Tilbake
1.1
Alle fag for Høyskole

1.1 Komplekse tall: regning, polarform og geometri

Kartesisk og polar form begge veier med kvadrantdisiplin — ferdigheten som åpner hvert eneste midtveissett.

50 min
12 oppgaver
Komplekse tallregningpolarformgeometri
Din fremgang i kapitlet
0 / 12 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper. Dette er bokas første kapittel, så alt bygges opp fra grunnen. Du trenger likevel to ting fra videregående friskt i minne:

- Andregradslikninger: ABC-formelen og Fullstendig kvadrat — vi bruker dem straks vi løser komplekse likninger (kap. 1.3), og fullstendig kvadrat forklarer hvorfor −1\sqrt{-1} dukker opp.
- Vinkler og eksakte verdier: Enhetssirkelen og trigonometriske definisjoner og Radianer og vinkelmål. Polarform er ren enhetssirkel-tenkning: et komplekst tall er et punkt, og argumentet er vinkelen til punktet. Kan du at cos⁡(π/4)=sin⁡(π/4)=22\cos(\pi/4)=\sin(\pi/4)=\tfrac{\sqrt2}{2} og hvor π/2\pi/2, π\pi, 3π/23\pi/2 ligger, er du klar.

Alt annet — hva ii er, hvordan vi regner — bygger vi her.

Da du lærte andregradslikninger, møtte du likninger som x2=−1x^2 = -1 og fikk beskjed om at «de har ingen løsning». Det stemmer så lenge vi holder oss til de reelle tallene. Men matematikere fant tidlig ut at hvis vi later som det finnes et tall ii med i2=−1i^2 = -1 og regner videre etter vanlige regler, får vi et tallsystem som er både konsistent og enormt nyttig — de komplekse tallene C\mathbb{C}.

Tenk på et komplekst tall som et punkt i et plan (akkurat som et koordinatpar): den reelle delen langs den vannrette aksen, den imaginære langs den loddrette. Da blir all regning geometri, og geometrien er nøkkelen til de årvisse midtveisspørsmålene.

Kapitlet er fire korte læringsløkker — teori, gjennomregnet eksempel, så oppgaver du løser før du går videre:

1. Kartesisk regning: ++, −-, ×\times, ÷\div og konjugat (~12 min)
2. Polarform begge veier med kvadrantdisiplin (~18 min — kjernen i kapitlet)
3. Eulers formel (~8 min)
4. Geometriske mengder i planet (~12 min)

Samlet lesetid er ~50 min; regner du for hånd, gang med ca. 1,5. Ta gjerne pause mellom løkke 2 og 3.

Løkke 1 — Kartesisk regning (~12 min)

Komplekst tall og imaginærenheten
Et komplekst tall er et tall vi kan skrive som en reell del pluss en imaginær del. Formelt: vi innfører imaginærenheten ii definert ved
i2=−1,i^2 = -1,
og et komplekst tall er da et uttrykk z=a+biz = a + bi der aa og bb er reelle tall. Mengden av alle slike tall kalles C\mathbb{C}. De reelle tallene er med som spesialtilfellet b=0b = 0. Denne skrivemåten a+bia + bi heter kartesisk form (eller normalform).
Realdel og imaginærdel
For z=a+biz = a + bi kaller vi aa realdelen og bb imaginærdelen:
Re⁡(z)=a,Im⁡(z)=b.\operatorname{Re}(z) = a, \qquad \operatorname{Im}(z) = b.
Merk at imaginærdelen Im⁡(z)=b\operatorname{Im}(z) = b er et reelt tall — det er tallet foran ii, ikke bibi. Er a=0a = 0 (og b≠0b \ne 0), kalles zz rent imaginært; er b=0b = 0, er zz reelt.
Addisjon og subtraksjon gjøres ledd for ledd — reell del for seg, imaginær del for seg, akkurat som å legge sammen vektorer:
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i.
Multiplikasjon følger vanlig parentesregning, du bruker bare i2=−1i^2 = -1 til slutt:
(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bd i2=(ac−bd)+(ad+bc)i.(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bd\,i^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i.
Konjugat zˉ\bar{z}
Den konjugerte til z=a+biz = a + bi er tallet med motsatt fortegn på imaginærdelen:
zˉ=a−bi.\bar{z} = a - bi.
Geometrisk er zˉ\bar{z} speilingen av zz om den reelle aksen. Nøkkelegenskapen — den vi bruker hele tiden — er at et tall ganget med sin konjugerte blir reelt:
zzˉ=(a+bi)(a−bi)=a2+b2.z\bar{z} = (a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2.
Modulus ∣z∣|z|
Modulus (eller absoluttverdi) til z=a+biz = a + bi er avstanden fra zz til origo i planet:
∣z∣=a2+b2.|z| = \sqrt{a^2 + b^2}.
Den er alltid et reelt tall ≥0\ge 0 — aldri negativ. Sammenhengen med konjugatet er ∣z∣2=zzˉ|z|^2 = z\bar{z}. Pass på forskjellen på ∣z∣2|z|^2 (et reelt tall) og z2z^2 (et komplekst tall) — de er ikke det samme.
Divisjon er trikset der konjugatet virkelig lønner seg. Vi vil ikke ha ii i nevneren, så vi utvider med den konjugerte av nevneren. Da blir nevneren reell (zzˉ=∣z∣2z\bar z = |z|^2), og resten er kartesisk regning:
a+bic+di=(a+bi)(c−di)(c+di)(c−di)=(a+bi)(c−di)c2+d2.\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}.
✏️Eksempel 1: Divisjon ved konjugering

