Tilbake
4.4
Alle fag for Høyskole

4.4 Delbrøkoppspalting og fullført kvadrat

Rasjonale integrander: polynomdivisjon, delbrøk med gjentatte og irreduserbare faktorer, og fullført kvadrat mot arctan-formen.

55 min
8 oppgaver
Delbrøkoppspaltingfullført kvadrat
Din fremgang i kapitlet
0 / 8 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper: Dette kapitlet bruker antideriverte og substitusjon fra kap. 4.3 (særlig arctan-målformen og ∫1x dx=ln⁡∣x∣\int\tfrac1x\,dx=\ln|x|) og faktorisering fra kap. 1.3 (å finne røttene i nevneren). Fra videregående er broene Delbrøkoppspalting og Fullstendig kvadrat.

Sist du var her (oppfriskning):

- Fullført kvadrat (1t): x2+px+q=(x+p2)2+(q−p24)x^2+px+q=\left(x+\tfrac{p}{2}\right)^2+\left(q-\tfrac{p^2}{4}\right). Vi bruker det til å skrive en nevner uten reelle røtter som «(noe)2+(positivt tall)(\text{noe})^2+(\text{positivt tall})».
- Diskriminanten D=p2−4qD=p^2-4q avgjør om x2+px+qx^2+px+q har reelle røtter (D≥0D\ge0) eller ikke (D<0D<0).
- De to grunnintegralene: ∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\int\tfrac1x\,dx=\ln|x|+C og ∫dx1+x2=arctan⁡x+C\int\tfrac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C. Hele kapitlet handler om å komme tilbake til disse to.

Dette kapitlet er på 55 minutter og har ett naturlig pausepunkt markert underveis (etter delbrøk-grunnlaget).

Hva gjør du med et integral som ∫4x+5x2+4x+5 dx\displaystyle \int\frac{4x+5}{x^2+4x+5}\,dx? Nevneren er et andregradspolynom, telleren et førstegradspolynom — og ingen substitusjon eller delvis integrasjon biter direkte. Svaret er en egen liten verktøykasse for rasjonale funksjoner (brøker der teller og nevner er polynomer). Idéen er alltid den samme: bryt den vanskelige brøken ned i biter du kjenner integralet til — enten 1x\tfrac1x-biter (som gir ln⁡\ln) eller 11+x2\tfrac{1}{1+x^2}-biter (som gir arctan⁡\arctan).

Tre teknikker, valgt etter formen på nevneren:

- Polynomdivisjon — først, hvis telleren har like høy eller høyere grad enn nevneren.
- Delbrøkoppspalting — når nevneren har reelle røtter (kan faktoriseres).
- Fullført kvadrat → arctan — når nevneren ikke har reelle røtter.

Vi bygger dem opp i fire læringsløkker: (1) polynomdivisjon, (2) delbrøk med distinkte lineære faktorer, (3) gjentatte og irreduserbare faktorer, (4) fullført kvadrat og splitteteknikken. Hver løkke går teori → eksempel → oppgave.

Løkke 1 — Polynomdivisjon først (~11 min)

Rasjonal funksjon (ekte og uekte brøk)

En brøk der både teller og nevner er polynomer, P(x)Q(x)\dfrac{P(x)}{Q(x)}. Den er en ekte brøk når tellergraden er lavere enn nevnergraden (f.eks. x+1x2+3\tfrac{x+1}{x^2+3}), og en uekte brøk når tellergraden er ≥\ge nevnergraden (f.eks. x2x2+1\tfrac{x^2}{x^2+1}). Delbrøkoppspalting krever en ekte brøk — derfor må uekte brøker først gjøres om med polynomdivisjon.

