9.1 Varmeledning i sjikt — Fouriers lov og termisk motstand

Fouriers lov $j=\kappa\Delta T/\ell$, sjikt i serie som termiske motstander, temperaturprofil og varmeovergangskoeffisienter.

55 min

9 oppgaver

Varmeledning i sjiktFouriers lovtermisk motstand

Din fremgang i kapitlet

0 / 9 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

6.1Ideell gasslov, molekyltall og kinetisk gassteori

Brukes videre i

9.2Varmestråling — Stefan–Boltzmann, platebalanse og Wien

Sjanger T9 — varmeledningsoppgaven, altså varmestrøm gjennom en sammensatt vegg der du skal finne effekten eller en grenseflatetemperatur — dukker opp i om lag 8 av 10 sett (~80 %). Den hører til termofysikkhalvdelen, spørsmål 21–40. Prioritet: høyeste — dette må sitte.

Signaturen er alltid den samme: en vegg av to eller tre sjikt med oppgitte tykkelser og varmeledningsevner, en innetemperatur og en utetemperatur. Finn varmestrømmen per kvadratmeter, eller finn temperaturen i en grenseflate. Noen ganger legges det på varmeovergangskoeffisienter $h_i$ og $h_u$ for luftsjiktene inntil veggen.

Ordforklaringer, siden dette kapitlet innfører flere nye begreper. Varmeledning er varmetransport gjennom et fast stoff, der energien vandrer fra molekyl til molekyl uten at stoffet flytter seg. Varmefluks $j$ er varmestrøm per areal, målt i watt per kvadratmeter. Varmeledningsevnen $\kappa$ (kappa) forteller hvor godt et materiale leder varme. Termisk motstand $R_\text{term}$ er den motsatte størrelsen: hvor godt et sjikt STOPPER varmen. Varmeovergang er den ekstra motstanden i det tynne luftsjiktet inntil en overflate. Og U-verdi er den inverse totale motstanden, tallet byggebransjen bruker.

Den store ideen i kapitlet er en analogi: sjikt i en vegg oppfører seg nøyaktig som elektriske motstander i serie. Samme varmestrøm går gjennom alle, temperaturfallene summeres, og motstandene legges sammen. Har du regnet med seriemotstander før, kan du dette alt — du må bare oversette symbolene.

To feil koster nesten alle poengene her. Den første er å blande varmeledning ( $\kappa$ ) og varmeovergang ( $h$ ): den ene gir motstanden $\ell/\kappa$ , den andre $1/h$ , og de har ulik struktur. Den andre er enhetsslurv — millimeter mot meter er en faktor 1000, og den slår rett inn i svaret.

⚠ Symbolvarsel

$R_\text{term}$ er termisk motstand, med enheten $\text{K/W}$ (eller $\text{K}\cdot\text{m}^2/\text{W}$ per kvadratmeter). Det er ikke gasskonstanten $R = 8{,}314\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}$ fra kap. 8.1, og ikke en radius som i mekanikken. Alle tre skrives med bokstaven $R$ — enheten avgjør hver gang. $T$ er temperatur; her er celsius trygt fordi bare differanser inngår, men det skriver vi ut hver gang. $j$ er varmefluks i $\text{W/m}^2$ , ikke en indeks.

Forkunnskaper — sist du var her

Dette kapitlet bygger på kap. 6.1 (temperatur og indre energi). Du trenger to ting derfra, og de står her:

$Q = mc\,\Delta T \quad\text{(spesifikk varmekapasitet, per kilogram)}, \qquad Q = nC\,\Delta T \quad\text{(molar, per mol)}$
Varme og temperaturendring. Vi bruker dem her når en oppgave spør hvor lang tid en oppvarming tar.

$P = \frac{Q}{\Delta t} \quad\text{målt i watt}$
Effekt som energi per tid. Alt i dette kapitlet handler om effekt, ikke om energimengder — det er varmestrømmen gjennom veggen akkurat nå.

Nytt i dette kapitlet: hele apparatet med varmeledningsevne, termisk motstand og serie- og parallellkobling. Analogien til elektriske seriemotstander introduseres her fra grunnen av — du behøver ikke ha regnet kretser før, men har du gjort det, går det raskere.

Fra matematikken: ingenting utover å legge sammen brøker og løse en lineær likning. Repetisjon av derivasjon ligger under den generelle formen av Fouriers lov, $j = -\kappa\,dT/dx$ , men i oppgavene bruker vi alltid den enkle formen med $\Delta T/\ell$ .

Verdier du kommer til å bruke (de står på det utdelte arket, men er verdt å kjenne størrelsesordenen på):

Materiale	$\kappa$ i $\text{W/(m}\cdot\text{K)}$
Mineralull, glava	$0{,}035$ – $0{,}045$
Trepanel	$0{,}12$ – $0{,}14$
Gipsplate	$0{,}22$
Betong	$1{,}4$ – $1{,}7$
Glass	$0{,}80$
Stål	$45$
Kobber	$400$

Legg merke til spennet: kobber leder varme om lag ti tusen ganger bedre enn mineralull. Det er hele grunnen til at isolasjon virker.
Behold fire gjeldende siffer gjennom hele regnekjeden, og rund først i sluttsvaret.

