4.1 Fra naturlig språk til predikatlogikk — predikater, konstanter, kvantorer

Det logiske systemet som ser inni setningen og regner på hvem som gjør hva, i tillegg til å regne på sannhetsverdier. Den engelske termen er ‘predicate logic’, også kalt ‘first-order logic’.

Forskjellen fra proposisjonslogikken i kap. 3.1 er skarp og lett å si i én setning: proposisjonslogikken har setningen som minste enhet; predikatlogikken har individet og egenskapen.

Alt fra kap. 3.1 er beholdt. De seks konnektivene virker på nøyaktig samme måte, og sannhetstabellene deres gjelder fortsatt. Predikatlogikken legger til apparatet under, den kaster ikke noe.

Symbolet for det som sies om noe — en egenskap eller en relasjon. Den engelske termen er ‘predicate’. Vi skriver predikater med store bokstaver: $P$, $S$, $L$, $K$.

Ta setningen «Nora synger». Her sies det noe — synger — om noen — Nora. Predikatet er synger, og vi kan skrive det $S$.

Merk hva som teller som predikat i logisk forstand. Det er ikke bare verb. Adjektiver (er trøtt), substantivfraser (er bibliotekar) og hele verbfraser (leverte skjemaet i tide) blir alle til predikater. Spørsmålet er ikke hvilken ordklasse uttrykket tilhører, men om det sier noe om ett eller flere individer.

Et predikat er ikke i seg selv sant eller usant. $S$ alene sier ingenting; det er først når du fyller inn hvem det gjelder, at du får noe som har en sannhetsverdi.

Symbolet for et bestemt individ — en person, en ting, et sted. Den engelske termen er ‘individual constant’. Vi skriver konstanter med små bokstaver fra begynnelsen av alfabetet: $a$, $b$, $c$.

Egennavn blir alltid til konstanter: Nora blir $n$, Odd blir $o$. Det samme gjelder entydige beskrivelser som peker ut ett bestemt individ i sammenhengen — biblioteket i sentrum kan bli $b$.

Ordet «konstant» betyr at symbolet peker på det samme hele veien. Innenfor én oppgave står $n$ for Nora i hver eneste formel. Det er nettopp derfor konstanter kan bære slutninger: fordi det er den samme Nora som opptrer i premiss og konklusjon.

Kvantoruttrykk er ikke konstanter. Alle deltakerne, ingen, noen studenter peker ikke ut ett individ, og de skal aldri oversettes til $a$ eller $b$. Det er selve poenget i løkke 2, og det er den innsikten kap. 1.3 allerede forberedte.

Symbolet for et vilkårlig individ — en plassholder som ikke peker på noen bestemt. Den engelske termen er ‘individual variable’. Vi bruker $x$, $y$, $z$.

Sammenlign de to skrivemåtene:

- $S(n)$ sier at Nora synger. Utsagnet er sant eller usant.
- $S(x)$ sier at noe synger, uten å si hva. Utsagnet er verken sant eller usant før du sier hva $x$ er.

Variabler er nøyaktig det samme grepet som $p$ og $q$ var i kap. 3.1 — plassholdere som lar deg formulere en regel én gang for alle. Forskjellen er hva de holder plassen for: $p$ holdt plassen for en hel proposisjon, $x$ holder plassen for et individ.

Variabler er nyttige først når noe binder dem, og det er kvantorenes jobb. En variabel som ingen har bundet, er et løst tau.

Antallet argumentplasser et predikat har. Den engelske termen er ‘arity’.

- Ettplasspredikat: $S(x)$ — «$x$ synger». Én plass. Ettplasspredikater uttrykker egenskaper.
- Toplasspredikat: $K(x,y)$ — «$x$ kjenner $y$». To plasser. Toplasspredikater uttrykker relasjoner.
- Treplasspredikat: $G(x,y,z)$ — «$x$ gir $y$ til $z$». Tre plasser.

Ariteten er fast for et gitt predikatsymbol i en gitt oppgave. Har du bestemt at $K$ tar to argumenter, kan du ikke skrive $K(a)$ lenger ute i besvarelsen. En formel med feil antall argumenter er ikke en unøyaktighet — den er ikke en formel i det hele tatt, på samme måte som «Nora kjenner» ikke er en fullstendig norsk setning.

Praktisk kontroll: tell hvor mange ting verbet trenger for å gi mening. Sove trenger én, kjenne trenger to, gi trenger tre.

Et predikat med mer enn én argumentplass — symbolet for en relasjon mellom individer. Den engelske termen er ‘relation symbol’.

