1.4 Drill: komplekse tall i midtveistempo

Hele komplekstall-repertoaret som flervalg på klokka — 30 % av midtveis skal sitte på under 6 minutter per oppgave.

90 min

17 oppgaver

Drillkomplekse tall i midtveistempo

Din fremgang i kapitlet

0 / 17 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.3Komplekse likninger og polynomfaktorisering

Brukes videre i

1.PPrøver til del 1: Komplekse tall

Dette kapitlet driller hele 30 %-blokken som åpner hver midtveiseksamen. Komplekse tall er

30\ \%

av alle midtveisspørsmål (138 talt opp H2012–H2018) og det mest testede enkelttemaet i emnet — polarform begge veier åpner alltid settet, og de Moivre-potens,

n

-te røtter, komplekse likninger, polynomrekonstruksjon og geometriske mengder følger tett etter. Prioritet: høyeste (nivå «perfekt»). På slutteksamen inngår stoffet i sjanger G (

10/21

sett).

Om kodene (forklares her, brukes gjennom kapitlet):
- MV = midtveisrepertoaret — flervalg med $5$ alternativer, ingen gjettestraff, ca. $6$ minutter per spørsmål. Oppgaver merket «(Midtveis, flervalg)» trener denne formen.
- Sjanger G = komplekse tall på slutteksamen — begrunnet langsvar (vis rot, faktoriser, rekonstruer). Merket «(Sjanger G — …)».

Slik jobber du med drillen (90 min, del gjerne over to økter):
1. Les de seks tempo-oppskriftene (~10 min).
2. Arbeid deg gjennom den gjennomregnede midtveisblokken (~15 min) — — naturlig pausepunkt —.
3. Ta flervalgsoppgavene på klokka, ~6 min hver (~50 min).
4. Avslutt med langsvarvariantene som trener slutteksamensføringen (~15 min).

Kilde til frekvenstallene: arkivet med 21 slutteksamener (H2003–H2023, 18 med løsningsforslag) og 16 midtveiseksamener (H2003–H2018). Arkivet stopper i 2023 — nyere sett kan ha justert bildet.

Forkunnskaper: Denne drillen forutsetter hele Del 1. Du bør ha regnet gjennom kap. 1.1 (kartesisk og polar form, geometriske mengder), kap. 1.2 (de Moivre, potenser og

n

-te røtter) og kap. 1.3 (komplekse likninger, konjugatrotsetningen og faktorisering). Trenger du å friske opp eksakte vinkelverdier, se Enhetssirkelen. Her regner du ikke noe nytt — du drilles i å velge raskeste vei under tidspress.

De seks tempo-oppskriftene (~10 min)

Hele 30 %-blokken løses med seks faste oppskrifter. Kjenner du igjen formen, vet du våpenet — det er dette som skiller en som rekker settet fra en som setter seg fast.

1. Polarform (kartesisk → polar). Tegn punktet grovt → avgjør kvadrant → regn $r = \sqrt{a^2+b^2}$ → finn $\theta$ fra kvadranten (bruk $\arctan(b/a)$ som referansevinkel, aldri blindt). Svar $r e^{i\theta}$ .

2. Potens (de Moivre). Skriv $z = r e^{i\theta}$ først → $z^n = r^n e^{in\theta}$ → reduser vinkelen mod $2\pi$ → tilbake til $a+ib$ hvis oppgaven ber om det.

3. $n$ -te røtter. $z^n = w$ har nøyaktig $n$ røtter: $|z| = |w|^{1/n}$ og $\arg z = \dfrac{\arg w + 2k\pi}{n}$ , $k = 0,1,\dots,n-1$ . De ligger jevnt fordelt på en sirkel med radius $|w|^{1/n}$ . Glem aldri $2k\pi$ -leddet.

4. Likning. Andregradslikning med reelle koeffisienter → abc-formelen; er diskriminanten negativ, blir røttene et konjugatpar. Formen $z^n = w$ → oppskrift 3. Kvadratrot av et komplekst tall → polarform eller ansatsen $(x+iy)^2 = w$ .

5. Rekonstruksjon. Reelt polynom av lavest grad fra oppgitte røtter: ta med den konjugerte til hver komplekse rot, multipliser konjugatparene til reelle kvadratiske faktorer $(z-z_0)(z-\bar{z_0}) = z^2 - 2\,\mathrm{Re}(z_0)\,z + |z_0|^2$ , gang ut.

6. Mengde. Oversett $|z - a|$ til avstanden fra $z$ til punktet $a$ : $|z-a| = r$ er en sirkel, $|z-a| < r$ en åpen skive, $|z-a| = |z-b|$ midtnormalen mellom $a$ og $b$ , og Re/Im-betingelser gir halvplan/striper.

