Tilbake
1.2
Alle fag for Høyskole

1.2 de Moivre: potenser og n-te røtter

Høye potenser og n-te røtter via polarform — de årvisse midtveisspørsmålene nummer to og tre.

45 min
12 oppgaver
de Moivrepotensern-te røtter
Din fremgang i kapitlet
0 / 12 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper. Alt bygger på forrige kapittel:

- Kap. 1.1 — Komplekse tall: regning, polarform og geometri — du må kunne skrive et tall på polarform reiθre^{i\theta} begge veier med riktig kvadrant. Alt i dette kapitlet starter med å sette tallet på polarform.
- Trigonometriske formler (r2) — de eksakte verdiene for standardvinklene (π/6,π/4,π/3,π/2,…\pi/6, \pi/4, \pi/3, \pi/2, \dots) trenger du når du skal tilbake til kartesisk form til slutt.

Sist du var her (kap. 1.1): polarform er z=reiθz = re^{i\theta} med r=∣z∣=a2+b2r = |z| = \sqrt{a^2+b^2} og θ=arg⁡z\theta = \arg z; moduluser ganges og argumenter legges sammen ved multiplikasjon; og argumentet reduseres mod 2π2\pi. Nettopp disse tre reglene er hele dette kapitlet.

Forrige kapittel viste at multiplikasjon i polarform betyr «gang modulusene, legg sammen argumentene». Hva skjer da når vi ganger et tall med seg selv mange ganger? Modulusen opphøyes, og argumentet multipliseres — det er de Moivres formel, og den gjør høye potenser og røtter til enkle regnestykker.

Kapitlet har to hovedløkker og en kort avslutning:

1. de Moivre: høye potenser (~15 min)
2. n-te røtter — jevnt fordelt på en sirkel (~18 min)
3. Baklengsvarianten: fra rot til tall (~10 min)

Samlet ~45 min lesetid; gang med ca. 1,5 for håndregning.

Løkke 1 — de Moivre: høye potenser (~15 min)

📜de Moivres formel
For z=reiθz = re^{i\theta} og et helt tall nn gjelder
zn=(reiθ)n=rneinθ=rn(cos⁡nθ+isin⁡nθ).z^n = \left(re^{i\theta}\right)^n = r^n e^{in\theta} = r^n\left(\cos n\theta + i\sin n\theta\right).
Med ord: modulusen opphøyes i nn, og argumentet multipliseres med nn. Formelen følger direkte av multiplikasjonsregelen (eiαeiβ=ei(α+β)e^{i\alpha}e^{i\beta}=e^{i(\alpha+\beta)}) brukt nn ganger. Den er verktøyet for alle høypotens-spørsmål.
Oppskrift for høye potenser

For å regne ut znz^n når nn er stor:
1. Skriv zz på polarform reiθre^{i\theta} (tegn punktet, finn rr og θ\theta).
2. Opphøy modulusen i nn: rnr^n.
3. Multipliser argumentet med nn: nθn\theta, og reduser mod 2π2\pi til en lesbar vinkel.
4. Tilbake til kartesisk (a+bia+bi) hvis oppgaven ber om det.

Det er steg 3 — reduksjonen mod 2π2\pi — som skiller riktig svar fra distraktorene på midtveis.

✏️Eksempel 1: Høy potens med de Moivre

Regn ut (1−i)14(1-i)^{14} og skriv svaret på formen a+bia+bi.

Steg 1 — polarform. Punktet 1−i1-i ligger i fjerde kvadrant. Modulus r=12+(−1)2=2r=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt2, argument θ=−π/4\theta=-\pi/4. Altså 1−i=2 e−iπ/41-i=\sqrt2\,e^{-i\pi/4}.

Steg 2 — modulus opphøyd: r14=(2)14=27=128.r^{14}=(\sqrt2)^{14}=2^{7}=128.

