10.3 Drill: van der Waals, fasediagram og Clausius–Clapeyron (sjanger T11–T13)

Sjangerdrill: kritisk punkt fra $a$/$b$, fasediagram-avlesning, damptrykk fra kokepunkt og termisk utvidelse — raskt mot tallsvar.

75 min

14 oppgaver

Drillvan der WaalsfasediagramClausius–Clapeyron (sjanger T11–T13)

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

10.2Clausius–Clapeyron, damptrykk og termisk utvidelse

Brukes videre i

10.PPrøver til del 10: Faseoverganger og reelle gasser

Dette kapitlet driller tre sjangre samtidig. Sjanger T11 — van der Waals og fasediagram, altså den tette gassen og kartet over faser — kommer i rundt seks av ti sett når du regner fasediagram-varianten med (~60 %), og i om lag halvparten for van der Waals-regningen (~50 %). Sjanger T12 — damptrykk og Clausius–Clapeyron kommer i om lag fire av ti sett (~40 %). Sjanger T13 — termisk utvidelse i rundt tre av ti (~30 %). Alle tre bor i termofysikkhalvdelen, spørsmål 21–40. Prioritet: bør sitte.

Til sammen er det altså gode odds for at minst én av de tre dukker opp i settet ditt — og de er blant de raskeste poengene som finnes, hvis oppskriften sitter.

Dette kapitlet har ingen ny teori. Alt står i kap. 10.1 og kap. 10.2. Her trener du én ting: å gjenkjenne hvilken av de fire oppskriftene som gjelder, og kjøre den til bunns uten å nøle.

Fem oppgaver er skrevet i eksamensformat med seks alternativer A–F, resten i åpen form. Merk forskjellen: den interaktive quizen har fire alternativer fordi det er formatet plattformen bruker, mens eksamen har fem eller seks. Med seks alternativer er ren gjetting verdt om lag $17$ prosent, ikke $25$ .

⚠ Regelen som skifter midt i dette kapitlet

I van der Waals-, fasediagram- og damptrykksoppgavene står $T$ alene, og kelvin er ufravikelig. I utvidelsesoppgavene står temperaturen bare i en differanse $\Delta T$ , og celsius er trygt. Den sikre rutinen er å skrive om alt til kelvin uansett — det koster ingenting, og du kan ikke ta feil.

⚠ Symbolvarsel

$p$ er trykk, ikke bevegelsesmengde. $T$ er temperatur, ikke svingetid. $R$ er gasskonstanten $8{,}314\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}$ , ikke radius og ikke termisk motstand. $a$ og $b$ er van der Waals-konstanter ( $\text{Pa}\cdot\text{m}^6/\text{mol}^2$ og $\text{m}^3/\text{mol}$ ), ikke akselerasjon og ikke Wien-konstanten. $\alpha$ og $\beta$ er utvidelseskoeffisienter i $\text{K}^{-1}$ — har størrelsen enhet $\text{K}^{-1}$ , er det en utvidelseskoeffisient. $l$ (liten) er molar latent varme i $\text{J/mol}$ ; $L$ (stor) er lengde her, og spesifikk latent varme i $\text{J/kg}$ der den opptrer.

Forkunnskaper — sist du var her

Alt du trenger står i kap. 10.1 og kap. 10.2. Her er verktøykassa samlet på én skjerm, slik at du kan lukke den og prøve deg først:

Reelle gasser og det kritiske punktet:
$p = \frac{nRT}{V-nb} - \frac{an^2}{V^2}, \qquad V_c = 3nb, \qquad p_c = \frac{a}{27b^2}, \qquad T_c = \frac{8a}{27Rb}$

$Z_c = \frac{p_cV_c}{nRT_c} = \frac{3}{8} = 0{,}375, \qquad b = \frac{RT_c}{8p_c}, \qquad a = 27b^2p_c$

Fasediagram: trippelpunktet er der tre linjer møtes (ingen væske under $p_t$ ); det kritiske punktet er der damptrykkslinjen slutter (ingen væske over $T_c$ ).

