3.5 Drill — sannhetstabell og slutningstest (fasit)

Sannhetstabeller, entailment-, presupposisjons- og implikaturtester drillet til automatikk med fasit.

75 min

16 oppgaver

Drillsannhetstabellslutningstest (fasit)

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.4De tre slutningstypene skilt — pluss mengdelære, Venn og downward entailment

Brukes videre i

3.PPrøver til del 3: Sannhetsbetingelser, entailment og presupposisjon

Dette kapitlet drilles fordi Del 3 leverer de mest fasit-tunge oppgavene i hele emnet, og fordi de tre temaene som drilles her, til sammen dekker over halvparten av settene.

- Entailment er prøvd i 8 av de 12 settene, presupposisjon i 8 av 12, og logikk og sannhetsbetingelser i 6 av 12 med stigende andel. Én av de tre dukker opp i praktisk talt hvert eneste sett.
- To sjangre drilles her. F1 er sannhetstabeller og sannhetsbetingelser: sett opp tabellen, forklar radene, formuler betingelsen med «hviss». A2 er slutningstester: kjør negasjonstesten og kansellerbarhetstesten, klassifiser, begrunn.
- Den ene sensorveiledningen som finnes, for høsten 2022, er kategorisk: for sannhetsbetingelser og biimplikasjoner finnes utvetydige svar, og vaghet — «slark» — er feil, ikke bare svakhet.
- Prioritet: høyeste. Begge sjangrene er mekaniske når du først kan dem, og de tar under tjue minutter hver på eksamen.

Slik bruker du kapitlet: det er en drill på omtrent 75 minutter, og det bør deles over to økter. Oppgave 1 til 8 er tabeller, oppgave 9 til 16 er slutninger. Skriv svarene med penn før du åpner fasiten — det er føringen som drilles, ikke gjenkjenningen.

Forkunnskaper: Drillen forutsetter hele Del 3: kap. 3.1, kap. 3.2, kap. 3.3 og kap. 3.4, pluss føringsmalen fra kap. 0.2.

Sist du var her — de seks tingene alle oppgavene hviler på:

- Radtallet er $2^n$ . To variabler gir fire rader, tre gir åtte. Tell alltid.
- Material implikasjon er usann i nøyaktig ett tilfelle: når antesedenten er sann og konsekventen usann. I de tre andre radene er den sann.
- Inklusiv og eksklusiv disjunksjon skiller seg i én rad — den der begge leddene er sanne.
- Negasjonstesten: neger setningen. Forsvinner slutningen, er den et entailment. Overlever den, er den en presupposisjon eller en implikatur.
- Kansellerbarhetstesten: prøv å trekke slutningen tilbake. Går det uten selvmotsigelse, er den en implikatur.
- Downward entailment: i en nedovergående posisjon går slutningen fra overmengde til delmengde, fordi å utelukke det store er å utelukke alle delene av det.

Alle symboler står samlet i Symbol- og formellisten nederst.

Løsningsoppskriftene (~10 min)

To sjangre, to algoritmer. Begge er korte, og begge er verdt å kunne utenat — under tidspress er det rekkefølgen som redder deg, ikke kunnskapen.

F1 — sannhetstabell og sannhetsbetingelse

Trinn 1. Oppgi hva variablene står for, med de faktiske setningene fra oppgaven.
Trinn 2. Tell variablene og regn ut $2^n$ . Skriv tallet ned.
Trinn 3. Fyll ut variabelkolonnene systematisk, fra alt sant til alt usant.
Trinn 4. Regn innenfra og ut. Ta parentesinnholdet først, hovedkonnektivet sist, og la mellomkolonnene stå i tabellen.
Trinn 5. Formuler sannhetsbetingelsen i ord, med hviss, og kommenter den eller de radene som er overraskende.