Steg 3 — argument multiplisert:
14θ=14⋅(−π4)=−14π4=−7π2.14\theta = 14\cdot\left(-\tfrac{\pi}{4}\right) = -\tfrac{14\pi}{4} = -\tfrac{7\pi}{2}.
Reduser mod 2π2\pi: −7π2+4π=−7π2+8π2=π2.-\tfrac{7\pi}{2} + 4\pi = -\tfrac{7\pi}{2}+\tfrac{8\pi}{2}=\tfrac{\pi}{2}.

Steg 4 — tilbake til kartesisk:
(1−i)14=128 eiπ/2=128(cos⁡π2+isin⁡π2)=128(0+i)=128i.(1-i)^{14}=128\,e^{i\pi/2}=128(\cos\tfrac{\pi}{2}+i\sin\tfrac{\pi}{2})=128(0+i)=128i.

Konklusjon: (1−i)14=128i(1-i)^{14}=\boxed{128i}. (Merk hvor mye arbeid steg 3 sparer: uten reduksjon ville −7π/2-7\pi/2 vært håpløst å lese av.)

📝Oppgave 1
G

La z=2eiπ/6z=2e^{i\pi/6}. Regn ut z2z^2 på polarform.

📝Oppgave 2
G

Regn ut (1+i)8(1+i)^{8}.

Tips: start med polarformen til 1+i1+i fra kap. 1.1.

📝Oppgave 3
G

Regn ut (3+i)6(\sqrt3+i)^{6} og skriv svaret på kartesisk form.

📝Oppgave 4
G

Regn ut (−1+i2)10\left(\dfrac{-1+i}{\sqrt2}\right)^{10}.

Løkke 2 — n-te røtter jevnt på en sirkel (~18 min)

Nå snur vi de Moivre: i stedet for å opphøye, skal vi trekke rot. Spørsmålet «finn alle zz med zn=wz^n = w» har nøyaktig nn løsninger, og de har en vakker geometri: de ligger jevnt fordelt på en sirkel. Nøkkelen — og den vanligste fellen — er 2kπ2k\pi-leddet som gir alle røttene, ikke bare én.

📜n-te røtter av et komplekst tall
La w=ρ eiφ≠0w = \rho\,e^{i\varphi} \ne 0. Likningen zn=wz^n = w har nøyaktig nn forskjellige løsninger:
zk=ρ1/n e i(φ+2kπ)/n,k=0,1,…,n−1.z_k = \rho^{1/n}\,e^{\,i(\varphi + 2k\pi)/n}, \qquad k = 0, 1, \dots, n-1.
Alle har samme modulus ρ1/n\rho^{1/n} (den reelle nn-te rota av ∣w∣|w|), så de ligger på en sirkel med denne radien. Argumentene starter i φ/n\varphi/n og øker med 2π/n2\pi/n for hvert steg — røttene ligger derfor jevnt fordelt som hjørnene i en regulær nn-kant. 2kπ2k\pi-leddet er det som gir alle nn røttene: uten det finner du bare z0z_0.
Oppskrift for n-te røtter

For å løse zn=wz^n = w:
1. Skriv ww på polarform ρeiφ\rho e^{i\varphi}.
2. Radius: regn den reelle nn-te rota ρ1/n\rho^{1/n} — alle røttene har denne modulusen.
3. Startvinkel: φ/n\varphi/n.
4. Legg til 2π/n2\pi/n gjentatte ganger for å få de resterende røttene (k=0,…,n−1k=0,\dots,n-1).
5. Skriv om til kartesisk form hvis spurt, og gjerne marker dem i planet.

✏️Eksempel 2: Tredjerøtter markert på sirkelen

Finn alle tredjerøttene til −8i-8i og marker dem i det komplekse planet.

Steg 1 — polarform av w=−8iw=-8i. Punktet ligger rett ned på den imaginære aksen: ρ=8\rho=8, φ=−π/2\varphi=-\pi/2. Altså w=8e−iπ/2w=8e^{-i\pi/2}.

Steg 2 — radius: ρ1/3=81/3=2\rho^{1/3}=8^{1/3}=2. Alle tre røttene har modulus 22.

