.$

c) Nå må vi over til kelvin:
$T_v = 45{,}0 + 273{,}15 = 318{,}15\,\text{K}, \qquad T_k = 5{,}0 + 273{,}15 = 278{,}15\,\text{K}, \qquad T_v - T_k = 40{,}0\,\text{K},$
$\varepsilon_{V,\text{Carnot}} = \frac{318{,}15}{40{,}0} = 7{,}9537.$
Anlegget utnytter $4{,}1054/7{,}9537 = 0{,}5162$ , altså om lag $52$ prosent av grensen — bra for et virkelig anlegg.

d) Fra uteluften:
$|Q_L| = |Q_H| - W = 20{,}6910 - 5{,}0400 = 15{,}6510\,\text{MJ}.$
Altså kom $76$ prosent av varmen gratis utenfra. Strømkostnad, med $1\,\text{kWh} = 3{,}6\,\text{MJ}$ :
$\text{varmepumpe: } \frac{5{,}040}{3{,}6}\,\text{kWh} \cdot 1{,}20\ \text{kr/kWh} = 1{,}68\ \text{kr},$
$\text{elektrisk kolbe: } \frac{20{,}691}{3{,}6}\,\text{kWh} \cdot 1{,}20\ \text{kr/kWh} = 6{,}90\ \text{kr}.$
Kolben måtte levert hele varmen elektrisk, og koster derfor $4{,}11$ ganger så mye — nøyaktig faktoren $\varepsilon_V$ .

Sluttsjekk, fire ledd. (i) Liter gjort om til kilogram ✔ og timer til sekunder ✔. (ii) $\varepsilon_V = 4{,}105 > 1$ ✔. (iii) $\varepsilon_V < \varepsilon_{V,\text{Carnot}} = 7{,}954$ ✔. (iv) $\Delta T$ i celsius-differanse, men Carnot-grensen i kelvin ✔ — det er nettopp den doble disiplinen denne sjangeren krever.

📝Oppgave 6

Eksamensnivå, sjanger T6

En varmepumpe varmer $220$ liter vann fra $10{,}0\,^\circ\text{C}$ til $55{,}0\,^\circ\text{C}$ på $3{,}00$ timer. Kompressoren bruker $1{,}30\,\text{kW}$ . Bruk $c_\text{vann} = 4180\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$ .

a) Finn varmen levert til vannet og kompressorarbeidet.

b) Finn effektfaktoren.

c) Varmen hentes fra en bergvarmebrønn på $4{,}0\,^\circ\text{C}$ . Ligger anlegget innenfor Carnot-grensen?

📝Oppgave 7

(Kvalitativ oppgave — konsept.)

a) En panelovn har $\varepsilon_V = 1$ nøyaktig. Forklar hvorfor, og hvorfor det betyr at ingen varmepumpe kan ha $\varepsilon_V < 1$ .

b) Hvorfor synker effektfaktoren til en luft-til-luft-varmepumpe når det blir kaldere ute, selv om innetemperaturen holdes konstant?

c) Ranger disse tre etter effektfaktor for oppvarming, høyest først, og begrunn: (i) en varmepumpe som leverer $35\,^\circ\text{C}$ vann til gulvvarme fra en brønn på $4\,^\circ\text{C}$ ; (ii) den samme pumpa som leverer $55\,^\circ\text{C}$ til radiatorer fra samme brønn; (iii) en panelovn.

Rask vei til tall (MC-oppskrift)

1. Hvilken lov? Les først: er dette en maskin eller en pumpe? Motklokke i $pV$ , eller ordene «varmepumpe», «kjøleskap», «kompressor», «effektfaktor» betyr pumpe. Deretter det avgjørende spørsmålet: er nyttevirkningen varmen UT (oppvarming, $\varepsilon_V$ ) eller varmen FJERNET (kjøling, $\varepsilon_K$ )? Handler oppgaven om et hus eller en tank, er det $\varepsilon_V$ ; handler den om et kjøleskap, en fryser eller et kjølerom, er det $\varepsilon_K$ .

