6.3 Drill: gasslov, $v_\text{rms}$ og frihetsgrader (sjanger T1–T3)

Sjangerdrill: gasslov (kelvin!), molekyltall, $v_\text{rms}$ og telling av frihetsgrader → $C_V/C_P/\gamma$, raskt mot tallsvar.

80 min

14 oppgaver

Drillgasslov$v_\text{rms}$frihetsgrader (sjanger T1–T3)

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

6.2Ekvipartisjon, frihetsgrader og varmekapasitet ($C_V$, $C_P$, $\gamma$)

Brukes videre i

6.PPrøver til del 6: Gasslover, kinetisk teori og ekvipartisjon

Dette er treningsbanken for hele Del 6. Kapitlet har ingen ny teori — det har
én oppskrift og fjorten oppgaver på eksamensnivå, som roterer de tre sjangrene fra
kap. 6.1 og kap. 6.2:

- Sjanger T1 — gasslov og molekyltall (finn den ukjente av trykk, volum,
temperatur, stoffmengde, eller antall molekyler): praktisk talt alle sett
(~100 %).
- Sjanger T2 — kinetisk gassteori ( $v_\text{rms}$ og sammenligning av
gasser): om lag 8 av 10 sett (~80 %).
- Sjanger T3 — ekvipartisjon og frihetsgrader (tell $f$ , finn $C_V$ , $C_P$ ,
$\gamma$ , eller gå baklengs): om lag 9 av 10 sett (~90 %).

Alle tre hører i termohalvdelen, spørsmål 21–40. Til sammen dekker de tre
sjangrene typisk fire til seks av de tjue spørsmålene i den halvdelen — altså
mellom en tiendedel og en åttendedel av hele karakteren. Prioritet: høyeste —
dette må sitte.

Fem av de fjorten oppgavene er i eksamensformat med seks alternativer A–F, der
du bare skal oppgi bokstavsvaret. Det er med vilje: å eliminere blant seks tette
tall er en annen ferdighet enn å regne ut ett svar, og den må trenes for seg.

Kapitlet er anslått til 80 minutter og er laget for å deles: oppskriften og
det gjennomregnede eksempelet tar om lag 20 minutter, og deretter er det tre
oppgavebolker på 20 minutter hver. Pausepunktene er merket.

Forkunnskaper — sist du var her

Alt du trenger står i kap. 6.1 og
kap. 6.2. Her er hele verktøykassa samlet på én skjerm,
slik at du kan lukke den og prøve deg først.

Gassloven og molekyltallet:
$pV = nRT, \qquad pV = Nk_BT, \qquad N = \frac{pV}{k_BT}, \qquad \frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2}$

Broene mellom masse, mol og molekyler:
$n = \frac{m}{M}, \qquad N = nN_A, \qquad R = N_Ak_B, \qquad m_\text{molekyl} = \frac{M}{N_A}$

Kinetisk gassteori:
$p = \frac13\frac{N}{V}m\langle v^2\rangle, \qquad \langle E_k\rangle = \tfrac32k_BT, \qquad v_\text{rms} = \sqrt{\frac{3k_BT}{m}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$

Ekvipartisjon og varmekapasiteter:
$U = \frac{f}{2}nRT, \qquad \Delta U = nC_V\Delta T, \qquad C_V = \frac{f}{2}R, \qquad C_P = C_V + R, \qquad \gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{f+2}{f}$
$f = \frac{2C_V}{R}, \qquad f = \frac{2}{\gamma-1}$

Konstantene, som alle står på det utdelte arket:
$R = 8{,}314\ \text{J/(mol}\cdot\text{K)}, \qquad k_B = 1{,}381\cdot10^{-23}\ \text{J/K}, \qquad N_A = 6{,}022\cdot10^{23}\ \text{mol}^{-1}$

Tabellen for frihetsgrader: $f = 3$ enatomig, $f = 5$ lineært,
$f = 6$ ikke-lineært, $+2$ per aktiv vibrasjonsmode. Verdiene:
$C_V = 12{,}47$ , $20{,}79$ , $24{,}94$ , $29{,}10$ og
$\gamma = 1{,}667$ , $1{,}400$ , $1{,}333$ , $1{,}286$ .

