9.2 Varmestråling — Stefan–Boltzmann, platebalanse og Wien

Stefan–Boltzmann $j=\sigma T^4$, stasjonær strålingsbalanse mellom plater, Wiens forskyvningslov og Plancks lov (som munner ut i numerikk-kapitlet).

60 min

9 oppgaver

VarmestrålingStefan–BoltzmannplatebalanseWien

Din fremgang i kapitlet

0 / 9 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

9.1Varmeledning i sjikt — Fouriers lov og termisk motstand

Brukes videre i

9.3Drill: varmeledning og stråling (sjanger T9–T10)11.1Fikspunktiterasjon og Euler-diskretisering

Sjanger T10 — strålingsoppgaven, altså utstrålt effekt, netto stråling mot omgivelsene, en stasjonær platebalanse eller Wiens forskyvningslov — dukker opp i om lag 7 av 10 sett (~70 %). Den hører til termofysikkhalvdelen, spørsmål 21–40, og den er unik mot søsteremnet TFY4125: der er varmestråling ikke pensum. I TFY4115 er den det, og den kommer igjen og igjen. Prioritet: høyeste — dette må sitte.

Tre varianter går igjen. (1) Utstrålt eller netto effekt: en flate med gitt areal, temperatur og emissivitet, i omgivelser med en annen temperatur. (2) Platebalanse: en tynn plate hengende mellom to reservoarer, finn dens stasjonære temperatur. (3) Wien: ved hvilken bølgelengde stråler flaten mest?

Ordforklaringer først. Varmestråling er energi som forlater en flate som elektromagnetiske bølger — den trenger ikke noe medium, og virker derfor også i vakuum. Emissiviteten $e$ er et tall mellom 0 og 1 som forteller hvor nær flaten er et perfekt svart legeme. Et svart legeme er en idealisert flate som absorberer all stråling som treffer den, og som derfor også stråler mest mulig. Stefan–Boltzmanns konstant $\sigma$ binder temperatur til utstrålt effekt. Wiens forskyvningslov forteller hvor i spekteret utstrålingen er størst.

Den ene tingen som gjør denne sjangeren farlig: effekten går som $T^4$ . Alt annet i termofysikken er lineært i temperatur eller i temperaturdifferansen. Her er det fjerde potens av den absolutte temperaturen, og det har tre konsekvenser du må ha i fingrene:

1. Celsius er katastrofalt. Ikke litt galt — helt galt. I eksempelet under gir celsius $26{,}9\,\text{W}$ der svaret er $1373\,\text{W}$ , altså en faktor $51$ feil.
2. Netto stråling krever $T^4 - T_\text{omg}^4$ , ikke $(T - T_\text{omg})^4$ . Det er felle #12, og den er ikke subtil: i eksempelet gir den gale formen $15{,}0\,\text{W}$ mot $1373\,\text{W}$ — $91$ ganger for lite.
3. Små temperaturendringer gir store effektendringer. Dobler du den absolutte temperaturen, øker utstrålingen $16$ ganger.

Og i platebalansen: du midler $T^4$ , ikke $T$ . Mellom $600$ og $300\,\text{K}$ blir midtplaten $512{,}2\,\text{K}$ , ikke $450\,\text{K}$ — $62\,\text{K}$ over det aritmetiske snittet.

⚠ Symbolvarsel

$T$ er absolutt temperatur i kelvin, uten unntak i dette kapitlet. Der kap. 9.1 kunne regnes i celsius fordi bare differanser inngikk, er celsius her livsfarlig: $T^4$ er en absolutt størrelse. $e$ er emissiviteten, dimensjonsløs og mindre enn 1 — den skal ikke forveksles med effektfaktoren $\varepsilon$ fra kap. 8.2, som er større enn 1. $\sigma$ (sigma) er Stefan–Boltzmanns konstant, ikke et standardavvik. $b$ er Wien-konstanten i $\text{m}\cdot\text{K}$ , ikke dempingskonstanten fra kap. 5.2. $\lambda$ (lambda) er bølgelengde i meter.

Forkunnskaper — sist du var her

Dette kapitlet bygger på kap. 9.1. Du trenger tre ting derfra, og de står her:

$P = jA, \qquad j \ \text{i}\ \text{W/m}^2$
Fluks og effekt. Samme skille som i varmeledning: leser oppgaven «per kvadratmeter», er det $j$ ; ellers $P$ .