Damptrykk:
$\frac{dp}{dT} = \frac{l}{T\,\Delta V} = \frac{l\,p}{RT^2}, \qquad p = p_0\exp\left[-\frac{l}{R}\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_0}\right)\right], \qquad \frac{1}{T} = \frac{1}{T_0}-\frac{R}{l}\ln\frac{p}{p_0}$

Termisk utvidelse:
$\Delta L = \alpha L\,\Delta T, \qquad \Delta V = \beta V\,\Delta T, \qquad \beta \approx 3\alpha, \qquad \Delta V_\text{overløp} = (\beta_\text{væske}-\beta_\text{beholder})V\,\Delta T$

Strømmende medium:
$P = c\rho\dot{V}\,\Delta T, \qquad c\rho(\text{vann}) = 4{,}186\cdot10^{6}\,\text{J/(m}^3\cdot\text{K)}$

Konstanter: $R = 8{,}314\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}$ . Materialverdier ( $a$ , $b$ , $l$ , $\alpha$ , $\beta$ ) oppgis alltid i oppgaveteksten.

Omregninger som må gjøres FØRST:

Fra	Til	Gang med
L	$\text{m}^3$	$10^{-3}$
$\text{cm}^3$	$\text{m}^3$	$10^{-6}$
$^\circ\text{C}$	K (absolutt)	legg til $273{,}15$
kJ/mol	J/mol	$10^{3}$
MPa	Pa	$10^{6}$

Behold fire gjeldende siffer gjennom hele kjeden — og fem i parentesen $1/T - 1/T_0$ , som er en differanse mellom to nesten like tall.

📜Løsningsoppskrift — rask vei til tall (MC-oppskrift) i fire spor

Dette er algoritmen du skal kjøre uten å tenke, fra oppgitte tall til bokstavsvar.

Steg 0 — hvilket spor? Se etter nøkkelordene:

Ser du …	Spor	Første grep
« $a$ og $b$ », «kritisk punkt», «reell gass», «van der Waals»	1	tre innsettinger, så $Z_c$ -kontroll
«fasediagram», «trippelpunkt», «sublimerer», «hvilken fase»	2	plasser punktet, ikke regn
«damptrykk», «koker ved», «fordampningsvarme», «høyde over havet»	3	kelvin, så eksponentialen
«hvor mye lengre», «skinne», «renner over», «utvidelseskoeffisient»	4	$\Delta T$ som differanse, én multiplikasjon

Steg 1 — enheter, før noe annet. Volum til

\text{m}^3

, trykk til Pa, temperatur til K (unntatt i rene

\Delta T

), energi til J.
Spor 1 — van der Waals.
1. Trykk fra

(n, V, T)

p = \dfrac{nRT}{V-nb} - \dfrac{an^2}{V^2}

, to ledd hver for seg. Husk

n

i det første og

n^2

i det andre.
2. Kritisk punkt fra

(a,b)

V_c = 3nb

, så

b^2

som eget mellomresultat, så

p_c = a/(27b^2)

, så

T_c = 8a/(27Rb)

.
3. Baklengs fra

(T_c, p_c)

b = RT_c/(8p_c)

, så

a = 27b^2p_c

4. Kontroll: $Z_c = p_cV_c/(nRT_c) = 0{,}375$ . Den ene testen fanger enhver ombytting av de tre formlene.

Spor 2 — fasediagram. Fire spørsmål, i denne rekkefølgen:

1. Er $p < p_t$ ? → ingen væske mulig; oppvarming gir sublimasjon.
2. Er $T > T_c$ ? → ingen væskefase; stoffet er gass eller overkritisk.
3. Ellers: hvilken side av linjene ligger punktet på?
4. Beveger oppgaven punktet? Tegn ferden som en rett linje og noter hvilke linjer den krysser.

Spor 3 — damptrykk.

1. Begge temperaturer til kelvin.
2. $l/R$ som eget mellomresultat (enhet kelvin).
3. $1/T - 1/T_0$ som eget mellomresultat, med fem siffer.
4. Eksponentialen. Spør oppgaven om temperaturen i stedet, bruk $1/T = 1/T_0 - (R/l)\ln(p/p_0)$ .

