7.2 Midtveissimulering: komplett flervalgssett

Settet

Instruks: kryss av ett alternativ per spørsmål. Ingen gjettestraff — svar på alt. Ta 2-poengerne først. Sett klokka på 2 timer om du vil trene under tidspress. Fasiten står i boksene lenger ned; åpne dem etter at du har svart ferdig.

(Alle spørsmål, tall og kontekster er nyskrevne for denne boka.)

Komplekse tall (spørsmål 1–6)

Spørsmål 1 (2 p — komplekse tall). Skriv $z=-1+i\sqrt{3}$ på polarform $re^{i\theta}$.

(a) $2e^{i\pi/3}$
(b) $2e^{-i2\pi/3}$
(c) $2e^{i2\pi/3}$
(d) $4e^{i2\pi/3}$
(e) $2e^{i5\pi/6}$

Spørsmål 2 (2 p — komplekse tall). Regn ut $(1+i)^{12}$.

(a) $-64$
(b) $64$
(c) $64i$
(d) $-64i$
(e) $-8$

Spørsmål 3 (2 p — komplekse tall). Hvilket av tallene er en av tredjerøttene til $8i$?

(a) $2i$
(b) $\sqrt3-i$
(c) $-\sqrt3-i$
(d) $2$
(e) $-2i$

Spørsmål 4 (2 p — komplekse tall). Hva er løsningsmengden til likningen $z^2+4z+13=0$?

(a) $\{2+3i,\ 2-3i\}$
(b) $\{-2+3i,\ -2-3i\}$
(c) $\{-2+6i,\ -2-6i\}$
(d) $\{-4+3i,\ -4-3i\}$
(e) $\{3i,\ -3i\}$

Spørsmål 5 (3 p — komplekse tall). Et normert reelt polynom av lavest mulig grad har $2$ og $1-i$ blant røttene. Hva er polynomet?

(a) $z^2-2z+2$
(b) $z^3-2z-4$
(c) $z^2-(3-i)z+(2-2i)$
(d) $z^3-4z^2+6z-4$
(e) $z^3-4z^2+6z+4$

Spørsmål 6 (3 p — komplekse tall). Hva slags mengde i det komplekse planet beskrives av $|z-(1+i)|=|z-3|$?

(a) En rett linje — midtnormalen på linjestykket mellom $1+i$ og $3$
(b) En sirkel med sentrum midt mellom de to punktene
(c) En ellipse med brennpunkt i $1+i$ og $3$
(d) Et halvplan avgrenset av linjen gjennom punktene
(e) Kun ett punkt: midtpunktet mellom $1+i$ og $3$

Grenser (spørsmål 7–9)

Spørsmål 7 (2 p — grenser). $\displaystyle\lim_{x\to 0}(1+2x)^{1/x}=?$

(a) $e$
(b) $e^2$
(c) $e^{1/2}$
(d) $1$
(e) $\infty$

Spørsmål 8 (2 p — grenser). $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+6x}-x\right)=?$

(a) $0$
(b) $6$
(c) $\infty$
(d) $3$
(e) Finnes ikke

Spørsmål 9 (2 p — grenser). $\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^3+x}=?$

(a) $0$
(b) $1$
(c) $\infty$
(d) $e$
(e) Finnes ikke

Derivasjon (spørsmål 10–12)

Spørsmål 10 (3 p — derivasjon). La $f(x)=\sin\!\left(\sqrt{x^2+1}\right)$. Hva er $f'(x)$?

(a) $\dfrac{x\cos\!\left(\sqrt{x^2+1}\right)}{\sqrt{x^2+1}}$
(b) $\cos\!\left(\sqrt{x^2+1}\right)$
(c) $\dfrac{2x\cos\!\left(\sqrt{x^2+1}\right)}{\sqrt{x^2+1}}$
(d) $-\dfrac{x\cos\!\left(\sqrt{x^2+1}\right)}{\sqrt{x^2+1}}$
(e) $\dfrac{x\sin\!\left(\sqrt{x^2+1}\right)}{\sqrt{x^2+1}}$

Spørsmål 11 (3 p — derivasjon). La $f(x)=x^{\ln x}$ for $x>0$. Hva er $f'(e)$?

(a) $2e$
(b) $1$
(c) $e$
(d) $0$
(e) $2$

Spørsmål 12 (3 p — derivasjon). La $f(x)=x^3+2x+1$. Hva er $(f^{-1})'(4)$?

(a) $5$
(b) $\tfrac{1}{5}$
(c) $\tfrac{1}{50}$
(d) $\tfrac{1}{2}$
(e) $4$

Drøfting (spørsmål 13–14)

Spørsmål 13 (2 p — drøfting). Grafen til $f(x)=x\,e^{3/x}$ har en skråasymptote når $x\to\infty$. Hvilken?

(a) $y=x$
(b) $y=x+\tfrac{9}{2}$
(c) $y=x+3$
(d) $y=3x$
(e) Ingen skråasymptote

Spørsmål 14 (3 p — drøfting). På hvilket intervall er $f(x)=x^4-6x^2$ konveks?