⚠ Symbolvarsel gjennom hele kapitlet. $T$ er temperatur i kelvin (ikke
periode), $p$ er trykk (ikke bevegelsesmengde), $R$ er gasskonstanten
(ikke radius), $\gamma$ er adiabateksponenten og er dimensjonsløs (ikke
dempingskoeffisienten fra kap. 5.2, som har enheten
$\text{s}^{-1}$ ). Boltzmanns konstant skrives alltid $k_B$ , aldri $k$ .

📜Løsningsoppskriften for sjanger T1–T3

Fire trinn, i denne rekkefølgen. De dekker alle fjorten oppgavene i kapitlet.

Trinn 0 — enhetslinja (12 sekunder, redder flest poeng). Skriv om ALLE
oppgitte størrelser til SI, på én linje, før du velger formel:
liter $\times 10^{-3}$ , milliliter $\times 10^{-6}$ , bar $\times 10^{5}$ ,
atm $\times 1{,}013\cdot10^{5}$ , gram $\times 10^{-3}$ , og celsius $+\,273{,}15$
til kelvin.

Trinn 1 — gasslov. Spør oppgaven om trykk, volum, temperatur eller
stoffmengde? Løs $pV = nRT$ for den ukjente. Går tilstanden fra én til en annen
med samme gassmengde? Bruk forholdsformen $p_1V_1/T_1 = p_2V_2/T_2$ og stryk
det som er konstant — da slipper du å regne $n$ i det hele tatt.

Trinn 2 — molekyltall. Spør oppgaven om antall molekyler? Bruk
$N = pV/(k_BT)$ . Om partikkeltetthet? $N/V = p/(k_BT)$ . Per mol → $R$ , per
molekyl → $k_B$ .

Trinn 3 — rotmiddelkvadratfart. $v_\text{rms} = \sqrt{3RT/M}$ med $M$ i
kg/mol. Regn $3RT$ én gang og gjenbruk det for alle gassene i oppgaven.
Sammenligner du to gasser ved samme temperatur, er forholdet bare
$\sqrt{M_2/M_1}$ — ingen grunn til å regne begge.

Trinn 4 — frihetsgrader. Tell $f$ (3 enatomig, 5 lineært, 6 ikke-lineært,
$+2$ per aktiv vibrasjonsmode), og les av
$C_V = \tfrac{f}{2}R$ , $C_P = C_V + R$ , $\gamma = (f+2)/f$ ,
$U = \tfrac{f}{2}nRT$ , $\Delta U = nC_V\Delta T$ . Er en verdi oppgitt i stedet,
snu: $f = 2C_V/R$ eller $f = 2/(\gamma-1)$ .

Sluttsjekken, fem spørsmål: (i) er alle temperaturer i kelvin? (ii) er
volumet i $\text{m}^3$ og massen i kg? (iii) ba oppgaven om mol eller molekyler?
(iv) er $f$ et heltall, er $C_P > C_V$ med differansen $8{,}314$ , og ligger
$\gamma$ mellom 1 og $\tfrac53$ ? (v) har svaret riktig enhet og rimelig
tierpotens?

✏️Eksempel: en full MC-klynge, med margnotater

Dette er formen fire koblede flervalgsspørsmål ofte har i termohalvdelen: samme
gass, fire spørsmål, hvert med sine egne tette alternativer.

En stiv beholder på $25{,}0\,\text{L}$ inneholder nitrogengass ved
$4{,}00\,\text{bar}$ og $22{,}0\,^\circ\text{C}$ .

a) Hvor mange mol gass er det?

b) Hvor mange molekyler?

c) Hva er $v_\text{rms}$ ?

d) Hva er den indre energien?

