3.4 De tre slutningstypene skilt — pluss mengdelære, Venn og downward entailment

Kategorien en slutning tilhører, avgjort av hvordan den oppfører seg under prøver — ikke av hvor sikker den føles.

De tre typene i emnet:

- Entailment — noe setningen sier. Forsvinner under negasjon, kan ikke trekkes tilbake.
- Presupposisjon — noe setningen tar for gitt. Overlever negasjon.
- Konversasjonell implikatur — noe tilhøreren utleder av at setningen ble sagt. Kan trekkes tilbake.

Merk at det er slutningen som klassifiseres, ikke setningen. Én og samme setning bærer som regel flere slutninger av ulik type. «Berit rakk å levere klagen» presupponerer at det var en frist, entailer at klagen ble levert, og implikerer kanskje at det var på hengende håret. Tre slutninger, tre kategorier, én setning.

Spørsmålet du alltid stiller er derfor: hva slags slutning er denne slutningen — ikke hva slags setning dette er.

Noe tilhøreren utleder av at ytringen ble gjort, ut over det setningen sier. Den engelske termen er ‘conversational implicature’, og begrepet skyldes Grice.

(1)  Noen av naboene betalte kontingenten.
       ⇒ Ikke alle naboene betalte.

Slutningen kommer ikke fra ordet noen, som logisk sett bare krever minst én. Den kommer fra en forventning om at den som snakker, ville sagt «alle» dersom alle hadde betalt — og at hun altså ikke er i stand til å si det.

Kjennetegnet er at slutningen kan trekkes tilbake:

(2)  Noen av naboene betalte kontingenten — faktisk alle sammen.

Ingen selvmotsigelse. Det er en presisering.

Dette er en forhåndsvisning. Hele mekanismen — samarbeidsprinsippet, de fire maksimene og de øvrige egenskapene implikaturer har — behandles i kap. 8.1 og kap. 8.2. Her trenger du bare definisjonen og den ene testen, slik at du kan skille implikatur fra de to andre slutningstypene.

Merk skillet i status: entailment og presupposisjon hører til semantikken — de følger av hva setningen betyr. Implikatur hører til pragmatikken — den følger av at noen valgte å si nettopp dette.

Testen som skiller implikatur fra de to andre typene: legg til en fortsettelse som trekker slutningen tilbake, og se om resultatet blir en selvmotsigelse.

Formen er alltid den samme:

(3)  «p — faktisk ikke q.»    eller    «p, men det betyr ikke at q.»

Prøv den på de tre typene:

(4)  Noen av naboene betalte — faktisk alle sammen.
       Ingen selvmotsigelse.  ⇒ IMPLIKATUR

(5)  Naboen har en gran i hagen — men han har ikke noe tre.
       Selvmotsigelse.        ⇒ ENTAILMENT

(6)  Naboen sluttet å måke fortauet — men han har aldri måkt.
       Merkelig, og krever eksplisitt avvisning.  ⇒ PRESUPPOSISJON

Merk forskjellen mellom (5) og (6) nøye, for den er verdt et poeng. Entailmentet lar seg ikke trekke tilbake i det hele tatt. Presupposisjonen lar seg oppheve, men bare i en markert lesning der hele forutsetningen avvises, og fortsettelsen må da forklare hva som avvises. Implikaturen lar seg trekke tilbake uten videre, og resultatet er en helt vanlig setning.

Den engelske termen er ‘cancellability’, og den er én av flere egenskaper Huang lister for implikaturer. De øvrige behandles i kap. 8.2.

En annen egenskap ved konversasjonelle implikaturer, som er nyttig som kontroll når kansellerbarhetstesten er tvetydig. Den engelske termen er ‘non-detachability’.

Egenskapen: implikaturen henger ved innholdet, ikke ved ordvalget. Sier du det samme med andre ord, følger implikaturen med.

(7) a.  Noen av naboene betalte kontingenten.
    b.  Enkelte av naboene betalte kontingenten.
    c.  Én eller flere av naboene betalte kontingenten.

Alle tre gir samme slutning om at ikke alle betalte. Slutningen lar seg ikke «ta av» ved å bytte ord.