5. Fortegnskontroll: høyere temperatur skal gi høyere damptrykk.

Spor 4 — termisk utvidelse.
1. $\Delta T$ som differanse — celsius trygt.
2. Én, to eller tre dimensjoner? $\alpha$ , $2\alpha$ eller $\beta = 3\alpha$ .
3. Full beholder: bare differansen $(\beta_\text{væske}-\beta_\text{beholder})$ renner over.
4. Kontroll: svaret skal ligge i promille-området.

Steg 2 — sluttsjekk, fem ledd, hver gang. Enhet · tierpotens · fortegn · faktor ( $3$ ? $8$ ? $27$ ?) · kelvin.

✏️Gjennomregnet MC-case: fire spor i eksamenstempo — med margnotater

Fire flervalgsspørsmål av den typen som faktisk kommer, ett fra hvert spor. Løs dem på til sammen åtte minutter.

Spørsmål 1. En gass har $a = 0{,}1382\,\text{Pa}\cdot\text{m}^6/\text{mol}^2$ og $b = 3{,}186\cdot10^{-5}\,\text{m}^3/\text{mol}$ . Hva er den kritiske temperaturen?

A $19{,}32\,\text{K}$ · B $57{,}97\,\text{K}$ · C $154{,}6\,\text{K}$ · D $153{,}9\,\text{K}$ · E $95{,}58\,\text{K}$ · F $1285\,\text{K}$

Spørsmål 2. Vann har trippelpunkt ved $273{,}16\,\text{K}$ og $611{,}7\,\text{Pa}$ . En prøve holder $260\,\text{K}$ ved $300\,\text{Pa}$ og varmes langsomt ved konstant trykk. Hva skjer først?

A Isen smelter til vann · B Isen sublimerer til damp · C Vannet koker · D Ingenting, faseoverganger krever høyere trykk · E Prøven blir overkritisk · F Prøven fryser hardere

Spørsmål 3. Vann koker ved $100{,}0\,^\circ\text{C}$ ved $101{,}325\,\text{kPa}$ , med $l = 40{,}66\,\text{kJ/mol}$ . Hva er damptrykket ved $60{,}0\,^\circ\text{C}$ ?

A $2{,}834\,\text{kPa}$ · B $21{,}00\,\text{kPa}$ · C $21{,}19\,\text{kPa}$ · D $31{,}73\,\text{kPa}$ · E $210{,}0\,\text{kPa}$ · F $488{,}8\,\text{kPa}$

Spørsmål 4. En messingstang er $18{,}0\,\text{m}$ lang og varmes $55{,}0\,\text{K}$ . Messing har $\alpha = 19\cdot10^{-6}\,\text{K}^{-1}$ . Hvor mye lengre blir den?

A $1{,}045\,\text{mm}$ · B $6{,}270\,\text{mm}$ · C $18{,}81\,\text{mm}$ · D $56{,}43\,\text{mm}$ · E $188{,}1\,\text{mm}$ · F $0{,}3420\,\text{mm}$

Spørsmål 1 — svar C.

Margnotat: sporet er « $a$ og $b$ gitt, kritisk punkt spurt». Ingen enhetsomregning nødvendig — de er allerede i SI.
$T_c = \frac{8a}{27Rb} = \frac{8 \cdot 0{,}1382}{27 \cdot 8{,}314 \cdot 3{,}186\cdot10^{-5}} = \frac{1{,}1056}{7{,}1518\cdot10^{-3}} = 154{,}6\,\text{K}.$

Hvor poenget faller: på faktorene. $8$ i telleren, $27$ og $R$ i nevneren.

Fellene: $19{,}32\,\text{K}$ har glemt faktoren $8$ helt, altså regnet $a/(27Rb)$ . $57{,}97\,\text{K}$ er $3a/(27Rb)$ — faktoren $3$ hører til $V_c$ . $95{,}58\,\text{K}$ er tallverdien til $V_c = 3b$ i $\text{cm}^3/\text{mol}$ , altså riktig regning på feil størrelse. $1285\,\text{K}$ har glemt $R$ i nevneren. Og den tetteste: $153{,}9\,\text{K}$ er hva du får hvis du runder $b$ av til $3{,}2\cdot10^{-5}$ først — en halv prosent, og nok til å bomme.