A2 — slutningstest og klassifisering

Trinn 1. Skriv opp $p$ og $q$ — setningen og slutningen — hver for seg.
Trinn 2. Kjør negasjonstesten. Neger $p$ , og skriv den negerte setningen ut i klartekst. Holder slutningen fortsatt? Da er du i presupposisjon eller implikatur.
Trinn 3. Kjør kansellerbarhetstesten. Skriv ut fortsettelsen som trekker slutningen tilbake. Går det uten selvmotsigelse, er slutningen en implikatur.
Trinn 4. Klassifiser, og oppgi kilden: hyponymi, konnektiv, kvantor, eller navnet på triggeren.
Trinn 5. Er svaret «ikke entailment», si hva slutningen da er. Et «nei» uten fortsettelse er et halvt svar.

Fellesnevneren for de to: det som gir uttelling, er ikke resultatet, men at prosedyren står i besvarelsen. En riktig tabell uten variabelforklaring og en riktig klassifisering uten test er begge halve svar.

Tabellalgoritmen

2^n

Slutningsalgoritmen

p

Radkontrollen

2^n

Variabelforklaringen

p

Testen skrevet ut

Føringsregelen for A2-sjangeren: den negerte setningen og fortsettelsen som kansellerer, skal stå i klartekst i besvarelsen. Sammenlign de to formene: > Testen navngitt: «Negasjonstesten viser at slutningen overlever, så dette er en presupposisjon.» > Testen kjørt: «‘Naboen sluttet ikke å måke fortauet’ forutsetter fortsatt at han måkte før. Slutningen overlever negasjonen, og den er derfor en presupposisjon.» Begge sier det samme. Bare den andre viser at testen er utført på materialet i oppgaven. Merk at dette er den samme regelen som i kap. 2.4, bare med andre tester. Det er ingen tilfeldighet: hele boka hviler på at kategorien skal være utledet, ikke gjenkjent. Kostnaden er to linjer per slutning. Gevinsten er at svaret går fra å være en påstand om et testresultat til å være testresultatet.

Tidsbudsjett for en Del 3-oppgave

Anslaget du kan regne med når en F1- eller A2-oppgave dukker opp på eksamen. En slik oppgave er én av rundt ti besvarelser i et sett, og har derfor omtrent 20 minutters skrivetid . Fordelingen: - 2 minutter: les oppgaveteksten og tell kravene. Står det «forklar», «gi eget eksempel» eller «begrunn med en test»? - 3 minutter ved tabelloppgaver: variabelforklaring, radtall og oppsett. - 10 minutter: selve utregningen eller testene, cirka to minutter per rad-forklaring eller per slutning. - 3 minutter: sannhetsbetingelsen i ord, eller kilden til hver slutning. - 2 minutter: kontroll — radtall, variabelforklaring, og at alle deloppgaver er besvart. Den vanligste tidsfellen i denne sjangeren er å skrive en innledning om hva proposisjonslogikk er. Det er ikke spurt om, og det spiser minuttene du trenger på rad-forklaringene til slutt.

✏️Eksempel 1: Gjennomgått case med margnotater

Nyskrevet eksamensoppgave: «(a) Sett opp sannhetstabellen for

(p \lor q) \land \lnot(p \land q)

, og forklar hvilket kjent konnektiv uttrykket svarer til. (b) Avgjør for setningsparet under om den første entailer den andre, og begrunn med en test.»

(2) a.  Alle deltakerne som møtte, fikk utdelt program.
    b.  Ingen som møtte, ble stående uten program.

(a) Variablene. Oppgaven gir bare formelen, så jeg oppgir hva slags proposisjoner variablene står for:

p

q

er vilkårlige proposisjoner, og resultatet gjelder uansett hva som settes inn.

Radtallet: to variabler, altså $2^2 = 4$ rader.

Tabellen med mellomkolonner:

$p$	$q$	$p \lor q$	$p \land q$	$\lnot(p \land q)$	$(p \lor q) \land \lnot(p \land q)$
S	S	S	S	U	U
S	U	S	U	S	S
U	S	S	U	S	S
U	U	U	U	S	U