Polynomdivisjon (når tellergrad ≥\ge nevnergrad)
Første steg for en uekte brøk. Du deler teller på nevner og får

P(x)Q(x)=(polynom)+R(x)Q(x),\frac{P(x)}{Q(x)}=(\text{polynom})+\frac{R(x)}{Q(x)},

der restbrøken R(x)Q(x)\tfrac{R(x)}{Q(x)} er ekte (restgraden er lavere enn nevnergraden). Polynomdelen integreres direkte, restbrøken med delbrøk eller fullført kvadrat. Hopp aldri over dette steget når graden krever det — delbrøk på en uekte brøk gir feil.

✏️Eksempel 1: Polynomdivisjon før integrasjon

Regn ut ∫x2x2+1 dx\displaystyle \displaystyle\int\frac{x^2}{x^2+1}\,dx.

Telleren x2x^2 har samme grad som nevneren x2+1x^2+1 — brøken er uekte, så vi deler først. Her ser vi divisjonen direkte ved å legge til og trekke fra 11 i telleren:
x2x2+1=(x2+1)−1x2+1=1−1x2+1.\frac{x^2}{x^2+1}=\frac{(x^2+1)-1}{x^2+1}=1-\frac{1}{x^2+1}.

Nå er hvert ledd et grunnintegral:
∫x2x2+1 dx=∫1 dx−∫1x2+1 dx=x−arctan⁡x+C.\int\frac{x^2}{x^2+1}\,dx=\int 1\,dx-\int\frac{1}{x^2+1}\,dx=x-\arctan x+C.

Kontroll: ddx(x−arctan⁡x)=1−11+x2=x21+x2\displaystyle \frac{d}{dx}(x-\arctan x)=1-\frac{1}{1+x^2}=\frac{x^2}{1+x^2}. ✓ Svar: x−arctan⁡x+C\boxed{x-\arctan x+C}

📝Oppgave 1
E

Regn ut ∫x2+3x2+1 dx\displaystyle \displaystyle\int\frac{x^2+3}{x^2+1}\,dx.

Løkke 2 — Delbrøk: distinkte lineære faktorer (~12 min)

Delbrøkoppspalting (grunnidéen)
Å skrive en ekte rasjonal brøk som en sum av enklere brøker, én for hver faktor i nevneren. Da blir hver bit et grunnintegral. For eksempel:

1(x−1)(x+2)=Ax−1+Bx+2.\frac{1}{(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}.

Metoden speiler faktoriseringen fra kap. 1.3: først faktoriser nevneren, så lag ett ledd per faktor, så bestem tellerne A,B,…A,B,\dots.

Distinkte lineære faktorer (ansatsen)
Når nevneren faktoriserer i ulike førstegradsfaktorer (x−r1)(x−r2)⋯(x-r_1)(x-r_2)\cdots, er ansatsen ett konstant-ledd per faktor:

P(x)(x−r1)(x−r2)=Ax−r1+Bx−r2.\frac{P(x)}{(x-r_1)(x-r_2)}=\frac{A}{x-r_1}+\frac{B}{x-r_2}.

Hvert ledd integreres til en logaritme: ∫Ax−r dx=Aln⁡∣x−r∣+C\int\tfrac{A}{x-r}\,dx=A\ln|x-r|+C. Så en brøk med bare distinkte lineære faktorer gir en sum av logaritmer.

Koeffisientbestemmelse (innsetting + sammenligning)

To måter å finne A,B,…A,B,\dots etter at du har multiplisert opp med nevneren:

- Innsetting av røtter (raskest): sett xx lik en rot av nevneren, så forsvinner alle ledd unntatt ett, og konstanten faller ut direkte.
- Sammenligning av koeffisienter: samle ledd etter potens av xx og krev at koeffisientene stemmer på begge sider.

Innsetting er raskest for lineære faktorer; sammenligning trengs for gjentatte og kvadratiske ledd. Ofte kombineres de.

✏️Eksempel 2: Distinkte lineære faktorer

Regn ut ∫dx(x−1)(x+2)\displaystyle \displaystyle\int\frac{dx}{(x-1)(x+2)}.