Siffer å beholde: fire i $b$ , hele veien. Nabo-alternativet du lander på ved for tidlig avrunding: $153{,}9\,\text{K}$ .

Tid: 45 sekunder.

---

Spørsmål 2 — svar B.

Margnotat: dette sporet krever ingen regning i det hele tatt. Sammenlign trykket med trippeltrykket, og du er ferdig.

$300\,\text{Pa} < 611{,}7\,\text{Pa}$ , altså under trippeltrykket. Da finnes ingen væskefase ved noen temperatur, og oppvarming ved konstant trykk må krysse sublimasjonslinjen.

Fellene: smelting og koking forutsetter begge at det finnes en væskefase, altså at trykket er over $p_t$ . «Ingenting skjer» overser at sublimasjon er en fullverdig faseovergang. Overkritisk krever både $T > T_c$ og $p > p_c$ , og vi er milevis unna begge. Og å fryse hardere er ikke en faseovergang.

Tid: 20 sekunder. Dette er settets billigste poeng.

---

Spørsmål 3 — svar B.

Margnotat: kelvin FØRST, alltid, før noe annet i dette sporet.
$T = 333{,}15\,\text{K}, \qquad T_0 = 373{,}15\,\text{K},$
$\frac{1}{T}-\frac{1}{T_0} = 3{,}00165\cdot10^{-3} - 2{,}67989\cdot10^{-3} = 3{,}21763\cdot10^{-4}\,\text{K}^{-1},$
$\frac{l}{R} = 4890{,}5\,\text{K}, \qquad \text{eksponent} = -1{,}57359, \qquad p = 101{,}325 \cdot 0{,}207295 = 21{,}00\,\text{kPa}.$

Hvor poenget faller: i parentesen. De to reverstallene er like på to siffer, så du må ha med fem.

Fellene: $2{,}834\,\text{kPa}$ er damptrykket ved $20\,^\circ\text{C}$ , altså riktig metode på feil temperatur. $488{,}8\,\text{kPa}$ har snudd fortegnet i eksponenten — og gir høyere damptrykk ved lavere temperatur, som er umulig. $210{,}0\,\text{kPa}$ er riktig svar med én tierpotens for mye. $31{,}73\,\text{kPa}$ har lest av fordampningsvarmen som $30{,}00\,\text{kJ/mol}$ i stedet for $40{,}66$ . Og den tetteste: $21{,}19\,\text{kPa}$ har rundet de to reverstallene til tre siffer ( $3{,}00\cdot10^{-3}$ og $2{,}68\cdot10^{-3}$ ), slik at differansen ble $3{,}20\cdot10^{-4}$ i stedet for $3{,}21763\cdot10^{-4}$ — under én prosent, men nok til å treffe nabo-alternativet.

Siffer å beholde: fem i reverstallene. Nabo-alternativet: $21{,}19\,\text{kPa}$ .

Tid: 2 minutter. Dette er sporet som tar tid — planlegg for det.

---

Spørsmål 4 — svar C.

Margnotat: her er celsius trygt, siden bare $\Delta T$ inngår. Én multiplikasjon.
$\Delta L = \alpha L\,\Delta T = 19\cdot10^{-6} \cdot 18{,}0 \cdot 55{,}0\,\text{m} = 1{,}881\cdot10^{-2}\,\text{m} = 18{,}81\,\text{mm}.$

Hvor poenget faller: på $\alpha$ mot $\beta$ , og på tierpotensen.

Fellene: $56{,}43\,\text{mm}$ har brukt $\beta = 3\alpha$ i en lengdeformel — nøyaktig tre ganger for mye. $1{,}045\,\text{mm}$ har brukt $L = 1{,}00\,\text{m}$ i stedet for $18{,}0\,\text{m}$ . $188{,}1\,\text{mm}$ er én tierpotens for mye. $0{,}3420\,\text{mm}$ har glemt temperaturdifferansen, altså regnet med $\Delta T = 1{,}00\,\text{K}$ . $6{,}270\,\text{mm}$ har DELT på tre i stedet for å la $\alpha$ stå — altså brukt $\alpha/3$ .