Skriv 2+3i1−2i\dfrac{2+3i}{1-2i} på kartesisk form a+bia+bi.

Utvid med konjugatet av nevneren, som er 1−2i‾=1+2i\overline{1-2i} = 1+2i:
2+3i1−2i=(2+3i)(1+2i)(1−2i)(1+2i).\frac{2+3i}{1-2i} = \frac{(2+3i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}.

Nevneren blir reell:
(1−2i)(1+2i)=12+22=5.(1-2i)(1+2i) = 1^2 + 2^2 = 5.

Telleren ganges ut ledd for ledd:
(2+3i)(1+2i)=2+4i+3i+6i2=2+7i−6=−4+7i.(2+3i)(1+2i) = 2 + 4i + 3i + 6i^2 = 2 + 7i - 6 = -4 + 7i.

Dermed:
2+3i1−2i=−4+7i5=−45+75i.\frac{2+3i}{1-2i} = \frac{-4+7i}{5} = -\frac{4}{5} + \frac{7}{5}i.

Konklusjon: Realdelen er −45-\tfrac45 og imaginærdelen 75\tfrac75, altså −45+75i\boxed{-\tfrac45 + \tfrac75 i}.

📝Oppgave 1
G

La z=3+2iz = 3 + 2i og w=1−4iw = 1 - 4i.

a) Regn ut z+wz + w.

b) Regn ut zwzw.

c) Skriv opp zˉ\bar{z} og regn ut ∣z∣|z|.

📝Oppgave 2
G

Skriv 52+i\dfrac{5}{2+i} på formen a+bia + bi.

Løkke 2 — Polarform begge veier (~18 min)

Dette er kapitlets kjerne og det som åpner hvert midtveissett. Idéen: i stedet for å beskrive punktet zz med koordinatene (a,b)(a, b), beskriver vi det med avstanden til origo (r=∣z∣r = |z|) og vinkelen det danner med den positive reelle aksen (θ\theta). Da blir potenser og røtter (kap. 1.2) nesten gratis.

Gyllen regel (fasitpraksis): tegn alltid punktet i planet før du fastsetter argumentet. Kvadranten forteller deg hvilken vinkel som er riktig — en blind arctan⁡\arctan på lommeregneren gir ofte feil kvadrant. Dette er den enkeltfeilen som koster flest midtveispoeng.

Argument arg⁡(z)\arg(z)
Argumentet til z≠0z \ne 0 er vinkelen θ\theta (målt mot klokka fra den positive reelle aksen) til punktet zz i planet. Det er bestemt bare opp til hele omdreininger, så vi skriver arg⁡(z)=θ+2kπ\arg(z) = \theta + 2k\pi for heltall kk. Det entydige argumentet i intervallet (−π,π](-\pi, \pi] (noen bruker [0,2π)[0, 2\pi)) kalles hovedargumentet Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(z). Sammenhengen med koordinatene: tan⁡θ=b/a\tan\theta = b/a — men kvadranten avgjør hvilken av de to vinkelløsningene som gjelder.
Polarform reiθre^{i\theta}
Polarformen til et komplekst tall zz med modulus r=∣z∣r = |z| og argument θ\theta er
z=reiθ=r(cos⁡θ+isin⁡θ).z = re^{i\theta} = r(\cos\theta + i\sin\theta).
Her er r≥0r \ge 0 avstanden til origo og θ\theta vinkelen. Formen r(cos⁡θ+isin⁡θ)r(\cos\theta + i\sin\theta) og eksponentialformen reiθre^{i\theta} betyr nøyaktig det samme (se Eulers formel, løkke 3). Polarform gjør multiplikasjon, potenser og røtter enkelt fordi modulusene ganges og argumentene legges sammen.

