3.2 Logisk implikasjon (entailment), material implikasjon, analytisk/syntetisk

Relasjonen mellom to setninger $p$ og $q$ der $q$ er sann i alle situasjoner der $p$ er sann. Vi skriver $p \vDash q$, og leser det «$p$ entailer $q$».

Den engelske termen entailment brukes som hovedterm i denne boka, fordi det er den termen du møter i undervisningen og i oppgavesettene. Det norske uttrykket er logisk implikasjon.

Tre ledd i definisjonen, hvert med sin konsekvens:

- «i alle situasjoner» — ikke i noen, ikke i de fleste. Ett moteksempel er nok til å avvise entailment.
- «der $p$ er sann» — relasjonen sier ingenting om hva som skjer når $p$ er usann. Det er nettopp der den skiller lag med presupposisjon.
- «er $q$ sann» — entailment er sannhetsbevarende: sannheten går fra $p$ til $q$, aldri motsatt vei uten videre.

Eksempel:

(1) a.  Kari plantet en rose i hagen.
    b.  Kari plantet en blomst i hagen.

Her gjelder $p \vDash q$: i enhver situasjon der (1a) er sann, er også (1b) sann.

Merk at relasjonen ikke er symmetrisk. (1b) entailer ikke (1a) — blomsten kunne vært en tulipan.

Den enheten entailment kvantifiserer over: en måte verden kunne vært på. I mer formell litteratur kalles det ofte en mulig verden (‘possible world’) eller en modell.

Du trenger ikke noe tungt apparat for å bruke begrepet. Tenk på en situasjon som en fullstendig beskrivelse av hvem som gjorde hva: hvem som var hvor, hvilke ting som fantes, og hva som skjedde.

Slik bruker du det i praksis. Skal du avvise en entailment-påstand, beskriver du én situasjon der den første setningen er sann og den andre usann. Klarer du det, er påstanden avvist. Klarer du det ikke — og du har prøvd ærlig — er påstanden sannsynligvis riktig.

Merk at situasjonene ikke behøver være sannsynlige. De må bare være mulige. En situasjon der alle studentene i emnet heter Berg, er usannsynlig, men fullt tenkelig, og den kan brukes som moteksempel.

Egenskapen entailment har: sannheten går fra $p$ til $q$, aldri automatisk motsatt vei. Den engelske termen er ‘truth preservation’.

Er $p$ sann og $p \vDash q$, kan du trygt slutte at $q$ er sann. Men er $q$ sann, følger ingenting om $p$ — og er $p$ usann, følger heller ingenting om $q$.

To feilslutninger dette utelukker, og begge er vanlige:

- Å slutte fra $q$ til $p$. At det står et tre utenfor huset, medfører ikke at det står en gran der.
- Å slutte fra $\lnot p$ til $\lnot q$. At det ikke står en gran der, medfører ikke at det ikke står et tre der.

Den eneste tillatte omsnuingen er kontraposisjonen, som krever at begge ledd negeres og at rekkefølgen snus. Den kommer lenger ned i kapitlet.

Slik bruker du begrepet: sannhetsbevaring er det som gjør entailment nyttig i det hele tatt. Det er derfor du kan bygge videre på det du allerede har fastslått, uten å sjekke verden på nytt.

En beskrevet situasjon der $p$ er sann og $q$ er usann. Ett moteksempel avviser påstanden $p \vDash q$.

Dette er den viktigste enkeltteknikken i kapitlet, fordi den er konstruktiv: du kan vise at noe ikke er entailment ved å beskrive én situasjon, mens du for å vise at noe er entailment må argumentere for alle.

Eksempel på et moteksempel i bruk:

(2) a.  Kari begynte å lese boka.
    b.  Kari leste ut boka.

Påstanden $p \vDash q$ avvises av denne situasjonen: Kari begynte på boka mandag, mistet interessen på side 40 og la den fra seg. Da er (2a) sann og (2b) usann. Påstanden er avvist, og det tok én setning.

Skriv moteksemplet ut i svaret ditt. «Det finnes moteksempler» er en påstand; den beskrevne situasjonen er argumentet.

Forholdet mellom to setninger der den ene sier mer enn den andre. Når $p \vDash q$ men ikke omvendt, sier vi at $p$ er sterkere enn $q$, og $q$ svakere enn $p$.

«Kari plantet en rose» er sterkere enn «Kari plantet en blomst». Den sterkere setningen utelukker flere situasjoner; den svakere er sann i flere.

