Tilbake
1.3
Alle fag for Høyskole

1.3 Komplekse likninger og polynomfaktorisering

abc-formel med negativ diskriminant, konjugatrotsetningen og veien fra kjent rot til full reell og kompleks faktorisering — slutteksamens G-sjanger.

55 min
11 oppgaver
Komplekse likningerpolynomfaktorisering
Din fremgang i kapitlet
0 / 11 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper. Dette kapitlet fletter sammen alt fra Del 1 og én ferdighet fra videregående:

- Kap. 1.1 og kap. 1.2 — kartesisk og polar regning, konjugat og modulus, og kvadratrot av et komplekst tall via polarform (som vi trenger for abc med komplekse koeffisienter).
- Polynomer og polynomdivisjon (r1) — divisjonsalgoritmen brukes direkte når vi deler ut en kjent faktor for å finne restpolynomet.

Sist du var her (kap. 1.1–1.2): konjugatet er zˉ=a−bi\bar z=a-bi; produktet zzˉ=∣z∣2=a2+b2z\bar z=|z|^2=a^2+b^2 er reelt; og en kvadratrot av et komplekst tall finnes ved å halvere argumentet i polarform. Disse tre tingene bærer hele kapitlet.

I kap. 1.1 innførte vi ii nettopp for å kunne løse x2=−1x^2=-1. Nå høster vi gevinsten: med de komplekse tallene har enhver andregradslikning løsning, og mer generelt har ethvert polynom av grad nn nøyaktig nn røtter. Dette kapitlet handler om å finne dem — og om å skrive polynomet som et produkt av faktorer, både over de komplekse og de reelle tallene.

Fire læringsløkker (dette er et langt kapittel — ta gjerne pause mellom løkke 2 og 3):

1. abc-formelen med negativ diskriminant (~12 min)
2. Konjugatrotsetningen og faktorisering (~20 min — kjernen)
3. Rekonstruksjon: fra røtter til polynom (~12 min)
4. abc med komplekse koeffisienter (~11 min)

Samlet ~55 min lesetid; gang med ca. 1,5 for håndregning.

Løkke 1 — abc-formelen med negativ diskriminant (~12 min)

Fra videregående kjenner du abc-formelen z=−b±b2−4ac2az=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} for az2+bz+c=0az^2+bz+c=0. Der stoppet du hvis diskriminanten b2−4acb^2-4ac ble negativ — «ingen løsning». I C\mathbb{C} finnes løsningen alltid: en negativ diskriminant gir et konjugatpar av komplekse røtter.

Kvadratrot av et negativt reelt tall

For D>0D>0 er −D=iD\sqrt{-D}=i\sqrt{D}, fordi (iD)2=i2D=−D(i\sqrt{D})^2=i^2 D=-D. Slik gir en negativ diskriminant b2−4ac=−Db^2-4ac=-D leddet −D=iD\sqrt{-D}=i\sqrt{D} i abc-formelen, og de to røttene blir −b±iD2a\dfrac{-b\pm i\sqrt{D}}{2a} — et konjugatpar.

Andregradslikning med negativ diskriminant
Er b2−4ac<0b^2-4ac<0 i en likning az2+bz+c=0az^2+bz+c=0 med reelle koeffisienter, har likningen to komplekse røtter som er hverandres konjugerte:
z=−b2a±4ac−b22a i.z=\frac{-b}{2a}\pm\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}\,i.
Realdelen er −b/2a-b/2a for begge; imaginærdelene er like store med motsatt fortegn.
✏️Eksempel 1: abc med negativ diskriminant

Løs z2+2z+5=0z^2+2z+5=0, og oppgi røttene på kartesisk form.

Her er a=1a=1, b=2b=2, c=5c=5.

Diskriminant:
b2−4ac=22−4⋅1⋅5=4−20=−16.b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot5=4-20=-16.
Negativ — vi får komplekse røtter.

Kvadratrot av diskriminanten: −16=i16=4i\sqrt{-16}=i\sqrt{16}=4i.

abc-formelen:
z=−2±4i2=−1±2i.z=\frac{-2\pm 4i}{2}=-1\pm 2i.

Konklusjon: røttene er z1=−1+2iz_1=-1+2i og z2=−1−2iz_2=-1-2i — et konjugatpar, som forventet av en reell andregradslikning med negativ diskriminant.

Kontroll (sett inn z1z_1): (−1+2i)2+2(−1+2i)+5=(1−4i−4)+(−2+4i)+5=(−3−4i)+(−2+4i)+5=0.(-1+2i)^2+2(-1+2i)+5=(1-4i-4)+(-2+4i)+5=(-3-4i)+(-2+4i)+5=0. Stemmer.

📝Oppgave 1
G

Løs likningen z2+9=0z^2+9=0.

📝Oppgave 2
G

Løs z2−2z+2=0z^2-2z+2=0.

📝Oppgave 3
G

Løs z2+4z+13=0z^2+4z+13=0 og skriv den ene rota på polarform.

Løkke 2 — Konjugatrotsetningen og faktorisering (~20 min)

📜Konjugatrotsetningen

Har et polynom p(z)p(z) med reelle koeffisienter en kompleks rot z0z_0, så er også den konjugerte z0ˉ\bar{z_0} en rot.

Bevisidé: siden koeffisientene er reelle, er p(z0)‾=p(z0ˉ)\overline{p(z_0)}=p(\bar{z_0}) (konjugering fordeler seg over sum og produkt, og lar reelle koeffisienter stå). Er p(z0)=0p(z_0)=0, er p(z0)‾=0ˉ=0\overline{p(z_0)}=\bar0=0, altså p(z0ˉ)=0p(\bar{z_0})=0.

Viktig forbehold: setningen gjelder bare reelle koeffisienter. Har polynomet komplekse koeffisienter, er den konjugerte som regel ikke rot (se løkke 4).

Konjugatpar gir en reell kvadratisk faktor
Et konjugatpar z0,z0ˉz_0,\bar{z_0} svarer til en reell andregradsfaktor:
(z−z0)(z−z0ˉ)=z2−(z0+z0ˉ)z+z0z0ˉ=z2−2 Re(z0) z+∣z0∣2.(z-z_0)(z-\bar{z_0})=z^2-(z_0+\bar{z_0})z+z_0\bar{z_0}=z^2-2\,\mathrm{Re}(z_0)\,z+|z_0|^2.
Både 2 Re(z0)2\,\mathrm{Re}(z_0) og ∣z0∣2|z_0|^2 er reelle tall, så faktoren har reelle koeffisienter. Dette er byggesteinen i den reelle faktoriseringen.
📜Algebraens fundamentalteorem

Ethvert polynom av grad n≥1n\ge1 med komplekse (spesielt reelle) koeffisienter har nøyaktig nn røtter i C\mathbb{C}, talt med multiplisitet. Vi bruker teoremet i én retning: kjenner vi gradtallet, vet vi hvor mange røtter vi leter etter — et tredjegradspolynom har tre røtter, så når vi har funnet ett konjugatpar, gjenstår nøyaktig én rot til.

Polynomdivisjon for restfaktoren
Når du kjenner en faktor (f.eks. den reelle kvadratiske faktoren fra et konjugatpar), finner du restpolynomet ved å dele:
p(z)=(kjent faktor)⋅q(z).p(z)=(\text{kjent faktor})\cdot q(z).
Del p(z)p(z) på den kjente faktoren med polynomdivisjon; kvotienten q(z)q(z) er restfaktoren. Går divisjonen opp (rest =0=0), bekrefter det at faktoren er riktig — verifiser alltid.
Kompleks og reell faktorisering
Kompleks faktorisering: polynomet skrevet som produkt av førstegradsfaktorer (z−zk)(z-z_k), én per rot (mulig fordi C\mathbb{C} inneholder alle røttene). Reell faktorisering: produkt av reelle første- og andregradsfaktorer, der hvert komplekst konjugatpar er slått sammen til én reell andregradsfaktor. Ber oppgaven om begge, må begge skrives ut.
✏️Eksempel 2: Fra kjent rot til begge faktoriseringene

Vis at 2−i2-i er en rot i p(z)=z3−3z2+z+5p(z)=z^3-3z^2+z+5, og finn både den komplekse og den reelle faktoriseringen av pp.

