4.6
Alle fag for Høyskole

4.6 Uegentlige integraler: konvergens med navngitt sammenligning

81 %-sjangeren: avgjøre konvergens med sammenligningstest eller GS-test — alltid med navngitt p-integral og lim-føring.

55 min
9 oppgaver
Uegentlige integralerkonvergens med navngitt sammenligning
Din fremgang i kapitlet
0 / 9 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper: Kapitlet bygger på grenseteknikken i kap. 2.2 (grenser mot ∞\infty, veksthierarkiet ln⁡x≪xp≪ex\ln x\ll x^p\ll e^x) og integrasjonsteknikkene i kap. 4.3–4.5 (substitusjon og delvis, som du trenger for de direkte beregningene).

Kort oppfrisket — to grep du får bruk for: en grense mot ∞\infty avgjøres ofte av det dominerende leddet (høyeste potens teller), og antideriverten av x−px^{-p} er x1−p1−p\dfrac{x^{1-p}}{1-p} når p≠1p\neq 1, og ln⁡x\ln x når p=1p=1.

Tenk deg at du fyller opp et uendelig langt basseng: hver ekstra meter mot høyre legger til litt mer vann. Spørsmålet er om det totale vannvolumet blir endelig eller vokser uten grense. Det er akkurat det et uegentlig integral måler — arealet under en kurve som strekker seg uendelig langt, eller som skyter mot uendelig ved et endepunkt.

Vi kan ikke bare «sette inn ∞\infty» i en antiderivert — ∞\infty er ikke et tall. I stedet integrerer vi opp til en endelig grense og lar grensen løpe. Hele kapitlet handler om to spørsmål: konvergerer integralet (endelig verdi), eller divergerer det — og hvordan avgjøre det raskt med en navngitt sammenligning.

Definisjonene med lim-føring (~10 min)

Det finnes to måter et integral kan være uegentlig på. Begge defineres via en grense.

Uegentlig integral av type 1 (ubegrenset intervall)
Et integral over et uendelig langt intervall regnes som en grense av vanlige integraler:
∫a∞f(x) dx=lim⁡R→∞∫aRf(x) dx.\int_a^{\infty} f(x)\,dx=\lim_{R\to\infty}\int_a^{R} f(x)\,dx.
Finnes grensen som et endelig tall, sier vi at integralet konvergerer (mot den verdien); ellers divergerer det. Tilsvarende ∫−∞bf=lim⁡R→−∞∫Rbf\int_{-\infty}^{b}f=\lim_{R\to-\infty}\int_R^b f. Merk: RR er et tall som vokser — vi setter aldri inn ∞\infty direkte.
Uegentlig integral av type 2 (singularitet i endepunkt)
Når integranden vokser mot ±∞\pm\infty ved et endepunkt, kutter vi like ved og tar grensen:
∫abf(x) dx=lim⁡t→a+∫tbf(x) dx(singularitet i a),∫abf=lim⁡t→b−∫atf(singularitet i b).\int_a^{b} f(x)\,dx=\lim_{t\to a^{+}}\int_t^{b} f(x)\,dx\quad(\text{singularitet i }a),\qquad \int_a^{b} f=\lim_{t\to b^{-}}\int_a^{t} f\quad(\text{singularitet i }b).
Konvergens/divergens avgjøres som i type 1. En integrand som er ubegrenset nær et endepunkt kan likevel ha endelig areal — det er nettopp det type 2 avklarer.
Konvergens og divergens

Et uegentlig integral konvergerer dersom grensen i definisjonen finnes og er et endelig tall — da har integralet en veldefinert verdi. Det divergerer dersom grensen er ±∞\pm\infty eller ikke finnes. På eksamen er selve avgjørelsen (konvergerer/divergerer, med begrunnelse) ofte hele poenget — verdien spørres ikke alltid om.