Sammenhengen er verdt å ha klart for seg, for den virker bakvendt: jo mer en setning sier, jo færre situasjoner er den sann i. Det er samme forhold som mellom trekk og betydning i kap. 2.3 — flere trekk gir snevrere betydning.

Entailment går alltid fra sterk til svak. Det er en kontroll du kan bruke: peker påstanden din fra en svakere til en sterkere setning, er den nesten sikkert gal.

Den vanligste enkeltkilden til entailment mellom to setninger: bytt ut et ord med hyperonymet, og du får en svakere setning som følger av den første.

Fordi rose er hyponym til blomst, entailer «Kari plantet en rose» setningen «Kari plantet en blomst». Fordi hund er hyponym til dyr, entailer «Det står en hund i gangen» setningen «Det står et dyr i gangen».

Regelen har et unntak du bør kjenne, og det gir uttelling å nevne det. Byttet virker bare i det man kaller positive omgivelser. Under negasjon snur retningen:

(3) a.  Det står ikke en hund i gangen.
    b.  Det står ikke et dyr i gangen.

Her entailer (3b) faktisk (3a), ikke omvendt: at det ikke står noe dyr der, medfører at det ikke står noen hund der — mens fraværet av hund godt kan forenes med at det står en katt.

*Denne snuingen har et eget navn — downward entailment — og den behandles i kap. 3.4.* Her trenger du bare å vite at den finnes, slik at du ikke bruker hyponymiregelen mekanisk i negerte setninger.

Den mest brukte testen: si $p$ og benekt $q$ i samme åndedrag. Blir resultatet en selvmotsigelse, entailer $p$ $q$.

Formen er alltid den samme:

(8)  «Kari plantet en rose, men hun plantet ikke noen blomst.»

Setningen motsier seg selv, og entailmentet er dermed bekreftet.

Til sammenligning, et par uten entailment:

(9)  «Marte begynte å male stua, men hun malte ikke ferdig.»

Ingen selvmotsigelse — dette er en helt vanlig og informativ setning. Påstanden om entailment er avvist.

Hvorfor testen virker: entailment krever at $q$ er sann i alle situasjoner der $p$ er sann. Setningen «$p$, men ikke $q$» beskriver nettopp en situasjon der $p$ er sann og $q$ usann. Er en slik situasjon umulig, blir setningen selvmotsigende.

*Bruk ordet men og ikke og når du kjører testen. Det gjør selvmotsigelsen lettere å høre, fordi men* signaliserer at det som følger, skal være forenlig med det foregående.

Testen som skiller entailment fra presupposisjon: neger den første setningen, og se om slutningen fortsatt holder. Ved entailment forsvinner den.

Prøv på entailment-paret:

(10) a.  Kari plantet en rose i hagen.       ⇒  Kari plantet en blomst i hagen.
     b.  Kari plantet ikke en rose i hagen.  ⇒  Kari plantet en blomst i hagen.   FALLER BORT

I (10b) følger ingenting om blomster i det hele tatt. Entailmentet overlever ikke negasjonen, og det er nettopp kjennetegnet.

Sammenlign med et par av en annen type:

(11) a.  Kari sluttet å sykle til jobben.       ⇒  Kari syklet til jobben før.
     b.  Kari sluttet ikke å sykle til jobben.  ⇒  Kari syklet til jobben før.   HOLDER FORTSATT

Her overlever slutningen negasjonen. Den er derfor ikke entailment, men presupposisjon, og hele det begrepet behandles i kap. 3.3.

Testen er kapitlets viktigste enkeltverktøy, fordi forvekslingen mellom entailment og presupposisjon er den hyppigste kunnskapsfeilen i hele emnet. Den engelske betegnelsen på egenskapen presupposisjoner har, er constancy under negation — konstanthet under negasjon.

Den formelle testen: $p \vDash q$ hviss $p \rightarrow q$ er sann i alle situasjoner, altså er en tautologi.

Dette er den mest presise av de tre testene, og den er den som binder entailment til apparatet fra kap. 3.1.

Se hvorfor den virker. Material implikasjon $p \rightarrow q$ er usann i nøyaktig ett tilfelle: når $p$ er sann og $q$ usann. Å si at $p \rightarrow q$ er sann i alle situasjoner, er derfor det samme som å si at situasjonen «$p$ sann, $q$ usann» aldri forekommer — og det er nøyaktig definisjonen av entailment.

Testen er samtidig broen til den viktigste distinksjonen i kapitlet:

- $p \rightarrow q$ er en påstand om én situasjon, med en sannhetsverdi i hver.
- $p \vDash q$ er en påstand om alle situasjoner samtidig.