Dette er den viktigste nyvinningen predikatlogikken gir deg, og grunnen er enkel: relasjoner er overalt i språket. Kjenne, møte, eie, lese, hjelpe, være større enn — alle krever to eller flere deltakere, og ingen av dem kan uttrykkes i proposisjonslogikken uten å bli en udelelig klump.

Et relasjonssymbol skrives med argumentene i parentes, skilt med komma: $K(a,b)$.

Relasjonssymboler er også nøkkelen til kap. 4.3, der en relasjon tolkes som en mengde av ordnede par. Det er verdt å merke seg allerede nå at rekkefølgen på argumentene bærer informasjon.

Regelen om at plassene i et relasjonssymbol ikke kan byttes om: $K(a,b)$ og $K(b,a)$ er ulike formler som kan ha ulik sannhetsverdi.

La $K(x,y)$ bety «$x$ kjenner $y$», $n$ bety Nora og $o$ bety Odd. Da sier $K(n,o)$ at Nora kjenner Odd, mens $K(o,n)$ sier at Odd kjenner Nora. De to kan godt ha ulik sannhetsverdi — Nora kan kjenne Odd fra fjernsynet uten at Odd har hørt om Nora.

Derfor må nøkkelen din si hvilken plass som er hvilken. Skriv ikke bare «$K$ = kjenner», men «$K(x,y)$: $x$ kjenner $y$». Uten den presiseringen er formelen din ikke tolkbar, og en utolkbar formel kan ikke rettes.

Denne regelen kommer igjen i skarpere form i kap. 4.3, der relasjoner tolkes som mengder av ordnede par. At parene er ordnede, er nøyaktig det samme poenget sett fra tolkningssiden.

En formel som består av ett predikat med sine argumenter fylt ut, og ingenting mer. Den engelske termen er ‘atomic formula’.

$S(n)$, $K(n,o)$ og $G(n,b,o)$ er atomære formler. $S(n) \land K(n,o)$ er det ikke — den er sammensatt, bygd av to atomære formler og et konnektiv.

Atomære formler spiller nøyaktig samme rolle her som atomære proposisjoner gjorde i kap. 3.1: de er bunnen. Konnektivene bygger større formler av dem, og sannhetsverdien til det store regnes ut fra sannhetsverdien til bunnen. Forskjellen er at bunnen nå har indre struktur — den er ikke en bokstav, men et predikat med argumenter.

Listen som sier hva hvert symbol i formelen din står for. Dette er predikatlogikkens motstykke til variabelforklaringen i en sannhetstabell, og den er like obligatorisk.

Formen er alltid den samme:

(2)  n:      Nora
     o:      Odd
     S(x):   x synger
     K(x,y): x kjenner y

Nøkkelen skal stå i besvarelsen, alltid, også når oppgaven oppgir predikatene selv. Grunnen er at oppgaven som regel oppgir dem knapt — «bruk $L$ for ‘leser’» — mens leseren av svaret trenger å vite hvilken argumentplass som er hvilken.

En nøkkel uten argumentplasser er en halv nøkkel. Skriv $K(x,y)$: «$x$ kjenner $y$», ikke «$K$ = kjenner». Det tar to sekunder ekstra og fjerner all tvil om hva formelen sier.

Innsikten hele løkka hviler på: uttrykk som alle, noen, ingen og de fleste peker ikke ut noe individ. De sier hvor stor del av en gruppe som oppfyller et vilkår.

Dette møtte du allerede i kap. 1.3: «Ingen kom» handler ikke om en person som heter Ingen. Konsekvensen for oversettelse er skarp:

- Egennavn og entydige beskrivelser blir til en konstant ($a$, $b$, $n$).
- Kvantoruttrykk blir til kvantor pluss variabel, aldri til en konstant.

Dette er den feilen som gir mest merkelige formler i besvarelser. Skriver du «Alle deltakerne leverte» som $L(a)$ med $a$ = «alle deltakerne», har du behandlet en mengdeangivelse som om den var et navn, og formelen kan ikke bære noen slutning.

Symbolet som sier at noe gjelder for alt. Vi skriver $\forall$, og den engelske termen er ‘universal quantifier’.

$\forall x\,S(x)$ leses «for enhver ting $x$ gjelder at $x$ synger» — altså «alt synger».

Symbolet er et opp-ned A, for All. Det er verdt å merke seg, for det er en av de påminnelsene som fungerer under tidspress.