$\text{stasjonær tilstand: like mye energi inn som ut av hvert legeme}$
Stasjonaritetsbetingelsen. Den er hele grunnlaget for platebalansen: en plate som får like mye inn som ut, holder en fast temperatur.

$\text{ledning, konveksjon og stråling er tre ulike mekanismer}$
De tre transportveiene. Stråling er den ene som ikke trenger et medium — den virker i vakuum, og det er derfor romfartøy og termosflasker må håndtere den særskilt.

Nytt i dette kapitlet, og verdt å merke seg: her forlater vi den lineære verdenen. I varmeledning var $P \propto \Delta T$ ; i stråling er $P \propto T^4$ . Det endrer både regningen og hvilke feil som er farlige.

Konstanter du trenger (de står på det utdelte arket):

$\sigma = 5{,}670\cdot10^{-8}\,\text{W/(m}^2\cdot\text{K}^4) \qquad\text{(Stefan–Boltzmanns konstant)}$
$b = 2{,}898\cdot10^{-3}\,\text{m}\cdot\text{K} \qquad\text{(Wien-konstanten)}$

Fra matematikken: du må kunne ta fjerde potens og fjerderot på kalkulatoren. Fjerderota er $x^{0{,}25}$ , eller to kvadratrøtter etter hverandre — den siste veien er verdt å kjenne, siden alle kalkulatorer har kvadratrot.

Behold fire gjeldende siffer gjennom hele regnekjeden. Det er ekstra viktig her: fjerde potens forsterker avrundingsfeil fire ganger.

Løkke 1 — Stefan–Boltzmann og den fjerde potensen (~15 min)

Hold hånda mot en varm vedovn uten å ta på den. Du kjenner varmen — og det er ikke luften som frakter den, for du kjenner den umiddelbart og den kommer i rett linje. Skygger du med den andre hånda, forsvinner den. Det er stråling.

Hverdagsanker: stråling er den ene varmetransporten som virker i vakuum. Derfor holder en termosflaske drikken varm selv om den er lufttom mellom veggene — og derfor må satellitter kvitte seg med all overskuddsvarmen sin ved å stråle den ut.

Alle flater over det absolutte nullpunktet stråler. Hvor mye, sier Stefan–Boltzmanns lov:

$j = \sigma T^4 \quad\text{(svart legeme)}, \qquad j = e\sigma T^4 \quad\text{(grå flate)},$

med $\sigma = 5{,}670\cdot10^{-8}\,\text{W/(m}^2\cdot\text{K}^4)$ og $T$ i kelvin.

Intuisjon for fjerde potens: varmere flate stråler både mer i alle bølgelengder og kortere bølgelengder (som bærer mer energi per foton). De to effektene ganger seg sammen, og resultatet er fjerde potens. Konsekvensen er dramatisk: en flate på $600\,\text{K}$ stråler $16$ ganger så mye som en på $300\,\text{K}$ — ikke dobbelt.

Varmestråling

Energi som forlater en flate som elektromagnetiske bølger, utelukkende fordi flaten har en temperatur over det absolutte nullpunktet. Den trenger ikke noe medium og virker derfor også i vakuum — det er hovedforskjellen fra ledning og konveksjon. Alle flater stråler, hele tiden, i alle retninger. En flate i romtemperatur stråler i det infrarøde området; en glødende flate stråler også synlig lys. Betingelsen for at formlene her gjelder, er at flaten er «grå», altså at emissiviteten er den samme for alle bølgelengder — en tilnærming som er god nok for de fleste tekniske overflater. Merk at en flate samtidig absorberer stråling fra omgivelsene. Det er differansen mellom utstrålt og absorbert som er nettotapet, og det er nesten alltid nettotapet oppgavene spør om.

Svart legeme

e = 1

Emissivitet

e

j = e\sigma T^4.

📜Stefan–Boltzmanns lov og netto stråling

Utstrålt effekt fra en flate med areal

A

, emissivitet

e

og absolutt temperatur

T

P_\text{ut} = e\sigma A T^4.

Absorbert effekt fra omgivelser med temperatur $T_\text{omg}$ , etter Kirchhoffs lov (absorpsjonsevnen er lik $e$ ):
$P_\text{inn} = e\sigma A T_\text{omg}^4.$

Netto blir differansen:
$\boxed{P_\text{netto} = e\sigma A\left(T^4 - T_\text{omg}^4\right)}$

⚠ Merk formen nøye: det er $T^4 - T_\text{omg}^4$ , ALDRI $(T - T_\text{omg})^4$ . De to er ikke bare litt forskjellige. Med $T = 420\,\text{K}$ og $T_\text{omg} = 293\,\text{K}$ :
$T^4 - T_\text{omg}^4 = 3{,}1117\cdot10^{10} - 0{,}7370\cdot10^{10} = 2{,}3747\cdot10^{10}\,\text{K}^4,$
$(T - T_\text{omg})^4 = 127^4 = 2{,}6014\cdot10^{8}\,\text{K}^4.$
Den gale formen er $91$ ganger for liten. Dette er felle #12, og den er den enkeltfeilen som oftest gir helt urimelige strålingssvar.