Testen sier altså: entailment foreligger når implikasjonen ikke bare er sann, men ikke kan være annet enn sann.

Merk at testen ikke er praktisk på setninger fra naturlig språk, der du ikke har noen tabell å regne på. Der bruker du selvmotsigelsestesten. Tautologitesten er begrepsavklaringen som gjør at du kan si presist hva forskjellen på $\rightarrow$ og $\vDash$ består i.

Skillet som forklarer hvorfor $\rightarrow$ og $\vDash$ ikke kan være det samme.

Objektspråket er det språket vi lager formler i. Konnektivene $\lnot$, $\land$, $\lor$, $\rightarrow$ og $\leftrightarrow$ hører hjemme der: de bygger nye formler av gamle. Skriver du $p \rightarrow q$, har du laget én ny formel, og den har en sannhetsverdi i hver situasjon.

Metaspråket er det språket vi snakker om formlene i. Symbolet $\vDash$ hører hjemme der: det er ikke et konnektiv, men en påstand om et forhold mellom to formler. Skriver du $p \vDash q$, har du ikke laget en ny formel — du har hevdet noe om $p$ og $q$.

Den praktiske konsekvensen: $p \rightarrow q$ kan være sann i én situasjon og usann i en annen. $p \vDash q$ kan ikke det. Enten holder relasjonen, eller så gjør den det ikke, og svaret er det samme uansett hvilken situasjon du befinner deg i.

Derfor er også dette galt: å skrive $p \vDash q$ som en linje i en sannhetstabell. Det finnes ingen kolonne for det, fordi det ikke er noe som har en verdi per rad.

Den skarpe forskjellen, formulert slik den bør stå i et svar:

> Material implikasjon $p \rightarrow q$ er en påstand om én situasjon. Den er sann i den situasjonen med mindre $p$ er sann og $q$ usann.
>
> Entailment $p \vDash q$ er en påstand om alle situasjoner samtidig. Den holder hviss det ikke finnes noen situasjon der $p$ er sann og $q$ usann.

Sammenhengen mellom dem er tautologitesten: $p \vDash q$ hviss $p \rightarrow q$ er sann i alle situasjoner.

Et eksempel som gjør forskjellen konkret. Betrakt:

(15) a.  Det regner i Bergen.
     b.  Det er tirsdag.

Er begge setningene sanne akkurat nå, er $p \rightarrow q$ sann i denne situasjonen. Men $p \vDash q$ holder åpenbart ikke: det finnes tusenvis av situasjoner der det regner i Bergen på en onsdag.

Konklusjonen du skal kunne trekke: at implikasjonen tilfeldigvis er sann, sier ingenting om entailment. Entailment krever at den er sann uten unntak — og det er derfor ett moteksempel avgjør saken.

Egenskapen ved material implikasjon som gjør at den avviker mest fra det norske hvis: den krever ingen forbindelse mellom leddene.

Setningen «Hvis månen er en ost, er Oslo hovedstad i Norge» er en sann material implikasjon, siden antesedenten er usann. Ingen vil kalle den en fornuftig ytring, og den beskriver ingen sammenheng.

Dette omtales ofte som implikasjonens paradokser, og de er verdt å kunne nevne fordi de peker rett på skillet i dette kapitlet:

- Enhver usann antesedent gjør implikasjonen sann, uansett konsekvent.
- Enhver sann konsekvent gjør implikasjonen sann, uansett antesedent.

Entailment har ikke denne egenskapen. At Oslo er hovedstad, følger ikke av at månen er en ost i noen som helst forstand — det er bare slik at den ene setningen er usann og den andre sann i den faktiske situasjonen. En påstand om alle situasjoner ville falt straks: det finnes situasjoner der månen er en ost uten at Oslo er hovedstad.

Slik bruker du dette på eksamen: det er det klareste enkeltargumentet for at $\rightarrow$ og $\vDash$ ikke kan være samme relasjon.

Forholdet mellom to setninger som entailer hverandre: $p \vDash q$ og $q \vDash p$. Den engelske termen er ‘mutual entailment’.

Gjensidig entailment betyr at setningene har samme sannhetsverdi i alle situasjoner. Det er nøyaktig det samme som logisk ekvivalens fra kap. 3.1, og det svarer til begrepet parafrase fra kap. 1.1.

Eksempler:

(16) a.  Ola solgte hytta til Randi.     ⟷  Randi kjøpte hytta av Ola.
(17) a.  Alle deltakerne møtte opp.      ⟷  Ingen deltakere uteble.