Kontroll: relativ utvidelse er $\alpha\Delta T = 1{,}045\cdot10^{-3}$ , altså én promille — og én promille av $18$ meter er $18$ millimeter ✔.

Tid: 30 sekunder.

---

Fasit samlet: 1 C · 2 B · 3 B · 4 C. Til sammen brukte vi under fire minutter på fire spørsmål der budsjettet er seks minutter hver. Den sparte tiden går til kretsprosess-klyngen tidligere i termohalvdelen.

Økt 2 — van der Waals og det kritiske punktet (~25 min)

Fem oppgaver. Skriv alltid ned de to leddene i van der Waals-uttrykket hver for seg, og gjør $Z_c$ -kontrollen hver gang du har regnet et kritisk punkt. To av oppgavene er i eksamensformat A–F.

📝Oppgave 1

Sjanger T11

Etan har $a = 0{,}5562\,\text{Pa}\cdot\text{m}^6/\text{mol}^2$ og $b = 6{,}380\cdot10^{-5}\,\text{m}^3/\text{mol}$ . Hva er den kritiske temperaturen?

A $310{,}7\,\text{K}$ · B $116{,}5\,\text{K}$ · C $191{,}4\,\text{K}$ · D $2583\,\text{K}$ · E $38{,}84\,\text{K}$ · F $8389\,\text{K}$

📝Oppgave 2

Eksamensnivå, sjanger…

2{,}50

mol karbondioksid holdes i

1{,}50\,\text{L}

ved

320\,\text{K}

. For CO

_2

a = 0{,}3640\,\text{Pa}\cdot\text{m}^6/\text{mol}^2

b = 4{,}267\cdot10^{-5}\,\text{m}^3/\text{mol}

a) Finn trykket etter den ideelle gassloven og etter van der Waals.

b) Hvor mange prosent bommer den ideelle gassloven?

c) Hvilket av de to korreksjonsleddene dominerer, og hva ville skjedd om du hadde glemt $n^2$ i tiltrekningsleddet?

📝Oppgave 3

Sjanger T11, A–F-format

Samme etan som i oppgave 1, med $a = 0{,}5562$ og $b = 6{,}380\cdot10^{-5}$ i SI-enheter. Hva er det kritiske trykket?

A $15{,}18\,\text{MPa}$ · B $0{,}5623\,\text{MPa}$ · C $40{,}49\,\text{MPa}$ · D $5{,}061\,\text{MPa}$ · E $136{,}6\,\text{MPa}$ · F $5{,}109\,\text{MPa}$

📝Oppgave 4

Eksamensnivå, sjanger…

Metan har målt kritisk temperatur $190{,}6\,\text{K}$ og kritisk trykk $4{,}60\,\text{MPa}$ .

a) Finn van der Waals-konstantene $a$ og $b$ .

b) Finn det kritiske molarvolumet, og sammenlign med den målte verdien $99\,\text{cm}^3/\text{mol}$ .

c) Metan er hovedbestanddelen i naturgass. Kan naturgass transporteres som væske i en tank ved romtemperatur?

📝Oppgave 5

(Kvalitativ oppgave — konsept og rangering.) Fire gasser har disse kritiske temperaturene: helium $5{,}2\,\text{K}$ , nitrogen $126\,\text{K}$ , karbondioksid $304\,\text{K}$ , propan $370\,\text{K}$ .

a) Hvilke av dem kan finnes som væske i en trykkflaske ved romtemperatur ( $293\,\text{K}$ )?

b) Ranger de fire etter forventet størrelse på van der Waals-konstanten $a$ , og begrunn.

c) En student sier: «Helium har lav $T_c$ fordi heliumatomet er så lite.» Er det en god forklaring?

Økt 3 — fasediagrammet (~20 min)

— naturlig pausepunkt —

Fire oppgaver. Her regner du ikke — du plasserer et punkt. Rekkefølgen på spørsmålene er alltid den samme: er trykket under trippeltrykket? Er temperaturen over den kritiske? Og hvilke linjer krysser ferden?