> Margnotat: mellomkolonnene står i tabellen, og de er ikke rot. De er dokumentasjonen på at utregningen er gjort innenfra og ut, og de gjør svaret kontrollerbart. I en oppgave der du skal vise noe, er mellomkolonnene halve poenget.
Avlesningen: sluttkolonnen er U, S, S, U. Uttrykket er sant i nøyaktig de to radene der én av leddene er sann og den andre usann.
Hvilket konnektiv det svarer til: eksklusiv disjunksjon,

p \veebar q

. Uttrykket sier bokstavelig talt «minst én, men ikke begge», og det er nettopp XOR.
Sannhetsbetingelsen formulert presist: uttrykket er sant hviss nøyaktig én av

p

q

er sann; det er usant både når begge er sanne og når begge er usanne.
> Margnotat: her står kontrollen som gjør svaret sikkert: sluttkolonnen har to S-er, akkurat som XOR, mens inklusiv disjunksjon ville hatt tre. Å telle S-ene tar fem sekunder og fanger den vanligste forvekslingen i sjangeren.

(b) Slutningen.

(3)  p = «Alle deltakerne som møtte, fikk utdelt program»
     q = «Ingen som møtte, ble stående uten program»

Negasjonstesten: «Ikke alle deltakerne som møtte, fikk utdelt program» medfører ikke $q$ — tvert imot, den medfører at noen ble stående uten. Slutningen forsvinner under negasjon.

Kansellerbarhetstesten: «Alle som møtte fikk utdelt program, men noen ble stående uten» er en selvmotsigelse. Slutningen kan ikke trekkes tilbake.

Klassifisering: entailment. Kilden er forholdet mellom kvantorene alle og ingen, sammen med at å få utdelt program og å bli stående uten program er komplementære.

> Margnotat: legg merke til at svaret oppgir kilden, ikke bare kategorien. Det er det femte trinnet i slutningsalgoritmen, og det koster én linje.

> Margnotat: legg også merke til at entailmentet her går begge veier — $q$ entailer også $p$ . Det gjør paret til et tilfelle av gjensidig entailment, altså ekvivalens. Å nevne det er et pluss-punkt, men bare når du har prøvd testen i begge retninger.

Del 1 av drillen — sannhetstabeller (~30 min)

Oppgave 1 til 8. De første er små, de siste har tre variabler og sammensatte uttrykk.

📝Oppgave 1

a) Hvor mange rader har en tabell med fire variabler?
b) Sett opp tabellen for

p \land \lnot q

.
c) Formuler sannhetsbetingelsen i ord.

📝Oppgave 2

Sjanger F1

Sett opp tabellene for $p \lor q$ og $p \veebar q$ i samme oppstilling, og svar:

a) I hvilken rad skiller de seg?
b) Hvor mange S-er har hver av sluttkolonnene?
c) Gi ett eget eksempel på hver av de to lesningene.

📝Oppgave 3

Sjanger F1

Sett opp tabellen for setningen under, og forklar hvilken rad som gjør den usann.

(6)  Hvis søknaden kom inn før fristen, blir den behandlet.

a) Oppgi variablene og formaliser.
b) Sett opp tabellen.
c) Forklar alle fire radene, særlig de to der antesedenten er usann.

📝Oppgave 4

Sjanger F1

Sett opp én tabell med mellomkolonner for $\lnot(p \rightarrow q)$ , og svar:

a) Hvilket kjent uttrykk er dette ekvivalent med?
b) Hva forteller det om entailment?

📝Oppgave 5

Sjanger F1

Sett opp tabellen for $(p \land q) \lor (\lnot p \land \lnot q)$ med mellomkolonner.

a) Hvilket kjent konnektiv svarer uttrykket til?
b) Formuler sannhetsbetingelsen i ord.

📝Oppgave 6

(Krevende. Sjanger F1, tre variabler.) Sett opp tabellen for $(p \lor q) \rightarrow r$ .

a) Hvor mange rader skal tabellen ha?
b) Sett den opp med mellomkolonne.
c) I hvilke rader er uttrykket usant, og hva har de til felles?

📝Oppgave 7

(Krevende. Sjanger F1.) En kandidat har levert denne tabellen for $p \rightarrow q$ :

$p$	$q$	$p \rightarrow q$
S	S	S
S	U	U
U	S	U

a) Finn alle feilene.
b) Sett opp den riktige tabellen, og forklar hva som er galt i hver av de feilene du fant.