Nevneren er allerede faktorisert i to ulike lineære faktorer. Ansats:
1(x−1)(x+2)=Ax−1+Bx+2.\frac{1}{(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}.

Bestem A,BA,B ved innsetting. Multipliser opp med (x−1)(x+2)(x-1)(x+2):
1=A(x+2)+B(x−1).1=A(x+2)+B(x-1).
- Sett x=1x=1: 1=A(3)+0⇒A=131=A(3)+0\Rightarrow A=\tfrac13.
- Sett x=−2x=-2: 1=0+B(−3)⇒B=−131=0+B(-3)\Rightarrow B=-\tfrac13.

Integrer hver bit:
∫dx(x−1)(x+2)=13∫dxx−1−13∫dxx+2=13ln⁡∣x−1∣−13ln⁡∣x+2∣+C.\int\frac{dx}{(x-1)(x+2)}=\frac13\int\frac{dx}{x-1}-\frac13\int\frac{dx}{x+2}=\frac13\ln|x-1|-\frac13\ln|x+2|+C.

Dette kan samles som 13ln⁡∣x−1x+2∣+C\tfrac13\ln\left|\tfrac{x-1}{x+2}\right|+C. Konklusjon: 13ln⁡∣x−1∣−13ln⁡∣x+2∣+C\boxed{\tfrac13\ln|x-1|-\tfrac13\ln|x+2|+C}

📝Oppgave 2
E

Regn ut ∫x+7(x−1)(x+3) dx\displaystyle \displaystyle\int\frac{x+7}{(x-1)(x+3)}\,dx.

— naturlig pausepunkt — Du har nå grunnmønsteret: polynomdivisjon ved behov, så delbrøk med ett ledd per lineær faktor. Neste løkke tar de to vanskeligere faktortypene (gjentatt og irreduserbar). Ta gjerne en pause her.

Løkke 3 — Gjentatte og irreduserbare faktorer (~11 min)

Gjentatt lineær faktor (ledd for hver potens)
Når en lineær faktor opptrer i flere potenser, trenger du ett ledd for hver potens opp til den høyeste. For (x−r)2(x-r)^2 i nevneren:

P(x)(x−r)2 ⋯=Ax−r+B(x−r)2+⋯ .\frac{P(x)}{(x-r)^2\,\cdots}=\frac{A}{x-r}+\frac{B}{(x-r)^2}+\cdots.

For 1x2(x+1)\tfrac{1}{x^2(x+1)} blir det Ax+Bx2+Cx+1\tfrac{A}{x}+\tfrac{B}{x^2}+\tfrac{C}{x+1}. Å hoppe over Ax\tfrac{A}{x}-leddet (bare ta med Bx2\tfrac{B}{x^2}) er en dokumentert felle. Leddet B(x−r)2\tfrac{B}{(x-r)^2} integreres til −Bx−r-\tfrac{B}{x-r}, ikke en logaritme.

Irreduserbar kvadratisk faktor ((Bx+C)(Bx+C)-ansatsen)
En kvadratisk faktor uten reelle røtter (som x2+1x^2+1) kan ikke brytes ned videre. Da må telleren i delbrøken være lineær, ikke bare en konstant:

P(x)(x2+px+q) ⋯=Bx+Cx2+px+q+⋯ .\frac{P(x)}{(x^2+px+q)\,\cdots}=\frac{Bx+C}{x^2+px+q}+\cdots.

Fellen er å bruke Ax2+px+q\tfrac{A}{x^2+px+q} (konstant teller) — det gir for få frihetsgrader og feil svar. Riktig ansats er alltid Bx+Cx2+px+q\tfrac{Bx+C}{x^2+px+q} over et irreduserbart kvadratisk ledd.