Steg 3 — startvinkel: φ/3=−π/23=−π6\varphi/3 = \dfrac{-\pi/2}{3}=-\dfrac{\pi}{6}.

Steg 4 — legg til 2π/32\pi/3:
θ0=−π6,θ1=−π6+2π3=π2,θ2=−π6+4π3=7π6.\theta_0=-\tfrac{\pi}{6},\qquad \theta_1=-\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{2\pi}{3}=\tfrac{\pi}{2},\qquad \theta_2=-\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{4\pi}{3}=\tfrac{7\pi}{6}.

Røttene (modulus 22):
z0=2e−iπ/6=3−i,z1=2eiπ/2=2i,z2=2ei 7π/6=−3−i.z_0=2e^{-i\pi/6}=\sqrt3-i,\quad z_1=2e^{i\pi/2}=2i,\quad z_2=2e^{i\,7\pi/6}=-\sqrt3-i.
(Kartesisk: 2cos⁡(−π6)=32\cos(-\tfrac{\pi}{6})=\sqrt3, 2sin⁡(−π6)=−12\sin(-\tfrac{\pi}{6})=-1, osv.)

Kontroll: de tre argumentene −30∘,90∘,210∘-30^\circ, 90^\circ, 210^\circ ligger 120∘=2π/3120^\circ=2\pi/3 fra hverandre — jevnt fordelt, som teoremet lover.

Figur i ord: Tegn en sirkel med radius 22 om origo. Sett det første punktet 30∘30^\circ under den positive reelle aksen (3−i\sqrt3-i), og gå så 120∘120^\circ mot klokka to ganger: neste rot står rett opp (2i2i), den siste nede til venstre (−3−i-\sqrt3-i). De tre danner en likesidet trekant.
📝Oppgave 5
G

Finn alle fjerderøttene til −16-16 og marker dem i det komplekse planet.

📝Oppgave 6
G, eksamensklone

Løs likningen z3=27z^3 = 27 og oppgi løsningene både på polarform og kartesisk form.

Løkke 3 — Baklengsvarianten: fra rot til tall (~10 min)

En egen midtveisvariant snur oppgaven: du får en rot og skal finne tallet. Da ganges argumentet med rotindeksen (og modulusen opphøyes). Dette er samme de Moivre, bare brukt motsatt vei.

Baklengsvarianten (rot til tall)
Er ww en nn-te rot av zz (altså wn=zw^n = z), så finner du zz ved de Moivre på ww:
∣z∣=∣w∣n,arg⁡z=n⋅arg⁡w.|z| = |w|^n, \qquad \arg z = n\cdot\arg w.
Spesielt for en kvadratrot (n=2n=2): argumentet dobles. Har en kvadratrot av zz argument π/3\pi/3, har zz argument 2π/32\pi/3. Pass på: zz har alltid to kvadratrøtter — den andre har argument π/3+π\pi/3+\pi, men gir samme zz ved dobling (2π/3+2π2\pi/3+2\pi).
✏️Eksempel 3: Argument-dobling

Et komplekst tall ww er en kvadratrot av zz, og ww har modulus 33 og argument π/3\pi/3. Finn zz på polar- og kartesisk form.

ww er kvadratrot av zz, så z=w2z = w^2. Bruk de Moivre med n=2n=2:

Modulus: ∣z∣=∣w∣2=32=9|z| = |w|^2 = 3^2 = 9.

Argument: arg⁡z=2⋅arg⁡w=2⋅π3=2π3\arg z = 2\cdot\arg w = 2\cdot\tfrac{\pi}{3} = \tfrac{2\pi}{3}.

Polarform: z=9 ei 2π/3z = 9\,e^{i\,2\pi/3}.

Kartesisk: z=9(cos⁡2π3+isin⁡2π3)=9(−12+32i)=−92+932i.z = 9\left(\cos\tfrac{2\pi}{3}+i\sin\tfrac{2\pi}{3}\right)=9\left(-\tfrac12+\tfrac{\sqrt3}{2}i\right)=-\tfrac92+\tfrac{9\sqrt3}{2}i.

