6.2 Ekvipartisjon, frihetsgrader og varmekapasitet ($C_V$, $C_P$, $\gamma$)

Ekvipartisjonsprinsippet, telling av kvadratiske frihetsgrader, $C_V=\tfrac{f}{2}R$, $C_P=C_V+R$, $\gamma=C_P/C_V$, og kvante-«innfrysing» av frihetsgrader.

60 min

10 oppgaver

Ekvipartisjonfrihetsgradervarmekapasitet ($C_V$$C_P$$\gamma$)

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

6.1Ideell gasslov, molekyltall og kinetisk gassteori

Brukes videre i

6.3Drill: gasslov, $v_\text{rms}$ og frihetsgrader (sjanger T1–T3)7.1Første hovedsetning og termodynamiske prosesser

Sjanger T3 — ekvipartisjon og frihetsgrader (bokas navn på oppgaveformen der
du skal telle hvor mange måter et molekyl kan lagre energi på, og derfra finne
varmekapasitetene

C_V

C_P

og forholdet

\gamma

mellom dem) forekommer i
om lag 9 av 10 sett (~90 %), i termohalvdelen, spørsmål 21–40. Prioritet:
høyeste — dette må sitte.

Sjangeren opptrer i tre former, og alle tre er korte:

1. Framlengs: gassen er oppgitt (enatomig, toatomig, lineær treatomig) → tell
frihetsgrader → regn $C_V$ , $C_P$ , $\gamma$ .
2. Baklengs: $C_V$ eller $\gamma$ er målt og oppgitt → finn antall
frihetsgrader → si hva slags molekyl det er.
3. Kvalitativt: hva skjer med $C_V$ når temperaturen heves så
vibrasjonsbevegelsen «vekkes»?

Dette kapitlet er også en flaskehals for resten av boka. Adiabatregningen i
kap. 7.1, hele kretsprosessen i Del 8 og entropien i
kap. 7.2 bruker $C_V$ , $C_P$ og $\gamma$ i hver eneste
regnelinje. Har du feil $\gamma$ , velter alt som følger — og de to gale
alternativene ligger alltid på lista, siden $\tfrac53$ og $\tfrac75$ er de to
verdiene som forekommer oftest.

To feller å kjenne nå. Felle #8 er å forbytte $C_V$ og $C_P$ , eller bruke
$\gamma = \tfrac53$ der $\tfrac75$ hører. Felle #9 er feil telling av
frihetsgrader — særlig å glemme at hver vibrasjonsmode gir to bidrag, og at
vibrasjon er «frosset ut» ved romtemperatur.

Forkunnskaper — sist du var her

Dette kapitlet bygger direkte på kap. 6.1. Du trenger
fire ting derfra, og de står her ferdig oppfrisket:

$pV = nRT, \qquad R = 8{,}314\ \text{J/(mol}\cdot\text{K)}, \qquad k_B = \frac{R}{N_A} = 1{,}381\cdot10^{-23}\ \text{J/K}$
Gassloven og de to konstantene. Regelen for hvilken du bruker: per mol → $R$ ,
per molekyl → $k_B$ . Dette kapitlet arbeider nesten utelukkende per mol.

$\langle E_k\rangle = \tfrac32k_BT$
Midlere kinetisk energi per molekyl, fra kinetisk gassteori. Legg merke til
strukturen i tallet: tre romretninger, og $\tfrac12k_BT$ på hver. Det er
nettopp dette mønsteret som generaliseres i dette kapitlet.

$U = \tfrac32nRT \quad (\text{enatomig ideell gass})$
Indre energi. Her skal $\tfrac32$ erstattes av $\tfrac{f}{2}$ , der $f$ er antall
frihetsgrader — og det er hele kapitlet i én setning.

Fra videregående: begrepet varmekapasitet («hvor mye energi trengs for å
varme noe én grad») kan du ha møtt i Fysikk 1 eller Kjemi 1. Vi bygger det opp
fra grunnen her, men i gassform, der det finnes to varmekapasiteter og ikke
én.

⚠ Symbolvarsel — $\gamma$ skifter betydning i dette kapitlet. I
kap. 5.2 var $\gamma = b/2m$ dempingskoeffisienten,
med enheten $\text{s}^{-1}$ og typiske verdier 0,1–1. Fra nå av er
$\gamma = C_P/C_V$ adiabateksponenten: helt dimensjonsløs, og alltid
mellom 1 og $\tfrac53$ . Kjennetegnet som skiller dem hver gang: har størrelsen enhet, er
det dempingskoeffisienten. De to opptrer aldri i samme oppgave.

Og som i kap. 6.1: $T$ er temperatur i kelvin (ikke
periode), $p$ er trykk (ikke bevegelsesmengde), og $R$ er gasskonstanten
(ikke radius).