Irreduserbart andregradspolynom (diskriminant <0<0)

Et andregradspolynom x2+px+qx^2+px+q er irreduserbart over de reelle tallene når diskriminanten D=p2−4q<0D=p^2-4q<0 — da har det ingen reelle røtter og kan ikke faktoriseres i reelle lineære faktorer. Sjekk alltid DD først: D≥0D\ge0 ⇒ faktoriser og bruk delbrøk; D<0D<0 ⇒ la faktoren stå, og bruk enten (Bx+C)(Bx+C)-ansats eller fullført kvadrat.

✏️Eksempel 3: Gjentatt lineær faktor

Regn ut ∫dxx2(x+1)\displaystyle \displaystyle\int\frac{dx}{x^2(x+1)}.

Nevneren har den gjentatte faktoren x2x^2 og den enkle x+1x+1. Ansats med ett ledd for hver potens av xx:
1x2(x+1)=Ax+Bx2+Cx+1.\frac{1}{x^2(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x+1}.

Multipliser opp med x2(x+1)x^2(x+1):
1=A x(x+1)+B(x+1)+C x2.1=A\,x(x+1)+B(x+1)+C\,x^2.
- x=0x=0: 1=B(1)⇒B=11=B(1)\Rightarrow B=1.
- x=−1x=-1: 1=C(1)⇒C=11=C(1)\Rightarrow C=1.
- Sammenlign x2x^2-koeffisienten: venstre side har 00, høyre har A+CA+C, så A+C=0⇒A=−1A+C=0\Rightarrow A=-1.

Integrer hver bit (merk: Bx2\tfrac{B}{x^2} gir ikke en logaritme):
∫dxx2(x+1)=∫(−1x+1x2+1x+1)dx=−ln⁡∣x∣−1x+ln⁡∣x+1∣+C.\int\frac{dx}{x^2(x+1)}=\int\left(\frac{-1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x+1}\right)dx=-\ln|x|-\frac{1}{x}+\ln|x+1|+C.

Konklusjon: −ln⁡∣x∣−1x+ln⁡∣x+1∣+C\boxed{-\ln|x|-\dfrac{1}{x}+\ln|x+1|+C} (kan samles som ln⁡∣x+1x∣−1x+C\ln\left|\tfrac{x+1}{x}\right|-\tfrac1x+C). Legg merke til Ax\tfrac{A}{x}-leddet — glemmer du det, blir svaret galt.

📝Oppgave 3
E

Regn ut ∫3x+2x2(x+1) dx\displaystyle \displaystyle\int\frac{3x+2}{x^2(x+1)}\,dx.

Løkke 4 — Fullført kvadrat og splitteteknikken (~11 min)

Fullført kvadrat
Å skrive et andregradsuttrykk uten reelle røtter som «kvadrat pluss positiv konstant»:

x2+px+q=(x+p2)2+(q−p24).x^2+px+q=\left(x+\tfrac{p}{2}\right)^2+\left(q-\tfrac{p^2}{4}\right).

Når q−p24>0q-\tfrac{p^2}{4}>0 (altså D<0D<0), er dette på formen (x+a)2+k2(x+a)^2+k^2, og integralet ∫dx(x+a)2+k2\int\tfrac{dx}{(x+a)^2+k^2} blir en arctan. For eksempel x2+4x+13=(x+2)2+9x^2+4x+13=(x+2)^2+9.

arctan-formen fra fullført kvadrat
Etter fullført kvadrat er grunnintegralet:

∫dx(x+a)2+k2=1karctan⁡ ⁣(x+ak)+C.\int\frac{dx}{(x+a)^2+k^2}=\frac{1}{k}\arctan\!\left(\frac{x+a}{k}\right)+C.

Substitusjonen bak er u=x+aku=\tfrac{x+a}{k}. Merk faktoren 1k\tfrac1k foran — den kommer fra kk-en i nevneren og glemmes lett. For ∫dx(x+2)2+9\int\tfrac{dx}{(x+2)^2+9} er k=3k=3, så svaret er 13arctan⁡x+23+C\tfrac13\arctan\tfrac{x+2}{3}+C.