Løkke 1 — Fouriers lov og den termiske motstanden (~14 min)

Ta på en yttervegg om vinteren. Den er kald på utsiden og lun på innsiden, og mellom de to flatene strømmer det varme ut. Hvor mye?

Hverdagsanker: to ting bestemmer det. Hvor stor temperaturforskjellen er — dobler du den, dobler du varmestrømmen. Og hvor godt veggen stopper varmen — det er derfor du legger inn tjue centimeter glava og ikke to.

Sett sammen, blir det Fouriers lov:

$j = \kappa\,\frac{\Delta T}{\ell},$

der $j$ er varmestrøm per kvadratmeter, $\kappa$ er materialets varmeledningsevne, $\Delta T$ temperaturforskjellen over sjiktet og $\ell$ tykkelsen.

Intuisjon: tykkere sjikt gir mindre varmestrøm (derav $\ell$ i nevneren), bedre leder gir mer (derav $\kappa$ i telleren). Og legg merke til at $\Delta T$ er en differanse — derfor er celsius trygt her, selv om resten av termofysikken krever kelvin.

Men i praksis er det mye greiere å snu det hele. Gang med arealet og samle alt materialavhengig i én størrelse:

$P = jA = \frac{\Delta T}{R_\text{term}}, \qquad R_\text{term} = \frac{\ell}{\kappa A}.$

Nå ser det ut som Ohms lov — og det er nettopp poenget. $\Delta T$ er drivspenningen, $P$ er strømmen, $R_\text{term}$ er motstanden. Alt du kan om seriekoblede motstander, gjelder her.

Varmeledning

Varmetransport gjennom et stoff der energien vandrer fra molekyl til molekyl uten at stoffet selv flytter seg . Molekylene ved den varme siden svinger kraftigere, dunker i naboene, og energien forplanter seg innover. Dette er den ene av tre måter varme kan flytte seg. De to andre er konveksjon (varmen fraktes med et strømmende medium — luft eller vann som beveger seg) og stråling (energien går som elektromagnetiske bølger og trenger ikke noe medium i det hele tatt; behandles i kap. 9.2). Betingelsen for at formlene i dette kapitlet gjelder, er at tilstanden er stasjonær : temperaturene har lagt seg til ro, og like mye varme går inn som ut av hvert sjikt. Er den ikke det — for eksempel rett etter at du har skrudd på ovnen — trengs en tidsavhengig behandling som ligger utenfor pensum her.

Varmeledningsevne

\kappa

\text{W/(m}\cdot\text{K)}

Varmefluks

j

\text{W/m}^2

Termisk motstand

R_\text{term}

R_\text{term} = \frac{\ell}{\kappa A} \quad [\text{K/W}], \qquad\text{eller per kvadratmeter}\quad R = \frac{\ell}{\kappa} \quad [\text{K}\cdot\text{m}^2/\text{W}].

📜Termiske motstander i serie

Påstand: for sjikt lagt etter hverandre i varmestrømmens retning summeres de termiske motstandene:

R_\text{term} = \sum_j \frac{\ell_j}{\kappa_j A}.

Utledning. Stasjonært går den samme varmestrømmen $P$ gjennom alle sjikt — ellers ville energi hopet seg opp et sted, og temperaturen der ville steget. For hvert sjikt gjelder
$\Delta T_j = P R_j.$
Legg sammen over alle sjikt. Temperaturfallene summeres til det totale fallet:
$\Delta T_\text{total} = \sum_j \Delta T_j = P\sum_j R_j,$
altså $P = \Delta T_\text{total}/\sum R_j$ , som er det samme som å si at motstandene ligger i serie.

Intuisjon: varmen må gjennom alle sjiktene etter hverandre, som vann gjennom flere trakter i rekke. Den tregeste trakta bestemmer nesten hele strømmen.

To konsekvenser du bruker hele tiden:

1. Temperaturfallet fordeler seg som motstandene:
$\frac{\Delta T_j}{\Delta T_\text{total}} = \frac{R_j}{R_\text{term}}.$
Sjiktet med størst motstand tar størst temperaturfall — altså faller temperaturen brattest i den dårligste lederen.

2. Grenseflatetemperaturer finner du ved å gå innover fra en kjent side: $T = T_\text{inne} - P\cdot R_\text{delvis}$ , der $R_\text{delvis}$ er summen av motstandene du har passert. [må kunne brukes eller utledes aktivt]

📝Oppgave 1

(Innstegsoppgave — enheter og størrelsesorden.)

a) Et mineralullsjikt er $200\,\text{mm}$ tykt og har $\kappa = 0{,}037\,\text{W/(m}\cdot\text{K)}$ . Finn den termiske motstanden per kvadratmeter.

b) Vis at enheten til $\ell/\kappa$ blir $\text{K}\cdot\text{m}^2/\text{W}$ .

c) Hvor mange ganger større er den termiske motstanden til dette sjiktet enn til en $13\,\text{mm}$ gipsplate med $\kappa = 0{,}220\,\text{W/(m}\cdot\text{K)}$ ?