Trinn 0 — enhetslinja. Gjør alt om først, og skriv det ned:

V = 0{,}0250\,\text{m}^3, \qquad p = 4{,}00\cdot10^{5}\,\text{Pa}, \qquad T = 22{,}0 + 273{,}15 = 295{,}15\,\text{K}.

Margnotat: dette er trinnet som avgjør flest av de fire spørsmålene under.
Bruker du $22{,}0$ i stedet for $295{,}15$ , blir alle fire svarene feil, og
alle fire gale svarene står på alternativlistene.

a) Én lov: $pV = nRT$ . Én regnelinje:
$n = \frac{pV}{RT} = \frac{4{,}00\cdot10^{5} \cdot 0{,}0250}{8{,}314 \cdot 295{,}15} = \frac{10000}{2453{,}88}\,\text{mol} = 4{,}0752\,\text{mol} \approx 4{,}08\,\text{mol}.$

Margnotat: her faller poenget på enhetslinja, ikke på formelen.
Celsius-fella gir $54{,}67$ mol — over tretten ganger for mye, og det svaret er
alltid med blant alternativene. Verdier fra arket: bare $R$ .
Behold fire siffer; med to ( $4{,}08$ ) treffer du et nabo-alternativ når
alternativene ligger på $1{,}58$ / $1{,}62$ / $1{,}66$ .

b) Oppgaven ber om molekyler, altså $k_B$ og ikke $R$ :
$N = \frac{pV}{k_BT} = \frac{10000}{1{,}381\cdot10^{-23} \cdot 295{,}15} = 2{,}4534\cdot10^{24}.$
Kontroll: $nN_A = 4{,}0752 \cdot 6{,}022\cdot10^{23} = 2{,}4541\cdot10^{24}$ ✔ (avviket i
fjerde siffer er avrundingen i $k_B$ ).

Margnotat: det ene stedet folk mister dette poenget, er å svare med
stoffmengden fra a). Les hva som spørres om — «hvor mange molekyler» mot
«hvor mange mol» er hele forskjellen, og de to tallene skiller seg med 23
tierpotenser.

c) Én lov: $v_\text{rms} = \sqrt{3RT/M}$ . Nitrogen har
$M = 0{,}02801\,\text{kg/mol}$ :
$3RT = 3 \cdot 8{,}314 \cdot 295{,}15 = 7361{,}63\,\text{J/mol}, \qquad v_\text{rms} = \sqrt{\frac{7361{,}63}{0{,}02801}}\,\text{m/s} = 512{,}66\,\text{m/s}.$

Margnotat: to feller. Setter du inn $M$ i gram per mol, blir svaret
$\sqrt{1000} \approx 31{,}6$ ganger for lite — altså rundt $16\,\text{m/s}$ ,
som du bør kjenne igjen som absurd for en gass. Og glemmer du faktoren 3,
får du $295{,}99\,\text{m/s}$ , som ser helt rimelig ut. Behold tre siffer
i sluttsvaret, og sjekk at tallet ligger i hundrevis av m/s.

d) Nitrogen er toatomig, $f = 5$ , altså $U = \tfrac52nRT$ :
$U = 2{,}5 \cdot 4{,}0752 \cdot 8{,}314 \cdot 295{,}15\,\text{J} = 25000{,}0\,\text{J} \approx 25{,}0\,\text{kJ}.$
Kontroll: $U = nC_VT = 4{,}0752 \cdot 20{,}785 \cdot 295{,}15 = 25000{,}0\,\text{J}$ ✔

Margnotat: her ligger felle #9. Bruker du $\tfrac32$ (enatomig), får du
$15000{,}0\,\text{J}$ — altså 40 prosent for lite, og nettopp den verdien står
typisk som nabo-alternativ. Skriv ned hvilken gass det er og hvilken $f$ du
har telt, før du regner. Verdier fra arket: $R$ og $C_V$ -verdien for en
toatomig gass.