Singularitet

Et punkt der integranden ikke er begrenset (vokser mot ±∞\pm\infty). For ∫abf\int_a^b f er endepunktene aa og bb mulige singulariteter, og for uendelige intervaller er «∞\infty» det. Første steg i enhver F-oppgave: identifiser ALLE singulariteter og uendelige endepunkter før du velger metode — overser du én, blir avgjørelsen feil.

📝Oppgave 1
F

Avgjør om ∫1∞dxx4\displaystyle \displaystyle\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^{4}} konvergerer, og finn i så fall verdien. Før med lim-notasjon.

✏️Direkte beregning med lim-føring — type 2

Avgjør om ∫01ln⁡x dx\displaystyle\int_0^{1}\ln x\,dx konvergerer, og finn i så fall verdien.

Identifiser singulariteten. ln⁡x→−∞\ln x\to-\infty når x→0+x\to 0^{+}, så nedre endepunkt 00 er en type 2-singularitet.

Lim-føring. Kutt ved t>0t>0 og la t→0+t\to 0^{+}:
∫01ln⁡x dx=lim⁡t→0+∫t1ln⁡x dx.\int_0^{1}\ln x\,dx=\lim_{t\to 0^{+}}\int_t^{1}\ln x\,dx.
Antiderivert (delvis, v′=1v'=1): ∫ln⁡x dx=xln⁡x−x\int\ln x\,dx=x\ln x-x. Dermed
∫t1ln⁡x dx=[xln⁡x−x]t1=(0−1)−(tln⁡t−t)=−1−tln⁡t+t.\int_t^{1}\ln x\,dx=\big[x\ln x-x\big]_t^{1}=(0-1)-(t\ln t-t)=-1-t\ln t+t.
Ta grensen. tln⁡t→0t\ln t\to 0 når t→0+t\to 0^{+} (veksthierarkiet / [0⋅∞][0\cdot\infty]), og t→0t\to 0:
lim⁡t→0+(−1−tln⁡t+t)=−1.\lim_{t\to 0^{+}}\big(-1-t\ln t+t\big)=-1.
Grensen er endelig, så integralet konvergerer med verdi −1-1.

Konklusjon: ∫01ln⁡x dx=−1\displaystyle\int_0^{1}\ln x\,dx=-1. En integrand som er ubegrenset nær 00 har altså endelig areal — det er type 2-poenget.

📝Oppgave 2
F

Avgjør om ∫01x−2/3 dx\displaystyle\int_0^{1}x^{-2/3}\,dx konvergerer, og finn eventuelt verdien. Før med lim.

pp-integralene som referansefamilie (~10 min)

To standardintegraler er målestokken alle sammenligninger bruker. Lær kriteriene utenat — og lær å begrunne dem, for fasit vil se navnet «pp-integral» med riktig konklusjon.

pp-integralet ved uendelig
Referanseintegralet på uendelig intervall:
∫1∞dxxp konvergerer  ⟺  p>1,divergerer  ⟺  p≤1.\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^{p}}\ \text{konvergerer}\iff p>1,\qquad \text{divergerer}\iff p\le 1.
Begrunnelse: for p≠1p\ne 1 er ∫1Rx−p dx=R1−p−11−p\int_1^{R}x^{-p}\,dx=\dfrac{R^{1-p}-1}{1-p}; når R→∞R\to\infty går R1−p→0R^{1-p}\to 0 nettopp når 1−p<01-p<0, altså p>1p>1. For p=1p=1 er integralet ln⁡R→∞\ln R\to\infty (divergens). Grensetilfellet p=1p=1 divergerer.
pp-integralet ved 00 (speilingen)
Referanseintegralet med singularitet i 00:
∫01dxxp konvergerer  ⟺  p<1,divergerer  ⟺  p≥1.\int_0^{1}\frac{dx}{x^{p}}\ \text{konvergerer}\iff p<1,\qquad \text{divergerer}\iff p\ge 1.
Kriteriet er speilvendt av uendelig-tilfellet. Begrunnelse: ∫t1x−p dx=1−t1−p1−p\int_t^{1}x^{-p}\,dx=\dfrac{1-t^{1-p}}{1-p}; når t→0+t\to 0^{+} går t1−p→0t^{1-p}\to 0 nettopp når 1−p>01-p>0, altså p<1p<1. Nær 00 tåler vi altså sterkere singularitet enn nær ∞\infty — men bare hvis p<1p<1.
📝Oppgave 3
F

Avgjør om ∫1∞dxx\displaystyle \displaystyle\int_1^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}} konvergerer.