Konklusjon: z=9ei2π/3=−92+932iz = 9e^{i2\pi/3} = -\tfrac92+\tfrac{9\sqrt3}{2}i.

📝Oppgave 7

(Midtveis, flervalg-varianten skrevet ut — baklengs de Moivre.) En femterot ww av et tall zz har modulus 22 og argument π/10\pi/10. Finn zz på polarform.

📝Oppgave 8
G, eksamensklone
a) Skriv −2−23 i-2 - 2\sqrt3\,i på polarform.

b) Bruk svaret til å regne ut (−2−23 i)5(-2-2\sqrt3\,i)^{5} på polarform.

c) Hvor mange løsninger har likningen z5=−2−23 iz^{5} = -2-2\sqrt3\,i, og hva er modulusen til hver?

Begrepsbank til eksamen

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget gjelder kjernestoffet.

Modulus ved potens
∣zn∣=∣z∣n|z^n| = |z|^n: modulusen til en potens er potensen av modulusen. Følger av de Moivre — modulusdelen rnr^n. Uunnværlig for å sjekke størrelsen på svaret raskt.
Argument ved potens
arg⁡(zn)=n⋅arg⁡(z)\arg(z^n) = n\cdot\arg(z) (mod 2π2\pi): argumentet til en potens er nn ganger argumentet. Dette er den «geometriske» halvdelen av de Moivre — potensering er gjentatt rotasjon.
Vinkelavstand mellom røtter

De nn røttene av zn=wz^n=w ligger med konstant vinkelavstand 2π/n2\pi/n rundt sirkelen. De danner hjørnene i en regulær nn-kant med sentrum i origo. Kjenner du én rot, får du resten ved å rotere 2π/n2\pi/n.

Radius til rotsirkelen

Alle nn-te røtter av ww har samme modulus ∣w∣1/n|w|^{1/n} — den reelle nn-te rota av ∣w∣|w|. Derfor ligger de på én sirkel om origo med denne radien.

Enhetsrøttene

Løsningene av zn=1z^n = 1: zk=ei 2kπ/nz_k = e^{i\,2k\pi/n}, k=0,…,n−1k=0,\dots,n-1. De ligger jevnt på enhetssirkelen (modulus 11), med z0=1z_0=1 alltid blant dem. For n=2n=2: ±1\pm1; for n=4n=4: 1,i,−1,−i1, i, -1, -i.

Kvadratrot av et komplekst tall
z2=wz^2=w har to løsninger: ±∣w∣ eiφ/2\pm\sqrt{|w|}\,e^{i\varphi/2} der φ=arg⁡w\varphi=\arg w. De er hverandres motsatte (ligger diametralt på sirkelen). Brukes i abc-formelen med komplekse koeffisienter (kap. 1.3).
Konjugat og potens
zn‾=(zˉ)n\overline{z^n} = (\bar z)^n: å konjugere en potens er det samme som å opphøye konjugatet. Geometrisk: konjugering speiler om reell akse, og en speiling av røttene er igjen røttene til det konjugerte tallet.
de Moivre for trigonometri

Ved å sette r=1r=1 og sammenligne real- og imaginærdel i (cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡nθ+isin⁡nθ(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta får man formler for cos⁡nθ\cos n\theta og sin⁡nθ\sin n\theta. F.eks. cos⁡2θ=cos⁡2θ−sin⁡2θ\cos 2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta og sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta fra n=2n=2.

Antall røtter
zn=wz^n = w (med w≠0w\ne 0) har nøyaktig nn forskjellige løsninger i C\mathbb{C}. Dette er et spesialtilfelle av algebraens fundamentalteorem: et polynom av grad nn har nn røtter med multiplisitet (mer i kap. 1.3).
Startvinkel

Den første rota (k=0k=0) av zn=w=ρeiφz^n=w=\rho e^{i\varphi} har argument φ/n\varphi/n — argumentet til ww delt på nn. De øvrige følger ved å legge til 2π/n2\pi/n.