✏️Eksempel 1: yttervegg av gips og mineralull

En yttervegg består av $13\,\text{mm}$ gipsplate ( $\kappa_1 = 0{,}220\,\text{W/(m}\cdot\text{K)}$ ) og $200\,\text{mm}$ mineralull ( $\kappa_2 = 0{,}037\,\text{W/(m}\cdot\text{K)}$ ). Innetemperaturen er $21{,}0\,^\circ\text{C}$ og utetemperaturen $-8{,}0\,^\circ\text{C}$ .

a) Finn den samlede termiske motstanden per kvadratmeter, og U-verdien.

b) Finn varmestrømmen per kvadratmeter.

c) Finn temperaturen i grenseflaten mellom gips og mineralull.

d) Hvor stor del av temperaturfallet ligger i hvert sjikt?

a) Symbolsk. Sjiktene ligger i serie, så motstandene summeres:

R = \frac{\ell_1}{\kappa_1} + \frac{\ell_2}{\kappa_2}, \qquad U = \frac{1}{R}.

Rask vei til tall. Regn hver motstand for seg, med tykkelsene i meter:
$R_1 = \frac{0{,}0130}{0{,}220} = 0{,}05909, \qquad R_2 = \frac{0{,}200}{0{,}037} = 5{,}4054, \qquad R = 5{,}4645\,\text{K}\cdot\text{m}^2/\text{W}.$
$U = \frac{1}{5{,}4645} = 0{,}1830\,\text{W/(m}^2\cdot\text{K)}.$
En U-verdi på $0{,}183$ er omtrent kravet til en moderne yttervegg — det er en nyttig størrelsesordenkontroll.

b)
$\Delta T = 21{,}0 - (-8{,}0) = 29{,}0\,\text{K}, \qquad j = \frac{\Delta T}{R} = \frac{29{,}0}{5{,}4645} = 5{,}3070\,\text{W/m}^2.$
Merk at $\Delta T$ er en differanse, så celsius er trygt her — $29{,}0\,\text{K}$ og $29{,}0$ celsiusgrader forskjell er samme tall. (Kontroll: i kelvin blir det $294{,}15 - 265{,}15 = 29{,}0\,\text{K}$ ✔.)

c) Symbolsk. Gå innover fra innsiden: temperaturfallet over gipsplata er $\Delta T_1 = jR_1$ .

Rask vei til tall.
$\Delta T_1 = 5{,}3070 \cdot 0{,}05909 = 0{,}31359\,\text{K}, \qquad T_\text{grenseflate} = 21{,}0 - 0{,}31359 = 20{,}6864\,^\circ\text{C}.$

d)
$\frac{\Delta T_1}{\Delta T} = \frac{R_1}{R} = \frac{0{,}05909}{5{,}4645} = 0{,}01081, \qquad \frac{\Delta T_2}{\Delta T} = 0{,}98919.$
Altså $1,1$ prosent av fallet i gipsen og $98,9$ prosent i mineralullen.

Sluttsjekk, fire ledd. (i) $\Delta T_1 + \Delta T_2 = 0{,}3136 + 28{,}6864 = 29{,}0\,\text{K}$ ✔. (ii) Enhetskontroll: $\text{K}$ delt på $\text{K}\cdot\text{m}^2/\text{W}$ gir $\text{W/m}^2$ ✔. (iii) Grenseflatetemperaturen ligger MELLOM $-8{,}0$ og $21{,}0$ ✔, og helt nær innetemperaturen — som den skal, siden gipsen nesten ikke isolerer. (iv) U-verdien er i riktig størrelsesorden for en moderne vegg ✔.

Og hva svaret forteller: hadde du glemt gipsplata helt, ville du fått $j = 29{,}0/5{,}4054 = 5{,}3650\,\text{W/m}^2$ — bare $1,1$ prosent for høyt. Gipsen betyr nesten ingenting for isolasjonen. Men den betyr alt for overflatetemperaturen inne, og det kommer vi tilbake til.

📝Oppgave 2

Eksamensnivå, sjanger T9

En yttervegg består av $25{,}0\,\text{mm}$ trepanel ( $\kappa = 0{,}130\,\text{W/(m}\cdot\text{K)}$ ) og $150\,\text{mm}$ isolasjon ( $\kappa = 0{,}045\,\text{W/(m}\cdot\text{K)}$ ). Inne er $20{,}0\,^\circ\text{C}$ , ute $-15{,}0\,^\circ\text{C}$ .

a) Finn samlet termisk motstand per kvadratmeter og U-verdien.

b) Finn varmestrømmen per kvadratmeter.

c) Finn temperaturen i grenseflaten mellom panel og isolasjon.

Løkke 2 — varmeovergang: motstanden i luften inntil flaten (~13 min)

Legg hånda mot innerveggen. Den er kaldere enn romluften — men ikke så kald som selve veggen inne i konstruksjonen. Grunnen er at det ligger et tynt, nesten stillestående luftsjikt inntil overflaten, og det luftsjiktet er også en motstand.