Løkke 1 — ekvipartisjonsprinsippet og hva en frihetsgrad er (~14 min)

Sett to like store gassflasker på samme kokeplate, den ene med helium og den
andre med karbondioksid. Begge inneholder like mange mol. Etter fem minutter er
heliumflasken varmere. Hvorfor?

Fordi molekylene i de to gassene har ulikt mange steder å legge energien.
Heliumatomet kan bare fly gjennom rommet — energien du tilfører, går rett til
translasjon, og temperaturen stiger raskt. Karbondioksidmolekylet kan i tillegg
rotere, og noe av energien går dit. Den energien merkes ikke på termometeret,
for temperaturen måler bare translasjonsbevegelsen. Du må derfor tilføre mer
energi for å heve temperaturen like mye.

Det er hele kapitlet i én observasjon. Nå skal vi gjøre den presis, og det krever
ett nytt begrep.

Frihetsgrad

x

📜Ekvipartisjonsprinsippet

I en gass i termisk likevekt bærer hver kvadratiske frihetsgrad i gjennomsnitt
energien

\tfrac12 k_BT \ \text{per molekyl}, \qquad \text{altså} \qquad \tfrac12 RT \ \text{per mol}.

Prinsippet står på det utdelte arket i formen «

\tfrac12k_BT

per
frihetsgrad».

Navnet betyr «likedeling»: energien fordeler seg jevnt utover alle tilgjengelige
lommer. Vi har alt sett spesialtilfellet i
kap. 6.1 — der fant vi
$\langle E_k\rangle = \tfrac32k_BT$ for et atom, og det er nettopp
$3 \times \tfrac12k_BT$ : tre romretninger, halve $k_BT$ på hver.

Intuisjon: molekylene kolliderer milliarder av ganger i sekundet, og hver
kollisjon flytter litt energi mellom bevegelsesformene. Etter kort tid er
energien statistisk jevnt fordelt — akkurat som varme fordeler seg jevnt i en
metallstang. Ingen lomme er «favorisert».

Kvadratisk frihetsgrad — og hvorfor ordet står der

\tfrac12mv_x^2

Tellingen, i den rekkefølgen du skal gjøre den

1. Translasjon: alltid 3. Enhver gasspartikkel kan bevege seg i tre
uavhengige retninger. Dette leddet er aldri frosset ut ved temperaturer der
stoffet er en gass.

2. Rotasjon: 2 eller 3.

- Enatomig gass (He, Ne, Ar): 0. Et punktformig atom har ikke noe
meningsfullt treghetsmoment å rotere med.
- Lineært molekyl (H₂, N₂, O₂, CO, og også CO₂, som er rett): 2.
Molekylet kan rotere om to akser på tvers av bindingsaksen — men rotasjon
om bindingsaksen teller ikke, for treghetsmomentet om den aksen er
forsvinnende lite.
- Ikke-lineært molekyl (H₂O, CH₄, NH₃): 3. Alle tre akser har et reelt
treghetsmoment.

Intuisjon for hvorfor den tredje aksen faller ut for et lineært molekyl:
treghetsmomentet er $\sum m_ir_i^2$ , som du kjenner fra
kap. 4.1. Ligger alle atomkjernene på aksen, er alle
$r_i$ praktisk talt null, og aksen «finnes ikke» som rotasjonsakse.

3. Vibrasjon: 2 per mode — men vanligvis frosset ut. Hver
vibrasjonsbevegelse i molekylet gir to kvadratiske frihetsgrader (kinetisk
pluss potensiell). Ved romtemperatur er vibrasjon nesten alltid inaktiv, og
skal ikke telles med med mindre oppgaven sier at temperaturen er høy nok. Vi
kommer tilbake til hvorfor i løkke 3.

Oppsummeringen du skal ha i fingrene:

Molekyltype	Translasjon	Rotasjon	Vibrasjon (romtemp.)	$f$
enatomig (He, Ar)	3	0	0	3
toatomig / lineært (N₂, O₂, CO₂)	3	2	0	5
ikke-lineært (H₂O, CH₄)	3	3	0	6
toatomig ved høy temperatur	3	2	2	7

— naturlig pausepunkt —

Frihetsgradtelling — oppskriften

f = 3

✏️Eksempel 1: tell frihetsgradene

Finn antall frihetsgrader ved romtemperatur for hver av disse gassene, og
begrunn hvert svar med ett ord:

a) argon (Ar)

b) oksygengass (O₂)

c) karbondioksid (CO₂)

d) vanndamp (H₂O)

e) oksygengass ved $3000\,\text{K}$ , der vibrasjonsmoden er aktiv

a) $f = 3$ — enatomig. Bare translasjon; et enkelt atom har ikke noe
treghetsmoment å tale om.