📝Oppgave 6

Sjanger T11

Karbondioksid har trippelpunkt ved $216{,}6\,\text{K}$ og $518\,\text{kPa}$ , og kritisk punkt ved $304{,}1\,\text{K}$ og $7{,}38\,\text{MPa}$ . En prøve holder $250\,\text{K}$ ved $101{,}3\,\text{kPa}$ . Hvilken fase har den?

A Væske · B Gass · C Fast · D Overkritisk fluid · E Væske og damp i likevekt · F Fast og væske i likevekt

📝Oppgave 7

Eksamensnivå, sjanger…

Bruk fasediagrammet for vann over, med trippelpunkt ved $273{,}16\,\text{K}$ og $611{,}7\,\text{Pa}$ og kritisk punkt ved $647{,}1\,\text{K}$ og $22{,}06\,\text{MPa}$ .

a) En prøve i punkt D ligger på damptrykkslinjen. Hva betyr det fysisk, og hva skjer hvis du tilfører varme uten å endre trykket?

b) En prøve holder $500\,\text{K}$ ved $30{,}0\,\text{MPa}$ og kjøles til $300\,\text{K}$ ved konstant trykk. Hvilke faseoverganger passerer den?

c) En prøve holder $700\,\text{K}$ ved $30{,}0\,\text{MPa}$ og kjøles til $300\,\text{K}$ ved konstant trykk. Hvordan skiller den ferden seg fra b)?

📝Oppgave 8

Eksamensnivå, sjanger…

Et laboratorium skal lagre en biologisk prøve ved frysetørking. Vann har trippelpunkt ved $273{,}16\,\text{K}$ og $611{,}7\,\text{Pa}$ .

a) Prøven fryses til $250\,\text{K}$ . Hvilket krav må trykket i kammeret oppfylle for at isen skal sublimere?

b) Hva ville skjedd hvis kammertrykket i stedet var $10{,}0\,\text{kPa}$ ?

c) En kollega foreslår å pumpe kammeret til $611{,}7\,\text{Pa}$ nøyaktig, «akkurat på grensen». Hvorfor er det et dårlig valg?

📝Oppgave 9

(Kvalitativ oppgave — konsept.) Et fasediagram viser tre linjer.

a) Hvorfor slutter damptrykkslinjen i et kritisk punkt, mens smeltelinjen ikke gjør det?

b) Et stoff har trippelpunkt ved $216{,}6\,\text{K}$ og $518\,\text{kPa}$ , og smelter ved $195\,\text{K}$ ved $101{,}3\,\text{kPa}$ . Er det siste mulig? Forklar.

c) Hvordan ser du på et fasediagram om et stoff utvider seg eller trekker seg sammen når det fryser?

Økt 4 — damptrykk, utvidelse og koblede oppgaver (~30 min)

— naturlig pausepunkt —

Fem oppgaver. Kelvin i damptrykksoppgavene, differanse i utvidelsesoppgavene. To er i eksamensformat A–F, og den siste kobler tre spor i én klynge, slik eksamenssett gjerne gjør i termohalvdelen.

📝Oppgave 10

Eksamensnivå, sjanger…

Ammoniakk koker ved $-33{,}3\,^\circ\text{C}$ ved $101{,}325\,\text{kPa}$ og har molar fordampningsvarme $23{,}35\,\text{kJ/mol}$ .

a) Finn damptrykket ved $20{,}0\,^\circ\text{C}$ .

b) Hva forteller svaret om trykket i en ammoniakkflaske som står i romtemperatur?

c) Ammoniakk har kritisk temperatur $405{,}5\,\text{K}$ . Kan innholdet i flasken være flytende?

📝Oppgave 11

Sjanger T13

En stålskinne er $32{,}0\,\text{m}$ lang og gjennomgår en temperaturvariasjon på $48{,}0\,\text{K}$ over året. Stål har $\alpha = 12\cdot10^{-6}\,\text{K}^{-1}$ . Hvor stor må ekspansjonsspalten minst være?