Intuisjon: luft er en utmerket isolator så lenge den ikke rører seg. Rett inntil en flate holder friksjonen luften nesten i ro, og der må varmen ledes gjennom. Blåser det, blir sjiktet tynnere, og motstanden faller — det er derfor det føles kaldere i vind.

Denne motstanden beskrives ikke med en tykkelse og en $\kappa$ , men med en varmeovergangskoeffisient $h$ :

$R_\text{film} = \frac{1}{hA}, \qquad\text{eller per kvadratmeter}\quad R = \frac{1}{h}.$

Merk strukturen: $1/h$ , ikke $\ell/\kappa$ . Det er nettopp forskjellen som forveksles, og den forvekslingen er felle #15 i denne boka. Filmmotstanden legges i serie med de andre, akkurat som et sjikt til.

Varmeovergang og varmeovergangskoeffisient

h

R_\text{film} = \frac{1}{hA} \quad [\text{K/W}], \qquad\text{per kvadratmeter}\quad R = \frac{1}{h} \quad [\text{K}\cdot\text{m}^2/\text{W}],

U-verdi

U = \frac{1}{R_\text{total}} \quad [\text{W/(m}^2\cdot\text{K)}], \qquad P = UA\,\Delta T.

✏️Eksempel 2: den samme veggen med filmmotstander

Legg til varmeovergang på begge sider av veggen i eksempel 1: $h_i = 8{,}00\,\text{W/(m}^2\cdot\text{K)}$ innvendig og $h_u = 25{,}0\,\text{W/(m}^2\cdot\text{K)}$ utvendig.

a) Finn den nye samlede motstanden og varmestrømmen per kvadratmeter.

b) Hvor mye reduseres varmestrømmen av filmmotstandene?

c) Finn overflatetemperaturen på innerveggen, temperaturen i grenseflaten og overflatetemperaturen ute.

d) Duggpunktet i romluften er $12{,}0\,^\circ\text{C}$ . Blir det kondens på innerveggen?

a) Symbolsk. Filmmotstandene legges i serie som to sjikt til:

R = \frac{1}{h_i} + \frac{\ell_1}{\kappa_1} + \frac{\ell_2}{\kappa_2} + \frac{1}{h_u}.

Merk strukturen:

1/h

for filmene,

\ell/\kappa

for sjiktene. Fire ledd, fire ulike uttrykk.

Rask vei til tall.
$R_{f,i} = \frac{1}{8{,}00} = 0{,}1250, \qquad R_{f,u} = \frac{1}{25{,}0} = 0{,}0400,$
$R = 0{,}1250 + 0{,}05909 + 5{,}4054 + 0{,}0400 = 5{,}6295\,\text{K}\cdot\text{m}^2/\text{W},$
$j = \frac{29{,}0}{5{,}6295} = 5{,}1514\,\text{W/m}^2.$

b)
$1 - \frac{5{,}1514}{5{,}3070} = 0{,}02931, \qquad\text{altså } 2,9\ \text{prosent.}$
Filmene bidrar altså lite til isolasjonen — de to til sammen er $2{,}9$ prosent av motstanden. Men de gjør noe annet, og det er punkt c).

c) Gå innover fra innsiden og trekk fra $jR$ for hvert lag du passerer:
$T_\text{innerflate} = 21{,}0 - 5{,}1514 \cdot 0{,}1250 = 21{,}0 - 0{,}6439 = 20{,}356\,^\circ\text{C},$
$T_\text{grenseflate} = 20{,}356 - 5{,}1514 \cdot 0{,}05909 = 20{,}052\,^\circ\text{C},$
$T_\text{ytterflate} = 20{,}052 - 5{,}1514 \cdot 5{,}4054 = -7{,}794\,^\circ\text{C}.$
Kontroll fra den andre siden: $T_\text{ytterflate} = T_u + jR_{f,u} = -8{,}0 + 0{,}2061 = -7{,}794\,^\circ\text{C}$ ✔ — samme svar, regnet motsatt vei. Det er den kontrollen du skal gjøre hver gang.

d) Innerflaten er $20{,}36\,^\circ\text{C}$ , altså $8{,}36\,\text{K}$ over duggpunktet på $12{,}0\,^\circ\text{C}$ . Ingen kondens ✔.

Og her er hvorfor filmmotstanden betyr noe likevel: uten den innvendige filmen ville «innerflaten» per definisjon vært $21{,}0\,^\circ\text{C}$ , og spørsmålet meningsløst. Det er nettopp filmmotstanden som skaper temperaturspranget mellom romluften og veggflaten — og det er det spranget som avgjør om det blir kondens, mugg og fuktskader. Filmen betyr lite for energiregnskapet og mye for bygningsfysikken.

Sluttsjekk, tre ledd. (i) Alle fire temperaturfall summerer til $29{,}0\,\text{K}$ : $0{,}644 + 0{,}304 + 27{,}846 + 0{,}206 = 29{,}0$ ✔. (ii) Den nye motstanden er STØRRE enn den gamle, og fluksen dermed mindre ✔. (iii) Alle temperaturer ligger mellom $-8{,}0$ og $21{,}0\,^\circ\text{C}$ , monotont avtakende utover ✔.