Merk hva som kreves for å påvise gjensidig entailment. Du må kjøre testen begge veier. Et svar som viser den ene retningen og deretter skriver «og omvendt», har vist halvparten. Det tar to linjer å gjøre begge, og det er en billig måte å levere et fullstendig svar på.

Merk også hva det ikke betyr. To setninger kan være ekvivalente uten å være likeverdige i bruk: den ene kan være mer naturlig, mer høflig eller peke på et annet ledd som viktig. Slike forskjeller er ikke sannhetsbetingelser, og de behandles i pragmatikk-halvdelen.

Regelen om at entailment kan snus når begge ledd negeres: holder $p \vDash q$, så holder også $\lnot q \vDash \lnot p$.

Prøv den på et kjent par. «Det står en gran utenfor huset» entailer «Det står et tre utenfor huset». Kontraposisjonen gir: «Det står ikke noe tre utenfor huset» entailer «Det står ingen gran utenfor huset». Begge deler stemmer.

Hvorfor regelen holder: finnes det ingen situasjon der $p$ er sann og $q$ usann, finnes det heller ingen situasjon der $\lnot q$ er sann og $\lnot p$ usann. Det er de samme situasjonene, beskrevet fra motsatt kant.

Merk hva regelen ikke tillater. Fra $p \vDash q$ følger ikke $\lnot p \vDash \lnot q$. Det er et vanlig feilgrep: at det ikke står en gran der, medfører ikke at det ikke står et tre der. Regelen krever at begge ledd negeres og at rekkefølgen snus.

Kontraposisjonen er også det første møtet med at negasjon snur retningen på slutninger. Den observasjonen utvides til et generelt begrep i kap. 3.4.

Regelen om at entailment arves gjennom kjeder: holder $p \vDash q$ og $q \vDash r$, så holder $p \vDash r$.

Eksempel:

(18)  «Det står en gran utenfor huset»
        ⊨ «Det står et bartre utenfor huset»
        ⊨ «Det står et tre utenfor huset»

Altså entailer den første setningen også den siste.

Hvorfor regelen holder: er $q$ sann i alle situasjoner der $p$ er sann, og $r$ sann i alle situasjoner der $q$ er sann, må $r$ være sann i alle situasjoner der $p$ er sann.

Slik bruker du den: transitiviteten er nyttig når en oppgave gir deg en lang kjede av setninger og ber deg finne alle entailment-forholdene. Har du fastslått leddene i kjeden, følger de lange slutningene gratis. Den svarer direkte til transitiviteten i hyponymi fra kap. 2.1 — og det er ingen tilfeldighet, siden hyponymi er den vanligste kilden til entailment.

En slutning der konklusjonen er sann i alle situasjoner der premissene er sanne. Den engelske termen er ‘valid inference’.

Definisjonen er den samme som for entailment, bare med flere setninger på venstresiden. En slutning fra premissene $p_1$ og $p_2$ til konklusjonen $q$ er gyldig hviss $p_1 \land p_2 \vDash q$.

(a)  Premiss 1:   Alle bartrær har nåler.
     Premiss 2:   Grana utenfor huset er et bartre.
     Konklusjon:  Grana utenfor huset har nåler.

Slutningen er gyldig: det finnes ingen situasjon der begge premissene er sanne og konklusjonen usann.

En presisering som ofte etterspørres: gyldighet sier ingenting om om premissene faktisk er sanne. En slutning kan være gyldig med usanne premisser, og et sant utsagn kan følge av en ugyldig slutning. Gyldighet gjelder formen på slutningen, ikke innholdet i premissene.

Kryssbok: Argumentasjon og gyldighet behandler dette grundigere. Merk at kravene og terminologien der er filosofifagets, ikke LING1100s — men selve begrepet er det samme.

En setning som er sann i alle situasjoner. Den engelske termen er ‘tautology’.

Eksempler:

(20)  Enten regner det, eller så regner det ikke.
(21)  Alle røde biler er røde.

Formelt er en tautologi et uttrykk som har S i hver rad i sannhetstabellen — for eksempel $p \lor \lnot p$.

Sammenhengen med entailment: en tautologi følger av hva som helst. Er $q$ sann i alle situasjoner, er den nødvendigvis sann i alle situasjoner der $p$ er sann, og da holder $p \vDash q$ for enhver $p$.

Merk hva som gjør tautologier uinteressante som informasjon og interessante som verktøy. De utelukker ingen situasjoner, og forteller deg derfor ingenting om verden. Nettopp derfor er de nyttige som kontroll: er en setning en tautologi, har du en fast referanse å måle andre setninger mot.

En setning som er usann i alle situasjoner. Den engelske termen er ‘contradiction’.