📝Oppgave 8

(Krevende. Sjanger F1, full sjanger med egne eksempler.) «Sett opp sannhetstabellen for $p \rightarrow (q \lor r)$ , forklar den eller de radene som gjør uttrykket usant, og gi et eget eksempel på en norsk setning med denne formen.»

Del 2 av drillen — slutningstester (~30 min)

— naturlig pausepunkt —

Oppgave 9 til 16. Her er det negasjonstesten og kansellerbarhetstesten som gjelder.

📝Oppgave 9

Kjør negasjonstesten på hver setning, og si om slutningen er et entailment eller ikke.

a) «Erik kjøpte en bærbar datamaskin.» ⇒ Erik kjøpte en datamaskin.
b) «Erik sluttet å bruke den gamle datamaskinen.» ⇒ Erik brukte den gamle datamaskinen før.
c) «Erik og Sara kjøpte hver sin datamaskin.» ⇒ Sara kjøpte en datamaskin.

📝Oppgave 10

Sjanger A2

Klassifiser hver slutning som entailment, presupposisjon eller implikatur. Kjør de testene som trengs, og oppgi kilden.

a) «Det var Ingrid som ordnet transporten.» ⇒ Noen ordnet transporten.
b) «Ingrid ordnet transporten og innkvarteringen.» ⇒ Ingrid ordnet transporten.
c) «Ingrid ordnet noe av det praktiske.» ⇒ Ingrid ordnet ikke alt det praktiske.
d) «Ingrid rakk å ordne transporten.» ⇒ Det var en frist.

📝Oppgave 11

Sjanger A1 og A2

For hver setning: oppgi presupposisjonen, navngi utløseren, og si om den er leksikalsk eller strukturell.

a) «Kommunen beklaget at fristen ble forlenget.»
b) «Bussen var forsinket igjen på tirsdag.»
c) «Hvis rådmannen hadde varslet, ville saken blitt utsatt.»
d) «Etter at avtalen ble signert, startet arbeidet.»
e) «Denne ordningen er dyrere enn den forrige.»

📝Oppgave 12

Sjanger A2

Klassifiser hver slutning, og begrunn med den testen som avgjorde.

a) «Noen av vaktene hadde nøkkel.» ⇒ Ikke alle vaktene hadde nøkkel.
b) «Alle vaktene hadde nøkkel.» ⇒ Noen av vaktene hadde nøkkel.
c) «Vakta oppdaget at døra sto åpen.» ⇒ Døra sto åpen.
d) «Vakta klarte å låse døra.» ⇒ Døra ble låst.
e) «Vakta leter etter nøkkelen.» ⇒ Vakta har mistet nøkkelen.

📝Oppgave 13

Sjanger F1 og A2

La $A$ være mengden av deltakere som leverte rapport, og $B$ mengden av deltakere som møtte på seminaret. Universet er alle deltakere.

(10)  A = {Lie, Moen, Ross}
      B = {Moen, Ross, Sund}
      Universet = {Lie, Moen, Ross, Sund, Tang}

a) Finn $A \cap B$ , $A \cup B$ og komplementet til $B$ .
b) Er $\{$ Moen, Ross $\} \subseteq A$ ? Begrunn.
c) Beskriv hvordan du ville tegnet Venn-diagrammet, og hvor hvert navn hører hjemme.
d) Hvilken mengdeoperasjon svarer setningen «Deltakeren leverte rapport og møtte på seminaret» til?

📝Oppgave 14

(Krevende. Sjanger A2 — downward entailment.) For hver posisjon: avgjør om den er oppovergående eller nedovergående, vis med ordparet epler og frukt, og forklar retningen i mengdespråk.

a) Objektsposisjonen i «Gjestene spiste \\\\.»
b) Objektsposisjonen i «Ingen av gjestene spiste \\\\.»
c) Leddet etter hvis i «Hvis du spiser \\\\, blir du mett.»
d) Restriktoren i «Alle som spiste \\\\, ble mette.»