Fra kartesisk til polar

Oppskrift (gjelder alltid):

1. Tegn punktet z=a+biz = a + bi og noter hvilken kvadrant det ligger i.
2. Finn modulus: r=a2+b2r = \sqrt{a^2 + b^2}.
3. Finn argument: bruk tan⁡θ=b/a\tan\theta = b/a sammen med kvadranten fra steg 1 for å velge riktig θ\theta.
4. Skriv z=reiθz = re^{i\theta}.

✏️Eksempel 2: Kartesisk til polar med kvadrantdisiplin

Skriv z=−2+2iz = -2 + 2i på polarform.

Steg 1 — tegn punktet. Realdelen er −2-2 (til venstre), imaginærdelen +2+2 (opp), så zz ligger i andre kvadrant.

Steg 2 — modulus:
r=(−2)2+22=8=22.r = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.

Steg 3 — argument. Referansevinkelen fra tan⁡θ=∣b∣/∣a∣=2/2=1\tan\theta = |b|/|a| = 2/2 = 1 er π/4\pi/4. Men punktet ligger i andre kvadrant, så det riktige argumentet er
θ=π−π4=3π4.\theta = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}.
(Hadde vi brukt arctan⁡(2/−2)=arctan⁡(−1)=−π/4\arctan(2/{-2}) = \arctan(-1) = -\pi/4 blindt, ville vi landet i fjerde kvadrant — feil. Figuren hindrer nettopp dette.)

Steg 4 — svar:
z=22 e 3πi/4=22(cos⁡3π4+isin⁡3π4).z = 2\sqrt{2}\,e^{\,3\pi i/4} = 2\sqrt{2}\left(\cos\tfrac{3\pi}{4} + i\sin\tfrac{3\pi}{4}\right).

Kontroll: 22cos⁡3π4=22⋅(−22)=−22\sqrt2\cos\tfrac{3\pi}{4} = 2\sqrt2\cdot(-\tfrac{\sqrt2}{2}) = -2 og 22sin⁡3π4=22\sqrt2\sin\tfrac{3\pi}{4} = 2. Stemmer med z=−2+2iz = -2+2i.

Figur i ord: Punktet ligger oppe til venstre (andre kvadrant), like langt til venstre som opp. Linjen fra origo til punktet har lengde 22≈2,832\sqrt2 \approx 2{,}83, og den peker 135∘135^\circ mot klokka fra den positive reelle aksen — altså 45∘45^\circ før den negative reelle aksen.
📝Oppgave 3
G

Skriv følgende tall på polarform reiθre^{i\theta}, og tegn hvert punkt først.

a) z=1+iz = 1 + i.

b) w=−3−iw = -\sqrt{3} - i.

Fra polar til kartesisk

Denne veien er ren innsetting: har du z=reiθz = re^{i\theta}, regner du
a=rcos⁡θ,b=rsin⁡θ,a = r\cos\theta, \qquad b = r\sin\theta,
og skriver z=a+biz = a + bi. Her lønner det seg å kunne de eksakte verdiene for standardvinklene (π/6,π/4,π/3,π/2\pi/6, \pi/4, \pi/3, \pi/2 osv.).

✏️Eksempel 3: Polar til kartesisk

Skriv z=4e 2πi/3z = 4e^{\,2\pi i/3} på kartesisk form.

Modulus r=4r = 4, argument θ=2π/3\theta = 2\pi/3 (andre kvadrant).

Realdel:
a=4cos⁡2π3=4⋅(−12)=−2.a = 4\cos\tfrac{2\pi}{3} = 4\cdot\left(-\tfrac12\right) = -2.

Imaginærdel:
b=4sin⁡2π3=4⋅32=23.b = 4\sin\tfrac{2\pi}{3} = 4\cdot\tfrac{\sqrt3}{2} = 2\sqrt3.

