3.1 Proposisjon, sannhetsverdi og konnektiver — sannhetstabeller

Det innholdet en påstand har, betraktet som noe som er sant eller usant. Den engelske termen er ‘proposition’.

Dette er utgangspunktet for hele Del 3, og det er verdt å si presist hva det innebærer. Det er ikke setningen som er sann eller usann, og ikke lyden eller bokstavene. Det er innholdet.

To konsekvenser du bør ha klart for deg:

- Setningene «Det regner» og «Det faller regn» kan uttrykke samme proposisjon, og har da samme sannhetsverdi under de samme forholdene.
- Bare påstander uttrykker proposisjoner. Spørsmål og ordrer gjør det ikke: «Lukk døra» er verken sant eller usant. Det betyr ikke at spørsmål og ordrer er uinteressante — de behandles i Del 9 — men de er ikke det logikken regner på.

Merk hva antakelsen om to verdier koster. Logikken i dette kapitlet forutsetter at hver proposisjon har nøyaktig én av to verdier. Det er en forenkling, og kap. 1.3 har allerede vist et tilfelle der den er omstridt: Strawson mente at en setning med en bestemt beskrivelse uten referent ikke får noen sannhetsverdi i det hele tatt.

De to verdiene en proposisjon kan ha. Den engelske termen er ‘truth value’.

Skrivemåten i denne boka: vi skriver S for sann og U for usann i tabellene. På engelskspråklige oppgavesett — og settet fra høsten 2024 er helengelsk — skrives de samme verdiene T for true og F for false. Verdiene er de samme; bare bokstavene skifter.

En presisering som er verdt å ha med i et svar: at en proposisjon har en sannhetsverdi, er ikke det samme som at vi vet hvilken. «Det snødde i Bergen 3. mars i fjor» er sann eller usann uavhengig av om noen har sjekket. Logikken handler om hva verdien er, ikke om hvordan vi finner den ut.

En proposisjon som ikke er bygd opp av andre proposisjoner. Den engelske termen er ‘atomic proposition’.

«Bussen kom» er atomær. «Bussen kom og toget var forsinket» er det ikke — den er bygd av to andre.

Atomære proposisjoner er utgangspunktet i enhver sannhetstabell. Sannhetsverdien deres kan ikke regnes ut fra noe annet i systemet; den er noe tabellen tar som gitt og prøver alle mulighetene for.

En proposisjon som er bygd opp av andre proposisjoner ved hjelp av en eller flere konnektiver. Den engelske termen er ‘complex proposition’ eller ‘compound proposition’.

«Bussen kom og toget var forsinket» er sammensatt, med to deler bundet sammen av og. «Det er ikke sant at bussen kom» er også sammensatt, med bare én del og en negasjon utenpå.

Hele poenget med proposisjonslogikk er dette: sannhetsverdien til en sammensatt proposisjon er fullstendig bestemt av sannhetsverdiene til delene. Regner du delene, får du helheten. Denne egenskapen er så viktig at den har et eget navn, som kommer om litt.

En bokstav som står for en vilkårlig proposisjon. Vi bruker $p$, $q$ og $r$.

Variablene er ikke forkortelser for bestemte setninger. De er plassholdere, på samme måte som $x$ og $y$ i et regnestykke: reglene i dette kapitlet gjelder uansett hva du setter inn.

Slik bruker du dem i et svar. Når du setter opp en tabell for en konkret setning, oppgi alltid hva variablene står for, med ord:

(1)  p = «Bussen kom»
     q = «Toget var forsinket»

Å utelate denne linjen er den vanligste enkeltmangelen i tabelloppgaver. Tabellen din er da et regnestykke uten oppgitt gjenstand, og den kan ikke vurderes.

Et uttrykk som binder proposisjoner sammen til en ny proposisjon, eller som virker på én proposisjon og gir en ny. Den engelske termen er ‘logical connective’.

De seks konnektivene i emnets symbolliste:

Egenskapen at sannhetsverdien til en sammensatt proposisjon er fullstendig bestemt av sannhetsverdiene til delene — ikke av hva delene handler om. Den engelske termen er ‘truth-functionality’.

Alle seks konnektivene i symbollisten er sannhetsfunksjonelle. Det er derfor sannhetstabellene virker i det hele tatt: en tabell med fire rader kan si alt som er å si om og, fordi det ikke finnes noe mer å vite.

Merk hva som følger av dette, for det er kilden til flere av kapitlets feller. Konnektivene bryr seg ikke om innholdsforbindelse. «Norge har kyst og to pluss to er fire» er en helt korrekt sann konjunksjon, selv om leddene ikke har noe med hverandre å gjøre. Det norske ordet og antyder ofte en sammenheng — rekkefølge, årsak, relevans — men konjunksjonen $\land$ gjør ikke det. Slike tilleggsbetydninger er pragmatiske, og de forklares i Del 8.