b) $f = 5$ — toatomig, altså lineært. Tre translasjoner pluss to rotasjoner
(om de to aksene på tvers av bindingen). Vibrasjonen er frosset ut ved
romtemperatur.

c) $f = 5$ — lineært. Dette er det svaret som overrasker: CO₂ har tre
atomer, men de ligger på en rett linje (O=C=O), så rotasjonsbildet er det samme
som for et toatomig molekyl. Antall atomer er ikke svaret; formen er.

d) $f = 6$ — ikke-lineært. Vannmolekylet er bøyd, med en vinkel på om lag
$104^\circ$ mellom bindingene, så alle tre rotasjonsakser har et reelt
treghetsmoment. Tre translasjoner pluss tre rotasjoner.

e) $f = 7$ — toatomig med aktiv vibrasjon. Tre translasjoner, to rotasjoner
og to for vibrasjonen: én for den kinetiske energien i svingningen og én for
den potensielle i bindingen.

Kontrollen som avslører feiltellingen din: regn $\gamma = (f+2)/f$ for hvert
svar og se om tallet er kjent. Du skal få
$\gamma = 1{,}667$ , $1{,}400$ , $1{,}400$ , $1{,}333$ og $1{,}286$ for de fem. De to
første er de klassiske $\tfrac53$ og $\tfrac75$ ; får du noe helt annet, har du
sannsynligvis telt feil.

📝Oppgave 1

(Innstegsoppgave — ren telling, ingen regning.) Oppgi antall frihetsgrader ved
romtemperatur, og si i hvert tilfelle hvor mange som kommer fra translasjon og
hvor mange fra rotasjon.

a) helium (He)

b) nitrogengass (N₂)

c) metan (CH₄, som er en tetraeder og altså ikke-lineært)

d) karbonmonoksid (CO)

Løkke 2 — fra frihetsgrader til $U$ , $C_V$ , $C_P$ og $\gamma$ (~16 min)

Nå har vi tallet $f$ . Fra det følger alt annet i tre skritt, og hvert skritt er
én linje.

Indre energi som funksjon av frihetsgrader

f

Varmekapasitet — og hvorfor gasser har to

\text{J/(mol}\cdot\text{K)}

📜Molar varmekapasitet ved konstant volum

Ved fast volum kan gassen ikke gjøre arbeid, så all tilført varme går til indre
energi:

Q = \Delta U = nC_V\,\Delta T \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\,C_V = \frac{f}{2}R\,}

Verdiene for en- og toatomig gass står på det utdelte arket; den generelle
formen

\tfrac{f}{2}R

må du kunne bruke aktivt, for du må selv finne

f

Tallene, med $R = 8{,}314\ \text{J/(mol}\cdot\text{K)}$ :

$f$	$C_V$	tallverdi
3	$\tfrac32R$	$12{,}47\ \text{J/(mol}\cdot\text{K)}$
5	$\tfrac52R$	$20{,}79\ \text{J/(mol}\cdot\text{K)}$
6	$3R$	$24{,}94\ \text{J/(mol}\cdot\text{K)}$
7	$\tfrac72R$	$29{,}10\ \text{J/(mol}\cdot\text{K)}$

Legg tallene på minnet som størrelsesordener, ikke som pugg: en molar
varmekapasitet i et flervalgsalternativ som ligger på

12

21

25

eller

29\ \text{J/(mol}\cdot\text{K)}

er kandidat; ligger den på

8

eller

50

, er
den det ikke.

Utledningen som kreves aktivt: $C_P = C_V + R$

Til dette trenger vi ett energiregnskap, som får sin fulle behandling i
kap. 7.1. Innholdet er enkelt og allerede kjent fra
mekanikken: tilført varme går til to ting — å øke gassens indre energi, og å
utføre arbeid mot omgivelsene når gassen utvider seg. Skrevet med den
fortegnskonvensjonen denne boka bruker hele veien:
$\Delta U = Q - W, \qquad W = \text{arbeidet gassen gjør } \textbf{PÅ } \text{omgivelsene}.$
Utvider gassen seg, er $W$ positiv; komprimeres den, er $W$ negativ.

Nå fører vi den samme gassen fra $T$ til $T + \Delta T$ på to måter.