Samlet tid: fire spørsmål på under fire minutter når enhetslinja er skrevet
først. Det er tempoet eksamen krever — om lag seks minutter per spørsmål, og de
enkle må gå raskere enn det for å gi rom til de tunge.

Bolk 1 — gasslov og molekyltall (oppgave 1–4, ~20 min)

De fire første oppgavene er sjanger T1 i sine fire vanligste varianter: finn
stoffmengden, endre én tilstandsvariabel, endre to, og finn antall molekyler.

📝Oppgave 1

Sjanger T1, flervalg i…

En beholder på
$12{,}0\,\text{L}$ inneholder en ideell gass ved $3{,}20\cdot10^{5}\,\text{Pa}$ og
$15{,}0\,^\circ\text{C}$ . Hvor mange mol gass er det?

A $30{,}79$ · B $1{,}603\cdot10^{-5}$ · C $1{,}603$ · D $1602{,}9$ ·
E $0{,}6239$ · F $1{,}603\cdot10^{-3}$

Oppgi bare bokstavsvaret.

📝Oppgave 2

Sjanger T1

En stiv gassbeholder har trykket $2{,}20\cdot10^{5}\,\text{Pa}$ ved
$280\,\text{K}$ .

a) Hva blir trykket når temperaturen heves til $350\,\text{K}$ ?

b) Ved hvilken temperatur er trykket det dobbelte av starttrykket?

📝Oppgave 3

Sjanger T1, to…

En gassmengde har trykket $1{,}00\cdot10^{5}\,\text{Pa}$ ,
volumet $2{,}00\,\text{L}$ og temperaturen $300\,\text{K}$ . Den komprimeres
til $1{,}20\,\text{L}$ samtidig som temperaturen heves til $450\,\text{K}$ .

a) Finn det nye trykket.

b) Hvor mye av trykkøkningen skyldes kompresjonen, og hvor mye
oppvarmingen?

📝Oppgave 4

Sjanger T1,…

En ampulle på $0{,}250\,\text{mL}$ inneholder
gass ved $1{,}50\cdot10^{5}\,\text{Pa}$ og $320\,\text{K}$ .

a) Hvor mange molekyler er det i ampullen?

b) Hvor mange mol?

c) Hva er partikkeltettheten, og hvordan sammenligner den seg med luft ved
atmosfæretrykk (om lag $2{,}5\cdot10^{25}\,\text{m}^{-3}$ )?

— naturlig pausepunkt —

Bolk 2 — kinetisk gassteori (oppgave 5–7, ~20 min)

Nå går vi fra tilstandsstørrelser til molekylene selv. Kjerneferdigheten er å
holde de to setningene atskilt: midlere kinetisk energi avhenger bare av
temperaturen, mens farten også avhenger av massen.

📝Oppgave 5

Sjanger T2

Karbondioksid har molar masse
$44{,}01\,\text{g/mol}$ .

a) Finn $v_\text{rms}$ ved $400\,\text{K}$ .

b) Finn den midlere kinetiske energien per molekyl ved samme temperatur.

c) Hvilken av de to svarene ville endret seg om gassen var helium i stedet?

📝Oppgave 6

Sjanger T2, flervalg i…

Helium ( $M = 4{,}003\,\text{g/mol}$ )
og argon ( $M = 39{,}95\,\text{g/mol}$ ) er i samme beholder ved samme temperatur.
Hvor mange ganger større er $v_\text{rms}$ for helium enn for argon?

A $9{,}980$ · B $0{,}3165$ · C $1{,}00$ · D $31{,}53$ ·
E $3{,}159$ · F $99{,}60$

Oppgi bare bokstavsvaret.