📝Oppgave 3

Eksamensnivå, sjanger T9

En vegg har tre sjikt: $12{,}0\,\text{mm}$ betong ( $\kappa = 1{,}40$ ), $100\,\text{mm}$ isolasjon ( $\kappa = 0{,}040$ ) og $80{,}0\,\text{mm}$ mur ( $\kappa = 0{,}720$ ), alle i $\text{W/(m}\cdot\text{K)}$ . Inne er $22{,}0\,^\circ\text{C}$ , ute $-5{,}0\,^\circ\text{C}$ . Se bort fra varmeovergang.

a) Finn de tre motstandene og den samlede.

b) Finn varmestrømmen per kvadratmeter.

c) Finn temperaturene i de to grenseflatene.

d) Hvor stor del av temperaturfallet ligger i hvert sjikt? Kommenter.

Løkke 3 — parallelle veier: vegg med vindu (~12 min)

En yttervegg har vindu. Varmen kan gå gjennom veggen eller gjennom vinduet — to parallelle veier, ikke to sjikt etter hverandre.

Intuisjon: to sjikt i serie tvinger all varmen gjennom begge. To felt i parallell gir varmen et valg, og den tar begge veier samtidig. Da summeres ikke motstandene — da summeres strømmene.

Regnereglen følger direkte fra at effektene legges sammen:

$P = U_1A_1\Delta T + U_2A_2\Delta T = (U_1A_1 + U_2A_2)\,\Delta T.$

Legg sammen $UA$ -produktene, altså. For motstander betyr det $1/R = \sum 1/R_j$ , som i en parallellkobling — men i praksis er $UA$ -formen mye greiere, og det er den byggebransjen bruker.

⚠ Fellen er å legge motstandene i serie også her. Det gir et helt annet og alltid for lite varmetap: i eksempelet under blir svaret $40{,}0\,\text{W}$ i stedet for $215\,\text{W}$ . Kontrollen som avslører feilen på fem sekunder: to parallelle veier gir alltid MER varmetap enn den dårligste av dem alene.

Parallelle felt i en vegg

P = \left(\sum_j U_jA_j\right)\Delta T, \qquad\text{eller}\qquad \frac{1}{R_\text{term}} = \sum_j \frac{1}{R_j}.

✏️Eksempel 3: veggen med vindu — hvor tapet faktisk ligger

Veggen fra eksempel 1 (uten filmmotstander, $U = 0{,}1830\,\text{W/(m}^2\cdot\text{K)}$ ) har et samlet areal på $12{,}0\,\text{m}^2$ , hvorav $2{,}00\,\text{m}^2$ er vindu med $U_\text{vindu} = 2{,}80\,\text{W/(m}^2\cdot\text{K)}$ . Inne $21{,}0\,^\circ\text{C}$ , ute $-8{,}0\,^\circ\text{C}$ .

a) Finn varmetapet gjennom veggen og gjennom vinduet.

b) Finn det samlede varmetapet.

c) Hvor stor del av arealet er vindu, og hvor stor del av tapet?

d) Hva ville du fått hvis du feilaktig la de to feltene i serie?

a) Symbolsk.

P = UA\Delta T

for hvert felt.

Rask vei til tall. Med $\Delta T = 29{,}0\,\text{K}$ :
$P_\text{vegg} = 0{,}1830 \cdot 10{,}0 \cdot 29{,}0\,\text{W} = 53{,}070\,\text{W},$
$P_\text{vindu} = 2{,}80 \cdot 2{,}00 \cdot 29{,}0\,\text{W} = 162{,}40\,\text{W}.$

b)
$P = 53{,}070 + 162{,}40 = 215{,}47\,\text{W}.$
Eller i én linje: $P = (U_\text{vegg}A_\text{vegg} + U_\text{vindu}A_\text{vindu})\Delta T = (1{,}8300 + 5{,}600) \cdot 29{,}0 = 215{,}47\,\text{W}$ ✔.

c)
$\frac{A_\text{vindu}}{A_\text{total}} = \frac{2{,}00}{12{,}0} = 0{,}1667, \qquad \frac{P_\text{vindu}}{P} = \frac{162{,}40}{215{,}47} = 0{,}7537.$
Vinduet er $16,7$ prosent av arealet og $75,4$ prosent av varmetapet.

Det er hovedbudskapet i hele oppgaven: når ett felt har $15$ ganger så høy U-verdi som resten, dominerer det tapet fullstendig, selv om det er lite. Det lønner seg mer å bytte vinduet enn å legge ti centimeter mer isolasjon i veggen.

d) Serie-fella:
$R_\text{serie, feil} = \frac{1}{U_\text{vegg}A_\text{vegg}} + \frac{1}{U_\text{vindu}A_\text{vindu}} = 0{,}5464 + 0{,}1786 = 0{,}7250\,\text{K/W},$
$P_\text{feil} = \frac{29{,}0}{0{,}7250} = 39{,}999\,\text{W}.$
Det er under en femtedel av det riktige svaret — og, det avgjørende: lavere enn veggen alene gir ( $53{,}1\,\text{W}$ ). Det er fysisk umulig: å lage et hull i veggen og sette inn et dårligere vindu kan ikke redusere varmetapet.