Grensetilfeller:
- $T = T_\text{omg}$ gir $P_\text{netto} = 0$ . En flate i likevekt med omgivelsene taper ingenting netto — den stråler fortsatt, men absorberer like mye.
- $T < T_\text{omg}$ gir $P_\text{netto} < 0$ : flaten varmes opp. Det er en kald gjenstand i et varmt rom.
- $T_\text{omg} \to 0$ gir $P_\text{netto} \to e\sigma AT^4$ : i det ytre rom absorberer man nesten ingenting. [står på det utdelte arket]

📝Oppgave 1

(Innstegsoppgave — enheter og fjerde potens.)

a) En svart flate på $0{,}500\,\text{m}^2$ har temperaturen $350\,\text{K}$ . Finn den utstrålte effekten.

b) Vis at enheten til $\sigma AT^4$ blir watt.

c) Hvor mange ganger mer stråler en flate ved $700\,\text{K}$ enn ved $350\,\text{K}$ ?

✏️Eksempel 1: netto stråling fra en ovn (eksamensnivå)

En vedovn har overflateareal $1{,}20\,\text{m}^2$ , overflatetemperatur $420\,\text{K}$ og emissivitet $e = 0{,}85$ . Rommet rundt har $293\,\text{K}$ .

a) Finn utstrålt og absorbert effekt hver for seg.

b) Finn netto utstrålt effekt.

c) Hva ville du fått med den gale formen $(T - T_\text{omg})^4$ , og hvor stor er feilen?

d) Ved hvilken bølgelengde stråler ovnen mest, og er det synlig lys?

a) Symbolsk.

P_\text{ut} = e\sigma AT^4

P_\text{inn} = e\sigma AT_\text{omg}^4

Rask vei til tall. Regn først faktoren $e\sigma A$ , som er felles:
$e\sigma A = 0{,}85 \cdot 5{,}670\cdot10^{-8} \cdot 1{,}20 = 5{,}7834\cdot10^{-8}\,\text{W/K}^4.$
Deretter de to fjerdepotensene:
$T^4 = 420^4 = 3{,}1117\cdot10^{10}\,\text{K}^4, \qquad T_\text{omg}^4 = 293^4 = 0{,}7370\cdot10^{10}\,\text{K}^4.$
$P_\text{ut} = 1799{,}6\,\text{W}, \qquad P_\text{inn} = 426{,}2\,\text{W}.$

b)
$P_\text{netto} = e\sigma A(T^4 - T_\text{omg}^4) = 5{,}7834\cdot10^{-8} \cdot 2{,}3747\cdot10^{10}\,\text{W} = 1373{,}4\,\text{W}.$
Kontroll: $1799{,}6 - 426{,}2 = 1373{,}4\,\text{W}$ ✔.

Legg merke til at ovnen absorberer $426\,\text{W}$ fra rommet — nesten en fjerdedel av det den stråler ut. Å glemme absorpsjonsleddet gir $1800\,\text{W}$ i stedet for $1373\,\text{W}$ , altså $31$ prosent for høyt.

c) Den gale formen:
$e\sigma A(T - T_\text{omg})^4 = 5{,}7834\cdot10^{-8} \cdot 127^4 = 5{,}7834\cdot10^{-8} \cdot 2{,}6014\cdot10^{8}\,\text{W} = 15{,}05\,\text{W}.$
Feilen er en faktor
$\frac{1373{,}4}{15{,}05} = 91{,}3,$
altså $91$ ganger for lite (felle #12 — glemme fjerde potens riktig). Og legg merke til hvor lett feilen er å oppdage om du tenker over størrelsesordenen: $15\,\text{W}$ fra en vedovn er absurd lite — det er mindre enn en lyspære.