En oppstilling som viser sannhetsverdien til en sammensatt proposisjon for hver mulige kombinasjon av sannhetsverdier hos delene. Den engelske termen er ‘truth table’.

Tabellen har én kolonne per variabel, eventuelle mellomkolonner, og én sluttkolonne for hele uttrykket. Radene dekker alle kombinasjonene.

Rekkefølgen på radene er en konvensjon, og boka holder én: vi begynner med at alt er sant og ender med at alt er usant. For to variabler blir det S–S, S–U, U–S, U–U.

Konvensjonen er ikke faglig påkrevd, men den er praktisk: holder du samme rekkefølge hver gang, kan du sammenligne to tabeller ved å lese sluttkolonnene ved siden av hverandre.

De forholdene som må være oppfylt for at en setning skal være sann. Den engelske termen er ‘truth conditions’.

Dette er et av de mest sentrale begrepene i hele semantikken, og tanken bak er verdt å ha klart for seg: å vite hva en setning betyr, er å vite hva som skal til for at den er sann. Du trenger ikke vite om det faktisk er tilfelle. Du forstår «Det snødde i Tromsø i går» fullt ut uten å ha vært der — fordi du vet hvilken situasjon som ville gjort setningen sann.

I dette kapitlet møter du sannhetsbetingelser i sin enkleste form: som en setning om når et sammensatt uttrykk er sant, gitt verdiene til delene. Formen er alltid den samme, og den bruker ordet hviss:

> $p \land q$ er sann hviss $p$ er sann og $q$ er sann.

En sannhetsbetingelse er ikke det samme som en sannhetsverdi. Verdien er hva uttrykket faktisk er verdt i en situasjon; betingelsen sier hva som skal til, uansett situasjon. Tabellen viser betingelsen, radene viser verdiene.

Antallet rader en tabell må ha: to opphøyd i antall variabler, altså $2^n$.

Én variabel gir 2 rader, to variabler gir 4, tre variabler gir 8.

Dette er en ren kontroll du kan kjøre på ti sekunder, og den fanger den vanligste feilen i F1-oppgaver: den ufullstendige tabellen. Tell variablene, regn ut $2^n$, og tell radene dine. Stemmer ikke tallene, mangler du en mulighet — og en tabell som mangler en rad, er ikke en litt svakere tabell. Den er feil, fordi den utelater et tilfelle der uttrykket kunne hatt en annen verdi.

Konnektivet som snur sannhetsverdien. Symbolet er $\lnot$, og $\lnot p$ leses «det er ikke tilfelle at $p$».

Tabellen:

Konnektivet som svarer omtrent til og. Symbolet er $\land$, og $p \land q$ er sann bare når begge delene er sanne.

Tabellen:

Konnektivet som svarer til eller i betydningen «det ene, det andre, eller begge». Symbolet er $\lor$, og den engelske termen er ‘inclusive or’.

Tabellen:

Konnektivet som svarer til enten eller i betydningen «det ene eller det andre, men ikke begge». Symbolet er $\veebar$, og den engelske termen er ‘exclusive or’, ofte forkortet XOR.

Tabellen:

Fenomenet at norsk eller ofte forstås eksklusivt selv om ordet i seg selv er inklusivt. Dette er koblingen mellom Del 3 og Del 8, og den er verdt å ha med i et fullstendig svar.

Betrakt setningen «Du kan ta forretten eller desserten.» De fleste vil forstå den som at man ikke får begge deler. Likevel er det ikke ordet eller som sier det, og grunnen er enkel: tillegget kan trekkes tilbake uten selvmotsigelse. «Du kan ta forretten eller desserten — ja, faktisk begge deler, hvis du vil» er ikke en motsigelse. Det er en presisering.

At tillegget kan trekkes tilbake, viser at det ikke ligger i ordets betydning. Det er noe som legges til i tolkningen fordi vi regner med at den som snakker, ville sagt «begge deler» om det var det hun mente.

Fagtermen for dette er konversasjonell implikatur (‘conversational implicature’), og hele mekanismen — samarbeidsprinsippet, maksimene og testene — behandles i kap. 8.1. Her trenger du bare koblingen: *den eksklusive lesningen av eller er som regel pragmatisk utledet, ikke logisk gitt.*

Det er den setningen som løfter en F1-oppgave om disjunksjon fra en riktig tabell til et fullstendig svar.

Konnektivet som svarer omtrent til «hvis, så». Symbolet er $\rightarrow$, og den engelske termen er ‘material implication’.

Tabellen:

Navnene på de to leddene i en implikasjon. I $p \rightarrow q$ er $p$ antesedenten (‘antecedent’) og $q$ er konsekventen (‘consequent’).

I norsk står antesedenten som regel i hvis-setningen og konsekventen i hovedsetningen: «Hvis det regner, tar jeg bilen.» Men rekkefølgen i setningen kan snus uten at rollene endres: «Jeg tar bilen hvis det regner» har fortsatt «det regner» som antesedent.