Sluttsjekk, tre ledd. (i) Summen av de to feltene ✔. (ii) Det samlede tapet er større enn det største enkeltbidraget ✔. (iii) $UA$ -summen $7{,}430\,\text{W/K}$ ganget med $29{,}0\,\text{K}$ gir $215{,}5\,\text{W}$ ✔.

📝Oppgave 4

Eksamensnivå, sjanger T9

En yttervegg på $18{,}0\,\text{m}^2$ med $U = 0{,}1830\,\text{W/(m}^2\cdot\text{K)}$ har en ytterdør på $2{,}20\,\text{m}^2$ med $U_\text{dør} = 1{,}60\,\text{W/(m}^2\cdot\text{K)}$ . Inne $21{,}0\,^\circ\text{C}$ , ute $-8{,}0\,^\circ\text{C}$ .

a) Finn det samlede varmetapet.

b) Hvor stor del av tapet går gjennom døra?

c) Hvor mye ville tapet falt hvis døra ble byttet til én med $U = 0{,}90\,\text{W/(m}^2\cdot\text{K)}$ ?

Løkke 4 — å regne baklengs: hvor tykk isolasjon trengs? (~10 min)

Den siste varianten i sjangeren er å snu regnestykket. I stedet for «finn varmestrømmen» spør oppgaven «hvor tykk må isolasjonen være for å nå en gitt U-verdi?», eller «hvilken $\kappa$ har materialet, når vi har målt motstanden?».

Intuisjon: det er samme likning, løst for en annen ukjent. Fremgangsmåten er alltid: (1) finn den motstanden du trenger totalt, $R_\text{mål} = 1/U_\text{mål}$ ; (2) trekk fra motstandene du alt har; (3) det som står igjen, må isolasjonen levere, og $\ell = \kappa R$ .

Denne varianten er verdt å øve på, fordi den avslører om du har forstått at motstandene summeres — og fordi den er et yndet flervalgsspørsmål der distraktorene er de andre måtene å kombinere de samme tallene.

📝Oppgave 5

Eksamensnivå, sjanger T9

En vegg skal ha U-verdi $0{,}180\,\text{W/(m}^2\cdot\text{K)}$ . Den har alt $13\,\text{mm}$ gips ( $\kappa = 0{,}220$ ) og filmmotstander $h_i = 8{,}00$ og $h_u = 25{,}0\,\text{W/(m}^2\cdot\text{K)}$ .

a) Hvilken samlet termisk motstand kreves?

b) Hvor mye av den er alt dekket?

c) Hvor tykt mineralullsjikt ( $\kappa = 0{,}037$ ) trengs?

📝Oppgave 6

Eksamensnivå, sjanger T9

Et $15{,}0\,\text{mm}$ tykt materialsjikt måles til å ha termisk motstand $0{,}0500\,\text{K}\cdot\text{m}^2/\text{W}$ per kvadratmeter.

a) Finn varmeledningsevnen $\kappa$ .

b) Er dette et isolasjonsmateriale eller en leder? Sammenlign med tabellen i forkunnskapene.

c) En vegg på $24{,}0\,\text{m}^2$ med U-verdi $0{,}1830\,\text{W/(m}^2\cdot\text{K)}$ har $\Delta T = 29{,}0\,\text{K}$ . Finn effekttapet og energitapet per døgn i kilowattimer.

📝Oppgave 7

(Kvalitativ oppgave — konsept.)

a) Hvorfor faller temperaturen brattest i det dårligste ledende sjiktet? Svar med henvisning til at varmestrømmen er den samme gjennom alle sjikt.

b) En kollega hevder at det er meningsløst å legge et tynt gipssjikt inn i en vegg, siden det «nesten ikke isolerer». Er påstanden riktig? Hva overser den?

c) Hvorfor er den utvendige varmeovergangskoeffisienten $h_u$ typisk tre ganger større enn den innvendige $h_i$ , og hva betyr det for motstandene?

Rask vei til tall (MC-oppskrift)

1. Hvilken lov? Tre spørsmålstyper, gjenkjennelige på tre sekunder. Varmestrøm eller effekt → summer motstandene og bruk $P = \Delta T/R$ . Grenseflatetemperatur → regn $j$ først, gå så innover fra en kjent side. Tykkelse eller $\kappa$ → snu $R = \ell/\kappa$ . Er feltene ved siden av hverandre i stedet for etter hverandre, summer $UA$ i stedet.

2. Hvilken ene regnelinje? Skriv opp hver motstand som eget mellomresultat — det er nøkkelen i denne sjangeren. Sjikt: $\ell/\kappa$ . Film: $1/h$ . Summer. Deretter er resten én divisjon.