Splitteteknikken for ax+bx2+px+q\displaystyle \frac{ax+b}{x^2+px+q}
Når telleren er lineær og nevneren irreduserbar kvadratisk, splitter du telleren i to biter: en som er et multiplum av nevnerens deriverte (gir en ln-del), og en konstant (gir en arctan-del):

ax+bx2+px+q=a2⋅2x+px2+px+q⏟→ ln⁡+(konstant)x2+px+q⏟→ arctan⁡.\frac{ax+b}{x^2+px+q}=\underbrace{\frac{a}{2}\cdot\frac{2x+p}{x^2+px+q}}_{\to\ \ln}+\underbrace{\frac{(\text{konstant})}{x^2+px+q}}_{\to\ \arctan}.

Nevnerens deriverte er 2x+p2x+p; du skriver telleren ax+bax+b som a2(2x+p)+(rest)\tfrac{a}{2}(2x+p)+(\text{rest}). Ln-delen kommer fra ∫f′f=ln⁡∣f∣\int\tfrac{f'}{f}=\ln|f|, arctan-delen fra fullført kvadrat. Dette var eksamensoppgave 2023.

Diskriminanttesten (strategivalg)

Den avgjørende sjekken før du velger metode på en kvadratisk nevner: regn diskriminanten D=p2−4qD=p^2-4q.

- D≥0D\ge 0: nevneren har reelle røtter ⇒ faktoriser og bruk delbrøk.
- D<0D<0: ingen reelle røtter ⇒ fullført kvadrat (og splitteteknikken hvis telleren er lineær).

Å velge feil strategi (delbrøk på et irreduserbart ledd, eller arctan på noe som faktoriserer) er tidssluk og gir feil. Diskriminanttesten tar fem sekunder og styrer resten.

✏️Eksempel 4: Ren fullført kvadrat

Regn ut ∫dxx2+4x+13\displaystyle \displaystyle\int\frac{dx}{x^2+4x+13}.

Diskriminanttest: D=42−4⋅13=16−52=−36<0D=4^2-4\cdot13=16-52=-36<0 — ingen reelle røtter, så fullført kvadrat.

Fullført kvadrat: x2+4x+13=(x+2)2+(13−4)=(x+2)2+9=(x+2)2+32x^2+4x+13=(x+2)^2+(13-4)=(x+2)^2+9=(x+2)^2+3^2.

Arctan-formen med a=2a=2, k=3k=3:
∫dx(x+2)2+32=13arctan⁡ ⁣(x+23)+C.\int\frac{dx}{(x+2)^2+3^2}=\frac13\arctan\!\left(\frac{x+2}{3}\right)+C.

Kontroll: ddx13arctan⁡x+23=13⋅11+((x+2)/3)2⋅13=19+(x+2)2=1x2+4x+13\displaystyle \frac{d}{dx}\tfrac13\arctan\tfrac{x+2}{3}=\tfrac13\cdot\tfrac{1}{1+((x+2)/3)^2}\cdot\tfrac13=\tfrac{1}{9+(x+2)^2}=\tfrac{1}{x^2+4x+13}. ✓ Svar: 13arctan⁡x+23+C\boxed{\tfrac13\arctan\tfrac{x+2}{3}+C}

✏️Eksempel 5: Splitteteknikken (ln-del + arctan-del)

Regn ut ∫4x+5x2+4x+5 dx\displaystyle \displaystyle\int\frac{4x+5}{x^2+4x+5}\,dx.

Diskriminanttest: D=42−4⋅5=16−20=−4<0D=4^2-4\cdot5=16-20=-4<0 — irreduserbar nevner, så splitteteknikken (lineær teller over irreduserbar kvadratisk nevner).