Fast volum. Gassen kan ikke utvide seg, så $W = 0$ og
$Q_V = \Delta U = nC_V\,\Delta T.$

Fast trykk. Nå utvider gassen seg. Arbeidet er kraft ganger vei, altså trykk
ganger volumendring:
$W = p\,\Delta V.$
Men fra gassloven ved fast trykk er $p\,\Delta V = nR\,\Delta T$ . Og $\Delta U$
er den samme som før, fordi indre energi bare avhenger av temperaturen:
$Q_p = \Delta U + W = nC_V\,\Delta T + nR\,\Delta T = n(C_V + R)\Delta T.$

Definisjonen av $C_P$ er $Q_p = nC_P\,\Delta T$ , og dermed
$\boxed{\,C_P = C_V + R\,}$

Intuisjon: forskjellen mellom de to varmekapasitetene er nøyaktig arbeidet
gassen gjør når den får utvide seg — hverken mer eller mindre. Og for én mol og
én kelvin er det arbeidet $R$ . Det er den fysiske betydningen av gasskonstanten:
$R$ er utvidelsesarbeidet per mol per kelvin ved konstant trykk.

Legg merke til hvor lite som trengs: gassloven, energiregnskapet og at $U$ bare
avhenger av $T$ . Denne utledningen må du kunne gjøre aktivt — den er kort nok
til å skrives på tre linjer under tidspress, og den forklarer hvorfor
$\gamma$ -formelen ser ut som den gjør.

📜Adiabateksponenten

\gamma = (f+2)/f

Sett

C_V = \tfrac{f}{2}R

C_P = C_V + R = \tfrac{f+2}{2}R

inn i forholdet:

\gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{\tfrac{f+2}{2}R}{\tfrac{f}{2}R} = \frac{f+2}{f} = 1 + \frac{2}{f}.

Både

\gamma = C_P/C_V

og verdiene for en- og toatomig gass står på arket;
formen

(f+2)/f

må kunne brukes aktivt.

De fire verdiene du møter, i tabellform:

$f$	$C_V$	$C_P$	$\gamma$	brøk	typisk gass
3	$12{,}47$	$20{,}79$	$1{,}667$	$\tfrac53$	He, Ar, Ne
5	$20{,}79$	$29{,}10$	$1{,}400$	$\tfrac75$	N₂, O₂, CO₂, luft
6	$24{,}94$	$33{,}26$	$1{,}333$	$\tfrac43$	H₂O-damp, CH₄
7	$29{,}10$	$37{,}41$	$1{,}286$	$\tfrac97$	N₂ ved høy temperatur

(Varmekapasitetene i

\text{J/(mol}\cdot\text{K)}

.)
To ting å merke seg, og de er begge sjekker du kan bruke:
1. $\gamma$ er alltid større enn 1, siden

C_P > C_V

. Et alternativ med

\gamma < 1

er utelukket uten regning.
2. $\gamma$ faller når $f$ vokser, og nærmer seg 1 for store

f

. Flere

frihetsgrader betyr at utvidelsesarbeidet $R$ blir en mindre del av

totalregnskapet. Den største mulige verdien er derfor

$\gamma = \tfrac53 \approx 1{,}67$ for en enatomig gass.

Adiabateksponenten

\gamma

\gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{f+2}{f} = 1 + \frac{2}{f}.

C_V

eller

C_P

— hvilken hører hvor

Q = nC_V\Delta T \quad (\text{fast volum}), \qquad Q = nC_P\Delta T \quad (\text{fast trykk}),

✏️Eksempel 2: to varmekapasiteter på samme gass

En beholder inneholder $2{,}50\,\text{mol}$ nitrogengass ved
$310\,\text{K}$ . Regn med romtemperaturoppførsel.

a) Finn $f$ , $C_V$ , $C_P$ og $\gamma$ .

b) Finn den indre energien.

c) Gassen varmes $60\,\text{K}$ ved fast volum. Hvor mye varme
trengs, og hvor mye øker den indre energien?

d) Samme oppvarming, men nå ved fast trykk. Hvor mye varme trengs? Hva
er differansen mot c), og hva er den fysisk?

a) Nitrogen er toatomig, altså lineært: tre translasjoner pluss to
rotasjoner, vibrasjonen frosset ut. $f = 5$ .

C_V = \tfrac52R = 20{,}785\ \text{J/(mol}\cdot\text{K)}, \qquad C_P = C_V + R = 29{,}099\ \text{J/(mol}\cdot\text{K)},

\gamma = \frac{29{,}099}{20{,}785} = 1{,}4000 = \tfrac75. \ \checkmark

b)
$U = \frac{f}{2}nRT = \tfrac52 \cdot 2{,}50 \cdot 8{,}314 \cdot 310\,\text{J} = 16108{,}4\,\text{J} \approx 16{,}1\,\text{kJ}.$
Kontroll med den andre veien:
$U = nC_VT = 2{,}50 \cdot 20{,}785 \cdot 310\,\text{J} = 16108{,}4\,\text{J} \ \checkmark$
Samme tall, som det må være siden $C_V = \tfrac{f}{2}R$ .