Dette er verdt å kontrollere før du fyller ut en tabell. Å bytte om antesedent og konsekvent gir en helt annen tabell, siden $p \rightarrow q$ og $q \rightarrow p$ ikke er det samme. Kontrollen er å spørre hvilken del som er betingelsen — det er antesedenten, uansett hvor i setningen den står.

Navnet på de to radene der antesedenten er usann og implikasjonen likevel er sann. Den engelske termen er ‘vacuous truth’.

Betrakt løftet «Hvis det regner i morgen, tar jeg bilen.» Det regnet ikke. Har du da brutt løftet?

Nei. Du lovte ingenting om hva du ville gjøre i sol. Løftet er ikke brutt, og en påstand som ikke er brutt, er ikke usann. Derfor er implikasjonen sann i begge radene der antesedenten er usann — enten du tok bilen eller ikke.

Slik forklarer du dette i et svar, og forklaringen er verdt å kunne: en implikasjon er en garanti. Den lover at man ikke får $p$ uten $q$. Garantien brytes bare i det ene tilfellet der $p$ er oppfylt og $q$ likevel uteblir. Er $p$ ikke oppfylt, er garantien ikke satt på prøve, og da er den heller ikke brutt.

Merk hva som følger, for det er den vanligste innvendingen: «Hvis månen er en ost, er to pluss to fem» er en sann material implikasjon, siden antesedenten er usann. Det virker galt, og det er nettopp fordi $\rightarrow$ ikke krever noen innholdsforbindelse mellom leddene. Det norske hvis antyder som regel en slik forbindelse; symbolet gjør ikke det.

Konnektivet som svarer til «hvis og bare hvis». Symbolet er $\leftrightarrow$, og den engelske termen er ‘biconditional’.

Tabellen:

Det konnektivet som binder uttrykket sammen på øverste nivå — det siste du regner ut. Den engelske termen er ‘main connective’.

I $\lnot(p \land q)$ er hovedkonnektivet negasjonen: parentesen sier at konjunksjonen regnes først, og negasjonen virker på resultatet. I $\lnot p \land q$ er hovedkonnektivet konjunksjonen, og negasjonen virker bare på $p$.

Å finne hovedkonnektivet er alltid første trinn når du skal sette opp en tabell for et sammensatt uttrykk, for det forteller deg hvilken kolonne som er sluttkolonnen.

Framgangsmåten: se bort fra alt som står inne i parenteser. Det konnektivet som blir stående igjen utenfor, er hovedkonnektivet. Står det flere igjen, er uttrykket flertydig og trenger flere parenteser.

Hvor langt et konnektiv strekker seg i et uttrykk. Den engelske termen er ‘scope’.

Sammenlign de to uttrykkene:

- I $\lnot(p \land q)$ har negasjonen hele konjunksjonen i sin rekkevidde. Uttrykket sier: det er ikke tilfelle at begge deler.
- I $\lnot p \land q$ har negasjonen bare $p$ i sin rekkevidde. Uttrykket sier: $p$ er ikke tilfelle, og $q$ er det.

De to har ulike tabeller, og forskjellen er ikke liten. I raden der $p$ er usann og $q$ er sann, er det første uttrykket sant og det andre også sant — men i raden der begge er usanne, er det første sant og det andre usant.

Rekkevidde er et begrep du får bruk for langt utover dette kapitlet. Det er den samme ideen som ligger under scope-flertydighet med kvantorer i kap. 4.2, der én setning har to lesninger fordi to uttrykk kan ha hverandre i sin rekkevidde. Her møter du den i sin enkleste form: parentesen avgjør hvem som virker på hva.

Forholdet mellom to uttrykk som har identisk sluttkolonne i sannhetstabellen — samme verdi i hver eneste rad. Den engelske termen er ‘logical equivalence’.

Ekvivalensen er en påstand om alle radene, ikke om noen av dem. Derfor er den lett å motbevise og krevende å bevise: én rad der de to skiller lag, er nok til å avvise ekvivalens, mens en påstand om ekvivalens krever at hele tabellen er sjekket.

Tre ekvivalenser det lønner seg å kjenne:

- $p \rightarrow q$ og $\lnot p \lor q$
- $\lnot(p \land q)$ og $\lnot p \lor \lnot q$
- $\lnot(p \lor q)$ og $\lnot p \land \lnot q$

De to siste kalles De Morgans lover, og de er verdt å kunne fordi de sier hvordan en negasjon oppfører seg når den flyttes inn i en parentes: konnektivet snur. Negeres en konjunksjon, blir den til en disjunksjon av negasjonene, og omvendt.

Merk sammenhengen framover: logisk ekvivalens er nært beslektet med gjensidig entailment, som innføres i kap. 3.2. Men de to er ikke det samme, og det skillet er nettopp det neste kapittel handler om.