Konklusjon: z=−2+23 iz = -2 + 2\sqrt3\,i. (Realdelen ble negativ og imaginærdelen positiv, som stemmer med andre kvadrant.)

📝Oppgave 4
G

Skriv z=6 e −πi/6z = 6\,e^{\,-\pi i/6} på kartesisk form a+bia + bi.

Løkke 3 — Eulers formel (~8 min)

Eulers formel
Broen mellom eksponentialform og trigonometrisk form er Eulers formel:
eiθ=cos⁡θ+isin⁡θ.e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta.
Det er derfor reiθre^{i\theta} og r(cos⁡θ+isin⁡θ)r(\cos\theta + i\sin\theta) er samme tall. Formelen forklarer også regneregelen for polarform: siden eiα⋅eiβ=ei(α+β)e^{i\alpha}\cdot e^{i\beta} = e^{i(\alpha+\beta)}, blir
r1eiα⋅r2eiβ=r1r2 ei(α+β)r_1 e^{i\alpha}\cdot r_2 e^{i\beta} = r_1 r_2\, e^{i(\alpha+\beta)}
— moduluser ganges, argumenter legges sammen. Spesialtilfellet θ=π\theta = \pi gir den berømte identiteten eiπ=−1e^{i\pi} = -1.
✏️Eksempel 4: Multiplikasjon i polarform

Bruk polarform til å regne ut produktet (1+i)(3+i)(1+i)(\sqrt3 + i).

Skriv hver faktor på polarform.

1+i1+i: modulus 2\sqrt2, argument π/4\pi/4 (første kvadrant). Altså 2 eπi/4\sqrt2\,e^{\pi i/4}.

3+i\sqrt3 + i: modulus 3+1=2\sqrt{3+1}=2, referansevinkel tan⁡θ=1/3⇒π/6\tan\theta = 1/\sqrt3 \Rightarrow \pi/6, første kvadrant. Altså 2 eπi/62\,e^{\pi i/6}.

Gang modulusene, legg sammen argumentene:
(1+i)(3+i)=2⋅2  e i(π/4+π/6)=22 e 5πi/12.(1+i)(\sqrt3+i) = \sqrt2\cdot 2\; e^{\,i(\pi/4 + \pi/6)} = 2\sqrt2\, e^{\,5\pi i/12}.
(Her er π/4+π/6=3π/12+2π/12=5π/12\pi/4 + \pi/6 = 3\pi/12 + 2\pi/12 = 5\pi/12.)

Kontroll ved direkte utregning: (1+i)(3+i)=3+i+3 i+i2=(3−1)+(3+1)i(1+i)(\sqrt3+i) = \sqrt3 + i + \sqrt3\,i + i^2 = (\sqrt3 - 1) + (\sqrt3+1)i. Modulus av dette er (3−1)2+(3+1)2=(4−23)+(4+23)=8=22\sqrt{(\sqrt3-1)^2 + (\sqrt3+1)^2} = \sqrt{(4-2\sqrt3)+(4+2\sqrt3)} = \sqrt8 = 2\sqrt2 — stemmer med modulusen over.

Konklusjon: (1+i)(3+i)=22 e 5πi/12(1+i)(\sqrt3+i) = 2\sqrt2\,e^{\,5\pi i/12}.

📝Oppgave 5
G
a) Bruk eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta til å skrive 3e iπ3e^{\,i\pi} og 2e iπ/22e^{\,i\pi/2} på kartesisk form.

b) Regn ut 4e i 2π/32e i π/6\dfrac{4e^{\,i\,2\pi/3}}{2e^{\,i\,\pi/6}} og skriv svaret på polarform.

Løkke 4 — Geometriske mengder i planet (~12 min)

Det siste midtveisspørsmålet om komplekse tall er ofte en mengde: «skisser alle zz som oppfyller ...». Nøkkelen er å lese ∣z−a∣|z - a| som avstanden fra zz til punktet aa. Da oversetter hver betingelse seg til en kjent geometrisk figur.

Sirkel ∣z−a∣=r|z-a| = r

Likningen ∣z−a∣=r|z - a| = r (med r>0r > 0) beskriver alle punkter med avstand nøyaktig rr til aa — altså en sirkel med sentrum i aa og radius rr. Spesialtilfellet ∣z∣=r|z| = r er en sirkel om origo; ∣z∣=1|z| = 1 er enhetssirkelen.