Hadde du brukt $\tfrac32$ (enatomig), ville du fått $9665{,}03\,\text{J}$ , altså
40 prosent for lite. Det er felle #9 i tall.

c) Fast volum betyr $W = 0$ :
$Q_V = nC_V\Delta T = 2{,}50 \cdot 20{,}785 \cdot 60\,\text{J} = 3117{,}75\,\text{J},$
og hele denne varmen går til indre energi:
$\Delta U = 3117{,}75\,\text{J}.$

d) Fast trykk:
$Q_p = nC_P\Delta T = 2{,}50 \cdot 29{,}099 \cdot 60\,\text{J} = 4364{,}85\,\text{J}.$
Differansen er
$Q_p - Q_V = 4364{,}85 - 3117{,}75 = 1247{,}10\,\text{J},$
og den skal være nøyaktig $nR\Delta T$ :
$nR\Delta T = 2{,}50 \cdot 8{,}314 \cdot 60\,\text{J} = 1247{,}10\,\text{J} \ \checkmark$

Hva differansen er fysisk: det er arbeidet gassen gjør på omgivelsene når
den får utvide seg mens den varmes. Legg merke til at $\Delta U$ er den samme
i c) og d) — $3117{,}75\,\text{J}$ i begge tilfeller — fordi temperaturøkningen er
den samme og indre energi bare avhenger av temperaturen. Det er varmen som er
ulik, ikke energiendringen.

Benevningskontroll:
$\text{mol} \cdot \text{J/(mol}\cdot\text{K)} \cdot \text{K} = \text{J} \ \checkmark$

📝Oppgave 2

Sjanger T3

Regn ut $C_V$ , $C_P$ og $\gamma$
med tallverdier for

a) en enatomig ideell gass,

b) en toatomig ideell gass ved romtemperatur.

c) Hvor mange prosent større er $C_P$ enn $C_V$ i hvert av de to tilfellene,
og hvorfor er prosenten ulik når differansen er den samme?

📝Oppgave 3

Sjanger T3

4{,}00\,\text{mol}

argon (enatomig) varmes fra

295\,\text{K}

til

365\,\text{K}

a) Finn den indre energien før og etter.

b) Finn $\Delta U$ , og kontroller svaret med $\Delta U = nC_V\Delta T$ .

c) Hvor mye varme trengs hvis oppvarmingen skjer ved fast volum? Og ved fast
trykk?

Løkke 3 — baklengs, og hvorfor vibrasjon er «frosset ut» (~16 min)

Halvparten av eksamensspørsmålene i denne sjangeren går motsatt vei: du får
en målt $C_V$ eller en målt $\gamma$ , og skal finne ut hva slags molekyl
gassen består av. Det er en to-linjers øvelse, men den krever at du kan snu
formlene.

📜Baklengs: fra målt

C_V

eller

\gamma

til

f

Snu de to relasjonene:

C_V = \frac{f}{2}R \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\,f = \frac{2C_V}{R}\,}

\gamma = 1 + \frac{2}{f} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\,f = \frac{2}{\gamma - 1}\,}

Begge må kunne brukes aktivt — de står ikke ferdig snudd på arket.

Slik bruker du dem under tidspress. Svaret skal bli et heltall (3, 5, 6
eller 7). Får du $5{,}004$ , er svaret 5, og desimalene er måleusikkerhet eller
avrunding i den oppgitte verdien. Får du derimot $4{,}2$ , har du sannsynligvis
regnet feil — eller gassen er ikke ideell.

Kontrollen som fanger regnefeil: de fire mulige svarene svarer til
$C_V/R = 1{,}5$ , $2{,}5$ , $3{,}0$ og $3{,}5$ , altså $C_V \approx 12{,}47$ ,
$20{,}79$ , $24{,}94$ og $29{,}10\ \text{J/(mol}\cdot\text{K)}$ . Ligger den oppgitte
verdien mellom to av dem, er det et fingerpek om at vibrasjonsmoder er delvis
aktive — se advarselen om reelle gasser lenger ned.

Kvante-innfrysing av frihetsgrader

k_BT

✏️Eksempel 3: baklengs fra en måling (eksamensnivå)

En ukjent ideell gass har målt molar varmekapasitet
$C_V = 20{,}8\ \text{J/(mol}\cdot\text{K)}$ ved romtemperatur.

a) Hvor mange aktive frihetsgrader har molekylet, og hva slags molekyl er det
sannsynligvis?

b) Finn $C_P$ og $\gamma$ .

c) Temperaturen heves til noen tusen kelvin, slik at vibrasjonsmoden vekkes.
Hva blir de nye verdiene for $C_V$ , $C_P$ og $\gamma$ ?

d) En annen gass har målt $\gamma = 1{,}29$ . Hvor mange frihetsgrader har
den?

a) Symbolsk.