✏️Gjennomregnet midtveisblokk — sju spørsmål med sensor-margnotater

Sju flervalgsspørsmål i midtveistempo — ett av hver hovedtype. Prøv hvert på ~ $1{,}5$ minutt før du leser løsningen. Alle svar med $5$ alternativer, som på eksamen.

1 (polarform). Skriv $z = -1 + \sqrt{3}\,i$ på polarform $re^{i\theta}$ .
A) $2e^{i\pi/3}$ B) $2e^{i2\pi/3}$ C) $\sqrt{2}\,e^{i2\pi/3}$ D) $2e^{-i\pi/3}$ E) $2e^{i5\pi/6}$

2 (potens). Regn ut $(\sqrt{3} + i)^6$ .
A) $64$ B) $64i$ C) $-64$ D) $-64i$ E) $64e^{i\pi/6}$

3 ( $n$ -te rot). Hvilket tall er en fjerderot av $-4$ ?
A) $1 + 2i$ B) $-1 + i$ C) $2$ D) $-2i$ E) $\sqrt{2}$

4 (likning). Løs $z^2 + 4z + 13 = 0$ .
A) $-2 \pm 3i$ B) $2 \pm 3i$ C) $-4 \pm 6i$ D) $-2 \pm 9i$ E) $3 \pm 2i$

5 (rekonstruksjon). Et reelt polynom av lavest mulig grad har røttene $3$ og $2 - i$ . Hvilket er det?
A) $z^2 - 5z + 6$ B) $z^3 - 7z^2 + 17z - 15$ C) $z^3 - 5z^2 + 11z - 15$ D) $(z-3)(z-2+i)$ E) $z^3 - 7z^2 + 15z - 17$

6 (mengde). Hvilken mengde beskriver $|z - (1+i)| = 2$ ?
A) en linje B) en åpen skive med radius $2$ C) en sirkel om $1+i$ med radius $2$ D) en sirkel om $-1-i$ med radius $2$ E) en sirkel om $1+i$ med radius $4$

7 (teori). Hvilket utsagn er sant for alle komplekse tall $z$ ?
A) $z^2 = |z|^2$ B) $z \cdot \bar{z} = |z|^2$ C) $z + \bar{z} = 2\,\mathrm{Im}\,z$ D) $\bar{z} = -z$ E) $|z|^2 = z^2$

1 → B, $2e^{i2\pi/3}$ .

r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt3)^2} = \sqrt{4} = 2

. Punktet

(-1,\sqrt3)

ligger i andre kvadrant; referansevinkelen er

\arctan(\sqrt3/1) = \pi/3

, så

\theta = \pi - \pi/3 = 2\pi/3

. Margnotat: A (

e^{i\pi/3}

) er kvadrantfellen —

\arctan

brukt blindt gir vinkelen i første kvadrant; D speiler til fjerde kvadrant; C har feil

r

(glemt kvadratroten trukket helt ut).

2 → C, $-64$ . $\sqrt3 + i = 2e^{i\pi/6}$ , så $(\sqrt3+i)^6 = 2^6 e^{i6\cdot\pi/6} = 64\,e^{i\pi} = -64$ . Margnotat: A ( $64$ ) glemmer at $e^{i\pi} = -1$ ; E har ikke multiplisert vinkelen med $6$ ; B/D blander real- og imaginærakse.

3 → B, $-1+i$ . $-4 = 4e^{i\pi}$ , så fjerderøttene er $4^{1/4}e^{i(\pi + 2k\pi)/4} = \sqrt2\,e^{i(\pi/4 + k\pi/2)}$ , altså $1+i,\ -1+i,\ -1-i,\ 1-i$ . Kontroll: $(-1+i)^2 = -2i$ , og $(-2i)^2 = -4$ . ✓ Margnotat: C ( $2$ ) og E ( $\sqrt2$ ) er reelle tall som frister fordi $\sqrt2$ er modulusen — men modulus alene er ikke en rot; A og D har riktig «smak» men gir ikke $-4$ i fjerde potens.

4 → A, $-2 \pm 3i$ . Diskriminant $16 - 52 = -36$ , så $z = \dfrac{-4 \pm \sqrt{-36}}{2} = \dfrac{-4 \pm 6i}{2} = -2 \pm 3i$ . Margnotat: C glemmer å dele på $2a$ ; D tar $\sqrt{-36} = 9i$ (regnefeil); B mister fortegnet på realdelen.