A $1{,}536\,\text{mm}$ · B $0{,}5760\,\text{mm}$ · C $55{,}30\,\text{mm}$ · D $6{,}144\,\text{mm}$ · E $18{,}43\,\text{mm}$ · F $184{,}3\,\text{mm}$

📝Oppgave 12

Eksamensnivå, sjanger…

Vann koker ved $100{,}0\,^\circ\text{C}$ ved $101{,}325\,\text{kPa}$ , med $l = 40{,}66\,\text{kJ/mol}$ .

a) Ved hvilken temperatur koker vann når lufttrykket er $80{,}0\,\text{kPa}$ ?

b) Et matoppskriftsråd sier at koketiden må økes med rundt ti prosent per tusen meter høyde. Passer det med svaret i a), gitt at $80{,}0\,\text{kPa}$ svarer til om lag $2000$ meter?

c) Hvor mye må trykket økes over én atmosfære for at vann skal koke ved $110{,}0\,^\circ\text{C}$ ?

📝Oppgave 13

Sjanger T13, A–F-format

En stålbeholder på $2{,}00\,\text{L}$ ( $\alpha = 12\cdot10^{-6}\,\text{K}^{-1}$ ) fylles helt med kvikksølv ( $\beta = 1{,}80\cdot10^{-4}\,\text{K}^{-1}$ ) og varmes $40{,}0\,\text{K}$ . Hvor mye renner over?

A $2{,}880\,\text{mL}$ · B $17{,}28\,\text{mL}$ · C $11{,}52\,\text{mL}$ · D $14{,}40\,\text{mL}$ · E $13{,}44\,\text{mL}$ · F $0{,}9600\,\text{mL}$

📝Oppgave 14

Eksamensnivå, sjanger…

En industriprosess bruker etan som arbeidsmedium. Etan har $a = 0{,}5562\,\text{Pa}\cdot\text{m}^6/\text{mol}^2$ , $b = 6{,}380\cdot10^{-5}\,\text{m}^3/\text{mol}$ , koker ved $184{,}6\,\text{K}$ ved $101{,}325\,\text{kPa}$ og har molar fordampningsvarme $14{,}70\,\text{kJ/mol}$ .

a) Finn etanens kritiske temperatur og kritisk trykk, og kontroller med $Z_c$ .

b) Kan etan lagres flytende i en tank ved $290\,\text{K}$ ? Begrunn.

c) Finn damptrykket ved $250{,}0\,\text{K}$ .

d) Tanken er av stål ( $\alpha = 12\cdot10^{-6}\,\text{K}^{-1}$ ) med volum $5{,}00\,\text{m}^3$ ved $250\,\text{K}$ . Hvor mye vokser tankvolumet hvis den varmes til $290\,\text{K}$ ?

e) Vurder: er det forsvarlig å fylle tanken helt full med flytende etan ved $250\,\text{K}$ ?

Typiske feil — hele T11–T13-repertoaret, og de fire tallfellene

Å bytte om $a$ og $b$ (felle #11 i sin faseoverganger-variant).

a

retter trykket og har enheten

\text{Pa}\cdot\text{m}^6/\text{mol}^2

;

b

retter volumet og har enheten

\text{m}^3/\text{mol}

. Enhetene skiller dem entydig.

Å blande de tre kritiske formlene. Faktoren $8$ hører til $T_c$ , faktoren $3$ til $V_c$ , og $R$ står bare i $T_c$ . $Z_c$ -kontrollen fanger alle tre på én gang — den tar femten sekunder og er det beste enkeltgrepet i hele denne delen.

Å forveksle trippelpunkt og kritisk punkt. Trippelpunktet: tre linjer møtes, lavt trykk, nede til venstre, setter en nedre trykkgrense for væske. Kritisk punkt: én linje slutter, høyt trykk, oppe til høyre, setter en øvre temperaturgrense for væske.

Å tro at det finnes væske under trippeltrykket. Det gjør det ikke, ved noen temperatur.

Celsius i Clausius–Clapeyron. Temperaturen står alene i $1/T$ , altså i en eksponent, og feilen blir tierpotenser — ikke prosenter.