Slik bruker du kontrollen: er du i tvil om en slutning er en implikatur eller noe som ligger i et bestemt ord, omformuler setningen med andre ord. Følger slutningen med, taler det for implikatur. Forsvinner den, lå den i ordet — og da er den enten et entailment eller en presupposisjon utløst av nettopp det ordet.

Merk avgrensningen. Egenskapen gjelder konversasjonelle implikaturer. Det finnes også konvensjonelle implikaturer, som er knyttet til bestemte ord og derfor nettopp er avtakbare. Skillet behandles i kap. 8.2.

Rekkefølgen du kjører testene i for å komme raskest til riktig svar.

Trinn 1 — negasjonstesten. Neger setningen. Holder slutningen fortsatt? Da er den en presupposisjon, og du er ferdig.

Trinn 2 — kansellerbarhetstesten. Legg til en fortsettelse som trekker slutningen tilbake. Går det uten selvmotsigelse? Da er den en implikatur.

Trinn 3 — selvmotsigelsestesten. Er «$p$, men ikke $q$» en selvmotsigelse? Da er det et entailment.

Trinn 4 — ellers: slutningen hviler på kunnskap om verden og er ingen av de tre. «Iver leter etter nøklene, altså har han mistet dem» er en rimelig gjetning, ikke en språklig slutning.

Rekkefølgen er valgt for fart, ikke fordi den er faglig nødvendig. Negasjonstesten kjøres først fordi den luker ut presupposisjonene, som ellers er lettest å forveksle med entailment. Kansellerbarhetstesten kommer nummer to fordi den skiller ut pragmatikken.

Det som gir uttelling, er ikke rekkefølgen, men at testen faktisk kjøres og skrives ut med setningene fra oppgaven.

Mengder skrives med klammeparenteser og medlemmene listet opp:

$$A = \{\text{Berg}, \text{Dale}, \text{Lind}\}$$

Eller ved en beskrivelse: «mengden av alle studenter som besto eksamen».

To ting om mengder som er verdt å merke seg med én gang:

- Rekkefølgen betyr ingenting. $\{a, b\}$ og $\{b, a\}$ er samme mengde. Det er en viktig kontrast til ordnede par i kap. 4.3, der rekkefølgen betyr alt.
- Gjentakelser betyr ingenting. $\{a, a, b\}$ er samme mengde som $\{a, b\}$. En ting er enten medlem eller ikke.

Hvorfor semantikken bryr seg om mengder: betydningen til et vanlig substantiv kan modelleres som mengden av alle ting ordet passer på. Hund svarer til mengden av alle hunder, rose til mengden av alle roser. Da blir forholdet mellom ord et forhold mellom mengder — og slutninger blir noe du kan tegne.

$$\text{Berg} \in \{\text{Berg}, \text{Dale}, \text{Lind}\}$$

Negasjonen skrives $a \notin A$: «Sund er ikke element i mengden».

Merk hva symbolet knytter sammen. $\in$ står mellom et objekt og en mengde, aldri mellom to mengder. Skal du si at en mengde ligger inne i en annen, bruker du $\subseteq$, som kommer i neste definisjon.

Å blande $\in$ og $\subseteq$ er den vanligste notasjonsfeilen i mengdelære, og den er lett å unngå: spør hva som står til venstre. Er det én ting, bruker du $\in$; er det en samling, bruker du $\subseteq$.

$$\{\text{Berg}, \text{Dale}\} \subseteq \{\text{Berg}, \text{Dale}, \text{Lind}\}$$

Mengden av roser er en delmengde av mengden av blomster. Mengden av hunder er en delmengde av mengden av dyr.

Dette er det viktigste enkeltbegrepet i kapitlet, av to grunner:

- Hyponymi er delmengdeforhold. At rose er hyponym til blomst, er det samme som at rosemengden er en delmengde av blomstermengden.
- Delmengdeforhold gir entailment. Er $A \subseteq B$, entailer «$x$ er i $A$» setningen «$x$ er i $B$». Det er hele forklaringen på hvorfor «Kari plantet en rose» entailer «Kari plantet en blomst».