📝Oppgave 15

(Krevende. Sjanger A2.) En kandidat har svart slik på en slutningsoppgave:

> «‘Halvor sluttet å sykle til jobben’ entailer at Halvor syklet til jobben før.
> Det ser vi av at setningen ‘Halvor sluttet å sykle, men han syklet aldri’ er
> selvmotsigende. Altså er dette et entailment.»

a) Er konklusjonen riktig? Begrunn.
b) Hvilken test mangler, og hva ville den vist?
c) Skriv om til et fullstendig svar.

📝Oppgave 16

(Krevende. Full eksamenssjanger, hele Del 3 i én oppgave.) Betrakt setningen:

(16)  Ingen av søkerne som hadde trukket søknaden igjen, fikk vurdert saken på nytt.

a) Oppgi én presupposisjon med utløser, og vis med negasjonstesten at den overlever.
b) Er leddet «trukket søknaden» i en oppovergående eller nedovergående posisjon? Vis med et ordpar og forklar i mengdespråk.
c) Formaliser «Søkeren trakk søknaden og fikk saken vurdert» og oppgi hvilken mengdeoperasjon formen svarer til.
d) Gi et eget eksempel på en implikatur setningen kunne gitt opphav til, og vis at den er kansellerbar.
e) Disponer de 20 minuttene du ville hatt på eksamen.

Fasit — ikke slark

Begge sjangrene i dette kapitlet har objektivt riktige svar, og den ene sensorveiledningen som finnes, for høsten 2022, er kategorisk på at vaghet i slike svar teller som feil.

I F1-sjangeren ser slarken slik ut:

> Vagt: «Uttrykket er sant når minst noe av det stemmer, sånn omtrent.»
> Presist: « $p \lor q$ er sann hviss minst én av $p$ og $q$ er sann; den er usann i nøyaktig ett tilfelle, nemlig når begge er usanne.»

I A2-sjangeren ser den slik ut:

> Vagt: «Ja, den første setningen innebærer vel den andre, det henger sammen.»
> Presist: «Ja, (a) entailer (b). Negasjonstesten: ‘Erik kjøpte ikke en bærbar datamaskin’ medfører ingenting om datamaskiner — slutningen forsvinner. Kilden er hyponymi.»

Fem spørsmål til din egen formulering:

- Har jeg brukt hviss i sannhetsbetingelsen, og altså låst begge retninger?
- Stemmer radtallet med $2^n$ , og står variabelforklaringen der?
- Er testen skrevet ut med den negerte setningen i klartekst?
- Har jeg oppgitt kilden — hyponymi, konnektiv, kvantor eller trigger?
- Er svaret «nei» fulgt av hva slutningen da er?

Den enkeltformuleringen som koster mest i dette kapitlet: «Downward entailment er når slutningen går nedover.» Det er en omskriving av navnet, ikke en forklaring. Vis delmengdeforholdet, skriv ut begge setningene, og forklar hvorfor utelukkelse arves nedover.

Typiske feil

Seks feil dominerer denne drillen.

- Feil 3 — slutningsforveksling. Selvmotsigelsestesten skiller ikke entailment fra presupposisjon. Kjør negasjonstesten, og kansellerbarhetstesten i tillegg.
- Feil 4 — slark. Bruk «hviss», si noe om alle radene, og formuler implikasjonen med utgangspunkt i det ene tilfellet der den er usann.
- Feil 1 — svar uten test. Kategorien er en tredjedel av svaret; testen kjørt med setningene fra oppgaven er de to andre tredjedelene.
- Ufullstendig tabell. Tell variablene, regn $2^n$ , tell radene. En manglende rad er en feil, ikke en unøyaktighet.
- Å glemme at implikasjonen er sann når antesedenten er usann. Det er den ene raden som koster flest poeng i hele Del 3.
- Å svare «nei» og stoppe der. Er slutningen ikke entailment, spør oppgaven som regel hva den da er.

En sjuende felle, som rammer i flerdelte oppgaver: å hoppe over en deloppgave. Tell dem før du begynner, og tell svarene før du leverer. Det er feil 9 i registeret.

Sjekkliste for Del 3-oppgaver

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av den aktuelle utdanningsinstitusjonen. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.