For fullstendighetens skyld, to andre feller med samme tall: celsius i stedet for kelvin ( $(147)^4 - (20)^4$ ) gir $26{,}9\,\text{W}$ , altså $51$ ganger for lite. Og lineært i temperatur ( $T - T_\text{omg}$ uten potens) gir $7{,}3\cdot10^{-6}\,\text{W}$ , altså praktisk talt null.

d) Wiens forskyvningslov:
$\lambda_\text{maks} = \frac{b}{T} = \frac{2{,}898\cdot10^{-3}\,\text{m}\cdot\text{K}}{420\,\text{K}} = 6{,}900\cdot10^{-6}\,\text{m} = 6{,}90\,\mu\text{m}.$
Synlig lys ligger mellom $0{,}40$ og $0{,}70\,\mu\text{m}$ , så $6{,}9\,\mu\text{m}$ er godt inne i det infrarøde — ovnen gløder ikke, den bare varmer. For å gløde synlig rødt må temperaturen opp mot $900\,\text{K}$ .

Sluttsjekk, fire ledd. (i) Begge temperaturer i kelvin ✔. (ii) Formen er $T^4 - T_\text{omg}^4$ , ikke $(T-T_\text{omg})^4$ ✔. (iii) $P_\text{netto} < P_\text{ut}$ ✔, og differansen er absorpsjonen. (iv) Størrelsesorden: en vedovn avgir typisk noen kilowatt totalt, og $1{,}4\,\text{kW}$ fra stråling alene er rimelig — resten går til konveksjon ✔.

📝Oppgave 2

Eksamensnivå, sjanger…

En metallflate på $2{,}40\,\text{m}^2$ har temperaturen $480\,\text{K}$ og emissivitet $e = 0{,}65$ , i omgivelser på $300\,\text{K}$ .

a) Finn netto utstrålt effekt.

b) Hva ville du fått hvis du glemte emissiviteten?

c) Hva ville du fått med formen $(T - T_\text{omg})^4$ ?

Løkke 2 — platebalansen: å midle $T^4$ , ikke $T$ (~15 min)

Heng en tynn metallplate i vakuum mellom to store plater, en varm og en kald. Hvilken temperatur får den?

Hverdagsanker: dette er nøyaktig hva et strålingsskjold i en termos, en romsonde eller et vindusglass gjør — det legger seg på en mellomtemperatur og halverer varmestrømmen mellom de to sidene.

Fremgangsmåten er stasjonaritetsbetingelsen: like mye energi inn som ut. Platen mottar netto stråling fra den varme siden og gir netto stråling til den kalde. Er den tynn og godt varmeledende, har den én temperatur $T_2$ , og

$\underbrace{\sigma(T_1^4 - T_2^4)}_{\text{netto inn fra varm side}} = \underbrace{\sigma(T_2^4 - T_3^4)}_{\text{netto ut til kald side}}.$

Intuisjon: platen kan ikke lagre energi i det uendelige. Får den mer inn enn ut, stiger temperaturen — og siden utstrålingen vokser som $T^4$ , stiger den bare til balansen inntreffer. Det gjør den alltid, og bare ved én temperatur.

Løs likningen: $T_1^4 - T_2^4 = T_2^4 - T_3^4$ gir $2T_2^4 = T_1^4 + T_3^4$ , altså

$\boxed{T_2 = \left(\frac{T_1^4 + T_3^4}{2}\right)^{1/4}}$

Merk hva som midles: $T^4$ , ikke $T$ . Det er felle #12 i sin andre form, og resultatet er systematisk: midtplaten blir alltid varmere enn det aritmetiske snittet.

Stasjonær platebalanse

T_1

Strålingsskjold

n

✏️Eksempel 2: platebalanse og strålingsskjold

En tynn svart plate henger i vakuum mellom to store svarte plater med temperaturene $T_1 = 600\,\text{K}$ og $T_3 = 300\,\text{K}$ .

a) Finn midtplatens stasjonære temperatur.

b) Sammenlign med det aritmetiske snittet, og forklar avviket.

c) Finn nettofluksen mellom platene med og uten midtplaten.

d) Ved hvilken bølgelengde stråler midtplaten mest?

a) Symbolsk. Stasjonaritet krever like mye netto inn som ut:

\sigma(T_1^4 - T_2^4) = \sigma(T_2^4 - T_3^4) \quad\Longrightarrow\quad 2T_2^4 = T_1^4 + T_3^4 \quad\Longrightarrow\quad T_2 = \left(\frac{T_1^4+T_3^4}{2}\right)^{1/4}.