Hva kvantoren løper over. $\forall x$ sier «for alt» — men alt hva? Svaret er: alt i det området vi snakker om. Når en oppgave sier «vi snakker om deltakerne på kurset», er det kurset kvantoren løper over. Dette området får et eget navn og en presis rolle i kap. 4.3, der det kalles domenet. Her holder det å vite at kvantorene alltid løper over noe, og at det noe er gitt av sammenhengen.

Symbolet som sier at noe gjelder for minst én ting. Vi skriver $\exists$, og den engelske termen er ‘existential quantifier’.

$\exists x\,S(x)$ leses «det finnes minst én ting $x$ slik at $x$ synger» — altså «noe synger».

Symbolet er et speilvendt E, for Exists.

Merk hva «minst én» innebærer, for det er en fast felle. $\exists$ er sann også når det finnes mange. «Noen deltakere leverte» er i logisk forstand sann også om alle leverte. Det norske noen antyder ofte «noen, men ikke alle», men den innsnevringen ligger ikke i kvantoren. Den er en pragmatisk tilleggsbetydning av samme slag som den eksklusive lesningen av eller i kap. 3.1, og mekanismen behandles i kap. 8.2.

En variabel som står i virkefeltet til en kvantor med samme bokstav. Den engelske termen er ‘bound variable’.

I $\forall x\,S(x)$ er $x$ bundet: kvantoren $\forall x$ står foran og fanger den. Kvantoren og variabelen hører sammen som et par, og de skal ha samme bokstav.

Bindingen er det som gjør formelen tolkbar. En bundet variabel er ikke et navn på noe; den er en plassholder kvantoren fyller ut med hver ting i tur og orden. Det er derfor bokstavvalget er likegyldig: $\forall x\,S(x)$ og $\forall y\,S(y)$ sier nøyaktig det samme.

Praktisk regel: hver variabel i en ferdig formel skal ha en kvantor med samme bokstav foran seg. Skriver du $\exists y$ og bruker $x$ inni, har du to løse tråder i stedet for én binding.

En fri variabel er en variabel ingen kvantor har bundet. En formel med minst én fri variabel kalles en åpen formel (‘open formula’).

$S(x)$ er en åpen formel: den sier «$x$ synger», og siden vi ikke vet hva $x$ er, er den verken sann eller usann.

Dette er en ren kontroll du kan kjøre på svaret ditt. En oversettelse av en fullstendig norsk setning skal aldri ende som en åpen formel. Står det en fri variabel igjen, har du enten glemt en kvantor eller brukt to ulike bokstaver der du mente én.

Konstanter er noe annet: $S(n)$ har ingen variabler i det hele tatt og er derfor lukket. Det er bare variabler som kan være frie.

$$\forall x\,(A(x) \rightarrow B(x))$$

Lest tilbake: «for enhver ting $x$ gjelder at hvis $x$ er A, så er $x$ B.»

Legg merke til hva formelen ikke sier. Den sier ingenting om at det finnes noen A-er i det hele tatt. Er det ingen bibliotekarer, er «alle bibliotekarer synger» sann i denne logikken — hver eneste implikasjon i formelen har usann antesedent og er derfor sann av tom sannhet, akkurat som i kap. 3.1.

Det virker rart, og det er verdt én setning i et svar. Men det er en logisk konvensjon, ikke en påstand om norsk: den som sier «alle bibliotekarene mine synger», antyder som regel at hun har bibliotekarer. Den antydningen er pragmatisk og fanges ikke av formelen.

$$\exists x\,(A(x) \land B(x))$$

Lest tilbake: «det finnes minst én ting $x$ slik at $x$ er A og $x$ er B.»

Her er konnektivet $\land$, ikke $\rightarrow$. Formelen påstår at det finnes noe som har begge egenskapene. Det er nettopp hva «noen bibliotekarer synger» sier: at minst ett individ er både bibliotekar og syngende.

Merk kontrasten til forrige mønster. Allsetningen sier ikke at det finnes noen A-er; eksistenssetningen gjør nettopp det. Det er derfor de to trenger hvert sitt konnektiv.

$$\lnot\exists x\,(A(x) \land B(x))$$

$$\forall x\,(A(x) \rightarrow \lnot B(x))$$

Den første leses «det finnes ikke noe som er både A og B». Den andre leses «for enhver ting gjelder at hvis den er A, så er den ikke B».

Begge er riktige, og de er logisk ekvivalente. Velg den du synes er lettest å lese tilbake, men oppgi gjerne begge i en besvarelse og si at de er ekvivalente. Det viser at du kjenner kvantornegasjonslovene, og det koster én linje.