Men celsius i utvidelsesformlene er trygt. Der inngår bare $\Delta T$ .

Feil fortegn i damptrykkseksponenten. Damptrykket stiger med temperaturen, alltid. Er $T > T_0$ , skal $p > p_0$ .

$\alpha$ mot $\beta$ . $\beta \approx 3\alpha$ — én dimensjon mot tre. Bruker du $\beta$ i en lengdeformel, blir svaret nøyaktig tre ganger for stort, og faktoren tre ligger som et nabo-alternativ i praktisk talt hvert eneste utvidelsesspørsmål.

Å glemme at beholderen utvider seg. Bare differansen renner over.

⚠ De fire tallfellene som lander deg på nabo-alternativet:

1. $b^2$ og $b^3$ i de kritiske uttrykkene forsterker enhver avrunding. Runder du $b$ til tre siffer før du kvadrerer, får du typisk en prosents feil i $p_c$ — nok til å bomme.
2. Parentesen $1/T - 1/T_0$ er en differanse mellom to nesten like tall. For vann mellom $60$ og $100\,^\circ\text{C}$ er de to reverstallene like på to siffer. Behold fem. Dette er det ene stedet i termodelen der fire siffer ikke rekker.
3. Enhetsomregningen må komme først. Liter til $\text{m}^3$ , $\text{cm}^3$ til $\text{m}^3$ , kJ/mol til J/mol, MPa til Pa, celsius til kelvin. Gjør du den midt i regningen, glemmer du den.
4. Faktorene $3$ , $8$ og $27$ ligger alle som nabo-alternativer. Et alternativ som er nøyaktig tre eller åtte ganger et annet, er nesten alltid en formelforveksling — og det betyr at ett av de to er riktig.

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard- og repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

De fire sporene i Del 10 — gjenkjenning på ti sekunder

a

Spor	Nøkkelord	Første grep	Kontroll
1. van der Waals	« $a$ og $b$ », «kritisk punkt», «reell gass»	tre innsettinger, eller to ledd	$Z_c = 0{,}375$
2. Fasediagram	«hvilken fase», «trippelpunkt», «sublimerer»	plasser punktet, ikke regn	er $p$ under $p_t$ ? er $T$ over $T_c$ ?
3. Damptrykk	«damptrykk», «koker ved», «fordampningsvarme»	kelvin, så $l/R$ , så parentesen	høyere $T$ gir høyere $p$
4. Utvidelse	«hvor mye lengre», «renner over», «spalte»	$\Delta T$ som differanse	svaret i promille-området

Z_c

-kontrollen — femten sekunder som fanger fem feil

Z_c = \frac{p_cV_c}{nRT_c} = \frac{3}{8} = 0{,}375 \quad\text{for enhver van der Waals-gass.}

Fasediagrammet: fire spørsmål, i rekkefølge

p < p_t

Hva arket gir deg i Del 10 — og hva det ikke gir

a

Sifferdisiplinen i Del 10 — hvor fire ikke rekker

V_c = 3nb

Regning	Siffer å beholde	Hvorfor
$V_c = 3nb$	fire	ren multiplikasjon
$p_c = a/(27b^2)$	fire i $b$ før kvadreringen	kvadratet dobler relativ feil
$T_c = 8a/(27Rb)$	fire	ren divisjon
$1/T - 1/T_0$	fem	differanse mellom nesten like tall
$\Delta L = \alpha L\Delta T$	tre holder	ren multiplikasjon, ingen forsterkning

Fortegnskontrollene i Del 10

T > T_0 \Rightarrow p > p_0

Størrelsesorden i Del 10 — seks grenser

T_c

Tidsbudsjett for Del 10 i eksamenstempo

40

Spor	Tid	Hva tiden går til
Fasediagram	under ett minutt	plassering, ingen regning
Utvidelse	under ett minutt	én multiplikasjon
Kritisk punkt	ett til to minutter	tre innsettinger pluss $Z_c$ -kontroll
van der Waals-trykk	to minutter	to ledd, enhetsomregning
Damptrykk	to til tre minutter	parentesen med fem siffer

Symbol- og formelliste

Repetisjonsoppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.