Rask vei til tall. Regn de to fjerdepotensene først:
$T_1^4 = 600^4 = 1{,}2960\cdot10^{11}, \qquad T_3^4 = 300^4 = 8{,}100\cdot10^{9}\,\text{K}^4,$
$\frac{T_1^4+T_3^4}{2} = \frac{1{,}3770\cdot10^{11}}{2} = 6{,}8850\cdot10^{10}\,\text{K}^4,$
$T_2 = \left(6{,}8850\cdot10^{10}\right)^{1/4} = 512{,}24\,\text{K}.$
Fjerderota på kalkulator: ta kvadratrota to ganger. $\sqrt{68850000000} = 262392{,}8$ , og $\sqrt{262392{,}8} = 512{,}24$ ✔.

b) Det aritmetiske snittet er
$\frac{600 + 300}{2} = 450{,}0\,\text{K},$
altså $62{,}2\,\text{K}$ lavere enn det riktige svaret.

Avviket har en presis årsak: fjerde potens vekter den varme siden mye tyngre. Plate 1 stråler $\left(600/300\right)^4 = 16$ ganger så mye som plate 3, så midtplaten trekkes langt nærmere den varme. Å midle temperaturene i stedet for fjerdepotensene undervurderer derfor alltid $T_2$ .

c) Uten midtplaten:
$j_0 = \sigma(T_1^4 - T_3^4) = 5{,}670\cdot10^{-8} \cdot 1{,}2150\cdot10^{11}\,\text{W/m}^2 = 6889{,}1\,\text{W/m}^2.$
Med midtplaten:
$j = \sigma(T_1^4 - T_2^4) = 3444{,}5\,\text{W/m}^2,$
og kontroll på den andre siden: $\sigma(T_2^4 - T_3^4) = 3444{,}5\,\text{W/m}^2$ ✔ — like store, som stasjonaritet krever.

$3444{,}5 = \frac{6889{,}1}{2}$
Nøyaktig halvparten. Det er ikke et sammentreff: setter du $2T_2^4 = T_1^4+T_3^4$ inn, får du $T_1^4 - T_2^4 = \tfrac12(T_1^4 - T_3^4)$ identisk. Én plate halverer strålingsvarmestrømmen, og $n$ plater deler den på $n+1$ .

d)
$\lambda_\text{maks} = \frac{b}{T_2} = \frac{2{,}898\cdot10^{-3}}{512{,}24}\,\text{m} = 5{,}657\,\mu\text{m},$
altså i det infrarøde.

Sluttsjekk, fire ledd. (i) $T_2 = 512{,}2\,\text{K}$ ligger MELLOM $300$ og $600\,\text{K}$ ✔. (ii) Den ligger OVER det aritmetiske snittet ✔ — som den alltid skal. (iii) De to nettofluksene er like ✔. (iv) Fluksen med plate er nøyaktig halvparten av uten ✔.

📝Oppgave 3

Eksamensnivå, sjanger…

En tynn svart plate henger i vakuum mellom to store svarte plater på $750\,\text{K}$ og $350\,\text{K}$ .

a) Finn midtplatens stasjonære temperatur.

b) Hvor mye avviker den fra det aritmetiske snittet?

c) Ved hvilken bølgelengde stråler midtplaten mest?

📝Oppgave 4

Eksamensnivå, sjanger…

Mellom to store svarte plater på $800\,\text{K}$ og $300\,\text{K}$ settes det inn $2$ tynne svarte skjermer.

a) Finn nettofluksen uten skjermer.

b) Finn nettofluksen med $2$ skjermer.

c) Hvor mange skjermer trengs for å komme under $2000\,\text{W/m}^2$ ?

Løkke 3 — Wiens forskyvningslov (~13 min)

En kokeplate som varmes opp gløder først ikke i det hele tatt, så mørkerødt, så oransje, så nesten hvitt. Fargen forteller temperaturen — og det er ikke tilfeldig.

Hverdagsanker: en glødelampe med glødetråd på $2800\,\text{K}$ er gulaktig; solen med overflate på $5778\,\text{K}$ er hvit; en kald stjerne er rød og en het er blå. Alt følger én formel.

Wiens forskyvningslov gir bølgelengden der utstrålingen er størst:

$\lambda_\text{maks} = \frac{b}{T}, \qquad b = 2{,}898\cdot10^{-3}\,\text{m}\cdot\text{K}.$

Intuisjon: dobler du den absolutte temperaturen, halveres bølgelengden — toppen flytter seg mot kortere bølgelengder, altså mot blått. Merk at loven ikke sier noe om HVOR MYE som stråles; det er Stefan–Boltzmann. Wien sier bare HVOR i spekteret.