3. Hva hentes hvor? Fouriers lov $j = \kappa\Delta T/\ell$ , $R_\text{term} = \ell/(\kappa A)$ , $R_\text{film} = 1/(hA)$ , $P = \Delta T/R_\text{term}$ og materialverdiene for $\kappa$ står på det utdelte arket. Det som må kunne utledes aktivt, er at motstandene legges i serie (samme $P$ , $\Delta T$ summeres), og at $\Delta T_j/\Delta T = R_j/R$ .

4. Hvor mange siffer? Fire gjennom kjeden. Her er faren ikke avrunding men enheter: millimeter mot meter er en faktor 1000, og den slår rett gjennom. Skriv alle tykkelser i meter i det du leser oppgaven.

5. Hva sjekker du før du krysser av? (i) Er alle tykkelser i meter? (ii) Summerer temperaturfallene til det totale? (iii) Ligger hver grenseflatetemperatur MELLOM inne og ute, og faller de monotont utover? (iv) Brukte du $1/h$ for filmene og $\ell/\kappa$ for sjiktene? (v) Ba oppgaven om fluks ( $\text{W/m}^2$ ) eller effekt (W)? (vi) Er feltene i serie eller parallell? (vii) Er U-verdien i rimelig størrelsesorden ( $0{,}15$ – $0{,}25$ for en moderne vegg)?

— naturlig pausepunkt —

📝Oppgave 8

Sjanger T9, A–F-format

En vegg består av $10{,}0\,\text{mm}$ gips ( $\kappa = 0{,}170$ ) og $250\,\text{mm}$ mineralull ( $\kappa = 0{,}036$ ), begge i $\text{W/(m}\cdot\text{K)}$ . Hva er U-verdien?

A $0{,}1440$ · B $0{,}1428$ · C $7{,}0033$ · D $17{,}0000$ · E $0{,}000143$ · F $17{,}14$

📝Oppgave 9

Eksamensnivå, sjanger T9

Veggen fra eksempel 2 (med filmmotstander, $R = 5{,}6295\,\text{K}\cdot\text{m}^2/\text{W}$ ) står i et rom der duggpunktet er $12{,}0\,^\circ\text{C}$ og innetemperaturen $21{,}0\,^\circ\text{C}$ .

a) Hvor kaldt kan det bli ute før det begynner å kondensere på innerveggen?

b) Bak et skap er luftsirkulasjonen dårlig, slik at $h_i$ faller fra $8{,}00$ til $3{,}00\,\text{W/(m}^2\cdot\text{K)}$ . Hvor kaldt kan det bli ute nå?

c) Kommenter resultatet.

Typiske feil — og enhetsfellen som lander på nabo-alternativet

Å blande varmeledning og varmeovergang (felle #15). Sjikt:

R = \ell/\kappa

. Film:

R = 1/h

. Det finnes ingen tykkelse i filmuttrykket. Skriver du

\ell/h

eller

h/\ell

, får du et tall med feil enhet — og enhetskontrollen fanger det:

1/h

har enhet

\text{K}\cdot\text{m}^2/\text{W}

, akkurat som

\ell/\kappa

, mens

\ell/h

har

\text{K}\cdot\text{m}^3/\text{W}

Millimeter i stedet for meter. $200\,\text{mm}$ isolasjon gir $R = 5{,}405$ ; sett inn $200$ og du får $5405$ — en faktor 1000 feil, og et komplett urimelig tall. Skriv alle tykkelser om til meter i det du leser oppgaven. Dette er felle #16 i sin verste form: feilen gir en pen tierpotens, og pene tierpotenser står gjerne på alternativlista.

Å legge parallelle felt i serie. Vegg og vindu er PARALLELLE veier: summer $UA$ -produktene. I eksempel 3 gir serieregning $40{,}0\,\text{W}$ i stedet for $215\,\text{W}$ — under en femtedel. Kontrollen som avslører det på fem sekunder: to parallelle veier gir ALLTID mer varmetap enn den dårligste av dem alene. Er summen mindre enn ett av bidragene, har du regnet i serie.

Å forveksle U-verdi og R-verdi. De er inverse av hverandre, med ulik enhet: $U$ i $\text{W/(m}^2\cdot\text{K)}$ , $R$ i $\text{K}\cdot\text{m}^2/\text{W}$ . Lav U er bra, høy R er bra. En moderne vegg har $U \approx 0{,}18$ og $R \approx 5{,}5$ — to helt ulike tall for samme vegg, og begge står gjerne på alternativlista.

Å blande fluks og effekt. $j$ er $\text{W/m}^2$ , $P$ er watt. Les nøye om spørsmålet sier «per kvadratmeter». Med en vegg på $24\,\text{m}^2$ skiller de to seg med en faktor $24$ .

Å glemme at $\Delta T$ er en differanse. Her — og bare her i termodelen — er celsius trygt, fordi bare temperaturDIFFERANSER inngår: $29{,}0\,\text{K}$ og $29{,}0$ celsiusgrader forskjell er samme tall. Men grenseflatetemperaturer som du regner ut, kommer i den skalaen du startet i, og skal oppgis der. Blander du, får du svar som ligger $273{,}15$ feil.