Direkte sammenligningstest (~12 min)

De fleste F-oppgaver har integrander du ikke kan antiderivere pent. Da avgjør du konvergens ved å klemme integranden mot et pp-integral du kjenner.

Direkte sammenligningstest
Anta 0≤f(x)≤g(x)0\le f(x)\le g(x) for alle xx på intervallet. Da:
∫g konvergerer ⇒ ∫f konvergerer;∫f divergerer ⇒ ∫g divergerer.\int g\ \text{konvergerer}\ \Rightarrow\ \int f\ \text{konvergerer};\qquad \int f\ \text{divergerer}\ \Rightarrow\ \int g\ \text{divergerer}.
Med ord: et mindre positivt areal enn et endelig areal er endelig; et større areal enn et uendelig areal er uendelig. Retningen betyr alt: for å vise konvergens klemmer du integranden oppover mot noe konvergent; for divergens klemmer du nedover mot noe divergent.
Uttalt begrensethet i klemmen

Sensorkravet i en direkte sammenligning: skriv ulikheten 0≤f≤g0\le f\le g eksplisitt, og begrunn den — typisk ved at en trigonometrisk faktor er begrenset (∣sin⁡x∣≤1|\sin x|\le 1, ∣cos⁡x∣≤1|\cos x|\le 1, 0≤sin⁡2x≤10\le\sin^2 x\le 1) eller ved at et ledd er positivt. En påstand «f≤gf\le g» uten begrunnelse er ikke full uttelling.

✏️Direkte sammenligning — vis konvergens

Avgjør om ∫1∞sin⁡2xx2 dx\displaystyle \displaystyle\int_1^{\infty}\frac{\sin^2 x}{x^{2}}\,dx konvergerer.

Singularitet: kun ∞\infty (integranden er begrenset og kontinuerlig på [1,∞)[1,\infty)).

Klem oppover (uttalt begrensethet). For alle xx er 0≤sin⁡2x≤10\le\sin^2 x\le 1, så
0≤sin⁡2xx2≤1x2.0\le \frac{\sin^2 x}{x^{2}}\le \frac{1}{x^{2}}.
Navngi sammenligningsintegralet. ∫1∞dxx2\displaystyle \displaystyle\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^{2}} er et konvergent pp-integral (p=2>1p=2>1).

Konkluder (direkte sammenligningstest). Integranden vår er klemt mellom 00 og en konvergent integrand, så etter direkte sammenligningstest konvergerer ∫1∞sin⁡2xx2 dx\displaystyle \displaystyle\int_1^{\infty}\frac{\sin^2 x}{x^{2}}\,dx.

Legg merke til de tre føringspoengene: den uttalte ulikheten 0≤sin⁡2x≤10\le\sin^2x\le 1, det navngitte konvergente pp-integralet, og konklusjonssetningen med testens navn.

📝Oppgave 4
F

Avgjør om ∫1∞2+sin⁡xx3 dx\displaystyle \displaystyle\int_1^{\infty}\frac{2+\sin x}{x^{3}}\,dx konvergerer.

📝Oppgave 5
F

Avgjør om ∫01exx dx\displaystyle \displaystyle\int_0^{1}\frac{e^{x}}{\sqrt{x}}\,dx konvergerer.

Grensesammenligningstesten (GS-testen) (~12 min)

Når en ren ulikhet er tungvinn å få til, er GS-testen ofte raskere: du sammenligner veksten av to integrander ved å ta grensen av forholdet.