En ekte delmengde er en delmengde som ikke er hele mengden — det finnes minst ett element i $B$ som ikke er i $A$. Rosemengden er en ekte delmengde av blomstermengden, siden det finnes tulipaner. Notasjonen $\subseteq$ tillater at de to er like; vil du utelukke det, sier du det i ord.

En delmengde som ikke er hele mengden: $A$ er en ekte delmengde av $B$ når alt i $A$ er i $B$, og det i tillegg finnes minst ett element i $B$ som ikke er i $A$.

Rosemengden er en ekte delmengde av blomstermengden, siden det finnes tulipaner. Mengden $\{2, 4\}$ er en ekte delmengde av $\{2, 4, 6\}$.

Hvorfor skillet er verdt å kjenne: notasjonen $\subseteq$ tillater at de to mengdene er like. $A \subseteq A$ er sant for enhver mengde. Vil du utelukke det, må du si det — i denne boka gjør vi det i ord, ikke med et eget symbol.

Koblingen til semantikken: hyponymi krever et ekte delmengdeforhold. Er de to mengdene like, er ordene ikke i et hyponymiforhold, men i et synonymiforhold — og da går entailmentet begge veier, altså gjensidig entailment fra kap. 3.2.

Mengden uten elementer, skrevet $\{\ \}$. Den engelske termen er ‘empty set’.

Mengden av deltakere som både besto og strøk, er tom. Det samme er mengden av firkantede sirkler.

To ting som er verdt å kunne:

- Den tomme mengden er en delmengde av enhver mengde. Kravet er at alt i den tomme mengden også er i den andre — og siden det ikke finnes noe i den tomme mengden, er kravet oppfylt uten videre. Det er nøyaktig samme mekanisme som tom sannhet i kap. 3.1.
- To mengder er uforenlige hviss snittet deres er tomt. Rosene og tulipanene har tomt snitt, og det svarer til at setningene «Dette er en rose» og «Dette er en tulipan» ikke kan være sanne samtidig.

Merk fella: den tomme mengden er ikke det samme som «ingen mengde». Den er en fullt ut normal mengde som tilfeldigvis ikke har noen medlemmer.

$$\{\text{Berg}, \text{Dale}, \text{Lind}\} \cap \{\text{Dale}, \text{Lind}, \text{Sund}\} = \{\text{Dale}, \text{Lind}\}$$

Koblingen til kap. 3.1: snitt svarer til konjunksjonen. Mengden av ting som er både røde og runde, er snittet av de røde tingene og de runde tingene — og en ting er i den mengden hviss begge påstandene er sanne om den.

En observasjon som gir uttelling: snittet er alltid en delmengde av begge mengdene, altså $A \cap B \subseteq A$ og $A \cap B \subseteq B$. Det svarer nøyaktig til at en konjunksjon entailer hvert av leddene sine.

$$\{\text{Berg}, \text{Dale}\} \cup \{\text{Lind}, \text{Sund}\} = \{\text{Berg}, \text{Dale}, \text{Lind}, \text{Sund}\}$$

Koblingen til kap. 3.1: union svarer til inklusiv disjunksjon. Merk ordet «minst» — en ting som er i begge mengdene, er selvsagt også i unionen. Det er den samme raden som skiller $\lor$ fra $\veebar$, og det er verdt å peke på i et svar.

En observasjon som gir uttelling: begge mengdene er delmengder av unionen, altså $A \subseteq A \cup B$. Det svarer til at hvert ledd entailer disjunksjonen — at én av delene er sann, er nok til at «minst én» er sann.

Mengden av alt i universet som ikke er i mengden. I ord: komplementet til $A$.

Er universet mengden av alle studenter i emnet, og $A$ mengden av dem som besto, er komplementet mengden av dem som ikke besto.

Koblingen til kap. 3.1: komplement svarer til negasjonen. En ting er i komplementet til $A$ hviss påstanden «tingen er i $A$» er usann.

Merk at komplementet alltid er relativt til et univers, og at universet må være oppgitt eller underforstått. Komplementet til «rosene» er noe helt annet om universet er blomstene enn om det er alle ting som finnes. Å oppgi universet er en del av et presist svar i en mengdeoppgave.