f = 2C_V/R

Rask vei til tall.
$f = \frac{2 \cdot 20{,}8}{8{,}314} = \frac{41{,}6}{8{,}314} = 5{,}0036 \approx 5.$
Fem frihetsgrader ved romtemperatur betyr tre translasjoner og to rotasjoner,
altså et lineært molekyl — en toatomig gass som N₂ eller O₂, eller et rett
treatomig som CO₂. Desimalene er avrunding i den oppgitte verdien; svaret skal
være et heltall.

b)
$C_P = C_V + R = 20{,}8 + 8{,}314 = 29{,}114\ \text{J/(mol}\cdot\text{K)},$
$\gamma = \frac{29{,}114}{20{,}8} = 1{,}3997 \approx \tfrac75.$
Kontroll fra $f$ : $\gamma = (f+2)/f = 7/5 = 1{,}4000$ ✔ — de to veiene stemmer,
og at de gjør det, bekrefter at tellingen i a) var riktig.

c) Vibrasjonsmoden gir to frihetsgrader (kinetisk og potensiell), så
$f$ går fra 5 til 7:
$C_V = \tfrac72R = 29{,}099, \qquad C_P = 37{,}413, \qquad \gamma = \tfrac97 = 1{,}2857.$
Varmekapasiteten stiger med 40 prosent, mens $\gamma$ faller fra $1{,}4000$
til $1{,}2857$ — altså $8{,}16$ prosent lavere.

Hvorfor faller $\gamma$ når varmekapasiteten stiger? Fordi differansen
$C_P - C_V = R$ er uendret, mens begge tallene blir større. Forholdet mellom to
tall som vokser med samme differanse, nærmer seg 1.

d) Snu $\gamma$ -formelen:
$f = \frac{2}{\gamma - 1} = \frac{2}{1{,}29 - 1} = \frac{2}{0{,}290} = 6{,}8966 \approx 7.$
Sju frihetsgrader — altså en toatomig gass med aktiv vibrasjon, eller et større
molekyl. Merk hvor følsom denne regningen er: hadde du rundet $\gamma$ til
$1{,}3$ , ville du fått $f = 6{,}67$ , og til $1{,}28$ ville du fått $f = 7{,}14$ .
Nevneren er en liten differanse mellom to tall nær hverandre, og der forsvinner
sifrene fort. Behold alle sifrene i $\gamma$ helt fram til slutt — dette er
et av stedene i boka der avrundingsdisiplinen faktisk avgjør svaret.

📝Oppgave 4

Sjanger T3, baklengs

En ideell gass har målt molar varmekapasitet
$C_V = 29{,}1\ \text{J/(mol}\cdot\text{K)}$ .

a) Finn antall frihetsgrader.

b) Finn $C_P$ og $\gamma$ .

c) Hva slags gass kan dette være, og hva sier svaret om temperaturen?

📝Oppgave 5

Sjanger T3, baklengs…

En gass har målt $\gamma = 1{,}667$ .

a) Finn antall frihetsgrader.

b) Finn $C_V$ og $C_P$ .

c) En medstudent runder $\gamma$ til $1{,}7$ før hun regner. Hvor mye endrer
det svaret i a), og hva er lærdommen?

📝Oppgave 6

Sjanger T3

1{,}80\,\text{mol}

oksygengass varmes

45{,}0\,\text{K}

a) Hvor mye varme trengs ved fast volum?

b) Hvor mye trengs ved fast trykk?

c) Vis at differansen er lik arbeidet gassen gjør i b), uten å regne
arbeidet fra $p\,\Delta V$ .

d) Hva er $\Delta U$ i hvert av de to tilfellene?

Rask vei til tall (MC-oppskrift)

1. Hvilken lov? Hele kapitlet henger på ett tall: $f$ . Er gassen oppgitt →
tell $f$ (3 enatomig, 5 lineært, 6 ikke-lineært, +2 per aktiv
vibrasjonsmode). Er $C_V$ oppgitt → $f = 2C_V/R$ . Er $\gamma$ oppgitt →
$f = 2/(\gamma-1)$ .
2. Hvilken ene regnelinje? Skriv $f$ ned som eget mellomresultat, og les
resten rett av: $C_V = \tfrac{f}{2}R$ , $C_P = C_V + R$ ,
$\gamma = (f+2)/f$ , $U = \tfrac{f}{2}nRT$ , $\Delta U = nC_V\Delta T$ . Fem
uttrykk, ett tall inn.
3. Hva hentes hvor? $C_V$ og $C_P$ for en- og toatomig gass, $C_P = C_V + R$ ,
$\gamma = C_P/C_V$ og « $\tfrac12k_BT$ per frihetsgrad» står på det utdelte
arket. Det som må kunne brukes eller utledes aktivt, er (i) tellingen av
$f$ for et gitt molekyl, (ii) de snudde formene $f = 2C_V/R$ og
$f = 2/(\gamma-1)$ , og (iii) utledningen av $C_P = C_V + R$ fra
energiregnskapet. Rottmann trenger du ikke her.
4. Hvor mange siffer? Fire gjennom kjeden. Med ett unntak som er verdt å
framheve: i $f = 2/(\gamma-1)$ deler du på en liten differanse, og der
trenger du alle sifrene $\gamma$ har. Rund aldri $\gamma$ før du er ferdig.
5. Hva sjekker du før du krysser av? (i) Er $f$ et heltall (3, 5, 6, 7)?
(ii) Er $C_P > C_V$ , og er differansen nøyaktig $8{,}314$ ? (iii) Ligger
$\gamma$ mellom 1 og $\tfrac53$ ? (iv) Ba oppgaven om $\Delta U$ ? Da er det
$C_V$ som gjelder, uansett prosess. (v) Ligger $C_V$ -verdien i nærheten av
$12{,}47$ , $20{,}79$ , $24{,}94$ eller $29{,}10\ \text{J/(mol}\cdot\text{K)}$ ?