Tre tall verdt å kjenne:

Kilde	$T$	$\lambda_\text{maks}$
Menneskekropp	$310\,\text{K}$	$9{,}35\,\mu\text{m}$ (fjern infrarød)
Vedovn	$420\,\text{K}$	$6{,}90\,\mu\text{m}$ (infrarød)
Solens overflate	$5778\,\text{K}$	$502\,\text{nm}$ (grønt, midt i det synlige)

At solens topp ligger midt i det synlige området, er grunnen til at øyet vårt er følsomt nettopp der.

Wiens forskyvningslov

\lambda_\text{maks} = \frac{b}{T}, \qquad b = 2{,}898\cdot10^{-3}\,\text{m}\cdot\text{K}.

Plancks strålingslov

I(\lambda, T) = \frac{2\pi hc^2}{\lambda^5}\cdot\frac{1}{e^{hc/(\lambda k_BT)} - 1}.

📝Oppgave 5

Eksamensnivå, sjanger…

a) En glødetråd har temperaturen

2800\,\text{K}

. Ved hvilken bølgelengde stråler den mest, og er det synlig lys?

b) En flate stråler mest ved $6{,}50\,\mu\text{m}$ . Hvilken temperatur har den?

c) Solens overflate er $5778\,\text{K}$ . Finn $\lambda_\text{maks}$ og kommenter.

📝Oppgave 6

Eksamensnivå, sjanger…

En person har hudareal $1{,}80\,\text{m}^2$ , hudtemperatur $306\,\text{K}$ og emissivitet $e = 0{,}97$ , i et rom på $293\,\text{K}$ .

a) Finn netto utstrålt effekt.

b) Sammenlign med kroppens hvilestoffskifte på om lag $100\,\text{W}$ . Kommenter.

c) Ved hvilken bølgelengde stråler huden mest?

d) Hva ville du fått med den gale formen $(T - T_\text{omg})^4$ ?

Rask vei til tall (MC-oppskrift)

1. Hvilken lov? Tre spørsmålstyper, gjenkjennelige på tre sekunder. «Hvor mye stråler den?» → $P = e\sigma A T^4$ (utstrålt) eller $e\sigma A(T^4 - T_\text{omg}^4)$ (netto — les nøye hvilken). «Hvilken temperatur får plata?» → platebalansen, midle $T^4$ . «Ved hvilken bølgelengde?» → Wien, $\lambda_\text{maks} = b/T$ .

2. Hvilken ene regnelinje? Regn faktoren $e\sigma A$ først som eget mellomresultat, og deretter hver fjerdepotens hver for seg. Da er resten én multiplikasjon. For platebalansen: legg sammen de to fjerdepotensene, del på 2, ta kvadratrota to ganger.

3. Hva hentes hvor? $\sigma = 5{,}670\cdot10^{-8}$ , $b = 2{,}898\cdot10^{-3}$ , Stefan–Boltzmanns lov, nettouttrykket, Wiens lov og Plancks lov står alle på det utdelte arket. Det som må kunne utledes aktivt, er platebalansen $T_2 = ((T_1^4+T_3^4)/2)^{1/4}$ fra stasjonaritet, og at $n$ skjermer gir $j_0/(n+1)$ .

4. Hvor mange siffer? Fire gjennom kjeden — og her er det ekstra viktig, fordi fjerde potens forsterker avrundingsfeil fire ganger. Runder du $420$ til $420$ er det greit, men runder du $T^4 = 3{,}1117\cdot10^{10}$ til $3{,}1\cdot10^{10}$ , flytter du tredje siffer i svaret.

5. Hva sjekker du før du krysser av? (i) Er ALLE temperaturer i kelvin? (Dette er ikke kap. 9.1 — her er celsius katastrofalt.) (ii) Er formen $T^4 - T_\text{omg}^4$ og ikke $(T-T_\text{omg})^4$ ? (iii) Er emissiviteten med, og er den under 1? (iv) I platebalansen: ligger svaret mellom reservoarene og over det aritmetiske snittet? (v) Ba oppgaven om utstrålt eller netto effekt? (vi) Gir Wien kortere bølgelengde ved høyere temperatur?

— naturlig pausepunkt —

📝Oppgave 7

Sjanger T10, A–F-format

En flate med areal $0{,}800\,\text{m}^2$ , emissivitet $0{,}90$ og temperatur $500\,\text{K}$ stråler i vakuum. Hvor stor er den utstrålte effekten?