5 → B, $z^3 - 7z^2 + 17z - 15$ . Konjugatrotsetningen: siden koeffisientene er reelle, er også $2+i$ rot. Konjugatparet gir $(z-(2-i))(z-(2+i)) = z^2 - 4z + 5$ . Gang med $(z-3)$ : $z^3 - 7z^2 + 17z - 15$ . Margnotat: D glemmer den konjugerte roten (bare grad $2$ , ikke reelt); C har brukt $2+i$ som «dobbeltrot» uten $3$ ; A overser den komplekse roten helt.

6 → C, sirkel om $1+i$ med radius $2$ . $|z - (1+i)|$ er avstanden fra $z$ til punktet $1+i$ ; at den er lik $2$ gir en sirkel. Margnotat: D har byttet fortegn på sentrum (feil at $|z-a|$ måler til $-a$ ); E forveksler radius med diameter; B gjør likhet om til ulikhet.

7 → B, $z\bar{z} = |z|^2$ . Med $z = a+ib$ er $z\bar z = (a+ib)(a-ib) = a^2 + b^2 = |z|^2$ . Margnotat: A/E ( $z^2 = |z|^2$ ) gjelder bare når $z$ er reell; C skal være $2\,\mathrm{Re}\,z$ , ikke $2\,\mathrm{Im}\,z$ ; D gjelder bare for rent imaginære $z$ .

Fasitbokstavene i blokken: B, C, B, A, B, C, B — legg merke til at riktig svar aldri systematisk er samme bokstav. På midtveis er posisjonen tilfeldig; la aldri et mønster styre gjettingen.

Flervalgsdrill på klokka (~50 min)

Sett $6$ minutter per oppgave. Målet er ikke bare riktig svar, men raskeste vei — kjenn igjen formen, velg oppskrift, før bare det du trenger. Signalboksen etter hver løsning sier hva oppgaven testet.

📝Oppgave 1

(Midtveis, flervalg — polarform.) Skriv $z = 4 - 4i$ på polarform.

A) $4\sqrt2\,e^{i\pi/4}$
B) $4\sqrt2\,e^{-i\pi/4}$
C) $8\,e^{-i\pi/4}$
D) $4\sqrt2\,e^{i3\pi/4}$
E) $4\,e^{-i\pi/4}$

📝Oppgave 2

(Midtveis, flervalg — polarform.) Skriv $z = -5i$ på polarform.

A) $5\,e^{i\pi/2}$
B) $5i\,e^{-i\pi/2}$
C) $-5\,e^{i\pi/2}$
D) $5\,e^{-i\pi/2}$
E) $\sqrt5\,e^{-i\pi/2}$

📝Oppgave 3

(Midtveis, flervalg — de Moivre-potens.) Regn ut $(1+i)^{10}$ .

A) $32i$
B) $-32i$
C) $32$
D) $1024i$
E) $-32$

📝Oppgave 4

(Midtveis, flervalg — de Moivre-potens.) Regn ut $(1 - \sqrt3\,i)^9$ .

A) $512$
B) $256$
C) $-512$
D) $512i$
E) $-512i$

📝Oppgave 5

(Midtveis, flervalg — modulus.) Hva er $\left|\dfrac{3+4i}{1-2i}\right|$ ?

A) $1$
B) $\dfrac{5}{3}$
C) $\sqrt{10}$
D) $5$
E) $\sqrt5$

📝Oppgave 6

(Midtveis, flervalg — $n$ -te rot.) Hvilket tall er en tredjerot av $8i$ ?

A) $2i$
B) $\sqrt3 + i$
C) $2$
D) $1 + \sqrt3\,i$
E) $8i$

📝Oppgave 7

(Midtveis, flervalg — $n$ -te rot, teori.) Ligningen $z^6 = 64$ har løsninger som alle har samme modulus. Hvilken?

A) $64$
B) $6$
C) $8$
D) $2$
E) $\sqrt6$

📝Oppgave 8

(Midtveis, flervalg — kompleks kvadratrot.) Løs $z^2 = -8 + 6i$ .

A) $\pm(1 + 3i)$
B) $\pm(3 + i)$
C) $\pm(3 - i)$
D) $\pm(1 - 3i)$
E) $\pm(2 + 3i)$

📝Oppgave 9

(Midtveis, flervalg — likning.) Løs $z^2 - 6z + 25 = 0$ .

A) $6 \pm 8i$
B) $-3 \pm 4i$
C) $3 \pm 4i$
D) $3 \pm 8i$
E) $6 \pm 4i$

📝Oppgave 10

(Midtveis, flervalg — rekonstruksjon.) Et reelt polynom av lavest mulig grad har røttene $-1$ og $3i$ . Hvilket er det?