Merk parringen i hver av dem. I den første er $\exists$ parret med $\land$, og negasjonen ligger utenpå hele kvantorformelen. I den andre er $\forall$ parret med $\rightarrow$, og negasjonen ligger inni, på konsekventen. Parringsregelen brytes altså ikke — den holder i begge.

$$\lnot\forall x\,(A(x) \rightarrow B(x))$$

$$\exists x\,(A(x) \land \lnot B(x))$$

Lest: «det er ikke tilfelle at alle A-er er B» — som er det samme som «det finnes minst én A som ikke er B».

Dette mønsteret forveksles ofte med det forrige, og forskjellen er stor. «Ingen bibliotekarer synger» utelukker alle; «ikke alle bibliotekarer synger» krever bare ett unntak. Den første er en påstand om samtlige, den andre om minst én.

Kontrollen: spør om setningen tillater at noen A-er faktisk er B. Gjør den det, er det «ikke alle»-mønsteret; utelukker den det helt, er det «ingen»-mønsteret.

$$\lnot\forall x\,\varphi \quad \text{er ekvivalent med} \quad \exists x\,\lnot\varphi$$

$$\lnot\exists x\,\varphi \quad \text{er ekvivalent med} \quad \forall x\,\lnot\varphi$$

Regelen i ord, som er formen du bør kunne den i: flytter du negasjonen forbi en kvantor, snur kvantoren. All blir finnes, og finnes blir all.

Dette er nøyaktig samme mønster som De Morgans lover i kap. 3.1, der negasjonen snudde $\land$ til $\lor$. Grunnen er den samme: allkvantoren er en slags uendelig konjunksjon, eksistenskvantoren en slags uendelig disjunksjon.

Prøv lovene på norsk, så ser du at de stemmer. «Det er ikke tilfelle at alle leverte» sier det samme som «det finnes minst én som ikke leverte». Og «det er ikke tilfelle at noen leverte» sier det samme som «ingen leverte», altså «for alle gjelder at de ikke leverte».

Symbolet $=$ brukt mellom to individuttrykk, med betydningen «er det samme individet som». Den engelske termen er ‘identity’.

$x = n$ sier at $x$ og Nora er én og samme person, ikke at de ligner hverandre.

Identitetstegnet trengs så snart du skal si «bare», «den eneste» eller «ingen andre enn». «Bare Nora leverte» blir $L(n) \land \forall x\,(L(x) \rightarrow x = n)$ — Nora leverte, og alt som leverte, er Nora.

Dette er også formen Russells analyse i kap. 1.3 hadde. Entydighetsleddet der sier nettopp at alt som er konge av Frankrike, er den samme tingen. Nå kan du lese hele den formelen ledd for ledd: en eksistenspåstand, en entydighetspåstand med identitet, og en egenskapspåstand, bundet sammen med $\land$.

Handlingen å oversette en setning fra naturlig språk til logisk notasjon. Den engelske termen er ‘formalisation’.

Formalisering er alltid delvis. Formelen fanger det som avgjør sannhetsverdien, og lar resten ligge. Men blir til $\land$ og mister motsetningsnyansen; noen blir til $\exists$ og mister «men ikke alle»; hvis blir til $\rightarrow$ og mister årsakssammenhengen.

Dette er ikke en svakhet ved apparatet — det er arbeidsdelingen i emnet. Det formelen mister, er nettopp det pragmatikken tar seg av, og det er en av grunnene til at boka har to halvdeler. En besvarelse som nevner hva formaliseringen lot ligge, viser at den forstår verktøyet, ikke bare bruker det.

Sluttkontrollen i enhver oversettelsesoppgave: les formelen tilbake til norsk, ledd for ledd, og sammenlign med setningen du startet med.

Slik gjør du det mekanisk:

- $\forall x$ leses «for enhver ting $x$ gjelder at …»
- $\exists x$ leses «det finnes minst én ting $x$ slik at …»
- $\rightarrow$ leses «hvis …, så …»
- $\land$ leses «… og …»
- $\lnot$ leses «det er ikke tilfelle at …»

Resultatet blir stivt norsk, og det skal det være. Poenget er ikke at parafrasen skal være vakker, men at den skal avsløre om formelen sier noe annet enn setningen.

Kontrollen tar tjue sekunder og fanger nesten alle parringsfeil. Har du skrevet $\exists x\,(D(x) \rightarrow L(x))$ i stedet for $\land$, gir parafrasen «det finnes minst én ting slik at hvis den er deltaker, så leverte den» — og der stopper de fleste opp av seg selv.