Steg 1 — vis at 2−i2-i er rot. Regn p(2−i)p(2-i). Først (2−i)2=4−4i+i2=3−4i(2-i)^2=4-4i+i^2=3-4i, og (2−i)3=(2−i)(3−4i)=6−8i−3i+4i2=2−11i(2-i)^3=(2-i)(3-4i)=6-8i-3i+4i^2=2-11i. Da:
p(2−i)=(2−11i)−3(3−4i)+(2−i)+5=(2−11i)−(9−12i)+(2−i)+5.p(2-i)=(2-11i)-3(3-4i)+(2-i)+5=(2-11i)-(9-12i)+(2-i)+5.
Samle realdeler: 2−9+2+5=02-9+2+5=0. Samle imaginærdeler: −11+12−1=0-11+12-1=0. Altså p(2−i)=0p(2-i)=0 — 2−i2-i er en rot. ✓

Steg 2 — konjugatrotsetningen. pp har reelle koeffisienter, så også 2−i‾=2+i\overline{2-i}=2+i er en rot.

Steg 3 — den reelle kvadratiske faktoren fra paret:
(z−(2−i))(z−(2+i))=z2−2 Re(2−i) z+∣2−i∣2=z2−4z+5,(z-(2-i))(z-(2+i))=z^2-2\,\mathrm{Re}(2-i)\,z+|2-i|^2=z^2-4z+5,
siden Re(2−i)=2\mathrm{Re}(2-i)=2 og ∣2−i∣2=22+12=5|2-i|^2=2^2+1^2=5.

Steg 4 — polynomdivisjon for den siste faktoren. Del p(z)p(z) på z2−4z+5z^2-4z+5:
z3−3z2+z+5=(z2−4z+5)(z+1).z^3-3z^2+z+5=(z^2-4z+5)(z+1).
(Kontroll: (z2−4z+5)(z+1)=z3+z2−4z2−4z+5z+5=z3−3z2+z+5(z^2-4z+5)(z+1)=z^3+z^2-4z^2-4z+5z+5=z^3-3z^2+z+5. ✓) Den siste rota er z=−1z=-1.

Steg 5 — skriv ut begge faktoriseringene.

Reell faktorisering (reelle første- og andregradsfaktorer):
p(z)=(z2−4z+5)(z+1).p(z)=(z^2-4z+5)(z+1).

Kompleks faktorisering (bare førstegradsfaktorer):
p(z)=(z−(2−i))(z−(2+i))(z+1).p(z)=(z-(2-i))(z-(2+i))(z+1).

Konklusjon: røttene er 2−i2-i, 2+i2+i og −1-1; de to faktoriseringene er som over.

📝Oppgave 4
G

Det er oppgitt at 1−2i1-2i er en rot i p(z)=z3−5z2+11z−15p(z)=z^3-5z^2+11z-15.

a) Bruk konjugatrotsetningen til å oppgi en rot til, og skriv opp den reelle kvadratiske faktoren fra paret.

b) Finn den siste rota ved polynomdivisjon.

c) Skriv både den reelle og den komplekse faktoriseringen av pp.

Løkke 3 — Rekonstruksjon: fra røtter til polynom (~12 min)

Den motsatte oppgaven er en midtveisgjenganger: gitt noen røtter, finn polynomet av lavest mulig grad. Trikset er å huske at reelle koeffisienter tvinger fram de konjugerte røttene — de må telles med, ellers får du feil grad.

Rekonstruksjon fra oppgitte røtter

For å finne et reelt polynom av lavest grad med gitte røtter:
1. Legg til de konjugerte av alle komplekse røtter (reelle koeffisienter krever det).
2. Skriv en faktor (z−zk)(z-z_k) per rot, og slå sammen hvert konjugatpar til en reell andregradsfaktor z2−2 Re(z0)z+∣z0∣2z^2-2\,\mathrm{Re}(z_0)z+|z_0|^2.
3. Multipliser ut. Graden blir lik antall røtter (inkludert de konjugerte).

Mangler oppgaven en normering, gir man svaret med ledende koeffisient 11 (monisk).

✏️Eksempel 3: Reelt polynom av lavest grad

Finn et reelt polynom av lavest mulig grad som har 11 og 1+2i1+2i blant røttene.

Steg 1 — legg til konjugatet. Polynomet skal ha reelle koeffisienter, så 1+2i‾=1−2i\overline{1+2i}=1-2i må også være rot. Vi har dermed tre røtter: 11, 1+2i1+2i og 1−2i1-2i → lavest grad er 33.

Steg 2 — faktorene. Den reelle rota gir (z−1)(z-1). Konjugatparet gir
(z−(1+2i))(z−(1−2i))=z2−2 Re(1+2i) z+∣1+2i∣2=z2−2z+5.(z-(1+2i))(z-(1-2i))=z^2-2\,\mathrm{Re}(1+2i)\,z+|1+2i|^2=z^2-2z+5.

Steg 3 — multipliser ut:
p(z)=(z−1)(z2−2z+5)=z3−2z2+5z−z2+2z−5=z3−3z2+7z−5.p(z)=(z-1)(z^2-2z+5)=z^3-2z^2+5z-z^2+2z-5=z^3-3z^2+7z-5.

Konklusjon: p(z)=z3−3z2+7z−5p(z)=z^3-3z^2+7z-5 (monisk, grad 33). Kontroll: p(1)=1−3+7−5=0p(1)=1-3+7-5=0 ✓.

📝Oppgave 5

(Midtveis, flervalg-varianten skrevet ut — rekonstruksjon.) Finn et reelt polynom av lavest mulig grad (monisk) med 22 og 3−i3-i blant røttene.

📝Oppgave 6
G, eksamensklone

Et reelt polynom av lavest mulig grad har ii og 2−i2-i blant røttene, og ledende koeffisient 11.

a) Hvilken grad har polynomet, og hvorfor?

b) Skriv polynomet på faktorform med reelle faktorer.

c) Multipliser ut til standardform.

Løkke 4 — abc med komplekse koeffisienter (~11 min)

Til slutt en midtveisvariant der abc-formelen møter kap. 1.2: koeffisientene er selv komplekse. Formelen gjelder fortsatt, men nå må du ta kvadratrot av et komplekst tall — og det gjør du med polarform (halver argumentet). Merk: her gjelder konjugatrotsetningen ikke, så røttene er som regel ikke konjugerte.

Kvadratrot av et komplekst tall
For å finne w\sqrt{w} (de to tallene zz med z2=wz^2=w): skriv w=ρeiφw=\rho e^{i\varphi}, og bruk n-te-rot-formelen med n=2n=2:
z=±ρ  eiφ/2.z=\pm\sqrt{\rho}\;e^{i\varphi/2}.
De to røttene er hverandres motsatte. Dette er leddet b2−4ac\sqrt{b^2-4ac} i abc når diskriminanten er kompleks.
✏️Eksempel 4: abc med komplekse koeffisienter

Løs likningen z2−(3+i)z+(2+2i)=0z^2-(3+i)z+(2+2i)=0.

Her er a=1a=1, b=−(3+i)b=-(3+i), c=2+2ic=2+2i.

Diskriminant:
b2−4ac=(3+i)2−4(2+2i)=(9+6i+i2)−(8+8i)=(8+6i)−(8+8i)=−2i.b^2-4ac=(3+i)^2-4(2+2i)=(9+6i+i^2)-(8+8i)=(8+6i)-(8+8i)=-2i.

Kvadratrot av diskriminanten via polarform. −2i=2e−iπ/2-2i=2e^{-i\pi/2}, så
−2i=±2 e−iπ/4=±2(22−22i)=±(1−i).\sqrt{-2i}=\pm\sqrt2\,e^{-i\pi/4}=\pm\sqrt2\left(\tfrac{\sqrt2}{2}-\tfrac{\sqrt2}{2}i\right)=\pm(1-i).
(Kontroll: (1−i)2=1−2i+i2=−2i(1-i)^2=1-2i+i^2=-2i. ✓)

abc-formelen:
z=(3+i)±(1−i)2.z=\frac{(3+i)\pm(1-i)}{2}.
Med ++: z=(3+i)+(1−i)2=42=2z=\dfrac{(3+i)+(1-i)}{2}=\dfrac{4}{2}=2. Med −-: z=(3+i)−(1−i)2=2+2i2=1+iz=\dfrac{(3+i)-(1-i)}{2}=\dfrac{2+2i}{2}=1+i.

Konklusjon: røttene er z1=2z_1=2 og z2=1+iz_2=1+i. Merk: de er ikke konjugerte — konjugatrotsetningen gjelder ikke når koeffisientene er komplekse (her er b=−(3+i)b=-(3+i) kompleks).

📝Oppgave 7

(Midtveis-variant skrevet ut — abc med komplekse koeffisienter.) Løs z2−(5−i)z+(6−3i)=0z^2-(5-i)z+(6-3i)=0.

Begrepsbank til eksamen

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget gjelder kjernestoffet.

Diskriminanten

Uttrykket b2−4acb^2-4ac i en andregradslikning az2+bz+c=0az^2+bz+c=0. Fortegnet avgjør rottypen: >0>0 to reelle, =0=0 én dobbel reell, <0<0 to komplekse konjugerte røtter. Over C\mathbb{C} er det alltid to røtter (talt med multiplisitet).

abc-formelen
z=−b±b2−4ac2az=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} for az2+bz+c=0az^2+bz+c=0. Gjelder også med komplekse koeffisienter; da tas kvadratroten av diskriminanten via polarform (halver argumentet).
Konjugatrotsetningen (kort)

Reelle koeffisienter ⇒ komplekse røtter kommer i konjugatpar: er z0z_0 rot, er z0ˉ\bar{z_0} det også. Gjelder ikke for komplekse koeffisienter.

Algebraens fundamentalteorem (kort)

Et polynom av grad nn har nøyaktig nn røtter i C\mathbb{C}, talt med multiplisitet. Derfor lar ethvert polynom seg fullstendig faktorisere i førstegradsfaktorer over C\mathbb{C}.

Multiplisitet

Antall ganger en rot opptrer som faktor. I (z−2)3(z+1)(z-2)^3(z+1) har rota 22 multiplisitet 33 og −1-1 multiplisitet 11. Summen av multiplisitetene er lik graden.

Rot ⇔ faktor (faktorteoremet)
z0z_0 er rot i p(z)p(z) nøyaktig når (z−z0)(z-z_0) er en faktor i p(z)p(z). Dette er broen mellom «å løse likningen» og «å faktorisere polynomet».
Reelle koeffisienter

Koeffisientene i polynomet er reelle tall. Det er denne forutsetningen konjugatrotsetningen hviler på — og grunnen til at reell faktorisering finnes (konjugatpar slås sammen til reelle andregradsfaktorer).

Sum og produkt av røtter

For z2+bz+c=0z^2+bz+c=0 (monisk) er summen av røttene −b-b og produktet cc. Generelt: konstantleddet er ±\pm produktet av alle røttene. Nyttig som rask kontroll av at røttene stemmer.

Konjugering fordeler seg
z+w‾=zˉ+wˉ\overline{z+w}=\bar z+\bar w og zw‾=zˉ wˉ\overline{zw}=\bar z\,\bar w. Derfor er p(z0)‾=p(z0ˉ)\overline{p(z_0)}=p(\bar{z_0}) når koeffisientene er reelle — selve motoren i beviset for konjugatrotsetningen.
Verifiser ved innsetting

Etter en faktorisering eller polynomdivisjon: sett en rot inn i pp, eller gang faktorene sammen igjen. En regnefeil i polynomdivisjon er den vanligste kilden til trekk her, og innsetting avslører den straks.

Komplekse koeffisienter (unntak)

Har polynomet komplekse koeffisienter, gjelder ikke konjugatrotsetningen, og røttene er som regel ikke konjugerte. abc-formelen gjelder fortsatt, men diskriminanten kan være kompleks (ta kvadratrot via polarform).

Gradtall og antall røtter

Gradtallet forteller hvor mange røtter du leter etter. Et tredjegradspolynom har tre; finner du ett konjugatpar, gjenstår nøyaktig én reell rot — den finner du raskt med polynomdivisjon.

Lavest mulig grad

Ved rekonstruksjon: med reelle koeffisienter er lavest grad lik antall oppgitte røtter pluss de konjugerte som må legges til. To komplekse (ikke-reelle) røtter som ikke er hverandres konjugerte tvinger derfor fram fire røtter totalt.

Symbol- og formelliste
Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 4 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.