(a) $(-1,1)$
(b) $(1,\infty)$
(c) $(-\infty,0)$
(d) $(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$
(e) Hele $\mathbb{R}$

Følger (spørsmål 15–16)

Spørsmål 15 (2 p — følger). $\displaystyle \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2-n}{3n^2+5}=?$

(a) $\tfrac{2}{3}$
(b) $0$
(c) $\infty$
(d) $-\tfrac{1}{5}$
(e) $\tfrac{2}{5}$

Spørsmål 16 (3 p — følger). Følgen er gitt ved $a_1=1$, $a_{n+1}=\sqrt{2a_n+3}$. Følgen er voksende og begrenset. Hva er grensen?

(a) $-1$
(b) $3$
(c) $1$
(d) $\sqrt5$
(e) Divergerer

Teori og definisjoner (spørsmål 17–18)

Spørsmål 17 (2 p — teori/definisjon). Hvilket utsagn er den korrekte $\varepsilon$–$\delta$-definisjonen av $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L$?

(a) Det finnes $\varepsilon>0$ slik at for alle $\delta>0$: $0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon$.
(b) For alle $\delta>0$ finnes $\varepsilon>0$ slik at $0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon$.
(c) For alle $\varepsilon>0$ finnes $\delta>0$ slik at $0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon$.
(d) For alle $\varepsilon>0$ finnes $\delta>0$ slik at $|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon$.
(e) For alle $\varepsilon>0$ finnes $\delta>0$ slik at $0<|x-a|<\varepsilon\Rightarrow|f(x)-L|<\delta$.

Spørsmål 18 (3 p — teori/definisjon). Hvilke forutsetninger kreves i middelverdisetningen for $f$ på $[a,b]$?

(a) $f$ deriverbar på hele $[a,b]$, inkludert endepunktene.
(b) $f$ kontinuerlig på $(a,b)$ og deriverbar på $[a,b]$.
(c) $f(a)=f(b)$ og $f$ deriverbar på $(a,b)$.
(d) $f$ konveks på $[a,b]$.
(e) $f$ kontinuerlig på $[a,b]$ og deriverbar på $(a,b)$.

Tekstoppgaver (spørsmål 19–20)

Spørsmål 19 (3 p — tekstoppgave). En ballong stiger loddrett rett opp fra et punkt på bakken. En observatør står $100$ m unna dette punktet. I det øyeblikket ballongen er $100$ m høy, stiger den med $4$ m/s. Hvor raskt øker da avstanden mellom observatøren og ballongen?

(a) $4$ m/s
(b) $2$ m/s
(c) $4\sqrt2$ m/s
(d) $2\sqrt2$ m/s
(e) $8$ m/s

Spørsmål 20 (3 p — tekstoppgave). En rektangulær innhegning skal ha areal $200\text{ m}^2$. Den ene langsiden er en eksisterende vegg og trenger ikke gjerde. La $x$ være siden langs veggen. Hvilken $x$ gir minst gjerde?

(a) $10$ m
(b) $\sqrt{200}\approx 14{,}1$ m
(c) $20$ m
(d) $40$ m
(e) $100$ m

Løsningsforslag

Én boks per spørsmål: raskeste vei til svaret, hvorfor hver distraktor frister, og et tidstips. Åpne dem etter at du har svart. Full A-føring er ikke påkrevd på flervalg, men regningen vises så du tar den med til slutteksamen.

Selvdiagnose

Kryss av det du fikk til uten å åpne fasiten:

- ☐ Komplekse tall (1–6): polarform med riktig kvadrant, de Moivre med vinkelreduksjon, $n$-te røtter med $2k\pi$-lista, konjugatrotsetningen ved rekonstruksjon.
- ☐ Grenser (7–9): kjente igjen $1^\infty$ (logaritmetriks), $\infty-\infty$ (konjugat) og veksthierarkiet.
- ☐ Derivasjon (10–12): talte kjerneregel-lagene, logaritmisk derivasjon, og «finn $a$ først» ved derivert av invers.
- ☐ Drøfting (13–14): skråasymptoten $y=x+k$ og fortegnet til $f''$.
- ☐ Følger (15–16): ledende koeffisienter, og fikspunkt i riktig verdiområde.
- ☐ Teori (17–18): kvantorrekkefølgen i $\varepsilon$–$\delta$ og MVT vs. Rolle.
- ☐ Tekstoppgaver (19–20): satte opp sammenhengen før derivasjon, og målfunksjonen med veggen inne.

Bommet du på en hel blokk, gå tilbake til kapitlet den peker på (lenkene står i Forkunnskaper).

Poenggrense-tolkning (veiledende)

Maks er $10\cdot 2+10\cdot 3=50$ poeng. Dette settet er nyskrevet, så poenggrensene er veiledende — de er ikke offisielle UiO-grenser, men et ærlig anslag basert på midtveisens vanlige nivå: