4.2 Scope, kvantorløfting (QR) og flertydighet

Virkefelt (scope), kvantorløfting og hvordan én setning kan ha to logiske lesninger.

50 min

10 oppgaver

Scopekvantorløfting (QR)flertydighet

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.1Fra naturlig språk til predikatlogikk — predikater, konstanter, kvantorer

Scope og kvantorløfting er prøvd i 2 av de 12 settene i materialet — høsten 2012 og høsten 2018. Temaet er altså ikke hyppig, men det er stabilt til stede, og det henger tett sammen med predikatlogikken i kap. 4.1, som det nyeste settet prøvde.

- Sjangeren er F2 — predikatlogikk-oversettelse og modellteoretisk evaluering — med et innslag av A1, altså redegjør og eksemplifiser. Oppgaven ber som regel om to ting: skriv ut begge lesningene som formler, og gi en parafrase for hver.
- Typisk formulering: «Vis at setningen under er scope-flertydig ved å gi begge predikatlogiske lesninger og en parafrase for hver av dem.»
- Den ene feilen som koster mest er å oppgi bare én lesning. Oppgaven ber om at du viser flertydigheten, og en flertydighet kan ikke vises med én formel. Å svare halvt er feil \#9 i bokas register — altså å svare på feil antall spørsmål.
- Den nest største feilen er å nevne kvantorløfting uten å vise hva den gjør. Å skrive «dette forklares med QR» er gjenfortelling, ikke forklaring. Det er feil \#5 i registeret.
- Prioritet: kunne. Temaet er lite, det tar en drøy halvtime, og det gir deg samtidig et verktøy du får bruk for i modellteorien i kap. 4.3.

Forkunnskaper: Dette kapitlet bygger direkte på kap. 4.1.

Sist du var her — tre ting du trenger friskt:

- $\forall x$ leses «for enhver ting $x$ gjelder at …», og $\exists x$ leses «det finnes minst én ting $x$ slik at …». Kvantoren står foran det den virker på.
- Parringsregelen: $\forall$ parres med $\rightarrow$ , og $\exists$ parres med $\land$ . Den gjelder uendret i dette kapitlet, også når kvantorene nøstes inni hverandre.
- Parentesen avgjør hvor langt en kvantor rekker. Det var poenget i $\forall x\,(B(x) \rightarrow S(x))$ mot $\forall x\,B(x) \rightarrow S(x)$ . Dette kapitlet er den innsikten gjort til hovedsak.

Ordet virkefelt møtte du også i kap. 3.1, der det het rekkevidde og gjaldt negasjonen: $\lnot(p \land q)$ mot $\lnot p \land q$ . Det er samme idé — hvem virker på hva — bare med kvantorer i stedet for konnektiver.

Kapitlet bruker de samme symbolene som kap. 4.1. Alle står samlet i Symbol- og formellisten nederst.

Én setning, to regnskaper

Tenk deg at et seminar er ferdig, og at kursleder skriver i referatet:

(1)  Alle deltakerne leste en artikkel.

Hva har egentlig skjedd? To helt ulike ting kan ha skjedd, og setningen dekker begge:

- Enten leste Nora én artikkel, Odd en annen, Petra en tredje — hver deltaker med sin egen. Da er det like mange artikler som deltakere.
- Eller var det én bestemt artikkel — den om språkfilosofi — som samtlige deltakere leste. Da er det bare én artikkel i bildet.

Begge situasjonene gjør setningen sann, og setningen sier ikke hvilken av dem det er. Det er ikke en uklarhet i ordene, og ikke en uklarhet i verden. Hvert ord i setningen betyr nøyaktig det det pleier. Uklarheten ligger i hvordan de to mengdeangivelsene forholder seg til hverandre: hvem av dem regnes ut først.

Det er nettopp det predikatlogikken kan gjøre synlig, og det er hele kapitlet. To formler, to situasjoner, én setning.

Kapitlet er bygd i tre løkker. Løkke 1 innfører virkefelt og de to lesningene, løkke 2 tar kvantorløfting som mekanismen bak, og løkke 3 tar negasjon og de vanskeligere tilfellene.

Løkke 1 — Virkefelt og de to lesningene (~20 min)

Her innføres begrepet som bærer hele kapitlet, og de to formlene du skal kunne skrive ut i søvne.

Virkefelt

\forall x\,(D(x) \rightarrow L(x))

Leseregelen: venstre kvantor har videst virkefelt

\forall x\,\exists y\,\varphi

Vidt virkefelt

\forall x\,\exists y\,\varphi

Trangt virkefelt

\exists y

Scope-flertydighet

\forall x\,\bigl(D(x) \rightarrow \exists y\,(A(y) \land L(x,y))\bigr)

Den uspesifikke lesningen

\forall x\,\bigl(D(x) \rightarrow \exists y\,(A(y) \land L(x,y))\bigr)

Den spesifikke lesningen

\exists y\,\bigl(A(y) \land \forall x\,(D(x) \rightarrow L(x,y))\bigr)

📜Styrkeforholdet mellom de to lesningene

De to lesningene er ikke likeverdige i styrke. Den ene sier mer enn den andre, og forholdet går bare én vei.

Den spesifikke lesningen er den sterkeste. Er det sant at det finnes én artikkel alle leste, så er det også sant at hver deltaker leste minst én artikkel. Det andre følger av det første, uansett hvordan situasjonen ellers ser ut.

$\exists y\,\bigl(A(y) \land \forall x\,(D(x) \rightarrow L(x,y))\bigr) \ \vDash \ \forall x\,\bigl(D(x) \rightarrow \exists y\,(A(y) \land L(x,y))\bigr)$

Symbolet $\vDash$ er entailment fra kap. 3.2: det som står til venstre, kan ikke være sant uten at det som står til høyre, også er det.

Motsatt vei gjelder ikke. Situasjonen i figuren over er moteksempelet: Nora leste artikkel P, Odd leste artikkel Q, og ingen leste begge. Der er den uspesifikke lesningen sann og den spesifikke usann.

Dette er verdt å skrive i en besvarelse, for det gjør to ting samtidig: det viser at du har forstått hva forskjellen består i, og det gir deg en gratis kontroll. Har du to formler der ingen av dem følger av den andre, har du sannsynligvis skrevet feil et sted.

Skillesituasjonen

En konkret situasjon der de to lesningene får ulik sannhetsverdi . Å beskrive en slik situasjon er den tryggeste måten å vise at en setning er flertydig. For «Alle deltakerne leste en artikkel» er skillesituasjonen enkel: to deltakere, to artikler, hver deltaker leste sin. Der er den uspesifikke lesningen sann og den spesifikke usann . Framgangsmåten for å konstruere en skillesituasjon er alltid den samme: gjør den svakeste lesningen sann på den mest spredte måten du kan. Har hvert individ sin egen partner, er eksistenskvantoren med vidt virkefelt utelukket. Dette grepet er også hele metoden i kap. 4.3, der du systematisk regner ut sannhetsverdier mot en oppgitt situasjon. Her gjør du det uformelt; der gjør du det med et apparat.

Parafrasetesten for scope

\forall

✏️Eksempel 1: Begge lesningene skrevet ut, med skillesituasjon

Nyskrevet eksamensoppgave: «Vis at setningen under er scope-flertydig. Gi begge predikatlogiske lesninger, en entydig parafrase for hver, og beskriv en situasjon som skiller dem.»

(2)  Alle deltakerne leste en artikkel.

Nøkkelen:

(3)  D(x):   x er deltaker
     A(y):   y er artikkel
     L(x,y): x leste y

Lesning 1 — allkvantoren har vidt virkefelt (den uspesifikke).

$\forall x\,\bigl(D(x) \rightarrow \exists y\,(A(y) \land L(x,y))\bigr)$

Parafrase: «Hver deltaker leste minst én artikkel, men ikke nødvendigvis den samme som de andre.»

Lesning 2 — eksistenskvantoren har vidt virkefelt (den spesifikke).

$\exists y\,\bigl(A(y) \land \forall x\,(D(x) \rightarrow L(x,y))\bigr)$

Parafrase: «Det finnes én bestemt artikkel som samtlige deltakere leste.»

Situasjonen som skiller dem. To deltakere, Nora og Odd, og to artikler, P og Q. Nora leste P, Odd leste Q, og ingen av dem leste den andres artikkel.

- Lesning 1 er sann her. Ta Nora: hun er deltaker, og det finnes en artikkel, nemlig P, som hun leste. Ta Odd: han er deltaker, og det finnes en artikkel, nemlig Q, som han leste. Begge deltakerne oppfyller kravet, og andre deltakere finnes ikke.
- Lesning 2 er usann her. Formelen krever at det finnes én artikkel som alle leste. Prøv P: Nora leste den, men Odd gjorde ikke. Prøv Q: Odd leste den, men Nora gjorde ikke. Ingen kandidat holder, og formelen er usann.

Merk hva som skjer i den andre retningen. Hadde begge lest P, ville begge lesningene vært sanne. Det er ikke tilfeldig: den spesifikke lesningen er den sterkeste, og den kan ikke være sann uten at den uspesifikke også er det.

> Margnotat: at svaret beskriver situasjonen konkret — to navn, to artikler, hvem leste hva — er det som skiller en fullstendig besvarelse fra en riktig. En påstand om at lesningene er ulike, er lett å skrive; en situasjon som viser det, er ikke til å motsi.

📝Oppgave 1

a) Hvilken kvantor har vidt virkefelt i

\forall x\,\exists y\,K(x,y)

?
b) Les den formelen på norsk, ledd for ledd.
c) Hva heter fenomenet at én setning har to lesninger fordi kvantorene kan ordnes i to rekkefølger?

Løkke 2 — Kvantorløfting (QR) (~18 min)

— naturlig pausepunkt —

Til nå har vi bare konstatert at det finnes to lesninger. Nå kommer spørsmålet som gjør temaet til lingvistikk og ikke bare logikk: *hvordan kan en setning der en artikkel står sist, ha en lesning der den kvantoren kommer først?*

Overflateform

Setningen slik den faktisk uttales eller skrives, med den ordstillingen den har. Den engelske termen er ‘surface structure’ eller ‘surface form’. I overflateformen av «Alle deltakerne leste en artikkel» står alle deltakerne først og en artikkel sist. Problemet er at overflateformen bare har én rekkefølge, mens setningen har to lesninger. Er rekkefølgen i setningen det som bestemmer virkefeltet, skulle setningen bare hatt den uspesifikke lesningen. Men den har begge. Noe annet enn overflaterekkefølgen må altså avgjøre virkefeltet.

Logisk form

En egen representasjon av setningen der virkefeltene er entydig fastlagt . Den engelske termen er ‘Logical Form’, ofte forkortet LF. Tanken er denne: en setning har mer enn ett strukturnivå. Overflateformen er nivået vi hører. Logisk form er et nivå til, som ikke uttales, og der hvert kvantoruttrykk har fått en fast plass i virkefelts-hierarkiet. En flertydig setning har da én overflateform og to logiske former — én per lesning. Det er nettopp det som gjør at flertydigheten kan representeres i det hele tatt. Framstillingen her følger den som brukes i Elbourne og i Zimmermann & Sternefeld. Du trenger ikke ta stilling til hvor sterkt et slikt nivå er begrunnet — det er en teoretisk debatt langt utenfor et innføringsemne — men du bør kunne forklare hva representasjonen gjør.

Kvantorløfting (QR)

Operasjonen som flytter et kvantoruttrykk ut av setningen og opp foran den i logisk form. Den engelske termen er ‘Quantifier Raising’, alltid forkortet QR.Slik virker den på vår setning: kvantoruttrykket en artikkel står som objekt i overflateformen. QR løfter det opp og plasserer det foran hele setningen, og den etterlater et spor i den plassen det forlot.Resultatet er en logisk form der en artikkel står lengst til venstre og derfor har videst virkefelt — nøyaktig den spesifikke lesningen.Mekanismen forklart, ikke bare navngitt: QR er en flytting som omordner virkefelts-hierarkiet uten å endre ordstillingen vi hører. Løftes objektkvantoren over subjektkvantoren, får objektet vidt virkefelt; løftes den ikke, beholder subjektet det. De to lesningene svarer altså til to ulike løftinger.Å skrive «dette forklares med QR» og stoppe der, er feil \#5 i bokas register — å gjenfortelle i stedet for å forklare mekanismen. Si hva som flyttes, hvor det flyttes til, og hvilken lesning det gir.

Sporet

L(x,y)

📜Prosedyre: vis at en setning er scope-flertydig

Fem trinn. Dette er oppskriften for hele oppgavetypen, og den kan følges mekanisk.

Trinn 1 — identifiser kvantoruttrykkene. Det skal være minst to. Typiske par er alle sammen med en/noen, hver sammen med en, eller et kvantoruttrykk sammen med en negasjon.

Trinn 2 — skriv nøkkelen. Predikater med argumentplassene markert, som i kap. 4.1.

Trinn 3 — skriv lesningen som følger overflaterekkefølgen først. Den er lettest, og den gir deg byggeklossene til den andre.

Trinn 4 — skriv den andre lesningen ved å løfte den innerste kvantoren ut. Kontroller at parringsregelen fortsatt holder: $\forall$ med $\rightarrow$ , $\exists$ med $\land$ . Rekkefølgen skifter, parringen gjør det ikke.

Trinn 5 — gi en entydig parafrase for hver lesning, og beskriv en skillesituasjon. Parafrasen skal ikke kunne leses på to måter; skillesituasjonen skal være konkret, med navn og tall.

Kontroll før du leverer: to formler, to parafraser, én situasjon, og parringsregelen holdt i begge formlene. Fire ting, tjue sekunder.

📝Oppgave 2

Sjanger F2

Bruk nøkkelen under, og gjør oppgaven i tre deler.

(4)  E(x):   x er elev
     O(y):   y er oppgave
     Lo(x,y): x løste y

Betrakt setningen: «Alle elevene løste en oppgave.»

a) Skriv lesningen der allkvantoren har vidt virkefelt, og gi en entydig parafrase.
b) Skriv lesningen der eksistenskvantoren har vidt virkefelt, og gi en entydig parafrase.
c) Beskriv en konkret situasjon der den ene lesningen er sann og den andre usann.

📝Oppgave 3

Sjanger F2 og A1

Forklar kvantorløfting slik en eksamensbesvarelse ville gjort det.

a) Hva er det som løftes, og hvor løftes det til?
b) Hva blir igjen på plassen som forlates, og hvilken rolle spiller det?
c) Hvilken av de to lesningene av «Alle elevene løste en oppgave» krever løfting, og hvorfor?

Løkke 3 — Negasjon, og de tilfellene som er verre (~12 min)

Kvantorer er ikke de eneste uttrykkene som konkurrerer om virkefelt. Negasjonen gjør det samme, og den gir en flertydighet mange møter uten å legge merke til den.

Kvantor og negasjon i samme setning

\forall x\,(D(x) \rightarrow \lnot L(x))

Den foretrukne lesningen

Den lesningen som melder seg først når du leser en scope-flertydig setning uten videre sammenheng. Den engelske termen er ‘preferred reading’. For «Alle deltakerne leste en artikkel» er den uspesifikke lesningen som regel den foretrukne — den som følger overflaterekkefølgen, med subjektkvantoren ytterst. Merk hva dette er og hva det ikke er. At én lesning er lettere tilgjengelig, er ikke det samme som at den andre er utelukket. Setningen har fortsatt begge lesningene, og en sammenheng kan gjøre den mindre tilgjengelige til den opplagte: sier noen «alle deltakerne leste en artikkel — den om språkfilosofi», er den spesifikke lesningen den eneste som gjenstår. Dette er derfor et pragmatisk fenomen, ikke et semantisk. Setningens betydning rommer begge; sammenhengen og tolkningsvanene våre velger. Å påstå at den foretrukne lesningen er «den riktige», er en feil — og det er nettopp den feilen en scope-oppgave er laget for å avdekke.

Strukturell flertydighet

Flertydighet som skyldes hvordan delene i setningen er ordnet i forhold til hverandre, ikke at noe enkeltord har flere betydninger. Den engelske termen er ‘structural ambiguity’. Scope-flertydighet er en type strukturell flertydighet. Kontrasten er leksikalsk flertydighet, som du møtte i kap. 2.1 : der ligger flertydigheten i ett ord, som ved homonymi og polysemi. En setning med bank er flertydig fordi ordet har flere betydninger. Testen som skiller de to typene: kan du peke på ett ord som har to betydninger? Da er flertydigheten leksikalsk. Betyr hvert ord nøyaktig det det pleier, mens setningen likevel har to lesninger, er den strukturell. «Alle deltakerne leste en artikkel» består av ord som hver for seg er entydige. Det er nettopp derfor flertydigheten må ligge i strukturen.

📝Oppgave 4

Sjanger F2

Betrakt setningen «Alle søkerne fikk ikke svar.»

(5)  S(x): x er søker
     Sv(x): x fikk svar

a) Skriv de to lesningene som formler.
b) Gi en entydig parafrase for hver.
c) Beskriv en situasjon der den ene er sann og den andre usann.

📝Oppgave 5

(Krevende. Sjanger F2.) Betrakt setningen «En veileder leste alle rapportene.»

(6)  V(x):   x er veileder
     R(y):   y er rapport
     Le(x,y): x leste y

a) Skriv de to scope-lesningene.
b) Hvilken av dem følger overflaterekkefølgen, og hvilken krever kvantorløfting?
c) Hvilken av lesningene er sterkest? Begrunn med en situasjon.