A $2835{,}0\,\text{W}$ · B $0{,}000020\,\text{W}$ · C $2551{,}5\,\text{W}$ · D $108{,}11\,\text{W}$ · E $0{,}010\,\text{W}$ · F $3189{,}4\,\text{W}$

📝Oppgave 8

(Kvalitativ oppgave — konsept og rangering.)

a) To flater har samme areal og temperatur, men en har $e = 0{,}95$ og den andre $e = 0{,}20$ . Hvilken taper mest varme netto, og hvorfor står emissiviteten i BEGGE ledd i nettouttrykket?

b) Ranger disse fire etter $\lambda_\text{maks}$ , korteste først: en menneskekropp ( $310\,\text{K}$ ), en vedovn ( $420\,\text{K}$ ), en glødetråd ( $2800\,\text{K}$ ), solens overflate ( $5778\,\text{K}$ ).

c) En termos har vakuum mellom veggene. Hvorfor holder den likevel ikke drikken varm i det uendelige, og hva gjør forsølvingen?

📝Oppgave 9

Eksamensnivå, sjanger…

En kuleformet satellitt med radius $0{,}600\,\text{m}$ går i bane om jorda, der solstrålingen er $1361\,\text{W/m}^2$ . Se bort fra jordas stråling.

a) Hvilket areal fanger opp solstråling, og hvilket areal stråler ut? Forklar forskjellen.

b) Finn den stasjonære temperaturen når satellitten er svart ( $e = 1$ og absorpsjonsevne 1).

c) Satellitten males med et belegg som absorberer bare $0{,}30$ av solstrålingen, men har emissivitet $0{,}90$ i det infrarøde. Finn den nye temperaturen.

d) Kommenter hvorfor et slikt belegg er nyttig.

Typiske feil — og fjerde potensen som forstørrer alt

Celsius i stedet for kelvin (felle #11 — kelvin-slurv). Her er det ikke en liten feil: i eksempel 1 gir celsius

26{,}9\,\text{W}

der svaret er

1373\,\text{W}

, altså $51$ ganger for lite. Grunnen er at

T^4

er en absolutt størrelse og celsius har vilkårlig nullpunkt. Merk kontrasten til kap. 9.1, der celsius var trygt fordi bare differanser inngikk — skifter du kapittel, skifter regelen.

$(T - T_\text{omg})^4$ i stedet for $T^4 - T_\text{omg}^4$ (felle #12 — glemme fjerde potens riktig). Dette er kapitlets signaturfeil. I eksempel 1: $15{,}0\,\text{W}$ mot $1373\,\text{W}$ , en faktor $91$ . I oppgave 6, der differansen er liten mot de absolutte temperaturene, blir feilen en faktor $48936$ . Jo mindre temperaturdifferansen er i forhold til de absolutte temperaturene, jo verre blir fella — og den gir alltid for LITE.

Å midle $T$ i stedet for $T^4$ i platebalansen (felle #12 i sin andre form). Mellom $600$ og $300\,\text{K}$ er svaret $512{,}2\,\text{K}$ , ikke $450\,\text{K}$ — $62\,\text{K}$ feil. Kontrollen: midtplaten ligger alltid OVER det aritmetiske snittet, fordi fjerde potens vekter den varme siden tyngre.

Å glemme emissiviteten. Den står i BEGGE ledd (Kirchhoffs lov) og kan faktoriseres ut, men den må være der. Glemmer du den, blir svaret en faktor $1/e$ for stort — i oppgave 2 $1{,}54$ ganger.

Å blande utstrålt og netto effekt. $P_\text{ut} = e\sigma AT^4$ er alt flaten stråler; $P_\text{netto} = e\sigma A(T^4 - T_\text{omg}^4)$ er det den taper. Les nøye: «hvor mye stråler den ut» er det første, «hvor mye varme taper den» det andre. I eksempel 1 skiller de seg med $31$ prosent.

Å snu Wien. Høyere temperatur gir kortere bølgelengde. $T$ står i nevneren — det er hele kontrollen. En figur eller et svar der toppen flytter mot rødt når det blir varmere, underviser fellen.

Å blande $e$ og $\varepsilon$ . Emissiviteten $e$ er under 1; effektfaktoren $\varepsilon$ fra kap. 8.2 er over 1. Begge er dimensjonsløse «faktorer», men de hører i helt ulike formler.

Og avrundingsfellen (felle #16): fjerde potens forsterker relative feil fire ganger. Runder du en temperatur med 1 prosent feil, får du 4 prosent feil i effekten. Behold fire siffer i temperaturen, og skriv $T^4$ ned som eget mellomresultat i stedet for å kjede regningen — særlig i platebalansen, der du deretter skal ta fjerderota og dermed dele feilen på fire igjen, men bare hvis mellomresultatet var riktig.

