7.4 Slutteksamen-simulering 2: teoritung variant

Sjangerkodene i parentes ved hver oppgave (fra eksamenskartet (0.1)): A = gradient/retningsderivert, C = determinant/volum/matriseregning, L = induksjon (matrisepotens), G = komplekse tall, E = integrasjonsteknikk, D = omdreiningsvolum, I = eksistens- og teoribevis, N = Jacobimatrise, K = funksjonsdrøfting.

Slutteksamen-simulering 2 — oppgavesett

13 delpunkter som teller likt · 4 timer · begrunn alle svar. Kalkulator og formelark er tillatt. Svar som ikke er begrunnet, får 0 poeng selv om de er riktige. Resultater fra ubesvarte punkter kan brukes — les hele settet før du begynner. Regn selv; løsningsforslagene ligger i utfellbare felt under.

Sjangeren er merket i parentes ved hver oppgave.

a) Finn retningsderiverten $f'\big((1,2);(2,1)\big)$, og avgjør om $f$ vokser eller avtar i retning $\mathbf{r}=(2,1)$. (Merk: $\mathbf{r}$ er ikke en enhetsvektor.)
b) Finn en retning ut fra $(1,2)$ der retningsderiverten er $0$.

Oppgave 2 (determinant, volum og invers — sjanger C).

a) Finn volumet av pyramiden (tetraederet) med hjørner $P_0=(1,1,1)$, $P_1=(3,2,2)$, $P_2=(2,4,2)$ og $P_3=(2,2,4)$.
b) La $A=\begin{pmatrix}3 & 4\\ 1 & 2\end{pmatrix}$. Finn $A^{-1}$ ved regning, og kontroller svaret.

Oppgave 3 (matrisepotens og induksjon — sjanger L). En væske fordeles mellom to tanker. Hver time overføres hele innholdet til den andre tanken, men bare halvparten kommer frem (resten fordamper). Med $\mathbf{x}_n=(\text{mengde i tank 1},\ \text{mengde i tank 2})$ etter $n$ timer er $\mathbf{x}_{n+1}=M\mathbf{x}_n$ med $M=\begin{pmatrix}0 & \tfrac12\\ \tfrac12 & 0\end{pmatrix}$.

a) Regn ut $M^2$, $M^3$ og $M^4$, og sett opp en formodning for $M^{2n}$.
b) Bevis formodningen for $M^{2n}$ med induksjon, og finn $\lim_{n\to\infty} M^{2n}$. Tolk grensen.

Oppgave 4 (komplekse tall — sjanger G). La $p(z)=z^3-5z^2+11z-15$.

a) Vis at $z_0=1+2i$ er en rot i $p$.
b) Finn både den komplekse og den reelle faktoriseringen av $p$, og marker alle røttene i det komplekse planet.

Oppgave 5 (integrasjonsteknikk — sjanger E). Beregn $\displaystyle\int_0^{\sqrt{\pi}} x^3\cos(x^2)\,dx$.

Oppgave 6 (omvendt volumoppgave — sjanger D). Området under linjen $y=mx$ for $0\le x\le h$ (med $m,h>0$) dreies om $x$-aksen og danner en kjegle. Volumet skal være nøyaktig $9\pi$. Finn en $(m,h)$ som oppfyller kravet, og forklar valget. Skisser området.

Oppgave 7 (eksistensbevis med hjelpefunksjon — sjanger I). La $f$ være kontinuerlig på $[0,1]$ og deriverbar på $(0,1)$, med $f(0)=f(1)=0$. Vis at det finnes $c\in(0,1)$ slik at $f'(c)=f(c)$.

Oppgave 8 (Jacobimatrise og deriverbarhet — sjanger N). La $F(x,y)=\big(x^2-y,\ xy,\ e^{x+y}\big)$. Finn Jacobimatrisen til $F$ i origo, og begrunn at $F$ er deriverbar der.

Oppgave 9 (funksjonsdrøfting — sjanger K). La $f(x)=x\,e^{1/x}$. Finn eventuelle ekstremalpunkter og vendepunkter, alle asymptoter (loddrette og skrå), og avgjør hvor $f$ er konveks og konkav.

Selvdiagnose — slutteksamen-simulering 2

Kryss av det du klarte uten å se på løsningsforslaget:

- ☐ Oppg. 1: brukte $f'(\mathbf{a};\mathbf{r})=\nabla f\cdot\mathbf{r}$ direkte på $(2,1)$ (uten å normalisere), og fant nullretning via $\mathbf{r}\perp\nabla f$.
- ☐ Oppg. 2: kantvektorer + faktor $\tfrac16$ i a); $1/\det$ og kontroll $A A^{-1}=I$ i b).
- ☐ Oppg. 3: induksjon med basisverifikasjon og eksplisitt trinn $M^{2(k+1)}=M^{2k} M^2$; fant grensen $0$.
- ☐ Oppg. 4: regnet $p(1+2i)=0$ helt ut, navngav konjugatrotsetningen, skrev begge faktoriseringene.
- ☐ Oppg. 5: boks med nye grenser + delvis.
- ☐ Oppg. 6: så at kravet gir én likning i to ukjente, valgte $(m,h)$ med begrunnelse og verifiserte volumet.
- ☐ Oppg. 7: konstruerte $g=e^{-x}f$, sjekket forutsetningene, navngav Rolle.
- ☐ Oppg. 8: riktig orientert Jacobimatrise + teoremveien (kontinuerlige partiellderiverte).
- ☐ Oppg. 9: fortegnsskjema + grenseføring for alle asymptoter, inkl. hvorfor det ikke er loddrett asymptote fra venstre.

Bommet du på bevisene (3b, 7), er det her toppkarakterene avgjøres — repeter induksjon og overgangsmatriser (5.3), Rolle med hjelpefunksjon (3.4) og føringsstandarden (7.1).