📝Oppgave 6

(Krevende. Sjanger F2 og A1, full sjanger.) «Betrakt setningen under. (i) Vis at den er scope-flertydig ved å gi begge lesninger som formler med entydige parafraser. (ii) Forklar hva kvantorløfting gjør, og hvilken av lesningene som krever den. (iii) Beskriv en situasjon som skiller lesningene. (iv) Forklar hvorfor denne flertydigheten er strukturell og ikke leksikalsk.»

(7)  Hver student valgte en veileder.

Ikke bland vidt og trangt virkefelt

De to lesningene ser nesten like ut på papiret, og forvekslingen er feil \#2 i bokas register — altså det å bytte om parvise begreper.

Den skarpe forskjellen i én setning: den kvantoren som står lengst til venstre, er valgt én gang for alle; den som står innerst, velges på nytt for hvert valg den ytterste gjør.

Testen som skiller dem i praksis: spør om setningen på den lesningen du mener, tillater at hver X har sin egen Y. Gjør den det, står eksistenskvantoren innerst. Krever den samme Y for alle, står eksistenskvantoren ytterst.

To feller som følger av forvekslingen:

- Å tro at rekkefølgen i den norske setningen avgjør. Den gjør det ikke — det er nettopp derfor kvantorløfting finnes som begrep. En setning der objektet står sist, kan godt ha en lesning der objektkvantoren har videst virkefelt.
- Å bytte parring samtidig som du bytter rekkefølge. Rekkefølgen på kvantorene skifter mellom lesningene; parringen $\forall$ med $\rightarrow$ og $\exists$ med $\land$ gjør det aldri.

Fasit — ikke slark

Scope-oppgaver har fasit. To lesninger, to formler, og en parafrase som faktisk skiller dem — det er hva oppgaven ber om, og vaghet teller som feil \#4 i bokas register, ikke som svakhet. Den ene sensorveiledningen som finnes, for høsten 2022, er kategorisk på det punktet for formelle svar.

> Vagt: «Setningen kan bety at alle leste den samme artikkelen, eller at de leste forskjellige. Det avhenger av scope.»
> Presist: «På lesningen der allkvantoren har vidt virkefelt — $\forall x\,(D(x) \rightarrow \exists y\,(A(y) \land L(x,y)))$ — leste hver deltaker minst én artikkel, ikke nødvendigvis den samme. På lesningen der eksistenskvantoren har vidt virkefelt — $\exists y\,(A(y) \land \forall x\,(D(x) \rightarrow L(x,y)))$ — finnes det én bestemt artikkel som alle leste. Situasjonen der Nora leste P og Odd leste Q, skiller dem: der er den første sann og den andre usann.»

Fem spørsmål til ditt eget svar:

- Har jeg skrevet begge lesningene som formler, ikke bare beskrevet dem?
- Er hver parafrase entydig — kan den selv leses på to måter?
- Står skillesituasjonen der, konkret, med navn og tall?
- Holder parringsregelen i begge formlene?
- Har jeg sagt hva kvantorløfting gjør, og ikke bare nevnt forkortelsen?

Den enkeltformuleringen som koster mest: «setningen er tvetydig fordi en artikkel kan bety flere ting». Nei — en artikkel betyr det samme i begge lesningene. Det som varierer, er virkefeltet, ikke betydningen av ordene.

Typiske feil

Fem feil dominerer scope-oppgaver.

- Feil \#9 — å oppgi bare én lesning. Oppgaven ber om at du viser flertydigheten, og det krever to formler. Én formel er et halvt svar.
- Feil \#5 — å nevne kvantorløfting uten å forklare den. Si hva som flyttes, hvor det havner, hva sporet gjør, og hvilken lesning resultatet gir.
- Feil \#2 — å bytte om de to lesningene. Kontrollen er leseregelen: venstre kvantor har videst virkefelt, og den er valgt én gang for alle.
- Parafraser som selv er flertydige. «Alle leste en artikkel» duger ikke som parafrase på noen av lesningene — det er den flertydige setningen om igjen.
- Parringen brutt i den andre formelen. Det er lett å skrive $\exists y\,(A(y) \rightarrow \ldots)$ når man snur rekkefølgen. Rekkefølgen skifter; parringen gjør det ikke.

En sjette felle, som hører til feil \#4: å påstå at den ene lesningen er «den riktige». Begge er riktige lesninger av setningen. Hva som er ment i en konkret situasjon, avgjøres av sammenhengen — men setningen i seg selv har begge.

Symbol- og formelliste

Repetisjon

Din fremgang

0 / 4 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av den aktuelle utdanningsinstitusjonen. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.