📝Oppgave 7

Sjanger T2

En blanding av hydrogengass ( $M = 2{,}016\,\text{g/mol}$ ) og
oksygengass ( $M = 32{,}00\,\text{g/mol}$ ) holder $500\,\text{K}$ .

a) Finn $v_\text{rms}$ for hver av de to.

b) Finn den midlere kinetiske energien per molekyl.

c) Kontroller b) direkte for hydrogen, ved å regne $\tfrac12mv^2$ for ett
molekyl.

d) Hvor mye må oksygengassen varmes for å nå hydrogenets fart ved
$500\,\text{K}$ ?

— naturlig pausepunkt —

Bolk 3 — frihetsgrader og varmekapasiteter (oppgave 8–14, ~35 min)

Siste bolk er sjanger T3, med de tre variantene: telling, framlengs til $C_V$ ,
$C_P$ og $\gamma$ , og baklengs fra en målt verdi. Den siste oppgaven kobler alle
tre sjangrene i én, slik en full MC-klynge gjør.

📝Oppgave 8

Sjanger T3

Oppgi antall frihetsgrader ved
romtemperatur:

a) neon (Ne)

b) hydrogenklorid (HCl, toatomig)

c) svoveldioksid (SO₂, som er bøyd)

d) dinitrogenoksid (N₂O, som er rett)

e) hydrogengass ved noen tusen kelvin, der vibrasjonen er aktiv

📝Oppgave 9

Sjanger T3, flervalg i…

En ideell gass består av bøyde
treatomige molekyler, og vibrasjonene er frosset ut. Hva er $\gamma$ ?

A $1{,}4000$ · B $1{,}3333$ · C $1{,}6667$ · D $1{,}2857$ ·
E $0{,}75000$ · F $1{,}2222$

Oppgi bare bokstavsvaret.

📝Oppgave 10

Sjanger T3, baklengs

En ideell gass har målt
$C_V = 24{,}9\ \text{J/(mol}\cdot\text{K)}$ .

a) Finn antall frihetsgrader.

b) Finn $C_P$ og $\gamma$ .

c) Hva slags molekyl er det sannsynligvis, og hva forteller det om
temperaturen?

📝Oppgave 11

Sjanger T3, baklengs…

En gass har
målt $\gamma = 1{,}2857$ . Hvor mange frihetsgrader har molekylet?

A $3$ · B $4$ · C $5$ · D $6$ · E $8$ · F $7$

Oppgi bare bokstavsvaret.

📝Oppgave 12

Sjanger T3

1{,}75\,\text{mol}

oksygengass holder

340\,\text{K}

a) Finn den indre energien.

b) Gassen kjøles $55{,}0\,\text{K}$ . Finn $\Delta U$ .

c) Hvor mye varme må fjernes hvis avkjølingen skjer ved fast volum? Og ved
fast trykk?

📝Oppgave 13

Sjanger T3

2{,}20\,\text{mol}

argon varmes

35{,}0\,\text{K}

a) Hvor mye varme trengs ved fast volum, og ved fast trykk?

b) Hvor mye arbeid gjør gassen i det isobare tilfellet?

c) Sett opp energiregnskapet for det isobare tilfellet og vis at det stemmer.

📝Oppgave 14

Eksamensnivå

En stiv beholder på
$30{,}0\,\text{L}$ inneholder $0{,}500\,\text{kg}$ nitrogengass
( $M = 28{,}01\,\text{g/mol}$ ) ved $310\,\text{K}$ .

a) Finn stoffmengden og trykket.

b) Finn antall molekyler.

c) Finn $v_\text{rms}$ og den midlere kinetiske energien per molekyl.

d) Finn den indre energien.

e) Hva er $\gamma$ for gassen?

A $1{,}6667$ · B $0{,}71429$ · C $1{,}3333$ · D $1{,}4000$ ·
E $1{,}2222$ · F $1{,}2857$

Oppgi bokstavsvaret i e).