Røtter av et reelt negativt tall
zn=−az^n = -a (med a>0a>0) har ingen reell løsning når nn er partall, men alltid nn komplekse. Røttene er a1/nei(π+2kπ)/na^{1/n}e^{i(\pi+2k\pi)/n} — jevnt fordelt, men ingen ligger på den positive reelle aksen.
Polarform (repetisjon)
z=reiθ=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = re^{i\theta}=r(\cos\theta+i\sin\theta), r=∣z∣r=|z|, θ=arg⁡z\theta=\arg z. Grunnlaget for alt i dette kapitlet: potens og rot er lette i polarform, tunge i kartesisk form.
Reduksjon mod 2π2\pi (repetisjon)

Trekk fra eller legg til hele 2π2\pi til vinkelen ligger i standardintervallet. Kritisk etter potensering: nθn\theta blir fort stor, men peker i samme retning som en liten vinkel.

Multiplikasjon i polarform (repetisjon)
r1eiα⋅r2eiβ=r1r2ei(α+β)r_1e^{i\alpha}\cdot r_2 e^{i\beta}=r_1r_2 e^{i(\alpha+\beta)}. de Moivre er nettopp denne regelen brukt nn ganger på samme faktor.
Geometrisk tolkning av potens

Å opphøye i nn betyr å skalere lengden (r→rnr\to r^n) og rotere vinkelen (θ→nθ\theta\to n\theta). Ligger zz på enhetssirkelen (r=1r=1), er znz^n en ren rotasjon uten skalering.

Motsatte røtter

For partall nn kommer røttene i par som ligger diametralt (θ\theta og θ+π\theta+\pi): hvis z0z_0 er rot, er −z0-z_0 det også. For kvadratrot er dette de to ±\pm-løsningene.

de Moivres formel (kort)
(reiθ)n=rneinθ(re^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta}. Hele kapitlets motor: potensering skalerer modulusen (r→rnr\to r^n) og roterer argumentet (θ→nθ\theta\to n\theta). Gjelder for alle hele nn, også negative (da blir rn<1r^n<1 når r>1r>1).
Primitiv enhetsrot

En nn-te enhetsrot ζ\zeta er primitiv dersom potensene ζ0,ζ1,…,ζn−1\zeta^0,\zeta^1,\dots,\zeta^{n-1} gir alle de nn enhetsrøttene. F.eks. er ii en primitiv fjerderot av 11 (fordi i,i2,i3,i4i,i^2,i^3,i^4 gir i,−1,−i,1i,-1,-i,1), mens −1-1 ikke er det.

Sum av alle n-te røtter

For n≥2n\ge 2 er summen av alle nn-te røtter av et tall lik 00. Geometrisk: røttene ligger symmetrisk fordelt rundt origo som hjørnene i en regulær nn-kant, så «tyngdepunktet» deres er origo. Nyttig kontroll på at du har funnet riktige røtter.

Potenser av ii
ii har en syklus med periode 44: i1=ii^1=i, i2=−1i^2=-1, i3=−ii^3=-i, i4=1i^4=1, og så gjentar det seg. For å regne iki^k ser du på resten når kk deles på 44. Dette er de Moivre for det spesielle tallet i=eiπ/2i=e^{i\pi/2}.
n-te rot som omvendt operasjon

Å ta nn-te rot er å reversere potensering: der potens multipliserer argumentet med nn, deler rota det på nn — men 2kπ2k\pi-leddet må inn før delingen, og det er grunnen til at det blir nn svar i stedet for ett.

Tilbake til kartesisk form

Etter en potens- eller rotutregning står svaret på polarform reiθre^{i\theta}. Skriv det på a+bia+bi ved a=rcos⁡θa=r\cos\theta, b=rsin⁡θb=r\sin\theta — men bare når oppgaven ber om det. Ofte er polarform det ryddigste sluttsvaret, særlig ved flere røtter.

Symbol- og formelliste
Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 4 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.