Åpen skive ∣z−a∣<r|z-a| < r

Ulikheten ∣z−a∣<r|z - a| < r beskriver alle punkter med avstand mindre enn rr til aa — det indre av sirkelen, en åpen skive. «Åpen» betyr at randsirkelen ∣z−a∣=r|z-a| = r ikke er med (tegnes stiplet). Med ≤\le er randen med (lukket skive, heltrukken rand). Motsatt vei gir ∣z−a∣>r|z - a| > r alt utenfor.

Midtnormal ∣z−a∣=∣z−b∣|z-a| = |z-b|

Likningen ∣z−a∣=∣z−b∣|z - a| = |z - b| beskriver alle punkter som ligger like langt fra aa som fra bb. Det er nøyaktig midtnormalen til linjestykket mellom aa og bb (den rette linjen som står vinkelrett på abab gjennom midtpunktet).

Halvplan (Re/Im-betingelse)

Betingelser på realdel eller imaginærdel gir halvplan. For eksempel er Re⁡(z)>0\operatorname{Re}(z) > 0 hele høyre halvplan, Im⁡(z)≤1\operatorname{Im}(z) \le 1 alt på eller under den vannrette linjen b=1b = 1. Randen (den loddrette/vannrette linjen) er med ved ≥/≤\ge/\le, ikke med ved >/<>/<.

Ringområde (annulus)

En dobbelt avstandsbetingelse som r1<∣z−a∣≤r2r_1 < |z - a| \le r_2 beskriver et ringområde (annulus): alt mellom to konsentriske sirkler om aa. Den indre randen (∣z−a∣=r1|z-a| = r_1) er med bare dersom ulikheten der er ≤\le; den ytre (∣z−a∣=r2|z-a| = r_2) tilsvarende. Tegn med og uten som heltrukken/stiplet sirkel.

✏️Eksempel 5: Skisser en mengde

Skisser mengden av alle zz med 1<∣z−i∣≤21 < |z - i| \le 2, og beskriv den med ord.

Les betingelsen som avstand. ∣z−i∣|z - i| er avstanden fra zz til punktet ii (som ligger i (0,1)(0,1) i planet). Vi vil ha alle punkter hvis avstand til ii er større enn 1 og høyst 2.

Oversett til geometri. Dette er et ringområde med sentrum i ii:
- indre grense: sirkelen ∣z−i∣=1|z - i| = 1 (radius 1) — ikke med (>>, tegnes stiplet),
- ytre grense: sirkelen ∣z−i∣=2|z - i| = 2 (radius 2) — med (≤\le, tegnes heltrukken).

Beskrivelse med ord: ringen (annulus) mellom to sirkler om ii; den ytre randsirkelen hører med, den indre ikke.

📝Oppgave 6
G

Beskriv med ord hvilken geometrisk figur hver mengde er, og angi om randen er med.

a) ∣z−3∣=2|z - 3| = 2.

b) Re⁡(z)≥1\operatorname{Re}(z) \ge 1.

c) ∣z+2i∣<3|z + 2i| < 3.

📝Oppgave 7
G, eksamensklone

Betrakt mengden M={ z∈C:∣z−1∣=∣z+i∣ }M = \{\, z \in \mathbb{C} : |z - 1| = |z + i| \,\}.

a) Vis ved regning at MM er en rett linje, og finn likningen for linjen i planet (x,yx, y-koordinater).

b) Hvilket kjent geometrisk begrep er MM i forhold til punktene 11 og −i-i?

📝Oppgave 8
G, eksamensklone

La z=−1−3 iz = -1 - \sqrt3\, i.

a) Skriv zz på polarform (tegn punktet først).

b) Regn ut ∣z∣2|z|^2 og zzˉz\bar z, og forklar hvorfor de er like.

c) Ligger zz inne i, på, eller utenfor sirkelen ∣w∣=2|w| = 2?

Begrepsbank til eksamen

Her er kjernebegrepene fra kapitlet samlet i kortform for repetisjon.

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget gjelder kjernestoffet.

Kartesisk form

Skrivemåten z=a+biz = a + bi med reell del aa og imaginær del bb. Kalles også normalform eller rektangulær form. Motstykket er polarform reiθre^{i\theta}.