Sammenhengen med De Morgans lover fra kap. 3.1 er direkte: komplementet til et snitt er unionen av komplementene, og komplementet til en union er snittet av komplementene.

En figur der mengder tegnes som overlappende sirkler, og der medlemskap vises ved plassering.

Konvensjonene du skal følge når du tegner et Venn-diagram i en besvarelse:

- Én sirkel per mengde, med navnet på mengden ved siden av eller inni sirkelen.
- Overlapp der mengdene har felles elementer, ingen overlapp der de er disjunkte.
- Skraver eller farg det området oppgaven spør om, og skriv hva det skraverte området er.
- Tegn et omsluttende rektangel for universet når komplement er involvert.

Slik brukes diagrammet på eksamen: settet fra høsten 2019 ber om et Venn-diagram, og settet fra høsten 2024 tilbyr digital håndtegning. Ber oppgaven om en figur, skal svaret vise figuren — en beskrivelse i ord er ikke et fullstendig svar, uansett hvor god beskrivelsen er.

Det er verdt å øve på å tegne diagrammet raskt for hånd. Tre sirkler, én skravur og fire etiketter tar under to minutter.

Sammenhengen mellom kap. 3.1 og mengdelæren, satt opp som en tabell. Den er verdt å kunne, fordi den gjør sannhetstabellene til noe du kan se.

Oversettelsen av kap. 2.1 til mengdespråk, og den forbindelsen som gjør resten av kapitlet mulig.

Egenskapen ved en språklig posisjon som avgjør hvilken vei slutninger går når du bytter et ord med et annet ord over eller under det i taksonomien. Den engelske termen er ‘monotonicity’.

To muligheter:

- Oppovergående posisjon (‘upward entailing’): du kan bytte til det videre ordet, altså gå fra delmengde til overmengde.
- Nedovergående posisjon (‘downward entailing’): du kan bytte til det snevrere ordet, altså gå fra overmengde til delmengde.

Det avgjørende er at egenskapen hører til posisjonen, ikke til ordet. Ett og samme substantiv kan stå i en oppovergående posisjon i én setning og en nedovergående i en annen, og retningen skifter med det.

Slik tester du en posisjon: sett inn et ordpar der du kjenner delmengdeforholdet — rose og blomst, hund og dyr, roman og bok — og se hvilken vei slutningen holder. Det er testen, og den skal skrives ut i svaret ditt.

En posisjon der slutningen går fra delmengde til overmengde — altså fra det snevre til det vide. Den engelske termen er ‘upward entailing context’.

(13) a.  Kari plantet en rose.
     b.  Kari plantet en blomst.

Her holder $(13a) \vDash (13b)$: fra rose til blomst, altså fra delmengde til overmengde.

Dette er den vanlige situasjonen. En enkel, bekreftende setning er oppovergående i alle argumentposisjonene sine, og det er derfor hyponymiregelen fra kap. 3.2 virker slik den gjør.

Hvorfor det er slik, i mengdespråk: setningen sier at det finnes noe i rosemengden som Kari plantet. Siden rosemengden er en delmengde av blomstermengden, finnes det da nødvendigvis også noe i blomstermengden som hun plantet. Slutningen følger av delmengdeforholdet, og ikke av noe annet.

En posisjon der slutningen går fra overmengde til delmengde — altså fra det vide til det snevre. Den engelske termen er downward entailment, og den engelske formen brukes som hovedterm også i norsk faglitteratur.

(14) a.  Kari plantet ikke en blomst.
     b.  Kari plantet ikke en rose.

Her holder $(14a) \vDash (14b)$, og ikke omvendt. Retningen er snudd i forhold til (13).

Hvorfor retningen snur, forklart i mengdespråk — og dette er den forklaringen sensor etterspør. Den negerte setningen sier at det Kari plantet, ligger utenfor blomstermengden. Alt som ligger utenfor blomstermengden, ligger nødvendigvis også utenfor rosemengden, siden rosene er en del av blomstene. Å utelukke den store mengden er å utelukke alle delene av den.

Sammenlign med den positive setningen: der sier setningen at noe ligger inne i mengden, og da arves medlemskapet oppover, ikke nedover.