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard- og repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

De tre strålingslovene på ett kort

j = e\sigma T^4

Lov	Uttrykk	Hva den sier
Stefan–Boltzmann	$j = e\sigma T^4$	hvor MYE flaten stråler i alt
Wien	$\lambda_\text{maks} = b/T$	HVOR i spekteret toppen ligger
Planck	$I(\lambda,T)$	hvor mye ved HVER bølgelengde

Netto stråling: den ene formen du må ha riktig

P_\text{netto} = e\sigma A\left(T^4 - T_\text{omg}^4\right)

Hvorfor celsius er katastrofalt her

T^4

Platebalansen: utledning på fire linjer

\sigma(T_1^4 - T_2^4) = \sigma(T_2^4 - T_3^4)

n

skjermer deler fluksen på

n+1

j_n = \frac{j_0}{n+1}, \qquad j_0 = \sigma(T_1^4 - T_3^4).

Kirchhoffs lov: absorpsjon = emisjon

e

e

mot

\varepsilon

— emissivitet mot effektfaktor

e

Symbol	Betydning	Verdier	Kapittel
$e$	emissivitet	$0 < e \le 1$	9.2
$\varepsilon_V$ , $\varepsilon_K$	effektfaktor	$\varepsilon_V > 1$	8.2

Emissiviteter verdt å kjenne

e

Flate	$e$ (infrarødt)
Matt svart maling	$0{,}95$
Menneskehud	$0{,}97$
Murpuss, betong, tre	$0{,}90$
Glass	$0{,}90$
Hvit maling	$0{,}90$
Oksidert stål	$0{,}80$
Blank aluminium	$0{,}05$

Wien: retningen som huskes feil

\lambda_\text{maks} = \frac{b}{T}

Det synlige spekteret som referanse

0{,}40\,\mu\text{m}

Område	Bølgelengde
Ultrafiolett	under $0{,}40\,\mu\text{m}$
Synlig lys	$0{,}40$ – $0{,}70\,\mu\text{m}$
Nær infrarød	$0{,}70$ – $3\,\mu\text{m}$
Midlere infrarød	$3$ – $8\,\mu\text{m}$
Fjern infrarød	over $8\,\mu\text{m}$

Kula som fanger over tverrsnittet og stråler over hele flaten

\pi R^2

Hva fjerde potens gjør med tallene

\times 1{,}1

Temperaturøkning	Effektøkning
$\times 1{,}1$	$\times 1{,}46$
$\times 1{,}5$	$\times 5{,}06$
$\times 2$	$\times 16$
$\times 3$	$\times 81$
$\times 10$	$\times 10\,000$

Når stråling dominerer over ledning

P_\text{ledning} \propto \Delta T, \qquad P_\text{stråling} \propto T^4 - T_\text{omg}^4.

Sjanger T10 — strålingsoppgaven

Signaturen: en flate med areal, temperatur og eventuelt emissivitet, i omgivelser med en annen temperatur. Fire varianter går igjen: 1. utstrålt eller netto effekt — les nøye hvilken; 2. platebalanse — én eller flere skjermer mellom to reservoarer; 3. Wien — bølgelengde fra temperatur, eller omvendt; 4. strålingslikevekt — en kule i sollys, eller en flate som varmes til balanse. Sjangeren er unik mot TFY4125, der stråling ikke er pensum. Det gjør den til et sted der TFY4115-studenter ikke kan låne øvingsoppgaver fra søsteremnet — og det er en grunn til å ta den ekstra alvorlig.

MC-tempo i strålingsoppgaver

e\sigma A

Eliminasjon ved størrelsesorden i strålingsoppgaver

P_\text{netto} < P_\text{ut}

Symbol- og formelliste

Repetisjonsoppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.

9.2 Varmestråling — Stefan–Boltzmann, platebalanse og Wien

⚠ Symbolvarsel

Forkunnskaper — sist du var her

Løkke 1 — Stefan–Boltzmann og den fjerde potensen (~15 min)

Løkke 2 — platebalansen: å midle T4T^4T4, ikke TTT (~15 min)

Løkke 3 — Wiens forskyvningslov (~13 min)

Rask vei til tall (MC-oppskrift)

Begrepsbank

Løkke 2 — platebalansen: å midle $T^4$ , ikke $T$ (~15 min)