2. Hvilken ene regnelinje? Alt kommer fra to likninger: $\varepsilon = |Q|/W$ og $|Q_H| = |Q_L| + W$ . Trenger du Carnot-grensen, er det $\varepsilon_{V,\text{Carnot}} = T_v/(T_v-T_k)$ — regn nevneren $T_v - T_k$ først som eget mellomresultat.

3. Hva hentes hvor? $\varepsilon_V = |Q_H|/W$ , $\varepsilon_K = |Q_L|/W$ , $\varepsilon_V = \varepsilon_K + 1$ og de to Carnot-grensene står på det utdelte arket, sammen med $c$ for vann. Det som må kunne utledes aktivt, er $\varepsilon_V = \varepsilon_K + 1$ fra energibalansen, og Carnot-grensene fra entropiregnskapet.

4. Hvor mange siffer? Fire gjennom kjeden. Effektfaktorer er tall mellom 1 og 15, så to desimaler i sluttsvaret er nok — men ikke rund nevneren $T_v - T_k$ : går du fra $26{,}0$ til $26$ , mister du ingenting, men går du fra $294{,}15$ til $294$ i telleren, flytter du fjerde siffer.

5. Hva sjekker du før du krysser av? (i) Er begge temperaturene i kelvin i Carnot-grensen? (ii) Er $\varepsilon_V > 1$ ? (Et svar under 1 er umulig.) (iii) Ba oppgaven om $\varepsilon_V$ eller $\varepsilon_K$ ? De skiller seg med nøyaktig 1, og begge står på lista. (iv) Ligger svaret under Carnot-grensen? (v) Står kompressorarbeidet i nevneren? (vi) Er liter gjort om til kilogram og timer til sekunder?

— naturlig pausepunkt —

📝Oppgave 8

Sjanger T6, A–F-format

En Carnot-varmepumpe holder et rom på $298\,\text{K}$ når det er $273\,\text{K}$ ute. Hva er den største mulige effektfaktoren for oppvarming?

A $0{,}084$ · B $0{,}994$ · C $10{,}920$ · D $11{,}920$ · E $0{,}916$ · F $1{,}092$

📝Oppgave 9

Eksamensnivå, sjanger T6

Et hus trenger $9{,}00\,\text{kW}$ varme. En bergvarmepumpe henter fra en brønn på $0{,}0\,^\circ\text{C}$ og leverer til gulvvarme ved $35{,}0\,^\circ\text{C}$ , med målt $\varepsilon_V = 4{,}20$ .

a) Finn kompressoreffekten og varmen som hentes fra brønnen.

b) Hvor stor del av Carnot-grensen utnytter anlegget?

c) Eieren vurderer å koble pumpa til gamle radiatorer som krever $55{,}0\,^\circ\text{C}$ i stedet. Anta at anlegget beholder samme andel av Carnot-grensen. Hvor mye øker strømforbruket?

Typiske feil — og fortegnet som lander på nabo-alternativet

Å tro at effektfaktoren må være under 1 (felle #13 — forveksle virkningsgrad

\eta

og effektfaktor

\varepsilon

). Dette er den ene feilen som kan slette et helt riktig svar.

\eta \le 1

alltid, men

\varepsilon_V > 1

alltid. Regner du ut

3{,}50

og «retter» det til

1/3{,}50 = 0{,}286

fordi det «må være under 1», har du gjort et riktig svar galt. Kontrollen: ser oppgaven ut som en pumpe, skal svaret være over 1.

Å regne $\varepsilon_V$ når $\varepsilon_K$ var spurt, eller omvendt. De skiller seg med nøyaktig 1, og begge står nesten alltid på alternativlista. Rutinen som fjerner fella: skriv ned hva som er NYTTEN i oppgaven. Hus, tank, rom som skal varmes $\to \varepsilon_V$ . Kjøleskap, fryser, kjølerom, «hvor mye varme fjernes» $\to \varepsilon_K$ .