Grensesammenligningstesten (GS-testen)

La f,g>0f,g>0 og sett L=lim⁡x→∞f(x)g(x)\displaystyle L=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)} (tilsvarende ved en type 2-singularitet). Dersom 0<L<∞0<L<\infty (en endelig, positiv grense), har ∫f\int f og ∫g\int g samme skjebne — begge konvergerer eller begge divergerer. Da holder det å avgjøre ∫g\int g, som velges til et pp-integral.

Valg av gg fra dominant ledd

I GS-testen velger du gg ved å beholde bare de dominerende leddene i teller og nevner (høyeste potenser). Eksempel: for f=x+1x3+2xf=\dfrac{x+1}{x^{3}+2x} dominerer xx oppe og x3x^{3} nede, så f∼xx3=1x2f\sim\dfrac{x}{x^{3}}=\dfrac{1}{x^{2}} → velg g=1x2g=\dfrac{1}{x^{2}}. Da blir LL automatisk endelig og positiv.

✏️GS-testen — konvergens

Avgjør om ∫1∞3x2−1x4+x+1 dx\displaystyle \displaystyle\int_1^{\infty}\frac{3x^{2}-1}{x^{4}+x+1}\,dx konvergerer.

Singularitet: kun ∞\infty; integranden er positiv for x≥1x\ge 1.

Velg gg fra dominant ledd. Teller ∼3x2\sim 3x^{2}, nevner ∼x4\sim x^{4}, så f∼3x2x4=3x2f\sim\dfrac{3x^{2}}{x^{4}}=\dfrac{3}{x^{2}}. Velg g=1x2g=\dfrac{1}{x^{2}}.

Regn grensen.
L=lim⁡x→∞f(x)g(x)=lim⁡x→∞3x2−1x4+x+1⋅x2=lim⁡x→∞3x4−x2x4+x+1=3.L=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{3x^{2}-1}{x^{4}+x+1}\cdot x^{2}=\lim_{x\to\infty}\frac{3x^{4}-x^{2}}{x^{4}+x+1}=3.
Siden 0<L=3<∞0<L=3<\infty, har ∫f\int f og ∫g\int g samme skjebne.

Navngi og konkluder. ∫1∞dxx2\displaystyle \displaystyle\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^{2}} er et konvergent pp-integral (p=2>1p=2>1). Etter GS-testen konvergerer derfor ∫1∞3x2−1x4+x+1 dx\displaystyle \displaystyle\int_1^{\infty}\frac{3x^{2}-1}{x^{4}+x+1}\,dx.

📝Oppgave 6
F

Avgjør om ∫1∞x+2x3+1 dx\displaystyle \displaystyle\int_1^{\infty}\frac{x+2}{x^{3}+1}\,dx konvergerer.

📝Oppgave 7
F

Avgjør om ∫1∞dxx2+5\displaystyle \displaystyle\int_1^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^{2}+5}} konvergerer.

To singulariteter: splitting (~9 min)

Noen integraler er uegentlige i begge ender. Da splitter du ved et mellompunkt og krever at hvert stykke konvergerer — ett divergent stykke smitter over på hele.

Splitting ved flere singulariteter
Har integralet uegentlighet i mer enn ett punkt (f.eks. singularitet i 00 og uendelig øvre grense), deler du ved et endelig mellompunkt cc:
∫0∞f=∫0cf+∫c∞f.\int_0^{\infty} f=\int_0^{c} f+\int_c^{\infty} f.
Hele integralet konvergerer kun hvis begge delene konvergerer. Divergerer én del, divergerer helheten. Derfor må ALLE singulariteter identifiseres først.
Absolutt konvergens (kjennskap)

Et integral ∫f\int f er absolutt konvergent dersom ∫∣f∣\int|f| konvergerer. Absolutt konvergens medfører (vanlig) konvergens — nyttig når ff skifter fortegn, for da kan sammenligningstestene (som krever positiv integrand) brukes på ∣f∣|f|. Dette er «kjenne»-stoff i MAT1100: godt å vite, sjelden krevd i sin fulle form.

