7.3 Slutteksamen-simulering 1: klassisk 12-delpunkts sett

Sjangerkodene i parentes ved hver oppgave er studentens sjekkliste fra eksamenskartet (0.1): A = gradient/retningsderivert, B = overgangsmatrise, E = integrasjonsteknikk, F = uegentlige integraler (avgjør konvergens), D = omdreiningsvolum, H = kontinuitet/deriverbarhet i ett punkt (signaturoppgaven), J = fundamentalteoremet + kjerneregel.

Slutteksamen-simulering 1 — oppgavesett

12 delpunkter som teller likt · 4 timer · begrunn alle svar. Kalkulator og formelark er tillatt. Svar som ikke er begrunnet, får 0 poeng selv om de er riktige. Delpunktene henger sammen, og resultater fra ubesvarte punkter kan brukes — står du fast på ett punkt, oppgi at du bygger på resultatet og gå videre. Regn selv; løsningsforslagene ligger i utfellbare felt under.

Sjangeren er merket i parentes ved hver oppgave.

a) Finn $\nabla f(1,2,1)$.
b) I hvilken retning ut fra $(1,2,1)$ vokser $f$ raskest, og hva er den maksimale vekstraten? Begrunn.

Oppgave 2 (overgangsmatrise — sjanger B). Et bildelingsselskap har to depoter, Nord og Sør. Hver uke gjelder: $\tfrac34$ av bilene på Nord står fortsatt på Nord uka etter, mens $\tfrac14$ er kjørt til Sør; av bilene på Sør er $\tfrac14$ kommet til Nord og $\tfrac34$ blitt stående på Sør. La $\mathbf{x}_n=(N_n, S_n)$ være antall biler på hvert depot i uke $n$.

a) Forklar hvorfor utviklingen kan skrives $\mathbf{x}_{n+1}=M\mathbf{x}_n$, og begrunn hver rad i $M$ ut fra teksten.
b) Finn matrisen som beskriver to uker frem.
c) Kan man ut fra fordelingen i én gitt uke entydig regne seg én uke bakover? Begrunn.

Oppgave 3 (integrasjonsteknikk — sjanger E).

a) Beregn $\displaystyle\int_0^1 x^5 e^{x^3}\,dx$.
b) Beregn $\displaystyle \displaystyle\int_0^1 \frac{3x^2+9x+8}{(x+2)(x^2+2x+2)}\,dx$.

Oppgave 4 (uegentlig integral — sjanger F). Avgjør om $\displaystyle \displaystyle\int_1^{\infty} \frac{2x-1}{x^3+5}\,dx$ konvergerer. Begrunn med en navngitt test og et navngitt $p$-integral.

Oppgave 5 (omdreiningsvolum — sjanger D). Området avgrenset av kurven $y=\ln x$, $x$-aksen og linjen $x=e$ dreies om $y$-aksen. Skisser området og finn volumet.

Oppgave 6 (kontinuitet og deriverbarhet i ett punkt — sjanger H). La $f(x)=x^2\sin(1/x)$ for $x\ne 0$ og $f(0)=0$.

a) Vis at $f$ er kontinuerlig i $0$.
b) Avgjør om $f$ er deriverbar i $0$, og finn eventuelt $f'(0)$.

Oppgave 7 (fundamentalteoremet + kjerneregel — sjanger J). La $\displaystyle G(x)=\int_0^{x^3} u\,e^{u}\,du$. Finn $G'(x)$, og forklar sammenhengen mellom $G(1)$ og delsvaret ditt fra oppgave 3a).

Selvdiagnose — slutteksamen-simulering 1

Kryss av det du klarte uten å se på løsningsforslaget:

- ☐ Oppg. 1: regnet $\nabla f$ komponentvis og skrev den verbale setningen «raskest vekst i retning $\nabla f$, rate $|\nabla f|$».
- ☐ Oppg. 2: begrunnet hver rad i $M$ fra teksten, regnet $M^2$, og koblet «vei tilbake» til $\det M\ne 0$.
- ☐ Oppg. 3: boks med nye grenser i a); lineær teller $Bx+C$, splitt og fullført kvadrat i b).
- ☐ Oppg. 4: sjekket $0<L<\infty$ og navngav det konvergente $p$-integralet ($p=2$).
- ☐ Oppg. 5: valgte skall (om $y$-aksen) og førte delvis integrasjon riktig.
- ☐ Oppg. 6: uttalte $|\sin|\le 1$ i skvis, og brukte differansekvotienten (ikke derivertformelen) i b).
- ☐ Oppg. 7: tok med kjernefaktoren $3x^2$ og forklarte koblingen til 3a).

Bommet du på deriverbarhetsdelen (6b), er dette emnets viktigste karakterskille — repeter signaturoppgaven (3.3). Manglet føring (bokser, teoremnavn, konklusjonssetninger), gå tilbake til føringsstandarden (7.1).