📝Oppgave 7

Sjanger T3, flervalg i…

En ideell gass
har $C_V = 29{,}099\ \text{J/(mol}\cdot\text{K)}$ . Hva er $\gamma$ for gassen?

A $1{,}667$ · B $0{,}7778$ · C $1{,}286$ · D $1{,}400$ ·
E $1{,}800$ · F $0{,}7143$

Oppgi bare bokstavsvaret.

📝Oppgave 8

(Kvalitativ oppgave — figurlesing.) Se på trappekurven for $C_V(T)$ tidligere i
kapitlet.

a) Hvorfor stiger kurven i trinn og ikke jevnt?

b) Hvorfor kommer rotasjonstrinnet før vibrasjonstrinnet?

c) Kan kurven noen gang gå ned når temperaturen stiger? Begrunn.

📝Oppgave 9

(Kvalitativ oppgave.) Målinger på karbondioksid ved romtemperatur gir
$C_V \approx 28{,}5\ \text{J/(mol}\cdot\text{K)}$ , mens
ekvipartisjonsmodellen med $f = 5$ forutsier $20{,}79$ .

a) Hvor stort er avviket i prosent?

b) Hva er den fysiske forklaringen?

c) Hva forteller dette om hvordan du skal svare på et
eksamensspørsmål om $C_V$ for karbondioksid?

📝Oppgave 10

Eksamensnivå, sjanger…

En beholder inneholder
$1{,}00\,\text{mol}$ helium og $2{,}00\,\text{mol}$ nitrogengass, i termisk
likevekt ved romtemperatur.

a) Finn den effektive molare varmekapasiteten $C_V$ for blandingen, altså
varmekapasiteten per mol gass i beholderen.

b) Finn $C_P$ og $\gamma$ for blandingen.

c) Kontroller $\gamma$ med en uavhengig regnemåte.

d) Ligger $\gamma$ der du forventer? Begrunn med en grense-betraktning.

Typiske feil — og avrundingen som lander på nabo-alternativet

Å forbytte $C_V$ og $C_P$ (felle #8 — forbyttede varmekapasiteter eller feil

\gamma

). Regelen er kort: $\Delta U$ bruker ALLTID $C_V$ , uansett prosess.

C_P

hører bare der du regner varme ved konstant trykk. Bruker du

C_P

i et

\Delta U

-regnestykke, er svaret feil med nøyaktig

nR\Delta T

— altså med
arbeidet du feilaktig har regnet med.

Å bruke feil $\gamma$ . $\tfrac53 = 1{,}667$ hører til enatomig gass,
$\tfrac75 = 1{,}400$ til toatomig ved romtemperatur. Dette er den enkeltfeilen som
velter flest oppgaver i Del 7 og Del 8, fordi $\gamma$ står i en eksponent i
adiabatrelasjonen: en liten feil i $\gamma$ blir en stor feil i svaret. Skriv
alltid ned hvilken gass det er, og hvilken $f$ du har telt, før du bruker
$\gamma$ .

Å telle vibrasjon som én frihetsgrad (felle #9 — feil frihetsgradstelling).
Én vibrasjonsmode gir to: kinetisk energi i bevegelsen og potensiell energi i
bindingen, og begge er kvadratiske. Feilen gir $f = 6$ i stedet for 7, og dermed
$\gamma = \tfrac43$ i stedet for $\tfrac97$ .

Å telle vibrasjon med ved romtemperatur. Ved vanlige temperaturer er
vibrasjonen frosset ut. Standardsvaret for en toatomig gass er $f = 5$ , ikke 7 —
med mindre oppgaven eksplisitt sier at temperaturen er høy.