Formulert som en regel: i en nedovergående posisjon gjelder $A \subseteq B$ sammen med at $f(B) \vDash f(A)$ — å hevde noe om den store mengden medfører det samme om den lille.

Merk hva som gjør begrepet krevende, og hva som gjør det lett når du først ser det: det er ikke ordet ikke som er poenget, og heller ikke ordet «nedover». Poenget er hvilken vei slutningen arves når du bytter et ord med et snevrere eller videre ord. Det er det du skal vise med et eksempelpar.

De omgivelsene som gjør en posisjon nedovergående. Katalogen er kort, og den er verdt å kunne.

- Setningsnegasjon: «Kari plantet ikke en blomst» medfører «Kari plantet ikke en rose».
- *Negative kvantorer som ingen: «Ingen av gjestene spiste frukt» medfører «Ingen av gjestene spiste epler».
- Antesedenten i en betingelsessetning: «Hvis du spiser frukt, blir du mett» medfører «Hvis du spiser epler, blir du mett».
- Uttrykk som sjelden, knapt, nesten ingen: «Han spiser sjelden frukt» medfører «Han spiser sjelden epler».
- Første argument til alle og hver: «Alle som leste en bok, besto» medfører «Alle som leste en roman, besto».

Merk den siste punktet spesielt, for den er den mest lærerike i hele katalogen, og den behandles i egen definisjon under.

Slik bruker du katalogen: ikke som en liste å ramse opp. Bruk den til å finne kandidater*, og kjør deretter testen med et ordpar der du kjenner delmengdeforholdet. Det er testen som er svaret, ikke listen.

Observasjonen som viser klarest at monotonisitet er en egenskap ved posisjonen og ikke ved ordet: en kvantor kan være nedovergående i den ene argumentposisjonen sin og oppovergående i den andre.

Ta alle. Setningen «Alle X-er Y-er» har to posisjoner: restriktoren X, som sier hvem påstanden gjelder, og omfanget Y, som sier hva som gjelder om dem.

(15)  Alle som leste en bok, besto.
        ⊨ Alle som leste en roman, besto.        NEDOVERGÅENDE

Restriktoren er nedovergående: har påstanden gyldighet for alle bokleserne, gjelder den nødvendigvis også for den mindre gruppen romanlesere.

(16)  Alle studentene leste en roman.
        ⊨ Alle studentene leste en bok.          OPPOVERGÅENDE

Omfanget er oppovergående: leste alle en roman, leste alle nødvendigvis en bok.

*Til sammenligning er ingen nedovergående i begge posisjonene, og noen oppovergående i begge.

Dette er det sterkeste enkeltargumentet du kan bruke for at monotonisitet hører til posisjonen. Ett og samme ord, alle*, gir motsatt slutningsretning i sine to argumenter — og da kan retningen ikke ligge i ordet.

Et uttrykk som bare er akseptabelt i nedovergående omgivelser, og som derfor kan brukes som en uavhengig kontroll på om en posisjon er nedovergående. Den engelske termen er ‘negative polarity item’, ofte forkortet NPI.

Norske eksempler: noe som helst, i det hele tatt, stort, uttrykket løfte en finger.

(17) a.  Jeg har ikke sett noe som helst.
    b. *Jeg har sett noe som helst.

Markøren * betyr at grammatikken ikke genererer strengen — ikke at noen snakker dårlig. Se kap. 1.1.

Prøv nå på kvantorene, og legg merke til at mønsteret følger monotonisiteten:

(18)  Ingen av gjestene sa noe som helst.        greit
(19)  Alle som sa noe som helst, ble notert.     greit — restriktoren
(20) *Alle sa noe som helst.                     ikke greit — omfanget

Kontrollen er verdt et pluss-punkt i et svar om downward entailment, fordi den er uavhengig av slutningstesten og likevel peker samme vei. To ulike prøver som gir samme resultat, er et sterkere argument enn én.

Merk at kontrollen ikke erstatter slutningstesten. Sammenhengen mellom NPI-er og nedovergående omgivelser er sterk, men den er en observasjon, ikke en definisjon. Slutningstesten er definisjonen.