✏️To singulariteter — splitting

Avgjør om ∫0∞dxx (1+x)\displaystyle \displaystyle\int_0^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}\,(1+x)} konvergerer.

Identifiser ALLE singulariteter. Integranden 1x(1+x)\dfrac{1}{\sqrt{x}(1+x)} er uegentlig i to ender: type 2 i x=0x=0 (der 1x→∞\displaystyle \frac{1}{\sqrt x}\to\infty) og type 1 ved ∞\infty. Splitt ved x=1x=1:
∫0∞dxx(1+x)=∫01dxx(1+x)+∫1∞dxx(1+x).\int_0^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)}=\int_0^{1}\frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)}+\int_1^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)}.
Stykke 1 (nær 00): når x→0+x\to 0^{+} er 1+x→11+x\to 1, så f∼1x=x−1/2f\sim\dfrac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}. GS mot g=x−1/2g=x^{-1/2} gir L=lim⁡x→0+11+x=1\displaystyle L=\lim_{x\to0^+}\frac{1}{1+x}=1. Sammenligning er konvergent pp-integral av 0-typen (p=12<1p=\tfrac12<1) → stykke 1 konvergerer.
Stykke 2 (mot ∞\infty): f∼1x⋅x=x−3/2f\sim\dfrac{1}{\sqrt{x}\cdot x}=x^{-3/2}. GS mot g=x−3/2g=x^{-3/2} gir L=lim⁡x→∞x1+x=1\displaystyle L=\lim_{x\to\infty}\frac{x}{1+x}=1. Sammenligning er konvergent pp-integral (p=32>1p=\tfrac32>1) → stykke 2 konvergerer.
Konkluder: begge stykker konvergerer, så hele integralet konvergerer.

(For den nysgjerrige: substitusjonen u=xu=\sqrt{x} gir faktisk verdien ∫0∞2 du1+u2=2⋅π2=π\displaystyle \int_0^{\infty}\frac{2\,du}{1+u^{2}}=2\cdot\frac{\pi}{2}=\pi — men på eksamen var avgjørelsen med de to navngitte pp-integralene poenget.)

📝Oppgave 8
F

Avgjør om ∫0∞e−xx dx\displaystyle \displaystyle\int_0^{\infty}\frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}\,dx konvergerer. Identifiser begge uegentlighetene.

📝Oppgave 9
F

Avgjør om ∫02dx2−x\displaystyle \displaystyle\int_0^{2}\frac{dx}{\sqrt{2-x}} konvergerer, og finn eventuelt verdien. Før med lim.

Begrepsbank

Flashcard- og repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget gjelder kjernestoffet i løkkene.

Navngi sammenligningen (fasitkravet)

I hvert løsningsforslag for sjanger F skal sammenligningsintegralet nevnes eksplisitt som et konvergent eller divergent pp-integral, med pp-verdien og kriteriet (p>1p>1 på ∞\infty, p<1p<1 i 00). Konklusjonssetningen navngir testen: «ved direkte sammenligningstest …» eller «ved GS-testen …». Dette er der poengene sitter.

Lim-føringen

Standardoppsettet for direkte beregning: erstatt den uegentlige grensen med en variabel (RR eller tt), regn det egentlige integralet, og ta grensen til slutt. ∫a∞f=lim⁡R→∞∫aRf\int_a^{\infty}f=\lim_{R\to\infty}\int_a^R f; ∫abf=lim⁡t→a+∫tbf\int_a^b f=\lim_{t\to a^+}\int_t^b f ved singularitet i aa.

Strategivalg for F-oppgaver

(1) Identifiser alle singulariteter/uendelige endepunkter. (2) Kan integranden antideriveres pent? → direkte beregning med lim. (3) Ellers: gir en enkel ulikhet en klem? → direkte sammenligning. (4) Ellers: ta grensen av forholdet mot dominant ledd → GS-testen. (5) Flere singulariteter → splitt og krev at hvert stykke konvergerer.

Symbol- og formelliste
Repetisjonsoppgaver (fra 2.2 og 4.3–4.5)

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.