Å regne feil vei ved grenseflatetemperaturer. Start i en KJENT temperatur og trekk fra $jR$ for hvert lag du passerer. Kontrollen: regn den samme temperaturen fra begge sider og se at du får samme svar. I eksempel 2 ga det $-7{,}79$ og $-7{,}79\,^\circ\text{C}$ ✔.

Og størrelsesordenkontrollen som er verdt fem sekunder: en moderne yttervegg har $U$ mellom $0{,}15$ og $0{,}25$ , og et varmetap på $4$ – $7\,\text{W/m}^2$ ved $29\,\text{K}$ temperaturforskjell. Får du $0{,}0002$ eller $50$ , har du en enhetsfeil.

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard- og repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

De tre måtene varme flytter seg

T^4

Mekanisme	Hva som skjer	Trenger medium?
Ledning	energi fra molekyl til molekyl, stoffet står stille	ja
Konveksjon	varmen fraktes med et strømmende medium	ja, og det må bevege seg
Stråling	elektromagnetiske bølger fra en varm flate	nei

Analogien til Ohms lov

\Delta T

Varmeledning	Elektrisk krets
$\Delta T$ (temperaturdifferanse)	$\Delta V$ (spenning)
$P$ (varmestrøm, watt)	$I$ (strøm, ampere)
$R_\text{term} = \ell/(\kappa A)$	$R = \rho\ell/A$
$P = \Delta T/R_\text{term}$	$I = \Delta V/R$
sjikt etter hverandre: serie	motstander i serie
felt ved siden av hverandre: parallell	motstander i parallell

Serie eller parallell — hvordan du ser forskjellen

R = \sum_j R_j.

Hvorfor temperaturen faller brattest i den dårligste lederen

\Delta T_j = P R_j \quad\Longrightarrow\quad \frac{\Delta T_j}{\Delta T_\text{total}} = \frac{R_j}{R_\text{term}}.

Størrelsesordener for

\kappa

\kappa

Materiale	$\kappa$ i $\text{W/(m}\cdot\text{K)}$
Luft (stillestående)	$0{,}026$
Mineralull, glava	$0{,}035$ – $0{,}045$
Trepanel	$0{,}12$ – $0{,}14$
Gipsplate	$0{,}22$
Glass	$0{,}80$
Betong	$1{,}4$ – $1{,}7$
Stål	$45$
Kobber	$400$

Størrelsesordener for U-verdier

U

Konstruksjon	$U$ i $\text{W/(m}^2\cdot\text{K)}$
Moderne yttervegg (200 mm isolasjon)	$0{,}15$ – $0{,}22$
Moderne tak	$0{,}10$ – $0{,}15$
Treglassvindu	$0{,}8$ – $1{,}2$
Toglassvindu	$2{,}5$ – $3{,}0$
Enkeltglass	$5$ – $6$

R

i Del 9: termisk motstand, ikke gasskonstant

R_\text{term}

Skrivemåte	Betydning	Enhet
$R_\text{term}$	termisk motstand	$\text{K/W}$
$R$ (per $\text{m}^2$ )	R-verdi	$\text{K}\cdot\text{m}^2/\text{W}$
$R$	gasskonstanten, $8{,}314$	$\text{J/(mol}\cdot\text{K)}$
$R$	radius (Del 1–5)	m

Den ene plassen celsius er trygt

\Delta T = T_i - T_u

Prosedyren for grenseflatetemperaturer

R

Kuldebro

\kappa

Overflatetemperatur og duggpunkt

8

Hva «stasjonær» betyr

Alle formlene i dette kapitlet forutsetter stasjonær tilstand: temperaturene har lagt seg til ro, og like mye varme går inn i hvert sjikt som ut av det. Da er varmestrømmen den samme overalt, og temperaturprofilen en fast, knekt linje. Er tilstanden IKKE stasjonær — rett etter at du har skrudd på ovnen, eller etter et raskt temperaturfall ute — hoper varme seg opp i materialene, og temperaturprofilen endrer seg med tiden. Da trengs varmeledningslikningen, en partiell differensiallikning som ligger utenfor pensum her. Praktisk: en yttervegg bruker timer på å bli stasjonær. Oppgaver som oppgir «etter lang tid» eller «i likevekt» ber deg bruke de stasjonære formlene.

Sjanger T9 — varmeledningsoppgaven

\kappa

MC-tempo i varmeledningsoppgaver

Tidsbudsjett per spørsmål: - tjue sekunder på å skrive alle tykkelser om til meter og identifisere hvilke motstander som finnes; - tretti sekunder på å regne hver motstand som eget mellomresultat og summere; - tjue sekunder på selve divisjonen; - tjue sekunder på kontrollene (summerer fallene? rimelig U-verdi? fluks eller effekt?). Halvparten av tiden går til bokføring, og det er riktig: i denne sjangeren er nesten alle feil bokføringsfeil, ikke regnefeil.

Eliminasjon ved størrelsesorden

0{,}10

Symbol- og formelliste

Repetisjonsoppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.