Typiske feil i drillen — og avrundingen som lander på nabo-alternativet

De fem som faktisk koster poeng i denne bolken, i rekkefølge etter hvor ofte de
skjer:

1. Celsius i stedet for kelvin (felle #11 — kelvin- og enhetsslurv). Skriv
kelvinverdien som egen linje før du setter inn noe. Fella rammer alle tre
sjangrene her.
2. $R$ der $k_B$ hører, eller omvendt. Per mol → $R$ , per molekyl → $k_B$ .
Feilen er en faktor $6\cdot10^{23}$ og avsløres av tierpotensen — hvis du
sjekker den.
3. Liter mot kubikkmeter, gram mot kilogram. Faktoren er 1000 i volum og
stoffmengde, og $\sqrt{1000} \approx 31{,}6$ i $v_\text{rms}$ .
4. $C_V$ mot $C_P$ , og feil $\gamma$ (felle #8). $\Delta U$ bruker alltid
$C_V$ . Og $\tfrac53$ mot $\tfrac75$ er den enkeltverdien som velter flest
oppgaver i Del 7 og Del 8.
5. Feil frihetsgradstelling (felle #9). Vibrasjon gir to per mode, og er
frosset ut ved romtemperatur. CO₂ og N₂O har $f = 5$ fordi de er rette,
ikke $f = 6$ .

Avrundingsfellen, konkret i dette kapitlet (felle #16 — for få siffer gjennom
kjeden). To steder er farlige, og de er farlige på ulikt vis:

- $f = 2/(\gamma-1)$ : nevneren er en liten differanse. $\gamma = 1{,}2857$ gir
$f = 7{,}0004$ ; runder du til $1{,}29$ får du $6{,}897$ , og til $1{,}3$ får du
$6{,}667$ — som ligger nærmere 6 enn 7. Behold alle sifrene i $\gamma$ .
- Forholdsformen ved liten temperaturendring: når $T_2/T_1$ ligger nær 1, er
den relative feilen i forholdet svært følsom for avrunding i kelvinverdiene.
Skriv temperaturene med to desimaler ( $295{,}15\,\text{K}$ , ikke $295$ ).

Og en felle som er særegen for flervalgsformatet: å regne riktig og krysse av
for feil størrelse. Oppgaven spør om molekyler, du har regnet mol; den spør om
$\gamma$ , du har regnet $C_P$ ; den spør om hele svingninger, du har regnet et
desimaltall. Les spørsmålet på nytt før du krysser av. På et sett uten delpoeng er
det den billigste kvalitetssikringen som finnes.

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard- og repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har
lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder
kjernestoffet. Drillkapitler har liten begrepsbank med vilje: de er
treningsbanker, ikke begrepsbanker.

Enhetslinja

\text{L} \to \times 10^{-3}\,\text{m}^3, \quad \text{mL, cm}^3 \to \times 10^{-6}\,\text{m}^3, \quad \text{bar} \to \times 10^{5}\,\text{Pa},

Oppskrift sjanger T1 — gasslov og molekyltall

p_1V_1/T_1 = p_2V_2/T_2

Oppskrift sjanger T2 — kinetisk gassteori

3RT

Oppskrift sjanger T3 — frihetsgrader

f

Størrelsesordenene som er dine rimelighetssjekker

24{,}5\ \text{L/mol}

Snarveiene i forholdsformen

\text{fast } V: \ \frac{p_2}{p_1} = \frac{T_2}{T_1}, \qquad \text{fast } p: \ \frac{V_2}{V_1} = \frac{T_2}{T_1}, \qquad \text{fast } T: \ p_1V_1 = p_2V_2

Eliminasjon med seks alternativer

\gamma

De fem tallgruppene som avgjør termohalvdelen

R = 8{,}314\ \text{J/(mol}\cdot\text{K)}

Symbol- og formelliste

Repetisjonsoppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.