A) $z^2 + z + 9$
B) $(z+1)(z-3i)$
C) $z^3 - z^2 + 9z - 9$
D) $z^3 + z^2 + 3z + 3$
E) $z^3 + z^2 + 9z + 9$

📝Oppgave 11

(Midtveis, flervalg — argument-dobling.) En kvadratrot av det komplekse tallet $w$ har argument $\pi/6$ . Hva er argumentet til $w$ ?

A) $\pi/12$
B) $\pi/3$
C) $2\pi/3$
D) $\pi/6$
E) $-\pi/6$

📝Oppgave 12

(Midtveis, flervalg — polarform.) Skriv $z = -2 + 2\sqrt3\,i$ på polarform.

A) $4e^{i\pi/3}$
B) $2e^{i2\pi/3}$
C) $4e^{-i2\pi/3}$
D) $4e^{i2\pi/3}$
E) $4e^{i5\pi/6}$

📝Oppgave 13

(Midtveis, flervalg — geometrisk mengde.) Hvilken mengde i planet beskriver $|z - 1| = |z + 3|$ ?

A) den vertikale linjen $\mathrm{Re}\,z = -1$
B) den vertikale linjen $\mathrm{Re}\,z = 1$
C) en sirkel om $1$ med radius $3$
D) den horisontale linjen $\mathrm{Im}\,z = -1$
E) punktet $z = -1$

Langsvarvarianter — slutteksamensføring (~15 min)

På slutteksamen (sjanger G) holder det ikke å krysse av: hvert steg må begrunnes, og ubegrunnet svar gir $0$ poeng selv om det er riktig. Her fører du fullt ut. — naturlig pausepunkt før du starter —

📝Oppgave 14

Sjanger G

La $p(z) = z^3 - 4z^2 + 9z - 10$ . Vis at $z_0 = 1 + 2i$ er en rot, og finn både den reelle og den komplekse faktoriseringen av $p$ .

📝Oppgave 15

Sjanger G / MV

Regn ut $(-1 + i)^{12}$ og skriv svaret på formen $a + ib$ . Vis føringen.

📝Oppgave 16

Sjanger G

Finn alle tredjerøttene til $27i$ , skriv dem på formen $a + ib$ , og marker dem i det komplekse planet.

📝Oppgave 17

Sjanger G / MV

Skisser mengden $M = \{\, z \in \mathbb{C} : 1 \le |z - i| < 2 \,\}$ i planet, og beskriv den med ord.

Typiske feil på klokka

- Tidsfellen. Å multiplisere $(1-\sqrt3 i)^9$ ut for hånd tar minutter du ikke har; polarform gir svaret på tre linjer. Ser du en høy potens, en $n$ -te rot eller et produkt/kvotient av flere faktorer — bytt til polarform først.
- Kvadrantfellen. $\arctan(b/a)$ gir alltid en vinkel i første/fjerde kvadrant. Tegn punktet og legg til $\pi$ (eller bruk $\pi -$ referansevinkel) når det ligger i andre/tredje kvadrant.
- $2k\pi$ -fellen. Glemmer du $2k\pi$ -leddet i rotformelen, finner du bare én av $n$ røtter. Alle $n$ røttene ligger jevnt fordelt på sirkelen — sjekk at du har dem alle.
- Reduksjonsfellen. Ved høye potenser gir $e^{in\theta}$ ofte en vinkel over $2\pi$ . Reduser før du oversetter tilbake til $a + ib$ , ellers roter du fortegn.
- Konjugatfellen. Ved rekonstruksjon av reelt polynom: hver kompleks rot drar sin konjugerte med seg. Glemmer du den, får du feil grad.
- Negativ modulus. $r = |z|$ er alltid $\ge 0$ . Et « $-5e^{i\theta}$ »-svar er alltid feil ført — flytt fortegnet inn i vinkelen ( $-1 = e^{i\pi}$ ).

Formelkort til drillen

Repetisjonsstoff — de fem oppskriftene i kortform for rask puggeøkt. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder selve drillen.

Polarform og de Moivre

z = re^{i\theta} = r(\cos\theta + i\sin\theta), \qquad z^n = r^n e^{in\theta}.

n

-te røtter

z^n = w

Konjugatrotsetningen

z_0

Modulus- og konjugatregler

z\bar{z} = |z|^2, \qquad |z_1 z_2| = |z_1|\,|z_2|, \qquad \left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}.

Geometriske mengder fra modulus

|z - a|

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.