Eksempler:

(22)  Det regner, og det regner ikke.
(23)  Naboens hoppe er en hingst.

Formelt: et uttrykk med U i hver rad, for eksempel $p \land \lnot p$.

Sammenhengen med entailment: en kontradiksjon entailer hva som helst. Finnes det ingen situasjon der $p$ er sann, finnes det heller ingen situasjon der $p$ er sann og $q$ usann — og betingelsen for $p \vDash q$ er dermed oppfylt uten videre.

Dette virker rart første gang, og det er beslektet med tom sannhet fra kap. 3.1: når betingelsen aldri er oppfylt, blir kravet aldri satt på prøve.

Merk skillet mellom to bruk av ordet. «Kontradiksjon» brukes både om en enkelt selvmotsigende setning, som her, og om forholdet mellom to setninger som ikke kan være sanne samtidig. Den andre bruken har et eget navn i neste definisjon.

En setning som er sann i noen situasjoner og usann i andre. Den engelske termen er ‘contingent sentence’.

De aller fleste setninger er kontingente. «Det regner i Trondheim», «Naboen har hund», «Boka koster 349 kroner» — alle sammen kunne vært sanne, og alle kunne vært usanne.

De tre begrepene sammen utgjør en fullstendig tredeling. Enhver setning er nøyaktig én av tre ting:

To setninger som ikke kan være sanne samtidig. Den engelske termen er ‘incompatibility’, og forholdet kalles også kontradiktorisk eller kontrært, avhengig av om ett av alternativene må være sant.

(24) a.  Hesten i innhegningen er en hingst.
     b.  Hesten i innhegningen er en hoppe.

De to kan ikke begge være sanne. Kilden er at hingst og hoppe er komplementære innenfor de voksne hestene, jf. kap. 2.3.

Sammenhengen med entailment: $p$ og $q$ er uforenlige hviss $p \vDash \lnot q$. Å hevde det ene er å avvise det andre.

Merk et skille som er verdt et poeng. Uforenlige setninger kan begge være usanne — hesten kunne vært et føll — og da er de bare uforenlige. Kan de heller ikke begge være usanne, er de i tillegg kontradiktoriske, som «Setet er ledig» og «Setet er opptatt». Det er samme skille som mellom taksonomiske søstre og komplementære antonymer i kap. 2.2.

En setning som er sann i kraft av betydningen til ordene den består av, uten at man trenger å undersøke verden. Den engelske termen er ‘analytic sentence’.

Eksempler:

(25)  En ungkar er ugift.
(26)  Alle hopper er hunndyr.
(27)  Et kvadrat har fire sider.

Testen: prøv å benekte setningen. Blir resultatet en selvmotsigelse — «En ungkar er gift» — er setningen analytisk.

Sammenhengen med komponentanalysen i kap. 2.3 er direkte og verdt å nevne: en analytisk setning tilskriver subjektet et trekk det allerede har. Ungkar har trekket [−GIFT] innebygd, og setningen legger ikke til noe.

Merk forholdet til tautologi. En analytisk setning er sann i alle situasjoner og er derfor en tautologi i vid forstand — men mens en logisk tautologi som «Det regner eller det regner ikke» er sann i kraft av formen, er en analytisk setning sann i kraft av ordbetydningene. Skillet er verdt én setning i et svar.

En setning der sannhetsverdien avhenger av hvordan verden er. Den engelske termen er ‘synthetic sentence’.

Eksempler:

(28)  Naboen er ungkar.
(29)  Hoppa står i stallen.
(30)  Boka koster 349 kroner.

Testen: benekt setningen. Blir resultatet en fullt mulig påstand og ingen selvmotsigelse, er setningen syntetisk.

Den skarpe forskjellen fra analytisk, i én setning: en analytisk setning er sann i kraft av betydningen, en syntetisk i kraft av verden. For å avgjøre den første trenger du bare å kunne språket; for å avgjøre den andre må du se etter.

Merk hvorfor skillet er semantisk interessant. Det gir en operasjonell prøve på hva som ligger i ordbetydningen og hva som ligger i vår kunnskap om verden. At vann fryser ved null grader, er noe vi har funnet ut; at en hoppe er en hunnhest, er noe som ligger i ordet.

Merk også at skillet er omstridt i filosofien. Grensen mellom hva som ligger i ordet og hva som er veletablert kunnskap om verden, er ikke alltid skarp — hvor hører «Katter er dyr» hjemme? Til eksamensbruk holder det å kunne skillet, testen og en setning om at grensetilfeller finnes.