Det komplekse planet (Argand-diagram)

Planet der z=a+biz = a+bi tegnes som punktet (a,b)(a, b): reell del langs den vannrette aksen, imaginær del langs den loddrette. Gjør all kompleks regning geometrisk — addisjon blir vektoraddisjon, modulus blir avstand til origo, argument blir vinkel.

Sum og differens
(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i(a+bi) \pm (c+di) = (a\pm c) + (b\pm d)i. Regnes ledd for ledd — realdel for seg, imaginærdel for seg — akkurat som vektoraddisjon i planet.
Produkt
(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i(a+bi)(c+di) = (ac - bd) + (ad + bc)i. Gang ut som vanlige parenteser og bruk i2=−1i^2 = -1. I polarform: gang modulusene og legg sammen argumentene.
Divisjon (konjugering)
zw=zwˉwwˉ=zwˉ∣w∣2\dfrac{z}{w} = \dfrac{z\bar w}{w\bar w} = \dfrac{z\bar w}{|w|^2}. Utvid med den konjugerte av nevneren for å få reell nevner. I polarform: del modulusene og trekk argumentene fra hverandre.
Regneregler for konjugat
z+w‾=zˉ+wˉ\overline{z+w} = \bar z + \bar w,   zw‾=zˉ wˉ\;\overline{zw} = \bar z\,\bar w,   zˉ‾=z\;\overline{\bar z} = z. Videre: z+zˉ=2Re⁡(z)z + \bar z = 2\operatorname{Re}(z) og z−zˉ=2iIm⁡(z)z - \bar z = 2i\operatorname{Im}(z). Et tall er reelt nøyaktig når z=zˉz = \bar z.
Hovedargument Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(z)

Den entydige verdien av argumentet i intervallet (−π,π](-\pi, \pi] (noen bruker [0,2π)[0, 2\pi)). Alle argumenter er Arg⁡(z)+2kπ\operatorname{Arg}(z) + 2k\pi. Brukes når man må velge én bestemt vinkel.

Reduksjon mod 2π2\pi

Å legge til eller trekke fra hele multipla av 2π2\pi til vinkelen ligger i standardintervallet. Siden en full omdreining er 2π2\pi, peker θ\theta og θ+2kπ\theta + 2k\pi i samme retning. Uunnværlig når man regner potenser (kap. 1.2).

Modulusregler
∣zw∣=∣z∣ ∣w∣|zw| = |z|\,|w|,   ∣zw∣=∣z∣∣w∣\;\left|\dfrac{z}{w}\right| = \dfrac{|z|}{|w|},   ∣zn∣=∣z∣n\;|z^n| = |z|^n og ∣zˉ∣=∣z∣|\bar z| = |z|. Modulus «fordeler seg» over produkt og kvotient — grunnlaget for de Moivre (kap. 1.2).
∣z∣2=zzˉ|z|^2 = z\bar z

Modulus i annen er lik tallet ganget med sin konjugerte: ∣z∣2=zzˉ=a2+b2|z|^2 = z\bar z = a^2 + b^2, et reelt tall. Dette er trikset bak divisjon (reell nevner) og bak at 1z=zˉ∣z∣2\tfrac1z = \tfrac{\bar z}{|z|^2}.

Rent imaginært og rent reelt tall
zz er rent imaginært når Re⁡(z)=0\operatorname{Re}(z) = 0 (ligger på den imaginære aksen), og rent reelt når Im⁡(z)=0\operatorname{Im}(z) = 0 (ligger på den reelle aksen). zz er reelt nøyaktig når z=zˉz = \bar z, og rent imaginært nøyaktig når z=−zˉz = -\bar z.
Enhetssirkelen ∣z∣=1|z| = 1

Alle komplekse tall med modulus 1: z=eiθ=cos⁡θ+isin⁡θz = e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta. Disse tallene endrer bare retning, ikke størrelse, ved multiplikasjon — å gange med eiθe^{i\theta} er en rotasjon θ\theta om origo.

Trekantulikheten
∣z+w∣≤∣z∣+∣w∣|z + w| \le |z| + |w| for alle komplekse z,wz, w. Geometrisk: den korteste veien mellom to punkter er den rette — en «omvei» via to vektorer kan aldri bli kortere enn den direkte avstanden. Likhet nøyaktig når zz og ww peker samme vei.
Symbol- og formelliste
Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 4 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.