Splitt telleren. Nevnerens deriverte er (x2+4x+5)′=2x+4(x^2+4x+5)'=2x+4. Skriv 4x+54x+5 som et multiplum av 2x+42x+4 pluss en konstant:
4x+5=2(2x+4)+(5−8)=2(2x+4)−3.4x+5=2(2x+4)+(5-8)=2(2x+4)-3.

Dermed splittes integralet i to:
∫4x+5x2+4x+5 dx=2∫2x+4x2+4x+5 dx−3∫dxx2+4x+5.\int\frac{4x+5}{x^2+4x+5}\,dx=2\int\frac{2x+4}{x^2+4x+5}\,dx-3\int\frac{dx}{x^2+4x+5}.

Ln-delen (∫f′f=ln⁡∣f∣\int\tfrac{f'}{f}=\ln|f|, her er f=x2+4x+5>0f=x^2+4x+5>0):
2∫2x+4x2+4x+5 dx=2ln⁡(x2+4x+5).2\int\frac{2x+4}{x^2+4x+5}\,dx=2\ln(x^2+4x+5).

Arctan-delen (fullført kvadrat: x2+4x+5=(x+2)2+1x^2+4x+5=(x+2)^2+1, k=1k=1):
−3∫dx(x+2)2+1=−3arctan⁡(x+2).-3\int\frac{dx}{(x+2)^2+1}=-3\arctan(x+2).

Sett sammen:
∫4x+5x2+4x+5 dx=2ln⁡(x2+4x+5)−3arctan⁡(x+2)+C.\int\frac{4x+5}{x^2+4x+5}\,dx=2\ln(x^2+4x+5)-3\arctan(x+2)+C.

Konklusjon: 2ln⁡(x2+4x+5)−3arctan⁡(x+2)+C\boxed{2\ln(x^2+4x+5)-3\arctan(x+2)+C}. Nøkkelgrepet: del telleren i «a2⋅\tfrac{a}{2}\cdot nevnerens deriverte» (ln) pluss «konstant» (arctan).

📝Oppgave 4
E

Regn ut ∫2x+3x2+2x+5 dx\displaystyle \displaystyle\int\frac{2x+3}{x^2+2x+5}\,dx.

Begrepsbank til eksamen

Her er noen kjernebegreper fra kapitlet samlet i eksamensrettet kortform.

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Nevnerens deriverte (ln-delen i splitteteknikken)

Grunnfaktumet bak ln-delen: ∫f′(x)f(x) dx=ln⁡∣f(x)∣+C\int\dfrac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C. I splitteteknikken skriver du telleren som et multiplum av nevnerens deriverte f′=2x+pf'=2x+p nettopp for å utnytte dette — da blir den biten en logaritme, og resten en arctan. Å kjenne igjen «telleren er (nesten) nevnerens deriverte» sparer mye arbeid.

Grunnintegralet ∫dxx=ln⁡∣x∣\displaystyle \int\frac{dx}{x}=\ln|x|

Målformen for alle lineære delbrøk-ledd. Enhver Ax−r\tfrac{A}{x-r} integreres til Aln⁡∣x−r∣+CA\ln|x-r|+C. Absoluttverdien er nødvendig fordi argumentet kan være negativt. Dette er den ene av de to «endestasjonene» i kapitlet — delbrøk med lineære faktorer lander alltid her.

Grunnintegralet ∫dx1+x2=arctan⁡x\displaystyle \int\frac{dx}{1+x^2}=\arctan x

Den andre «endestasjonen». Alle irreduserbare kvadratiske nevnere føres tilbake til denne via fullført kvadrat: ∫dx(x+a)2+k2=1karctan⁡x+ak+C\int\tfrac{dx}{(x+a)^2+k^2}=\tfrac1k\arctan\tfrac{x+a}{k}+C. Sammen med ln⁡∣x∣\ln|x| dekker disse to grunnintegralene alt du trenger for rasjonale integrander.

Symbol- og formelliste
Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 4 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.