Å telle atomer i stedet for å se på formen. CO₂ har tre atomer men $f = 5$ ,
fordi molekylet er rett. H₂O har tre atomer og $f = 6$ , fordi det er bøyd. Det er
geometrien som avgjør hvor mange rotasjonsakser som finnes.

Å regne per molekyl der oppgaven spør per mol. $\tfrac12k_BT$ per
frihetsgrad per molekyl, $\tfrac12RT$ per frihetsgrad per mol. Feilen
gir en faktor $6\cdot10^{23}$ , og avsløres av tierpotensen.

Og avrundingsfellen (felle #16). Dette kapitlet har ett sted der avrunding
faktisk avgjør svaret: $f = 2/(\gamma-1)$ , der nevneren er en liten differanse
mellom to tall nær hverandre. Runder du $\gamma = 1{,}29$ til $1{,}3$ , går $f$
fra $6{,}897$ til $6{,}667$ — nok til å velge feil heltall. Regelen: rund aldri
$\gamma$ før sluttsvaret. Det samme gjelder når du går motsatt vei og
$\gamma$ -verdien skal brukes i en eksponent i Del 7: bruk $1{,}4000$ , ikke
$1{,}4$ , hvis oppgavens alternativer ligger tett.

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard- og repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har
lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder
kjernestoffet.

Enatomig gass — talloversikt

f = 3, \quad C_V = \tfrac32R = 12{,}471, \quad C_P = \tfrac52R = 20{,}785, \quad \gamma = \tfrac53 = 1{,}6667,

Toatomig gass ved romtemperatur — talloversikt

f = 5, \quad C_V = \tfrac52R = 20{,}785, \quad C_P = \tfrac72R = 29{,}099, \quad \gamma = \tfrac75 = 1{,}4000,

Toatomig gass ved høy temperatur — talloversikt

f = 7, \quad C_V = \tfrac72R = 29{,}099, \quad C_P = \tfrac92R = 37{,}413, \quad \gamma = \tfrac97 = 1{,}2857.

Lineært mot ikke-lineært molekyl

f = 5

Baklengs-formlene

f = \frac{2C_V}{R} \qquad \text{og} \qquad f = \frac{2}{\gamma - 1}.

Per mol eller per molekyl — ekvipartisjon i to former

\tfrac12k_BT \ \text{per frihetsgrad per } \textbf{molekyl}, \qquad \tfrac12RT \ \text{per frihetsgrad per } \textbf{mol}.

Spesifikk varmekapasitet

c = \frac{C}{M}, \qquad Q = mc\,\Delta T,

Karakteristiske temperaturer (kjenne til)

k_BT \approx \Delta E_\text{nivå}

Sjanger T3 — ekvipartisjonsoppgaven

C_V

Felle #8 — forbyttede varmekapasiteter og feil

\gamma

C_P

Felle #9 — feil telling av frihetsgrader

f = 5

\gamma

: adiabateksponent eller dempingskoeffisient?

\gamma = C_P/C_V = (f+2)/f

Når ekvipartisjonsmodellen ikke stemmer

C_V \approx 28{,}5\ \text{J/(mol}\cdot\text{K)}

Tabellen du bør ha i hodet

f

$f$	$C_V$	$C_P$	$\gamma$	Gass
3	$12{,}47$	$20{,}79$	$1{,}667$	He, Ar, Ne
5	$20{,}79$	$29{,}10$	$1{,}400$	N₂, O₂, CO₂, luft
6	$24{,}94$	$33{,}26$	$1{,}333$	H₂O-damp, CH₄
7	$29{,}10$	$37{,}41$	$1{,}286$	toatomig, høy temperatur

Ekstensiv og intensiv størrelse

U

Luft — bokas standardgass

f = 5, \quad C_V = 20{,}785, \quad C_P = 29{,}099, \quad \gamma = 1{,}4000 = \tfrac75,

Symbol- og formelliste

Repetisjonsoppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.

6.2 Ekvipartisjon, frihetsgrader og varmekapasitet ($C_V$, $C_P$, $\gamma$)

Forkunnskaper — sist du var her

Løkke 1 — ekvipartisjonsprinsippet og hva en frihetsgrad er (~14 min)

Tellingen, i den rekkefølgen du skal gjøre den

Løkke 2 — fra frihetsgrader til UUU, CVC_VCV​, CPC_PCP​ og γ\gammaγ (~16 min)

Utledningen som kreves aktivt: CP=CV+RC_P = C_V + RCP​=CV​+R

Løkke 3 — baklengs, og hvorfor vibrasjon er «frosset ut» (~16 min)

Rask vei til tall (MC-oppskrift)

Begrepsbank

Løkke 2 — fra frihetsgrader til $U$ , $C_V$ , $C_P$ og $\gamma$ (~16 min)

Utledningen som kreves aktivt: $C_P = C_V + R$