Celsius i Carnot-grensen (felle #11). Behandlet i sin egen boks over. Kjennetegnet er at svaret blir under 1, altså umulig — og at nevneren $T_v-T_k$ ser riktig ut, siden differansen er den samme i begge skalaer.

Å snu brøken. Kompressorarbeidet står i nevneren, alltid: $\varepsilon = |Q|/W$ . Setter du varmen i nevneren, får du $1/\varepsilon$ , som er under 1 — samme symptom som celsius-fella, men annen årsak. Enhetskontrollen hjelper ikke her, siden begge er dimensjonsløse; kontrollen er «er svaret over 1?».

Å glemme at et kjøleskap avgir mer varme enn det fjerner. $|Q_H| = |Q_L| + W$ betyr at kjøkkenet får tilført kompressorarbeidet i tillegg til all varmen som ble tatt ut av maten. En oppgave som spør «hvor mye varme avgis til rommet» vil ha $|Q_H|$ , ikke $|Q_L|$ .

Enhetsfeller i praktiske oppsett: liter til kilogram (faktor 1 for vann, men $10^{-3}$ fra liter til $\text{m}^3$ ), timer til sekunder (faktor 3600), kWh til joule (faktor $3{,}6\cdot10^6$ ). Hver av dem gir et svar som er feil med en pen tierpotens, og pene tierpotenser står gjerne på alternativlista.

Og faktorfellen som lander på nabo-alternativet (felle #16): i denne sjangeren er nabo-alternativet nesten alltid fasiten pluss eller minus 1, fordi $\varepsilon_V$ og $\varepsilon_K$ ligger så tett. Med $T_v = 298\,\text{K}$ og $T_k = 273\,\text{K}$ er de $11{,}920$ og $10{,}920$ — to alternativer som ser like plausible ut, og der bare oppgaveteksten skiller dem. Les hvilken nytte som er spurt om, to ganger.

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard- og repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

\varepsilon_V

mot

\varepsilon_K

— hvordan du velger

\varepsilon_V = \frac{|Q_H|}{W} \quad\text{(oppvarming)}, \qquad \varepsilon_K = \frac{|Q_L|}{W} \quad\text{(kjøling)}.

Hvorfor

\varepsilon_V

alltid er over 1 — og

\varepsilon_K

ikke behøver å være

\varepsilon_V = |Q_H|/W

Panelovnen som referanse

\varepsilon_V = 1

De to Carnot-grensene på ett kort

\varepsilon_{V,\text{Carnot}} = \frac{T_v}{T_v-T_k}, \qquad \varepsilon_{K,\text{Carnot}} = \frac{T_k}{T_v-T_k},

Energibalansen

|Q_H| = |Q_L| + W

\Delta U = 0

Temperaturløftet er det som koster

T_v - T_k

Kjøleskapsdøra — og hvorfor den ikke kjøler rommet

W

Spesifikk mot molar varmekapasitet

c

Når varmen går til en faseovergang

mc\Delta T

Sjanger T6 — varmepumpe- og kjøleskapsoppgaven

\varepsilon

\varepsilon

i Del 8 mot

e

i Del 9

\varepsilon

T

i Del 8: kelvin, uten unntak i Carnot-grensene

T

COP — det engelske navnet

\text{COP}_h

Fire kontroller som fanger nesten alle feil

\varepsilon_V > 1

Eliminasjon ved fysiske grenser i pumpeoppgaver

\varepsilon_V > 1

MC-tempo i pumpeoppgaver

\varepsilon_V

Realistiske effektfaktorer

\varepsilon_V

Anlegg	Typisk $\varepsilon_V$
Luft-til-luft, mildt vær	$3$ – $4$
Luft-til-luft, $-15\,^\circ\text{C}$ ute	$1{,}5$ – $2$
Bergvarme til gulvvarme	$4$ – $5$
Panelovn	$1{,}0$
Kjøleskap ( $\varepsilon_K$ )	$2$ – $4$

Symbol- og formelliste

Repetisjonsoppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.